Resistência dos
Materiais 2
PROF.: KAIO DUTRA
Estado Plano de Deformações
◦O estado geral das deformações em
determinado ponto de um corpo é
representado pela combinação de três componentes de deformação normal e três
componentes de deformação por
cisalhamento.
Estado Plano de Deformações
◦Para compreender o estado geral de deformações, primeiramente vamos fixar nossa atenção no estudo do estado plano de deformações. Neste caso, um elemento encontra-se submetido a dois componentes de deformação normal e a um componente de deformação por cisalhamento.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Para desenvolver as equações de transformação das deformações devemos estabelecer uma convenção de sinal para tais deformações.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦A fim de desenvolver a equação de transformação de deformação para
determinar as deformações em
orientações específicas, deveremos determinar de cada segmento de reta dx’,
localizado ao longo do eixo x’.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Quando ocorre a deformação normal positiva ɛx, a reta dx é alongada ɛxdx, que provoca o alongamento ɛxdxcosθ na reta
dx’.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Da mesma maneira, ocorre em ɛy.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Supondo que dx permaneça fixa, a deformação por cisalhamento que consiste na mudança de ângulo entre dx e dy, provoca o deslocamento
ϒxydy para a direita do topo da linha dy. Essa condição provoca o alongamento
ϒxydycosθ de dx’.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Somando os três alongamentos, o alongamento resultante de dx’
será, então:
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦A equação de transformação da deformação para determinar ϒx’y’ é desenvolvida considerando-se a intensidade da rotação que cada segmento de reta dx e dy sofre quando submetido aos componentes da deformação ɛx, ɛy, ϒxy. E pode ser apresentada como:
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever as equações sob a forma final:
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Como na tensão, é possível obter as deformações normais principais, utilizando as seguintes expressões:
◦Para deformações normais principais, assim como nas tensões, a deformação de cisalhamento é nula.
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
◦Para a deformação de cisalhamento principal temos a expressão:
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.1
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.1
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.1
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.2
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.2
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.2
Equações Gerais de Transformação para o
Estado Plano de Deformação
Exemplo 10.2
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de
Deformações
◦Como as equações de transformação para o estado plano de deformações são matematicamente semelhantes às equações de transformação para o estado plano de tensões, também é possível resolver os problemas utilizando o círculo de Morh.
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Deformações
Exemplo 10.4
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Deformações
Exemplo 10.4
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Deformações
Exemplo 10.4
Rosetas
◦A deformação normal de um elemento
pode ser medido usando-se um
extensômetro de resistência elétrica, que consiste de uma malha de filamentos.
◦Para determinação das tensões, em geral usa-se três extensômetros agrupados com um padrão específico, denominado roseta.
Rosetas
◦Fazendo a leitura de cada deformação determinaremos os componentes de deformação no ponto, aplicando as
equações de transformação de
deformação, teremos:
Rosetas
◦Para o caso apresentado na figura, teremos ângulos de 0°, 45° e 90°, resolvendo as equações, teremos:
Rosetas
◦Para o caso apresentado na figura, teremos ângulos de 0°, 60° e 120°, resolvendo as equações, teremos:
Rosetas
Exemplo 10.8
Rosetas
Exemplo 10.8
Rosetas
Exemplo 10.8
Relação Material-Propriedade
Lei de Hooke Generalizada
◦Se o material está sujeito a um estado de tensão triaxial em determinado ponto, desenvolve-se nele as deformações normais associadas.
Relação Material-Propriedade
Lei de Hooke Generalizada
◦As tensões são relacionadas às deformações por meio do princípio da superposição, da relação de Poisson e da Lei de Hooke aplicada na direção normal.
◦Analisando na direção x:
◦ Lei de Hooke:
◦ Ralação de Poisson:
Relação Material-Propriedade
Lei de Hooke Generalizada
◦Ao superpor essas três deformações normais, determinamos a deformação normal resultante. O mesmo procedimento pode ser feito para as outras direções.
Relação Material-Propriedade
Lei de Hooke Generalizada
◦Se aplicarmos agora uma tensão de cisalhamento τxy ao elemento, observações experimentares indicam que o material se deformará devido somente a deformação por cisalhamento ϒxy; isto é, τxy não provocará outras deformações no material. A lei de Hooke para tensão de cisalhamento e deformação por cisalhamento é então escrita como:
Relação Material-Propriedade
Relação entre E,
ν
e G
◦O módulo de elasticidade E relaciona-se ao módulo de cisalhamento G pela seguinte equação:
Relação Material-Propriedade
Dilatação e Módulo de Compressibilidade
◦Quando um material elástico é submetido a tensão normal, seu volume muda.
◦A fim de calcular essa mudança, consideremos um elemento de volume que esteja submetido às deformações principais.
◦A mudança de volume do elemento é, então:
◦Simplificando, temos:
Relação Material-Propriedade
Dilatação e Módulo de Compressibilidade
◦Quando um material elástico é submetido a tensão normal, seu volume muda.
◦A fim de calcular essa mudança, consideremos um elemento de volume que esteja submetido às deformações principais.
◦A mudança de volume do elemento é, então:
◦Simplificando, temos:
Relação Material-Propriedade
Dilatação e Módulo de Compressibilidade
◦A mudança de volume por unidade de volume é chamada de deformação volumétrica ou dilatação. Elas pode ser escrita com:
◦Se usarmos a Lei de Hooke generalizada obtemos:
Relação Material-Propriedade
Dilatação e Módulo de Compressibilidade
◦Quando um elemento é submetido à pressão uniforme p de um líquido, a pressão no corpo é a mesma em todas as direções e é sempre normal em qualquer superfície sobre a qual atua. Esse estado de carga é denominado carga hidrostática.
◦Aplicando na equação anterior, temos:
Relação Material-Propriedade
Dilatação e Módulo de Compressibilidade
◦O termo a direita da equação abaixo é chamado de módulo de compressibilidade e é simbolizada pela letra k.
Relação Material-Propriedade
Exemplo 10.9
Relação Material-Propriedade
Exemplo 10.9
Teorias da Falha
◦Quando precisa elaborar um projeto com um material específico, o engenheiro deve estabelecer um limite superior para o estado de tensão que defina a falha do material. Se o material for dúctil, geralmente a falha será estabelecida pelo início do escoamento, se o material for frágil, ela será especificada pela fratura.
◦Em qualquer caso, uma vez estabelecido o estado de tensão, as tensões principais são determinadas para os pontos críticos, visto que todas as teorias apresentadas a seguir se baseiam no conhecimento das tensões principais.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima
◦O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o deslizamento. Esse deslizamento deve-se à tensão de cisalhamento.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima
◦Considerando um elemento do material tirando de um corpo-de-prova de tração, sujeito ao limite de escoamento. A tensão de cisalhamento máxima é determinada desenhando-se o círculo de Mohr.
◦O resultado indica que:
◦Onde a tensão de cisalhamento atua no plano a 45°.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima
◦A teoria da tensão de cisalhamento máxima diz que o escoamento do material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele está submetido apenas a tensão axial.
◦Segundo a teoria, para evitar a falha, a tensão máxima de cisalhamento do material deve ser menor ou igual a metade da tensão de escoamento do material
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima
◦A teoria da tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensões pode ser expressa para quaisquer tensões principais no plano, de acordo com o seguinte critério:
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume, esta energia por unidade de volume é chamada de densidade de energia de deformação e por ser calculada pela seguinte equação:
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦Aplicando a Lei de Hooke na equação da densidade de energia de deformação teremos:
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦A energia armazenada no elemento como resultado da sua mudança de volume é provocada pela aplicação de uma tensão principal média. Uma vez que essa tensão provoca deformações principais iguais no material A parte:
◦provoca a energia de distorção.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦Desta forma, foi proposto que ocorre escoamento em um material dúctil quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração simples.
◦Esta teoria também pode ser conhecida pelos seus criadores e aperfeiçoadores: R Von Mises, H Hencky e M Huber.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦A equação da energia de distorção por unidade de volume pode ser simplificada para:
◦Admitindo um estado plano de tensões:
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦Como a teoria da energia requer que:
◦Temos que:
◦Então:
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦Essa equação representa uma curva elíptica de forma que se o ponto do material estiver fora da área sombreada, diz-se que o material falhou.
Teorias da Falha
Materiais Dúcteis
Teoria da Energia de Distorção Máxima
◦É possível compara os dois critérios já apresentados (cisalhamento máxima e energia de distorção), esta comparação está apresentada a figura.
◦Testes de tração mostram que a teoria da energia de distorção oferece resultados mais precisos, em torno de 15%.
