09340 Mexio D.F.
Mexio
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1. El fronton y el pinball
Entrelosprimerosvideojuegosomerialesestaunaespeiedebillar
uadrado llamadoelfronton:en lapantallade latelevisionsemuestran
los tres lados de un retangulo y una pelota que rebota on ellos. En
la pared faltante se ubia un peque~no retangulo que es ontrolado
por el jugador y que se mueve haia arriba o haia abajo on el n
de impedir que la pelota salga del retangulo mayor. La pelota rebota
on las paredes del retangulo formando angulos iguales, ver la gura
1. Rapidamentese observa que en latrayetoria B, perpendiular a la
pared de enfrentey alpeque~no retangulo, lapelota hoaun numero
innito de vees.
Otro juego similar, aunque sin duda mas popular es el pinball, el
ual tieneunpapelentralen laoperarok \Tommy".Este juegotiene
un tablero on dos palanas que tratan de ontrolar una pelota y
evi-tar queesta aiga en las salidas. En el tablero tambien existen varios
rulos,lapelotarebotaonellosformandoangulosigualesonsu
tan-gente, ver la gura 2, a esta forma de rebotar on rulos o retas le
llamaremos la ley de reexion. En este ensayo veremosque al estudiar
las trayetorias del pinball apareen de manera natural algunos
on-eptos fundamentales de la rama de las matematias onoida omo
Figura1:El fronton
Figura3: sensibilidadde lasorbitas
Unjugadorprinipiantedepinballtratade evitarquelapelotasiga
orbitas quesemueven portodoeltablerosinunomportamientolaro
omo la C; y busa orbitas similares a la D en donde hay un numero
innito de rebotes on el rulo 3. El jugador pronto se perata que
esto noesposibley quesoloseobtienen trayetoriasquepareen errar
portodoel tablero.>Existiranotras orbitason innitosrebotes entre
la pared y el rulo 3, o entre los rulos 2 y 3? >Por que las unias
orbitas observables son lasque notienen un omportamientolaro?
Para ontestar estas preguntas neesitamosestudiar alas tra
yeto-riasen elpinballyelfrontony lamaneraen queson determinadaspor
el estado iniialde lapelota.
Existen muhos fatores, omo son lafriionde lapelotao
irregu-laridades en la mesa, que pueden afetar a una trayetoria. Nosotros
haremos una abstraion y supondremos que solo la posiion y la
ve-loidad iniial de la pelota determinan a las trayetorias; y que entre
hoques on las paredes o los rulos la pelota se mueve omo una
partula libre. Llamaremos ondiion iniial a la posiiony veloidad
iniiales de la pelota. Los posibles errores de redondeo y de mediion
pueden impedirque onozamosexatamente laondiioniniialde la
pelota,perounoesperaraqueunabuenaaproximaionserasuiente.
Aqu se enuentrala mayordiferenia entre el pinbally el fronton,
quenosotrosllamaremoslasensibilidaddelasorbitasonrespetoalas
ondiiones iniiales:en lagura3seobservaquedos trayetoriasmuy
eranas ontinuan asalrebotar onuna lneareta, mientras quedos
trayetorias eranas seseparan uandohoan on un rulo,es fail
Figura4: Trayetoriaon ondiion iniial(;).
dad de la separaion aumenta y on ada hoque on un rulo esta
veloidad aumentamas.Al abode unos uantos rebotes on rulos,
lasdos trayetorias estaran muy separadas. Por tanto diferentes
apro-ximaiones de una misma trayetoria se omportaran de manera
dife-rente despues de unos uantos hoques on rulos. En vez de busar
trayetorias individuales o algun metodo de aproximaion,
estudiare-mos globalmente las trayetorias onentrandonos en los hoque de la
pelota on losrulos.
Debido a los posibles hoques on rulos las orbitas en el pinball
son extremadamente sensibles a peque~nos ambios en las ondiiones
iniiales.
Esta esla razon porla queelfrontonesun juegomuhomas
failque elpinball.
2. Modelo simpliado de pinball
Para ver el efeto que produen en la trayetoria de la pelota los
hoquesenlosrulos,analizaremosvariosmodelosdelpinball:primero
veremos el movimientode una partula que se mueve en elsemiplano
x0yqueeslibre,salvouandohoaonelrulo(x 2) 2
+y 2
=1
y on el ejeY, en donderebota de auerdo a laley de reexion.
Figura5:Modelo simpliado delpinball
terminadas por el punto del rulo en que lo haen y por el angulo
que latrayetoriaformaon el vetor que sale delentro delrulo.
El vetor (;),que nosotrosllamaremos laondiioniniial,
represen-tara al iniio de la trayetoria, ver la gura 4. Claramente una misma
trayetoria puede hoar varias vees on el rulo, de donde varias
ondiiones iniiales pueden representarla misma trayetoria.
Estamos interesados en los suesivos hoques de una trayetoria
on el rulo, en esta idea denimos al mapeof(;) omo el mapeo
que manda una ondiion iniial en la ondiion iniial del siguiente
hoque. O sea, f(;) = (
1 ;
1
) si la trayetoria que empieza en el
punto delruloon direion toaaleje Y y hoaon el rulo
en el punto
1
, on direion
1
. En la gura5 se muestra una
traye-toria en donde es positivo, mientras que ,
1 y
1
son negativos, se
puedeveronfailidadquef(=2; =2)=(=2;=2),f(0;0)=(0;0)
y f(=3; =2) = ( =3; =2), mientras que los puntos (=2;0) y
(0;=2) noestanen el dominiode lafunionf(;).
Denotaremos por A
1
al dominio de f y por B a su imagen. La
funion f(;) es inyetiva y ontinua, ademas se puede probar que
preserva el area de los subonjuntos de A
1
. La expresion exata de
f(;) esompliadaynolaalularemos,peroveremosquepodemos
enontrar muha informaionsobre las trayetoriasde nuestro modelo
onoiendo la geometra y la evoluion de los onjuntos A
1
Figura6: Losangulos () y ().
ontenidos en el uadrado D = [
2 ;
2 ℄[
2 ;
2
℄. Pero que no todo
punto(;)2Destaen eldominiooen laimagende f,porejemplosi
elpunto(=2;)estaeneldominiodef entones= =2ysiestaen
la imagen entones = =2. Para ada en [ =2;=2℄ denimos
()=mn f=(;)estaen eldominiode fgy() =maxf=(;)
esta en el dominiode fg, ver la gura6.
Enelalulode()y de()esutilobservarlastrayetoriasque
tienen estos puntos omo ondiiones iniiales hoan on el eje Y y
son tangentes al rulo en el siguiente hoque. Ademas si esta en el
intervalo[();()℄entones elpunto (;) estaen eldominiode f.
De ladisusionanterior sesigue que eldominiode f eselonjunto
A
1 =
n
(;)j
2
2
; ()() o
: (1)
UnasenillaperomuyimportanteobservaionesqueA
1
eselonjunto
de ondiiones iniialesde trayetoriasque hoaran porlo menosuna
vez mason el rulo.
Vamos a obtener una familia de onjuntos A
n
de ondiiones
ini-ialesqueontendralainformaionsobrelaevoluiondelastrayetorias
quehoaran en el futuro on elrulo. El onjunto A
n
estara
forma-do por los puntos que ontinuaran en el dominio de f al evaluar esta
funion porlo menos n vees.
Neesitaremos onoer la forma del onjunto A
1
Figura7: Dominioeimagen de f ()= 8 < : 2 ; 2 3 arsen
4os 1 8sen p
4 2os ()
17 8os()
; 3 2 ()= 8 < : arsen
1 4os 8sen p
4 2os ()
17 8os()
; 2 3 2 ; 3 2
Graando estas funiones se ve que el onjunto A
1
es una
fran-ja transversal que se extiende desde = =2 hasta = =2 on
verties en los uatro puntos
1
= ( =2;=2),
1
= ( =3;=2),
1
= (=2; =2) y
1
= (=3; =2), ver la gura 7. Notemos que
ni la distania del rulo al eje Y ni el diametro del rulo son
im-portantes, suvariaionuniamente modiarala anhura de la franja
A
1 .
Similarmentelaimagen de f es el onjunto
B = n
(;)j 2 2 ; () () o ; (2)
y por tanto esuna franjaon vertiesf(
1
)=( =2; =2), f(
1 )=
(=3;=2), f(
1
)=(=2;=2) y f(
1
)=(=3; =2). Verla gura 7.
Figura8: Lafamiliade onjuntos A
n
imagende lospeque~nos segmentoshorizontales[
1 ;
1 ℄y[
1 ;
1
℄sonlos
grandessegmentostransversales [f(
1 );f(
1
)℄y [f(
1 );f(
1
)℄,
mien-tras que los grandes segmentos transversales [
1 ;
1 ℄ y [
1 ;
1
℄ tienen
omo imagen a los peque~nos segmentos horizontales [f(
1 );f(
1 )℄ y
[f(
1 );f(
1
)℄. Al evaluar f, el onjunto A
1
se ontrae en una
dire-ion y seexpande en otra, ver gura 7.
LainterseiondeA
1
yB,queeselonjuntodeondiionesiniales
de la partula que vienen de un hoque y vuelven a hoar, es un
peque~no rombo; sus verties tienen la forma f(
2
), f(
2
), f(
2 ) y
f(
2
), en donde f(
2
) y f(
2
) estan en el segmento [f(
1 );f(
1 )℄ y
f(
2
)y f(
2
)estanen elsegmento[f(
1 );f(
1
)℄,portanto[
2 ; 2 ℄ [ 1 ; 1 ℄ y [
2 ; 2 ℄ [ 1 ; 1
℄. Sea A
2
la preimagen de A
1
\B, entones
A
2
eselsubonjuntode A
1
de ondiionesiniialesquehoaranporlo
menos dos vees on el rulo; el subonjunto A
2
es nuevamente una
franjaqueseextiendedesde= =2hasta==2.Proediendopor
induion, si A
k
es el subonjunto de A
k 1
de las ondiiones iniiales
que rebotan por lo menos k vees y tiene la forma de una franja que
se extiende desde = =2 hasta = =2, entones los elementos
de A
k
\B vienen de un hoque previo y posteriormente hoan on
el rulo k vees; sea A
k+1
la preimagen de A
k
\ B, este onjunto
estaformadoporlasondiionesiniialesquevanahoarporlomenos
Figura9: Modelos equilateroy olineal de pinball.
dereiente de ompatos no vaios es ompata y no vaia, entones
la interseion A
= \
k2N A
k
es no vaia y ademas se extiende desde
= =2hasta ==2,ver lagura 8.
Estamosinteresados en obtener aquellastrayetoriasque presenten
elmayornumeroderebotes,loselementosdeA
sonlasondiiones
ini-ialesquepresentan unnumeroinnitoderebotes.Observemosquelas
evaluaiones suesivas de loselementos de este onjunto permaneeran
siempre en el dominio de f y que se van aerando alpunto (0;0). El
onjuntoA
esllamadolavariedadestabledelpunto(0;0).Enlapr
ati-a, la sensibilidad de las trayetorias on respeto a las ondiiones
iniiales impide que estas trayetoriassean observables, pero tra
yeto-rias on ondiiones iniiales eranas a A
haran un gran numero de
rebotes antes de abandonar el dominiode f.
3. Modelo de pinball on varios rulos
Revisemos ahora el aso uando la partula pueda hoar on
va-rios rulos. Para dos rulos los resultados son identios al modelo
simpliado de la seion anterior. Si el numero de rulos aumenta
la situaion se omplia, veremos dos asos representativos: el pinball
Figura 10:Dominiose imagenes de f en elaso olineal.
Usaremoslasmismasoordenadas queen elmodelosimpliadode
laseion anterior, ver lagura 4, pero ahora trabajaremos on varios
retangulos que orresponden a las trayetorias que se iniian en ada
uno de los rulos. Con este n, D
1 , D
2 y D
3
denotaranlosonjuntos
de las ondiiones iniiales que empiezan en el rulo uno, dos o tres
respetivamente,adaunodeelloseselretangulo[0;2℄[ =2;=2℄.
Y para generalizar la funion f esribiremos f
ij
(;) = (
1 ;
1 ) si la
trayetoria que iniia en el punto del rulo i on direion llega
alpunto
1
delruloj on direion
1
sinhabertoadoningunotro
rulo. Los dominios y las imagenes de estas funiones para el aso
olineal se enuentran en la gura 10, y para el aso equilatero en la
gura11.
En la gura 10 se observa que en el aso olineal la imagen de f
12
interseta solamente al dominio de f
21
y vieversa la imagen de f
21
interseta solamentealdominiode f
12
, porloquelaunia opionpara
que la partula que sale del rulo uno hoque varias vees es que
tengahoques onseutivosentre losrulosunoy dos,se puedehaer
un analisissimilaralrealizadoen laseion2para probarlaexistenia
de un onjunto A
12
de ondiiones iniialesque parten del rulo uno
yqueharanun numeroinnitodehoques entre losrulouno ydos.
Similarmentese enontraranlosonjuntos A
21 , A
23 y A
32 .
En el aso equilatero se ve que la imagen de f
12
interseta a los
Figura11: Dominioseimagenes de f en elaso equilatero.
rulouno,hoanonelrulodosypartenalrulounooalrulo
tres, etetera. De heho, dada una suesion fa
1 ;a
2 ;a
3 ;a
4
;:::g, donde
ada a
i
es uno, dos o tres, existira una trayetoria que pase en ese
orden por losrulos. El numero de trayetorias on innitoshoques
es ahora innito y nuevamente existe sensibilidad on respeto a las
ondiiones iniiales. A la desripion de las orbitas del pinballpor la
suesion de hoques on los rulosse llama dinamia simbolia.
4. billares y meania eleste
Unageneralizaioninmediatadelpinballesestudiar elmovimiento
de una partula en el plano que se mueve libremente salvo uando
hoaonuna ovariasurvassuaves, en dondelapartula esreejada
deauerdoalaleydelareexion,esteproblemaesllamadoelproblema
de billar. Si M es el onjunto de urvas, podemos denir una funion
similar a ladenida en el pinball
f :DM[ =2;=2℄7!M [ =2;=2℄: (3)
Por ejemplo, si la partula esta en el interior de un rulo entones
f(x;y) = (x+y;y), en donde x esta en el rulo, y y 2 [ =2;=2℄,
ometasujetoalaatraiongravitaionaldeunaestrella.El
movimien-tode tres o maspartulas sujetas a dihas fuerzas noes estudiado en
ursosde lieniatura pero debe ser muy similar >orreto?
Sorpresas da lavida. Aunque laseuaiones difereniales del
movi-miento de tres partulas sujetas a fuerzas gravitaionales mutuas son
failes de obtener yvienen en loslibros de fsia menionados
anterior-mente, lassoluiones tienen dos defetos:
a) No se puede dar la soluion general a este problema. Este
pro-blema es no integrable y solo se pueden obtener explitamente unas
uantas soluiones.
b) Esta soluiones pueden ser inutiles, pues peque~nas variaiones
en lasondiiones iniialespuedenoriginargrandesambios en el
om-portamiento de las trayetorias. Las soluiones pueden ser altamente
sensiblesalambiodelasondiionesiniiales,dependiendode la
posi-ion iniialde laspartulas.
En la gura 12se muestran tres diferentes trayetoriasde ometas
quepasaneradeunaestrella.Seobservaqueelambioenladireion
de los ometas depende de la distania a las estrella y es mas fuerte
alaerarse ala estrella,elomportamientode losometasera de la
estrellaespareido alqueobservamos en elpinballuandolapartula
hoaon algunrulo.
Esto no es importante uando hay una estrella, pues en este aso
soloexistendosalternativas,elometasoloseaeraunavez ala
estre-lla o bien el ometa desribe orbitas elptias muy bien determinadas.
Cuandoexisten dosomasestrellaselometapuedeaproximarsevarias
vees a las estrellas, en ada uno de estos aeramientos se produe
Figura 12:
Orbitasde ometasal aproximarse a una estrella
trayetoriasde ometaasi iguales despues de varias aproximaiones a
lasestrellasseranompletamentediferentes.Laanalogadel
movimien-todelometaon elpinballde varios rulosesevidente. Enloslibros
[6, 7℄se dan otros ejemplos similares.
En1922,elmatematioyastronomofranesJeanChazylasio
to-dos los tipos de evoluion nal en el movimiento de tres partulas,
entre losualesseenontrabanlasorbitas osilatorias.
Estasfueron
in-troduidasporJ.Chazymedianteonsideraionespuramentelogiasy
suexisteniafuepuestaen dudahastaque,onlasmismasteniasque
usamos en elpinballequilatero,elmatematio sovietio K.A.Sitnikov
demostro suexistenia anes de los50's delsiglopasado,ver [6℄.
Este ensayo fue esrito tratando de usar omo motivaion para el
estudiodelossistemasdinamiosalpinball,elletorinteresadoenestos
temas puede profundizar su estudioen lasreferenias [2, 3,6℄.
Referenias
[1℄ M.Alonso yE.J.Fin:Fsia, Vol1 : Meania .FondoEduativo
Interameriano,S. A., Mexio, 1970, 1976.
