Qué sentido tienen las matemáticas: una propuesta de acercamiento a la noción de derivada desde una perspectiva crítica de la modelación matemática

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(1)1. QUÉ SENTIDO TIENEN LAS MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA DE ACERCAMIENTO A LA NOCIÓN DE DERIVADA DESDE UNA PERSPECTIVA CRÍTICA DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA.. CESAR ENRIQUE PAEZ SOLANO HAROLD ALBERTO HERNÁNDEZ MARTÍN. BOGOTÁ D.C JUNIO DE 2017.

(2) 2. QUÉ SENTIDO TIENEN LAS MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA DE ACERCAMIENTO A LA NOCIÓN DE DERIVADA DESDE UNA PERSPECTIVA CRÍTICA DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA.. Una Tesis Presentada Para Obtener El Título De Licenciado en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas. CESAR ENRIQUE PAEZ SOLANO HAROLD ALBERTO HERNÁNDEZ MARTÍN Estudiantes. JOSÉ TORRES DUARTE Director. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS (LEBEM) BOGOTÁ D.C 2017.

(3) 3. Agradecimientos Queremos agradecer a la persona que más que nuestro tutor, fue un guía en el camino de construcción de conocimiento, no solo en este momento de nuestra vida académica, sino en cada instante nuestra carrera. Que con su apoyo y dedicación nos fue indicando el camino que se podría seguir para lograr todo lo que se quiere conseguir. Gracias a José Torres Duarte por hacernos ver que hay cosas más valiosas que la construcción de conocimientos y es la formación de seres críticos que cuestionen y aporten a su realidad. También queremos agradecer a la profesora Sindy Joya por permitirnos el espacio en su salón de clase para implementar nuestra propuesta, y habernos dados su confianza para que se diera un ambiente ameno de implementación. Por último reconocer el esfuerzo que realizó cada uno de los estudiantes del grado 1001 del colegio Isabel II por apoyar nuestro camino en la consecución de nuestro grado..

(4) 4. Dedicatorias Cesar Páez Tal vez muchas personas deberían estar incluidas en este corto homenaje, porque siempre estuvieron apoyándome en cada buena o mala decisión que tome en el transcurso de mi carrera y en lo que desde dentro de muy poco será mi profesión, pero en este momento quiero recordar y dedicar este trabajo a una de las personas que más a influido en mi vida, a la persona que más que un amigo fue mi hermano Randi Sneider Salamanca Arévalo; esto fue por usted y para usted esté donde esté quiero que lo sepa, siempre estará en mi mente y en mi corazón.. Harold Hernández La gloria sea para dios al permitir las circunstancias que me llevaron a estudiar en la Universidad Distrital, encontrarme con un cuerpo de docentes con los que me siento profundamente agradecido y por el apoyo espiritual que me brinda y sigue brindando para poder decidir sabiamente en cada una de las eventualidades que se me presentan a diario. Quiero dedicar la consecución de este logro a mis padres, Pastor Hernández y Rosa Martín, trabajadores incansables quienes se levantaban y acostaban cada día preocupados por mi bienestar. Gracias a ellos porque me formaron en el respeto, la comprensión y la humildad. Muchísimas gracias a mi padre por enseñarme el valor del trabajo y a todos.

(5) 5. aquellos que se me escapan pero que fueron grandes consejeros e intervinieron en la construcción de la persona que ahora soy..

(6) 6. Tabla de Contenidos. 1.. Capítulo 1: Introducción ............................................................................... 12. 2.. Capítulo 2: Planteamiento del problema ....................................................... 15 2.1.. Objetivos ............................................................................................... 17. 2.1.1. Objetivo general ............................................................................... 17 2.1.2. Objetivos específicos........................................................................ 17 2.2.. Antecedentes ......................................................................................... 17. 2.2.1. Derivada: .......................................................................................... 17 2.2.2. Modelación matemática: .................................................................. 23 2.3. 3.. 4.. Justificación .......................................................................................... 26. Capítulo 3: Marco de referencia ................................................................... 27 3.1.. Educación Matemática Crítica (EMC).................................................. 27. 3.2.. Ambientes de aprendizaje ..................................................................... 27. 3.3.. Perspectiva crítica de la modelación matemática ................................. 29. Capítulo 4: Marco metodológico .................................................................. 33 4.1.. Tipo de investigación: Investigación cualitativa................................... 33. 4.2.. Técnica de investigación: Investigación Acción................................... 34. 4.3.. La espiral de ciclos de la investigación acción. .................................... 35. 4.4.. Propuesta de trabajo .............................................................................. 36. 4.4.1. Planteando la acción ......................................................................... 36.

(7) 7. 4.4.2. En la acción ...................................................................................... 45 4.4.3. Recolección de datos ........................................................................ 48 4.4.4. Análisis y reflexiones ....................................................................... 48 4.5. 5.. Capítulo 5: Análisis de la información ......................................................... 52 5.1.. Bitácora número 1: “Haciendo parte de la familia 10-01” ................... 52. 5.2.. Bitácora número 2: “Haciendo parte de la familia 10-01, parte ll” ...... 56. 5.3.. Bitácora 3: En equipo, ¿qué tan capaz eres? ......................................... 58. 5.4.. Bitácora 4: “Manos a la obra” ............................................................... 65. 5.5.. Bitácora 5: “Recolectando información” .............................................. 80. 5.6.. Bitácora 6: “Investigando y obteniendo” .............................................. 84. 5.7.. Bitácora 7: “expongamos nuestros avances” ........................................ 95. 5.8.. Bitácora 8: “Haciendo matemáticas” 03 de Abril del 2017 ................ 100. 5.9.. Bitácora 9: “Haciendo matemáticas, parte ll” ..................................... 106. 5.10.. Bitácora 10-11: “Trabajemos de nuevo: retroceder, nunca rendirse. jamás”. 6.. Categorías de análisis ............................................................................ 48. 110 5.11.. Bitácora 11-12: “Acerca de la representación algebraica” ................. 127. 5.12.. Bitácora 13: “Despedida” ................................................................... 128. 5.13.. Análisis de los resultados .................................................................... 138. Capítulo 6: Conclusiones ............................................................................ 145. Lista de referencias ............................................................................................. 149.

(8) 8. Lista de tablas Tabla 1. Ambientes de aprendizaje tomada de escenarios de investigación. (Skovsmose, 2000, pág. 10, Escenarios de investigación) ............................................................ 28 Tabla 2 Videos de contextualización y sensibilización. ................................................... 38 Tabla 3. Preguntas consumo ............................................................................................. 42 Tabla 4. Tareas en el proceso de modelación. (Barbosa, 2004, pág. 5, modelagem matemática: O que é? por quê? Como?) .................................................................. 48 Tabla 5. Relación entre los propósitos de modelado y el tipo de discusiones privilegiadas. ................................................................................................................................... 50 Tabla 6 discursos de los estudiantes ................................................................................. 71 Tabla 7finalidad de los videos .......................................................................................... 78 Tabla 8 ejemplo con gráfica ............................................................................................ 104 Tabla 9 ejemplo número dos y gráfica ........................................................................... 105.

(9) 9. Lista de ilustraciones Ilustración 1 esquema informe final ................................................................................. 46 Ilustración 2 guía de trabajo .............................................................................................. 47 Ilustración 3 Ejercicios propuestos en clase. .................................................................... 54 Ilustración 4 Sistema de ecuaciónes ................................................................................. 57 Ilustración 5 Adecuando el aula de la biblioteca. ............................................................. 66 Ilustración 6 Adecuando el aula de la biblioteca 2. .......................................................... 67 Ilustración 7. Estudiantes respondiendo pregunta. ........................................................... 69 Ilustración 8 Respuesta de una estudiante. ....................................................................... 69 Ilustración 9 Lluvia de ideas de los estudiantes. ............................................................... 70 Ilustración 10 Lluvia de ideas de los es.tudiantes 2 .......................................................... 71 Ilustración 11 Construcción de esquema narcotráfico y drogas. ...................................... 79 Ilustración 12 información Pablo Escobar ........................................................................ 82 Ilustración 13 Atentados Pablo Escobar. .......................................................................... 82 Ilustración 14 precios cocaína por kilogramo ................................................................... 85 Ilustración 15 pregunta de investigación grupo 6 ............................................................. 86 Ilustración 16 posible solución grupo 3 ............................................................................ 87 Ilustración 17Pregunta de grupo de trabajo. ..................................................................... 88 Ilustración 18 "explicación regla de tres" ......................................................................... 90 Ilustración 19 trabajo sobre la exposición ........................................................................ 92 Ilustración 20 consumidores de marihuana en Bogotá ..................................................... 93.

(10) 10. Ilustración 21 información consumo ................................................................................ 93 Ilustración 22 pregunta de investigación grupo 3 ............................................................. 93 Ilustración 23 Porcentaje de consumidores en Colombia. ................................................ 96 Ilustración 24 pregunta problema grupo cinco ................................................................. 96 Ilustración 25 pregunta y gráfica grupo cinco .................................................................. 97 Ilustración 26 gráfica producción de cocaína ................................................................. 109 Ilustración 27 trabajo final .............................................................................................. 110 Ilustración 28 Guía de trabajo ......................................................................................... 114 Ilustración 29 solución primer punto .............................................................................. 115 Ilustración 30 solución primer punto .............................................................................. 116 Ilustración 31 solución segundo punto ........................................................................... 118 Ilustración 32 complemento segundo punto ................................................................... 119 Ilustración 33 solución segundo punto ........................................................................... 120 Ilustración 34 solución tercer punto ................................................................................ 121 Ilustración 35 solución tercer punto ................................................................................ 122 Ilustración 36 solución cuarto punto ............................................................................... 123 Ilustración 37 solución cuarto punto ............................................................................... 124 Ilustración 38 gráfica quinto punto ................................................................................. 126 Ilustración 39 gráfica quinto punto ................................................................................. 127 Ilustración 40ecuación de la velocidad ........................................................................... 131 Ilustración 41gráfica razón de cambio ............................................................................ 133.

(11) 11. Ilustración 42 velocidades de producción ....................................................................... 133 Ilustración 43 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 135 Ilustración 44 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 136 Ilustración 45 soluciones a las preguntas finales estudiante 1 ........................................ 138.

(12) 12. 1. Capítulo 1: Introducción El presente documento es la presentación de un proceso de investigación desarrollado para la obtención del grado de licenciados en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas bajo la modalidad de monografía, la cual se desarrolló en la perspectiva crítica de la modelación matemática en la Institución Educativa Distrital Isabel ll de la localidad de Kennedy con estudiantes del grado décimo. La problemática abordada fue de narcotráfico y el problema de drogas en Colombia a partir de la formulación de la siguiente pregunta problematizadora y generadora del escenario de investigación: ¿Acabaremos algún día con el problema del narcotráfico y drogas en Colombia? Con esta pregunta se abordaron contenidos matemáticos como registros de representación (tabular, gráfico y algebraico), proporcionalidad, función lineal, sistemas de ecuaciónes lineales y función cuadrática con la finalidad de alcanzar la noción de derivada en su relación con la velocidad. En el segundo capítulo aparece la problematización, pregunta que guía el trabajo de investigación los objetivos y antecedentes al presente trabajo. En los antecedentes se realizó una revisión histórica de la derivada y de cómo ha sido enseñada en la escolaridad; además se hace revisión de las diferentes perspectivas en modelación matemática en especial de las características principales de la modelación matemática en su perspectiva crítica. Posteriormente se justificó el trabajo en tanto es una propuesta que no se ha visto antes desde la perspectiva mencionada..

(13) 13. En el tercer capítulo se desarrolla el marco de referencia que es la piedra angular del trabajo. Este marco lo conforma la Educación Matemática Crítica con los escenarios de investigación planteados por Skovsmose. Esta teoría y la perspectiva crítica de la modelación matemática tiene como máximo referente a Barbosa (2003, 2004, 2006, 2007). Aquí será posible identificar la importancia de estas teorías en la preocupación por formar seres humanos que no sólo sean buenos matemáticamente sino también críticos, capaces de cuestionar y transformar su realidad a partir de reconocer un protagonismo de las matemáticas como conocimiento que no es neutral. En el cuarto capítulo se desarrolla la metodología del trabajo, el cual responde a una investigación de tipo cualitativo y tiene como técnica la investigación acción basada en Stenhouse (2007), quién resalta la importancia del docente como ser capaz de cambiar la práctica de aula a partir de comprobar la viabilidad de las hipótesis que a diario surgen de la experiencia y lo relevante de la investigación como acto sustantivo, que recoge y aporta en las necesidades de todos los participantes de la investigación eliminando la idea de “conejillos de indias” en el grupo donde se aplica la misma. Se encontrará también los diferentes tipos de discurso que surgen de las experiencias de aula bajo la perspectiva crítica de la modelación matemática, los cuales se toman como categorías de análisis. Finalmente se encuentra un plan de trabajo que fue el resultado de una investigación previa realizada por los investigadores sobre el tema del narcotráfico y drogas en Colombia..

(14) 14. En el quinto capítulo se anexa la experiencia luego de la implementación del plan de trabajo, la cual fue recogida por medio de bitácoras. Luego, con base en dichas bitácoras se encuentra el respectivo análisis de lo sucedido en el aula. Finalmente aparecen los aspectos más relevantes como el resultado de la investigación realizada y que fueron sintetizados como conclusiones y reflexiones..

(15) 15. 2. Capítulo 2: Planteamiento del problema En lo que va de nuestro proceso de formación como estudiantes para profesor, hemos tenido la posibilidad de realizar prácticas pedagógicas en las cuales los estudiantes no sienten la importancia de las matemáticas como un conocimiento que además puede ser útil en su diario vivir. Somos conscientes además de que su idea de las matemáticas es la de una serie de procedimientos que deben repetirse y aplicarse porque el docente lo dice. Debido a esa falta de sentido, que los estudiantes tienen hacia las matemáticas, hemos querido pensar en una propuesta de enseñanza alternativa de las matemáticas; una propuesta que permita a los estudiantes precisamente el uso de las matemáticas para interpretar, analizar y/o juzgar su propio contexto. Junto a lo expuesto anteriormente también nos interesa que se formen como seres críticos e inquietos frente a la sociedad que los rodea y también participes de su proceso de aprendizaje. Cabe resaltar que nuestra idea al comenzar con nuestra propuesta era la de esquematizar, planear y organizar un currículo alternativo para la enseñanza de las matemáticas y por tanto diferente a las ideas que hasta el momento se han desarrollado tradicionalmente con los aportes de Luis Rico y Pedro Gómez sobre el currículo. Comenzando además, porque “la función de la investigación y del desarrollo del curriculum consiste en crear curricula cuyas conclusiones […] queden […] sometidas a evaluación por parte de profesores” aclarando que “tales curricula son medios en los que las ideas se expresan en formas que las hacen comprobables por los profesores en los laboratorios que denominamos aulas” (Stenhouse, 2007, pág. 100). Sin embargo llegamos.

(16) 16. a la conclusión de hacer una propuesta de enseñanza a nivel micro o de aula, pues desarrollar una propuesta curricular más amplia implica pensar muchas temáticas con su respectiva organización que por tiempo no iba a ser posible desarrollar. De esta manera y para desarrollar nuestra propuesta de enseñanza decidimos escoger como temática a trabajar, la derivada. El tema fue escogido bajo tres criterios principales: el primero se basa en nuestro deseo de trabajar con estudiantes de últimos años de secundaria y la creencia en poder lograr discusiones con mayor argumentación; el segundo fue el hecho de que la derivada es una de esos conocimientos matemáticos que en su enseñanza son reducidos a meras técnicas o procedimientos dejando de lado ideas construidas históricamente y aún más importante el hecho de que estas ideas hayan resultado de las relaciones existentes entre matemáticas y contextos reales, como sucede con la derivada. El tercero tiene que ver con que no existan suficientes trabajos bajo la línea que ahora asumimos sobre modelación matemática desde la perspectiva crítica con estudiantes que se encuentran en últimos años de secundaria. Por tanto, queriendo hacer que los estudiantes encuentren sentido al aprendizaje de las matemáticas y para poner en práctica las ideas que tenemos en mente es necesario plantear una pregunta que oriente nuestra investigación, la cual creemos que es: ¿Cómo ayuda una propuesta de enseñanza de la derivada que tiene como estrategia la modelación matemática desde la perspectiva crítica a hallarle sentido al aprendizaje de las matemáticas?.

(17) 17. 2.1.Objetivos 2.1.1. Objetivo general Realizar una propuesta alternativa de enseñanza de la noción de derivada, teniendo como estrategia la modelación matemática desde una perspectiva crítica. 2.1.2. Objetivos específicos Indagar el contexto de los estudiantes para determinar el escenario de investigación a generar y así poder realizar el acercamiento a la noción de derivada. Realizar una investigación previa de la problemática que permita anticipar las reacciones de los estudiantes. Trabajar desde diferentes ambientes de aprendizaje que permitan modelar y solucionar una situación crítica así como promover el ser crítico en los estudiantes. Reflexionar sobre el papel de las matemáticas en la sociedad. Realizar un análisis de los resultados obtenidos durante la experiencia.. 2.2. Antecedentes Para el desarrollo del trabajo se hace referencia a dos perspectivas, la primera tratara de la historia o génesis de la derivada en su relación con la realidad y las maneras en que comúnmente es enseñada; y una segunda perspectiva, la cual será la de la modelación matemática como estrategia de enseñanza vista desde una perspectiva crítica. 2.2.1. Derivada:.

(18) 18. Para hablar sobre el concepto derivada y observar las maneras como es enseñado se realizó una línea de búsqueda de información, empezando en textos y artículos de internet, pasando por libros de carácter científico y finalmente libros de texto. De esta manera se llega a una idea sobre el tipo de trabajo que se está realizando y cuál sería su contribución al ámbito educativo. En Moreno (2005) se realiza una exposición del desarrollo de la noción de la derivada a través de la historia, en la cual se deja un apartado para hablar de Newton, la invención del cálculo e indicar cómo Newton concebía la noción de derivada o fluxión en su relación con la realidad. A su vez se muestra cómo se ha venido enseñando el concepto desde los libros de texto y los planteamientos realizados en los programas de educación. El interés de esta propuesta es evidenciar desde la historia el camino de la epistemología y en ese sentido, presentar otras posibles epistemologías de la función derivada, que favorecen el proceso de enseñanza aprendizaje de éste, porque la epistemología usual del objeto puro no necesariamente responde a las necesidades e implicaciones de las relaciones entre el objeto a enseñar, el objeto enseñado, la cultura, los contextos de uso y demás relaciones que subyacen a su enseñanza. (Moreno, 2005, pág. 158). Desde la cita anterior se puede decir que la base fundamental del escrito es observar como a través de la historia se puede crear un enlace con la forma en que se está ensañando y como están interpretando la derivada los estudiantes. Por otra parte según Rincon (2009):.

(19) 19. Desde los griegos, se plantearon cuatro problemas fundamentales que al ser resueltos en el s XVI-XVII, dieron vida a la función derivada, fueron ellos: El de la velocidad, el de la recta tangente, el de área bajo una curva y el de máximos y mínimos. Entre los trabajos destacados en la cultura griega, respecto a los procesos de variación se encuentran los de: Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática, para quien el movimiento era imposible y consideraba que el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles. De él son famosas sus paradojas: La del movimiento, la de Aquiles, la de la flecha y la del tiempo. (Rincon, 2009, pág. 159). De lo anterior, se puede observar que el autor expone los diferentes significados y de qué y de cómo la unión de estos fue consolidando lo que hoy conocemos como el concepto derivada. En esta línea, también se señala que: Se encuentran diferencias en el rigor utilizado por los matemáticos de esta época y en ese sentido por ejemplo se destacan los trabajos de Fermat, Descartes, Galileo y de Barrow. En general los trabajos de estos matemáticos en el cálculo, antecedieron al de Newton (1643-1727) en su teoría de fluxiones y al de Leibniz (1646-1716) en la teoría infinitesimal, ambos por caminos distintos con lenguajes también diferentes lograron darle piso a lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral. (Rincon, 2009, pág. 160). Continuando con el desarrollo de la investigación sobre la historia de la derivada, se presenta una tesis de Robayo (2011) que no incluye la idea de límite y que se cree es necesaria para observarla desde todos los puntos de vista. Afirma que desde el aspecto.

(20) 20. educativo, la enseñanza del cálculo se ha convertido en uno de los problemas más transcendentes en la educación, ya que presenta varias dificultades referidas a: La concepción sobre la matemáticas del Cálculo, la mayoría de las veces esta concepción está inscrita en la tradición axiomática - deductiva prevaleciendo las representaciones formales. Convertir sus conceptos básicos, límite y derivada, en un conocimiento algorítmico desde lo algebraico.(Robayo, 2011, pág. 8). Teniendo en cuenta que para Robayo (2011), la historia de la derivada está basada fundamentalmente en; El análisis del proceso de construcción del concepto de la derivada, remite a resolver el problema histórico de hallar la tangente a una curva, en un punto dado. Como referente se toman los trabajos de Fermat, Newton y Leibniz. Fermat obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio apoyándose en el siguiente razonamiento: sif(x) es un polinomio, entonces es un polinomio en divisible por f(x + h) − f(x) es un polinomio en h divisible en h. Newton introdujo el concepto de las fluxiones lo que hoy se conoce como derivadas imponiendo así su punto de vista físico para obtener la recta tangente a una curva como el cociente entre las fluxiones. Mientras Leibniz interpreto la tangente a una curva como en dx. cociente de los infinitésimos dy. (Robayo, 2011, pág. 4). Pero el trabajo el cual quiere desarrollar es cambiar la manera de enseñar la derivada sin recurrir al concepto de límite por lo tanto según Robayo (2011):.

(21) 21. El propósito del proyecto es describir los fundamentos del desarrollo de la derivada sin la noción del límite y plantear una propuesta didáctica para la enseñanza del concepto de la derivada a partir del cociente de incrementos, dirigida a estudiantes de último año de secundaria y/o primeros semestres de educación superior con la cual se busca la apropiación y aplicación del concepto de la derivada en diversos contextos. (Robayo, 2011, pág. 7). Por lo tanto se supondría que al observar la propuesta de enseñanza del autor el estudiante podría interpretar la derivada sin utilizar el límite y esto se cumple, pero el autor recae en las técnicas que fue uno de los problemas al cual el mismo se refiere. Debido a que en la Web no es mucha la información que hable de la historia de la derivada y su relación con la educación, por lo tanto se hará referencia a un trabajo de investigación el cual articula a las ciencias económicas con el concepto. Según (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011): Dentro de las matemáticas, el cálculo diferencial juega un papel fundamental. En este caso, se abordarán algunos aspectos del cálculo diferencial y su relación con las ciencias económicas desde la evolución de la derivada en un contexto general hasta su uso en la economía, y se finalizará con algunas aplicaciones de la derivada con un enfoque didáctico en carreras universitarias vinculadas a la economía. (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011, pág. 169)..

(22) 22. En este trabajo, aunque su campo de investigación es la economía hacen mención sobre la historia del concepto casi de la misma manera que en los textos observados anteriormente, según (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011): Aunque se aparte de Newton y Leibniz, vale la pena mencionar que ya Fermat había dado algunos pasos hacia el cálculo diferencial. En los años inmediatos a 1630 desarrolló un método algebraico para encontrar máximos y mínimos, el cual comprobó en problemas sencillos de los que se tenía la solución (Grabiner, 1983). Por otra parte, cuando Kleiner (2001) se refiere al aporte que Newton y Leibinz hicieron al cálculo, resume en cuatro puntos el trabajo proporcionado por ellos. Específicamente, ellos [Newton y Leibinz] a. Inventaron los conceptos generales de derivada (‘fluxión’, ‘diferencial’) e integral. (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011, pág. 141). Y aunque se refieran a los mismos sucesos históricos, se deja clara la manera en que para la economía se debe trabajar el concepto de derivada. En los programas de cálculo para carreras de economía y afines está contemplado enseñar el concepto de la derivada de una función, 𝑓, solamente desde el punto de vista de la interpretación geométrica y de la razón de cambio, aunque el profesor tenga la libertad de modificar e innovar en el contenido de los mismos. (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011, pág. 139). En esta investigación cambia la manera que se refieren a la derivada, debido a su campo de trabajo es la economía; se refieren a esta como:.

(23) 23. El análisis marginal es el nombre técnico con el que se conoce al cálculo diferencial dentro de las ciencias económicas. El desarrollo histórico de la economía matemática se puede dividir en tres periodos: marginalista (1838-1947), el de los modelos lineales y la teoría de conjuntos (1948- 1960) y el de integración (1961 hasta nuestros días) (Arrow e Intriligator, 1981). (Garcia, Moreno , Badillo, & Azcarate, 2011, pág. 150). Lo que queda claro con este primer momento de recolección de información acerca del concepto derivada, es que esta puede tener diferentes usos en las distintas ciencias, y otras áreas de conocimiento en el que su uso es necesario, pero no solo se encontraron investigaciones en las cuales el concepto derivada es importante. Se indagaron libros de texto y libros científicos donde se hablara del concepto. Real Academia de Ciencias Exactas (2001), Norma (1999), Atlas de Matemáticas (1995) y Las Matematicas (1978) en cada uno de estos textos el resultado obtenido fue que se utiliza la historia de la misma manera, es decir que se refieren a que el concepto de derivada surge desde Newton y Leibniz. También se realiza un recorrido por todo lo que fue y como se llegó al concepto actual, sin dar importancia a la génesis del concepto, pero además sucede lo mismo en cada uno de los trabajos mencionados, la parte a la que más importancia se le da, es a las técnicas de derivación y a su explicación. 2.2.2. Modelación matemática: De los más de 50 trabajos encontrados en relación con la modelación matemática tan sólo 16 de ellos se refieren a la modelación matemática desde la perspectiva crítica..

(24) 24. Dentro de estos trabajos de grado, artículos de revistas y/o ponencias de eventos, la mayor parte, son investigaciones y aportes de experiencias de aula sobre modelación matemática desde la perspectiva socio-crítica, algunas de las cuales fueron realizadas en ciudades colombianas como se evidencia en Camelo, García, & Martínez (2013), Bustos Motavita, Bustos Motavita, & Novoa Parra (2013), Gutierrez Rodriguez & Rodriguez Moreno (2015), Parra Zapata, Parra Zapata, Ocampo Arenas, & Villa Ochoa (2016) y otras. En el país brasileño como en el caso de Cerqueira Barbosa (2006) con su artículo Mathematical Modelling in classroom: a socio-critical and discursive perspective. Cabe agregar aquí, que en las diversas experiencias de aula a las que nos referimos, se trabajaron temas o contenidos matemáticos que surgieron “espontáneamente” en el proceso de modelación, pero en dependencia de los escenarios investigados y los respectivos ambientes de aprendizaje asociados. De Dichos contenidos matemáticos, ninguno esta en relación con el objeto matemático Derivada. Por ejemplo en Bustos Motavita, Bustos Motavita, & Novoa Parra (2013) se encuentra un trabajo de investigación que sigue una metodología de investigación-Acción con estudiantes de grado noveno y en el cual se desarrollaron ambientes de aprendizaje para la enseñanza de la función lineal basados en la noción de escenarios de investigación planteada por Skovsmose (2000). Dado que el trabajo está en relación con la modelación matemática también se encontraron trabajos de De Loiola Araújo (2009), Blomhoj (2009), Kaiser & Sriraman (2006) y Villa Ochoa (2013) quienes presentan aportes en relación con la teoría de la.

(25) 25. modelación matemática y sus diferentes perspectivas, dentro de las cuales se encuentra la socio-crítica, epistemológica, realística y cognitiva. Dicho lo anterior, es necesario aclarar cómo podríamos juzgar lo que se conoce como modelación matemática y para ello empezamos por definir modelo matemático. De acuerdo con Barbosa y Alves Dos Santos (2007), “entendemos por modelo matemático cualquier representación matemática de un fenómeno elegido para estudiar”. (Barbosa & Alves Dos Santos, 2007, pág. 3). Siendo así, en correspondencia con Caldeira (2007) se entiende la modelación matemática “como un proceso de obtención y validación de un conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que representan un objeto de estudio”. (De Loiola Araújo, 2009, pág. 60). De esta manera el abordaje o perspectiva socio crítico de la modelación matemática “se refiere a dimensiones socio-culturales de las matemáticas, las cuales están cercanamente asociadas con la etnomatemática”, además que “ésta perspectiva enfatiza el rol de las matemáticas en la sociedad y pretende la necesidad de apoyar el pensamiento crítico sobre el rol de las matemáticas en la sociedad, sobre el rol de y la naturaleza de los modelos matemáticos y la función de la modelación matemática en la sociedad”. (Kaiser & Sriraman, 2006, pág. 306). Así también dicha perspectiva “enfatiza el pensamiento crítico en los estudiantes como meta de enseñanza {y declara que} es indispensable las discusiones reflexivas entre los estudiantes dentro del proceso de modelación”. (Kaiser & Sriraman, 2006, pág. 306)..

(26) 26. 2.3. Justificación Teniendo en cuenta los resultados de la búsqueda e indagación en los antecedentes, y al no identificarse un trabajo que asumiera la enseñanza de la derivada mas allá de la utilización de técnicas, se asumió el enfoque de la modelación matemática desde una perspectiva crítica como eje principal. En este sentido se asumió que es posible realizar un trabajo monográfico, basándose en la metodología de la investigación acción que permitiera dar un sentido distinto al concepto matemático de derivada. Esta propuesta partió de la creación y posterior implementación de una situación problema relacionada con el narcotráfico, dado que el contexto cercano al colegio en donde se implementaron los ambientes de aprendizaje, está permeado por esta problemática. El fin último era que los estudiantes tuvieran un primer acercamiento al concepto de derivada para que lo pudieran relacionar con su propia realidad y lograran llegar a una idea, que por básica que fuera, posteriormente iba a ser complejizada y como se mencionó anteriormente, iba más allá de la utilización de técnicas para pasar a conexiones con la realidad..

(27) 27. 3. Capítulo 3: Marco de referencia A continuación se describirán los aspectos más relevantes de cada una de las teorías que permiten que las ideas son materializadas como los son:. 3.1.Educación Matemática Crítica (EMC) Inicialmente se aclaran dos conceptos básicos que aparecen en la EMC como lo son crítica y ciudadanos críticos: Crítica se refiere tanto a la actividad de juzgar y de salir de un dilema, como a las connotaciones del término que provienen de la acepción de análisis, evaluación juicio y valoración, y como a los significados derivados de la idea de acción. (Skovsmose, 1999, pág. 16). Además se desarrolla un nuevo significado en relación con el ser crítico, entendido como “prestarle atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar frente a ella”. (Skovsmose, 1999, pág. 16). Este autor resalta que la situación crítica a la que se le presta atención debe ser preferiblemente de carácter social, ecológico, cultural o político.. 3.2.Ambientes de aprendizaje Se entiende por escenario de investigación como la invitación que un docente realiza a sus estudiantes, ya sea a través de preguntas o explicaciones con la claridad que el estudiante tiene que aceptar dicha invitación. Según Skovsmose, (2000), “cuando los.

(28) 28. estudiantes se apropian del proceso de exploración y explicación de esta manera, se constituye un escenario de investigación que, a su vez genera un nuevo ambiente de aprendizaje”. (Skovsmose, 2000, pág. 8). Reconociendo la importancia de detectar las situaciones o los escenarios de investigación así como de determinar los ambientes de aprendizaje emergentes, que permitan movilizar el conocimiento de los estudiantes, inicialmente tenemos en cuanta la clasificación de los diferentes ambientes de aprendizaje que se pueden presentar según Skovsmose (2000): Tabla 1. Ambientes de aprendizaje tomada de escenarios de investigación. (Skovsmose, 2000, pág. 10, Escenarios de investigación). de. Matemáticas puras. Tipos referencia. Formas de organización de la actividad de los estudiantes Paradigma del Escenarios de ejercicio investigación (1) (2). Semirrealidad. (3). (4). Situaciones de la vida real. (5). (6). El ambiente de aprendizaje de tipo 1 está en un contexto de “matemáticas puras” a diferencia del de tipo 2 cuyo escenario de investigación se sitúa en las matemáticas. Respecto al ambiente tipo 3 se trata de un ejercicio dentro de un contexto semirreal, es decir la situación es “artificial” o ficticia y aunque en apariencia puede ser real, los datos no son propiamente reales. A lo anterior se agrega que tampoco es de interés para la persona.

(29) 29. que propuso el ejercicio, una investigación empírica de lo planteado, como puede que sí se de en un ambiente de tipo 4 a partir de que los estudiantes “exploren” y “expliquen”. El ambiente de aprendizaje de tipo 5 puede referirse a ejercicios basados en situaciones de la vida real y el dé tipo 6 es un escenario netamente de investigación y “con un grado mayor de realidad que lo involucrado” en un escenario de tipo 4; por lo que es donde se halla sentido al aprendizaje de las matemáticas. Además se agrega sobre este último escenario, que “el profesor adquiere el papel de un supervisor y pueden surgir discusiones enfocadas en la indagación. […] La reflexión crítica sobre las matemáticas y sobre el modelaje matemático adquiere un nuevo significado”. (Skovsmose, 2000, pág. 15). Se agrega como algo importante el hecho de que, aunque en la perspectiva de la educación matemática crítica el escenario de tipo 6 es el que más relevancia tiene, esto no implica que dentro del desarrollo de una situación crítica el único escenario de aprendizaje a trabajar o en el que debamos ubicarnos sea éste, sino que también se puede transitar entre los diferentes tipos de ambientes de aprendizaje como resultado del trabajo en un determinado escenario de investigación.. 3.3.Perspectiva crítica de la modelación matemática Para empezar, resulta importante hacer referencia a Giroux (1989) por considerar que “la educación debe defenderse como un servicio público que educa a los estudiantes.

(30) 30. para ser ciudadanos críticos que puedan pensar, cuestionar, tomar riesgos y creer que sus acciones pueden transformar la sociedad en general”. (Skovsmose, 1999, pág. 46). De esta manera y bajo la finalidad de formar seres críticos y conscientes de sus propios procesos de aprendizaje en el aula de matemáticas, las matemáticas dejan de ser un fin último para convertirse en el medio que permita realizar análisis, juzgar y reaccionar frente a la sociedad que nos rodea. (Cerqueira Barbosa, 2003, pág. 6). Bajo esta perspectiva crítica de la educación matemática encontramos la modelación matemática como el proceso que permita a los estudiantes “reflexionar sobre el papel de las matemáticas en la sociedad” (Cerqueira Barbosa, 2003, pág. 6), el cual es otro de los objetivos planteados. Así, por una parte el estudiante comprenderá que hay un vínculo entre las matemáticas y la realidad y por otro lado, que “los modelos matemáticos no son descripciones neutrales sobre una realidad independiente” (Barbosa, 2006, pág. 2), sino que son de utilidad en la toma de decisiones, las cuales responden a la intención del sujeto. Respecto a ésta perspectiva se debe aclarar lo que se entenderá por modelo y modelación, de acuerdo con Barbosa (2007) “entendemos por modelo matemático cualquier representación matemática de un fenómeno elegido para estudiar”. (Barbosa & Alves Dos Santos, 2007, pág. 3). Siendo así, en correspondencia con Caldeira (2007) se entiende la modelación matemática “como un proceso de obtención y validación de un conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que representan un objeto de estudio”. (De Loiola Araújo, 2009, pág. 60)..

(31) 31. Barbosa (2006) destaca que las actividades de modelación deben cumplir dos características principales: . La actividad tiene que ser un problema (no un ejercicio) para los estudiantes.. . La actividad tiene que ser extraída de cada día u otras ciencias que no son las matemáticas puras. (Barbosa, 2006, pág. 2). De esta manera “Los estudiantes son invitados a tomar un problema e investigar éste con referencia a la realidad por las matemáticas” (Barbosa, 2006, pág. 2) y en tanto es así llevará al estudiante a hacer interpretaciones de su entorno y representaciones mentales internas que incluso podrá exteriorizar por medio de lo que se conoce como modelos o representaciones mentales externas a través de pinturas, fotografías, objetos, etc. En el mismo sentido que lo plantea Salett Biembengut (2009): Cada sensación, o percepción, que se tiene del medio, va a generar en la mente imaginación e ideas, que a partir de la comprensión y del entendimiento, pueden transformarse en significado, modelo, y por tanto conocimiento. Conocimiento que permite formar imágenes y conceptos; crear objetos; dar una forma, el color, o sentido al mundo en que se vive. En otras palabras, una vez comprendidas y explicadas las percepciones o informaciones, la mente humana busca traducirlas o representarlas por medio de símbolos y/o modelos. Esas representaciones mentales pueden ser internas o externas. (Salett Biembengut, 2009, págs. 18-19)..

(32) 32. En este sentido hacer un modelo es hacer una representación externa de un fenómeno y en el proceso de obtención del modelo se pueden identificar las tres fases del proceso cognitivo: percepción, comprensión, significado-modelo. (Salett Biembengut, 2009, pág. 21).

(33) 33. 4. Capítulo 4: Marco metodológico. 4.1.Tipo de investigación: Investigación cualitativa. La presente metodología responde a una investigación cualitativa que según Taylor y Bodgan (1987) citados por Colmenares & Piñero (2008) “se refiere en su más amplio sentido a la investigación que produce datos descriptivos: las propias palabras de las personas, habladas y escritas y la conducta observable” (Colmenares & Piñero, 2008, pág. 98). Según la definición anterior la investigación realizada se considera cualitativa, pues se produjeron datos descriptivos e impresiones, tanto de estudiantes como de profesores, las cuales fueron palabras habladas y escritas recolectados por medio de algunos instrumentos. Así, para recoger los datos suficientes que permitieran sistematizar y realizar un análisis autocrítico de la presente propuesta, se tuvieron en cuenta algunos de los siguientes instrumentos de investigación que mencionan (Colmenares & Piñero, 2008): los registros anecdóticos, notas de campo, observadores externos, registros en audio, video y fotográficos, descripciones ecológicas del comportamiento, entrevistas, cuestionarios, pruebas de rendimiento de los alumnos, técnicas sociométricas, pruebas documentales, diarios, relatos autobiográficos, escritos de ficción, estudio de casos, grupos focales de discusión, testimonios focalizados, círculos de reflexión, entre otros. (Colmenares & Piñero, 2008, pág. 107).

(34) 34. 4.2. Técnica de investigación: Investigación Acción La investigación en la acción formulada por RAPOPORT “pretende contribuir tanto a los intereses prácticos de una situación inmediata y problemática como a los objetivos de la ciencia social, integrando una colaboración dentro de un marco ético mutuamente aceptable” (Stenhouse, 2007, pág. 88). La anterior es una definición que recae sobre la investigación de cualquier ciencia social pero que para Stenhouse (2007) es muy general para ser aplicada, tal cual fue definida, en educación y por tanto, es quien se aventura en un acto de redefinición de la investigación en la acción. Sin embargo para entender la definición que ahora propone Stenhouse es necesario especificar lo que él entiende por acto sustantivo en vista de que es un término al que él se refiere en la nueva definición. Menciona entonces que “un acto sustantivo se halla justificado por algún cambio en el mundo o en otras personas que se juzgue como deseable” (Stenhouse, 2007, pág. 88) lo que hace que sea diferente a hablar de acto investigativo en tanto éste último se limita a indagar nada más. Por tanto y para completar la idea Stenhouse dice que “en educación los actos sustantivos se hallan concebidos para ayudar a las personas a aprender” (Stenhouse, 2007, pág. 88). Bajo esta claridad Stenhouse define: La investigación en la acción es el tipo de investigación en la que el acto investigador es necesariamente un acto sustantivo; es decir, el acto de averiguar tiene que ser.

(35) 35. acometido con una obligación de beneficiar a otros que no pertenezcan a la comunidad investigadora. Esto es lo que señalamos cuando decimos que los niños no deben ser empleados como conejillos de indias. (Stenhouse, 2007, pág. 88) La investigación acción no es para el beneficio particular del investigador y para sacar provecho de las demás personas en favor de una ciencia, sino para el beneficio general de todos los que están involucrados en el acto investigador. “Pero incumbe al profesor la misión de decidir y asumir la responsabilidad del proceso educativo en la clase. Afirmo que bajo ninguna circunstancia puede abandonar esta misión en manos de un investigador” (Stenhouse, 2007, pág. 89). “La fuerza de la investigación en la acción en el curriculum y en la enseñanza reside en el hecho de que su utilización no depende de que los profesores acepten sus hipótesis, sino de que las comprueben” (Stenhouse, 2007, pág. 90).. 4.3. La espiral de ciclos de la investigación acción. En el siguiente apartado se hará referencia a la espiral de ciclos en la investigación acción, los cuales constituyen un “marco metodológico que sugiere la realización de una serie de acciones que debe desarrollar el profesorado como profesionales de la educación” (Murillo. F, 2011, pág. 12), que de manera breve está constituido por las siguientes fases: Planificar, actuar, observar y reflexionar. Específicamente Murillo, F (2011) menciona que en la espiral de la investigación acción, el grupo:.

(36) 36.  Desarrolla un plan de acción informada críticamente para mejorar la práctica actual. El plan debe ser flexible, de modo que permita la adaptación a efectos imprevistos..  Actúa para implementar el plan, que debe ser deliberado y controlado.  Observa la acción para recoger evidencias que permitan evaluarla. La observación debe planificarse, y llevar un diario para registrar los propósitos. El proceso de la acción y sus efectos deben observarse y controlarse individual o colectivamente..  Reflexiona sobre la acción registrada durante la observación, ayudada por la discusión entre los miembros del grupo. La reflexión del grupo puede conducir a la reconstrucción del significado de la situación social y proveer la base para una nueva planificación y continuar otro ciclo. (Murillo. F, 2011, pág. 12).. 4.4.Propuesta de trabajo Respetando el marco referencial y metodológico ya mencionados, se diseñó el siguiente plan de acción, posterior a una previa investigación de la temática a tratar por parte de los docentes. Para este plan, se tomara como guía metodológica la espiral de la investigación acción para referirse a cada momento de la implementación. 4.4.1. Planteando la acción A continuación se describe el plan de tareas a desarrollar en el proceso de modelaje. a) Presentación y Reconocimiento:.

(37) 37. Se destinará una primera sesión para realizar un reconocimiento de la población con la que se investigará, de tal manera que inicialmente los profesores que van a dirigir la investigación, se presentaron a sí mismos y su idea de trabajo para posteriormente sostener un diálogo con el grupo de trabajo, realizar dinámicas de grupo y así poder “conocerlos”. En esta misma sesión se realizó unas actividades que permitan crear un ambiente de confianza e integración pero a su vez construir normas de clase como el trabajo en equipo y el respeto. Las actividades planteadas estarán organizadas de la siguiente manera:. b) Ubicación, contextualización y Sensibilización: Se dedicará una sesión para generar el escenario de investigación, que en esta oportunidad abordará el problema de drogas y narcotráfico en Colombia. Para conseguir dicho objetivo se tendrá en cuenta algunos medios como el uso de vídeos y diálogos.

(38) 38. reflexivos con el grupo de trabajo, para saber no solo su perspectiva sobre el tema si no también su conocimiento acerca de este. De esta manera la sesión estará distribuida así; se iniciará con una serie de preguntas que permitirá al grupo de trabajo dar sus diferentes puntos de vista: ¿Qué creen ustedes que es el narcotráfico? ¿Qué saben ustedes acerca del narcotráfico? ¿Creen que el narcotráfico los ha afectado a ustedes o a sus familias? ¿Esta problemática es visible en su entorno y comunidades? Luego de las preguntas y la discusión generada se dará paso a la presentación de algunos videos que se clasificaron según la finalidad de su contenido, es decir, contextualizar o sensibilizar. Tabla 2 Videos de contextualización y sensibilización. FINALIDAD. VIDEOS. Contextualizar. https://www.youtube.com/watch?v=zfrqyYaGlJc https://www.youtube.com/watch?v=YBJfpiwNMvY https://www.youtube.com/watch?v=ZQ9EX6htn3Y https://www.youtube.com/watch?v=-0Qqpadz978. Sensibilizar. https://www.youtube.com/watch?v=SXubaYDu0oY&t=1s. Una vez que se discuten las preguntas y se observen los vídeos, se realiza una reflexión alrededor de los videos y las preguntas introductorias, agregando las siguientes preguntas: ¿Qué piensan ahora de la problemática?.

(39) 39. ¿Qué les impactó? ¿Qué les molesta? ¿Creen que el problema del narcotráfico algún día terminará? ¿Qué podríamos hacer? Antes de finalizar esta sesión, se espera plantear algunas preguntas a modo de invitación para realizar una investigación más profunda, por lo cual se espera que sean el preámbulo para organizar grupos de trabajo por temas en la siguiente sesión. Las preguntas formuladas por los docentes serán, qué les inquieta y les interesaría investigar para poder responder a la pregunta ¿podremos librarnos del problema de narcotráfico y drogas? aclarando que en la medida de lo posible deben traer preguntas para la siguiente clase e información consultada. Así las cosas, el grupo de trabajo tendrá hasta la siguiente sesión para decidir a qué quisieran responder sobre ésta problemática, teniendo como claridad que será la anterior pregunta la cual los va a guiar en todo el proceso. Por otro lado el problema de la droga en Colombia y el narcotráfico puede ser abordado desde tres factores, la producción, comercialización y el consumo. De esta manera, para cada uno de éstos es posible generar escenarios de investigación en donde se transite además por los tres tipos de ambientes de aprendizaje que responden al paradigma de investigación planteados por Skovsmose (2000). Se aclara que los subgrupos de trabajo podrían clasificarse a partir de tener en cuenta si su interés está en lo que respecta a producción, comercialización y/o consumo, lo.

(40) 40. que no quiere decir que vayamos a tener sólo tres subgrupos de investigación, dado que se podrían tener dos grupos de trabajo para investigar sobre la producción, así como tampoco se está diciendo que quienes investiguen respecto al consumo de drogas no van a estar informados de lo que se está investigando y avanzando en el subgrupo de producción de drogas ilícitas. Bajo estas claridades, se pensó que para determinar los escenarios de investigación según cada factor (producción, comercialización y consumo) podrían surgir preguntas como las siguientes, según fuera el factor que escogiera cada grupo, haciendo una claridad, estas preguntas no serían formuladas necesariamente por los docentes a los estudiantes, ya que se esperaría que estos últimos lleguen a formular preguntas como estas espontáneamente. Producción: ¿Cuáles son las drogas ilícitas más producidas en Colombia? ¿Cuál es el comportamiento de los cultivos de dichas drogas desde el comienzo del milenio en Colombia? ¿Cuántos Kg de dichas drogas se obtienen por cada hectárea cultivada? ¿Cuál sería entonces el comportamiento de la cantidad de droga producida desde el comienzo del milenio?.

(41) 41. Observatorio de drogas Colombia pagina 59 2016 reporte de drogas Colombia (Dado que aún no se tienen datos de los cultivos para el 2016) Si el comportamiento desde el 2013 continuó igual ¿Cuál fue la cantidad de hectáreas cultivadas para el 2016? ¿Cuál es la cantidad de hectáreas cultivadas al día de hoy (2017)? ¿Cuánto terreno es cultivado por día en Colombia? ¿Todos los días se cultiva la misma cantidad? Suponiendo que la velocidad con la que se cultiva por día por los próximos años se mantiene a partir del 1 de abril del presente año con la velocidad que se cultive en ese día ¿Para cuándo el área de Colombia estaría totalmente cultivada? ¿Qué tan alarmante resulta entonces dejar que se cultive como se viene haciendo desde 2013? ¿Qué se está haciendo para combatir dicho problema y qué opinas al respecto?.

(42) 42. ¿Podrías proponer otra estrategia? Comercialización: Si por cada gramo de cocaína al cultivador le pagan 1700 pesos, con una hectárea de coca cultivada ¿Cuánto dinero podría ganar el cultivador? (sabiendo que de toda la hectárea se toma únicamente las hojas de la planta de coca) Si por cada gramo de cocaína al narcotraficante le pagan el doble que al cultivador, se podría saber ¿cuánto dinero gana por hectárea?. Cicad informe de drogas 2013 página 10 Según la gráfica anterior, ¿Colombia es realmente el país que más produce cocaína de Suramérica? y si esto es verdad podría se podría determinar ¿cuánto dinero obtiene tanto un cultivador como un narcotraficante con los cultivos de cocaína en estos diez años? Consumo: En cuanto a este factor se puede hacer un abordaje a nivel macro (Bogotá) y micro (cuerpo humano), veamos: Tabla 3. Preguntas consumo.

(43) 43. Ambiente tipo 6 A NIVEL MICRO . . ¿Cuánto demoran estas para salir del cuerpo? ¿En qué momento se da su máximo efecto después de consumido?. A NIVEL MACRO  . . ¿Cuáles son las drogas más consumidas en Bogotá? ¿Cómo ha variado la población de consumidores de dichas sustancias en Bogotá desde el comienzo del milenio? ¿cuáles son los efectos de cada una de éstas?. Ambiente tipo 4 y 2 (Las. siguientes. preguntas. también. podrían. plantearse en términos de la población escolar) .   . . Suponiendo que el comportamiento se mantiene ¿cuál fue la cantidad de consumidores en 2016 y cuál es la cantidad al día de hoy (2017)? ¿cuál es la tasa de aumento de consumidores por día en Bogotá (o población escolar)? ¿la tasa de aumento de consumidores por día es la misma para todos los días? Si no se toman las medidas preventivas adecuadas para hacer que el comportamiento que se viene presentando en los últimos años cambie ¿Cuando la totalidad de la población consumidora será la misma que la bogotana (o la misma que la población escolar)? ¿Qué tan alarmante es ésto y qué propones que debería hacerse para combatir dicho problema?.

(44) 44. c) Recolección de información: Se pide que se organicen en grupos, preferiblemente no mayor a 5 personas. Cada docente pasa por los grupos para charlar sobre la información consultada, las inquietudes e interés de investigación. Durante este ejercicio y dependiendo los intereses de los estudiantes los docentes invitarán a cada grupo a que formule una pregunta de investigación. Posteriormente los docentes pasarán de nuevo por cada grupo intentando analizar la viabilidad de la pregunta, ya que podría ser o muy general o tan sencilla que no requiera de una investigación como tal. Una vez que ya se tengan las preguntas de investigación se pedirá un plan de acción a cada grupo para abordar y responder a la pregunta. d) Proceso de Modelaje . Producción de modelos:. Uso de los conocimientos matemáticas en relación con la información recolectada desde diferentes fuentes para generar modelos matemáticos. . Validación de modelos. Generar discusiones respecto a la precisión y credibilidad de los modelos generados. ¿qué tan precisos o acertados son éstos?.Este trabajo contribuirá al desarrollo del pensamiento crítico en los integrantes del grupo de trabajo. . Profundización: De acuerdo con los modelos social y colectivamente ya revisados y aceptados por. los grupos de trabajo:.

(45) 45. Realizar una interpretación social de los modelos para abordar de nuevo la pregunta inicial y de esta manera poder responder también a ¿qué factores asociados (del contexto social) están también ligados a la variación (percibida en el contexto matemático)? Ejemplo: si en determinado momento la gráfica tiene un comportamiento constante y luego el gráfico presenta un decrecimiento ¿qué interpretación social estaría ligado a la variación en el comportamiento del gráfico realizado? e) Socialización y conclusiones: Podríamos realizar preguntas para debatir sobre el papel de las matemáticas en la sociedad y lo aprendido tanto del trabajo realizado en el contexto matemático como el social. f) Informe Final: Recolección e integración en un sólo informe del trabajo de cada subgrupo de interés común donde se anexen las conclusiones finales se responda a la pregunta inicial y se dejen ver a manera de conclusión todos los aprendizajes, gustos y disgustos del grupo de trabajo (Balance de los alcances de la propuesta de trabajo tanto en la parte emocional como cognitiva) 4.4.2. En la acción Después del planteamiento e implementación de cada momento del plan de acción, se pudo concluir sobre varios aspectos que no salieron como se esperaban, uno de estos aspectos está relacionado con el momento en el cual los estudiantes debían realizar una pregunta de investigación que contribuyera a responder a la situación problema de la investigación. En este punto se vio como los estudiantes por salir del paso creaban.

(46) 46. preguntas que no contribuían al proceso y no tenían relación alguna con las matemáticas; además de esto, se presentó una situación con un estudiante, la cual entorpeció el desarrollo de la propuesta (bitácora 10-11), por lo tanto se tuvo que hacer un cambio a lo planeado, desarrollando una guía, la cual estaba basada en los procesos de investigación hechos por los estudiantes, esto se obtuvo a partir de un informe final que cada grupo debía entregar respondiendo a un esquema de trabajo propuesto por los docentes. A continuación se mostrara el esquema del trabajo que debían presentar los estudiantes y la guía posterior propuesta por los docentes.. Ilustración 1 esquema informe final Estructura trabajo final      . Portada Índice Información general (narcotráfico) Reflexión sobre la información general y videos presentados en clase Preguntas sobre la información general (solución a estas preguntas) Posible pregunta de investigación.

(47) 47.        . Reflexión sobre si sirvió o no la pregunta y porque Preguntas especificas Reflexión sobre las preguntas especificas Pregunta especifica Respuesta a la pregunta especifica Reflexión sobre la respuesta Como ayuda esta respuesta a la pregunta general del curso Bibliografía. Ilustración 2 guía de trabajo.

(48) 48. 4.4.3. Recolección de datos Para este apartado se realizaron 13 “Bitácoras”, las cuales cuentan con la información más relevante de cada clase. Para la creación de estas se siguió un formato, el cual contaba con: título de la bitácora, numero de la bitácora, fecha, descripción de la clase, recolección de información escrita por parte de los estudiantes, transcripción de audios (en algunos casos) e imágenes de apoyo de ser necesario. 4.4.4. Análisis y reflexiones Se desarrolló esta fase con apoyo de las bitácoras y las muestras tomadas por los diferentes instrumentos de recolección de información. Además se tendrán en cuanta los tipos de discurso que se mencionarán a continuación para realizar el respectivo análisis.. 4.5.Categorías de análisis En lo que respecta a la implementación de la propuesta Barbosa (2004), expone tres casos para la comprensión de modelos en el proceso de modelación los cuales se diferencian teniendo en cuenta los sujetos que intervienen en lo que se llamará tareas dentro del proceso. Tabla 4. Tareas en el proceso de modelación. (Barbosa, 2004, pág. 5, modelagem matemática: O que é? por quê? Como?) Caso 1. Caso 2. Caso 3. CASOS TAREAS Formulación del Problema Simplificación Recolección de Datos Solución. Profesor Profesor Profesor Profesor /Alumno. Profesor. Profesor /Alumno. Profesor/Alumno Profesor /Alumno Profesor /Alumno. Profesor /Alumno Profesor /Alumno Profesor /Alumno.

(49) 49. Se tiene en cuenta también Biembengut (1997), que ayuda a especificar cada una de las tareas que menciona Barbosa (2004) dentro del proceso de modelación, dicho autor menciona que representar una situación real matemáticamente tiene unas sub-etapas o fases dentro otras ya mencionadas. Si bien dichas etapas no son expresadas de la misma manera que lo hace Barbosa (2004) con las tareas, sí sirven de complemento. Según Biembengut (1997): 1a) Interacción con el asunto: (i) Reconocimiento de la situación problema (ii)Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación. 2a) Construcción matemática (i)Formulación del problema-hipótesis (ii)Resolución del problema en términos del modelo. 3a) Modelo matemático (i) interpretación de la solución-convalidación. (Biembengut, 1997, pág. 2-3) Respecto a las interacciones en el aula Barbosa (2008) “inspirado en Skovsmose propone las nociones de discusiones matemáticas, discusiones técnicas y discusiones reflexivas, como parte de las rutas de modelado, definido en los siguientes términos”: . Las discusiones matemáticas se refieren a conceptos y procedimientos de la disciplina matemática pura..

(50) 50. . Respecto a las discusiones técnicas se refieren a la transformación del fenómeno elegido para estudiar en términos matemáticos.. . Las discusiones reflexivas se refieren a la naturaleza de los modelos matemáticos y la influencia de los criterios utilizados en sus resultados. (Barbosa, 2008, pág. 50). En otra definición Barbosa (2006) menciona que: Las discusiones matemáticas se refieren a los conceptos y las ideas integralmente pertenecientes a la disciplina matemática. Las discusiones técnicas al proceso de matematizacion de la situación en estudio. A su vez, las discusiones reflexivas se refieren a la conexión entre los presupuestos utilizados en la construcción del modelo matemático y los resultados, bien como la utilización de esos últimos en la sociedad. (Barbosa, 2006, pág. 165). A continuación se agregara una tabla en donde se especifica la relación entre los propósitos de modelado y los tipos de discusión privilegiada. Tabla 5. Relación entre los propósitos de modelado y el tipo de discusiones privilegiadas. Propósito de modelado. Tipos de discusiones privilegiadas. Desarrollar conceptos/ideas matemáticas Desarrollar habilidades de resolución de problemas matemáticos aplicados Analizar la naturaleza de los modelos matemáticos. Matemáticos Técnicos Reflexivos. Barbosa, 2006, pág. 169, La práctica de los alumnos en el ambiente de la modelación matemática: un esbozo de un FRAMEWORK.

(51) 51. En la tabla anterior se aclara que “la idea de privilegiar no implica la eliminación de las otras discusiones, más nos recuerda que el tipo de discusión enfatizada y legitimada en el contexto del aula acaba por constituir perspectivas más generales sobre el modelado”. (Barbosa, 2006, pág. 169). Sin embargo Barbosa también identifica otro tipo de discusiones de los alumnos que no hacen parte de las anteriormente mencionadas, a dichas discusiones las llama paralelas, “ellas se refiere a aquellas que ocurren en espacios de interacción mas no pertenecen a las rutas de modelado”. (Barbosa, 2008, pág. 55). Por otro lado Barbosa (2006) menciona que los discursos paralelos: Se refiere a aspectos del contexto social del que fue extraída la situación problema. Otra posibilidad conforme a lo observado… son discursos versando sobre ideas o procedimientos matemáticos, pero que no tuvieran una clara participación en el abordaje de la situación problema. (Barbosa, 2006, 170). Con las anteriores categorías de análisis se revisará cada evidencia para realizar una clasificación de la información recolectada, donde se identificó específicamente, si los discursos presentados durante las sesiones fueron de tipo matemático, técnico o tecnológico, reflexivo o en su defecto paralelo. Para diferenciar cada uno de los tipos de discursos se utilizan los colores amarillo, azul turquesa, rojo y verde biche respectivamente. Una vez sean diferenciados se agruparán por color y finalmente se presentarán las conclusiones..