Los números complejos
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(2) MATEMATICAS 1º Bachillerato. 1. Introducción 1.1. Las potencias de i 2. Forma binómica de un número complejo 2.1. Representación gráfica 2.2. Operaciones en forma binómica • Suma en forma binómica • Producto en forma binómica • Cociente en forma binómica 3. Forma polar de un número complejo 3.1. Forma trigonométrica de un número complejo 3.2. Producto en forma polar 3.3. División en forma polar 3.4. Potencia en forma polar 3.5. Raı́z n-ésima de un complejo Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Tabla de Contenido. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(3) Sección 1: Introducción. 3. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1. Introducción. A. Vamos a clasificar los números como soluciones de las ecuaciones. Observa las siguientes ecuaciones: x + 3 = 8 ⇒ x = 5 tiene solución en los naturales N x + 3 = 1 ⇒ x = −2 tiene solución en los enteros Z 5 2x = 5 ⇒ x = tiene solución en los racionales Q 2 √ 2 x = 2 ⇒ x = ± 2 tiene solución en los reales R Se tiene ası́ que el sistema de números se ha ido ampliando. d B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. N ⊂Z⊂Q⊂R Ahora observa la ecuación x2 = −1 que como sabes no hay ningún número cuyo cuadrado sea negativo. En el siglo XVI “inventaron” un número que cumple la ecuación anterior y llamaron la unidad imaginaria, i. Es decir definimos la unidad imaginaria i como un número ( no real) que cumple. i2 = −1. (1). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(4) Sección 1: Introducción. 4. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1.1. Las potencias de i. A. Únicamente hay cuatro potencias distintas de i:. d. 5. 4. B s=B+mv. i =i · i = i. i = −1. i6 =i4 · i2 = −1. CIENCIAS. i3 = i2 · i = −i. i7 =i4 · i3 = −i. i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1. i8 =i4 · i4 = 1. MaTEX Complejos. i=i 2. Si seguimos calculando potencias sólo aparecen {1, −1, i, −i} Ası́ por ejemplo i47 = i4·11+3 = (i4 )11 · i3 = i3 = −i Ejercicio 1. Efectúa las siguientes potencias de i: a) i34 b) i64 c) i81. d ) i107. Además, ahora podemos expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones: √ √ √ x2 + 9 = 0 =⇒ x = ± −9 = ± 9 −1 = ±3 i √ √ √ x2 + 16 = 0 =⇒ x = ± −16 = ± 16 −1 = ±4 i. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(5) 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejemplo 1.1. Resuelve la ecuación x2 + 8x + 25 = 0 √ Solución: Resolvemos la ecuación sustituyendo −1 por i. √ −8 ± 64 − 4 · 25 x= √2 −8 ± −36 = 2√ −8 ± 6 −1 = 2 = − 4 ± 3i. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Sección 1: Introducción. 2. Ejemplo 1.2. Comprueba que −4 + 3 i verifica x + 8x + 25 = 0 Solución: Sustituimos y operamos de forma natural (−4 + 3 i)2 + 8 (−4 + 3 i) + 25 =16 − 24 i + 9 i2 − 32 + 24i + 25 =9 + 9i2 =9 + 9(−1) = 0 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(6) Sección 2: Forma binómica de un número complejo. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 6. r=A+lu. Estos nuevos “números” de la forma. A. a + bi. d. 2. Forma binómica de un número complejo. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. los llamamos números complejos en forma binómica y decimos que a es la parte real y b la parte imaginaria. Un modelo para comprenderlos consiste en representarlos en el plano. 2.1. Representación gráfica Un complejo en forma binómica a + bi. C ib. se representa mediante un vector con origen el punto O(0, 0) y extremo el punto de coordenadas A(a, b). Al punto A(a, b) se le llama afijo del complejo. 0. a + ib. a. Ejercicio 2. Representar los siguientes complejos en el plano: a) 3 + i b) 2 i c) −2 + 3 i d ) −2 e) −2 − i. f) 2 − 2i. g) 2. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(7) Sección 2: Forma binómica de un número complejo. 7. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 2.2. Operaciones en forma binómica. A. • Suma en forma binómica. d. Para sumar números complejos en forma binómica se suman la parte real y la parte imaginaria. Ejemplo 2.1. Hallar la suma (5 + i) + (1 − 3 i) : Solución:. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. (5 + i) + (1 − 3 i) =(5 + 1) + (1 − 3) i =6 − 2 i Ejemplo 2.2. Efectuar la suma 3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) : Solución: 3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) =(15 + 3 i) + (2 − 6 i) =(15 + 2) + (3 − 6) i) =17 − 3 i Ejercicio 3. Efectúa las operaciones: a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i). JJ. II. b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i). J. I. d ) (2 − 4 i) − (3 − 3 i). J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(8) Sección 2: Forma binómica de un número complejo. 8. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. • Producto en forma binómica. A. Para multiplicar números complejos en forma binómica se multiplican de forma algebraica natural, teniendo en cuenta que el termino i2 = −1 . Ejemplo 2.3. Hallar el producto (5 + i) · (1 − 3 i) : Solución:. d B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. (5 + i) · (1 − 3 i) =5 − 15 i + i − 3 i2 =5 − 15 i + i + 3 =8 − 14 i Ejemplo 2.4. Hallar el producto (2 + i) · (1 − i) : Solución: (2 + i) · (1 − i) =3 − i Ejercicio 4. Efectúa las operaciones: a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) c) (5 + i) · (1 − 3 i). b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i) d ) (2 − 4 i) · (3 − 3 i). e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i) f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(9) Sección 2: Forma binómica de un número complejo. 9. r=A+lu. Definición 2.1 Llamamos conjugado de un número complejo z = a + b i al complejo. MATEMATICAS 1º Bachillerato A. C b. d. a + bi. B s=B+mv. CIENCIAS. es decir sus partes imaginarias son opuestas. Al conjugado de z lo vamos a representar por z̄.. MaTEX 0. −b. Complejos. z̄ = a − b i. a. a − bi. Ejercicio 5. Demostrar que la suma de dos números complejos conjugados es un número real: Ejercicio 6. Demostrar que el producto de dos números complejos conjugados es un número real:. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(10) Sección 2: Forma binómica de un número complejo. 10. r=A+lu. • Cociente en forma binómica. A. 3− i 3+ i i d) 1+ i b). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. 3− i Ejemplo 2.5. Hallar el cociente . 3+ i Solución: 9 − 3 i − 3ı + i2 3− i 3− i 3− i = · = 3+ i 3+ i 3− i 9 − i2 8 − 6i 8 6 = = − i 10 10 10 2+ i Ejemplo 2.6. Hallar el cociente . i Solución: 2 + i 2 + i −i = · = 1 − 2i i i −i Ejercicio 7. Hallar los cocientes: 2− i a) 3− i 5 − 2i c) 3 + 2i. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(11) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 11. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3. Forma polar de un número complejo. A. Definición 3.1. d. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. {. Un número complejo z = a+b i C se puede caracterizar por su a + ib ib módulo o magnitud m = |z| |z| y por el ángulo que determina con la parte positiva del eje Ox. En el gráfico se aprecia ϕ que el módulo por el teorema de Pitágoras corresponde a: a 0 p m = |z| = a2 + b2 y el ángulo ϕ que llamamos argumento verifica b b tan ϕ = =⇒ ϕ = arctan a a De esta forma un número complejo en forma binómica a + b i se puede expresar en forma polar mϕ. B s=B+mv. √ m = a2 + b 2 a + bi = =⇒ mϕ b ϕ = arctan a. (2). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(12) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 12. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejemplo 3.1. Expresar en forma polar 1 + i : Solución: Calculamos su módulo y su argumento. p ( √ ) √ m = 12 + 12 = 2 π = 2 π4 1+ i= ϕ = arctan 1 = 4. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Ejemplo 3.2. Expresar en forma polar 2 i : Solución: Calculamos su módulo y su argumento. p m = 02 + 22 = 2 2i = = 2 π2 π 2 ϕ = arctan = 0 2. MaTEX Complejos. . Ejercicio 8. Hallar el módulo y argumento de los siguientes complejos , representándolos previamente: a) 2 − 2 i b) 2 i c) −2 i d ) −2 + 2 i e) 2 + 2 i. f) 2. g) −2. h) −2 − 2 i. Ejercicio √ 9. √ Hallar el módulo y √el argumento de los complejos: a) 6 + 2i b) 12 − 2i c) −2 + 2i. JJ. II. Ejercicio√10. Expresar en forma polar los números complejos: a) 3 + 3 i b) 2 i c) −2 + 2 i. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(13) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 13. r=A+lu. 3.1. Forma trigonométrica de un número complejo. A. d. C m senϕ. B s=B+mv. a + ib. CIENCIAS. m. MaTEX. ϕ. a = m cos ϕ. b = m sen ϕ. 0. Complejos. En el dibujo se aprecia que a partir de la forma polar de un número complejo, podemos calcular su parte real y su parte imaginaria, pues. MATEMATICAS 1º Bachillerato. m cosϕ. Se llama la expresión trigonométrica. mϕ =⇒ m(cos ϕ + i sen ϕ). (3). Ejemplo 3.3. Expresar en forma trigonométrica 1 + i : Solución: Calculamos su módulo y su argumento. p ( √ ) √ m = 12 + 12 = 2 π π π = 2 cos + i sen 1+ i= ϕ = arctan 1 = 4 4 4 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(14) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 14. Ejercicio 11. Expresar en forma polar y trigonométrica los números complejos:: √ √ a) 1 + i b) −i c) 2 + 2 i. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Binomica. MaTEX Complejos. Conversión de Binómica a Polar y viceversa. a = m cosϕ b = m senϕ. a + bi. √ m = a2 + b2 ϕ = arctan b/a P olar mϕ. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(15) Sección 3: Forma polar de un número complejo. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Trigonométrica. d B s=B+mv. CIENCIAS. 2 cos π/3 + i sen π/3 Ejercicio 13. Hallar x para que el cociente x + 3i 3 + 2i sea imaginario puro. Ejercicio 14. Hallar x para que el complejo z =. MaTEX Complejos. Ejercicio 12. Rellenar la tabla siguiente Cartesiana Binómica Polar (1, −1) √ 3−i 3π/4. 15. 3 − 2xi : 4 + 3i. a) Sea imaginario puro. b) Sea un número real. Ejercicio 15. Hallar x para que el módulo de z =. √ x+i sea 2. 2+i JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(16) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 16. r=A+lu. 3.2. Producto en forma polar. A. Teorema 3.1. El producto de dos números en forma polar es un complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos. mα ·. m0β. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 0. = (m · m )α+β. (4). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Ejemplo 3.4. Hallar 4120o · 230o Solución:. √ 4120o · 230o = 8150o = 8(cos 150 + sen 150 i) = −4 3 + 4 i . Ejemplo 3.5. Hallar 290o · 190o Solución: 290o · 190o = 2180o = 2(cos 180 + sen 180 i) = −2 Ejercicio 16. Halla los siguientes productos: a) 3π/6 · 2π/6 b) 4π/12 · 2π/6 √ √ 2 c) 2π/3 · d ) −3 · 4π/4 · 2π/6 2 5π/3. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(17) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 17. r=A+lu. 3.3. División en forma polar. A. m. mα = m0β m0. Solución:. (5) α−β. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Teorema 3.2. El cociente de dos números en forma polar es un complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos. Ejemplo 3.6. Hallar. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 4120o 230o. 4120o = 290o = 2(cos 90 + sen 90 i) = 2 i 230o . Ejercicio 17. Halla los siguientes cocientes: a) 3π/6 : 2π/6 b) 4π/12 : 2π/6 c) 3π/2 : 2π/4. d ) 8π : 2π/2. Ejercicio 18. Expresar en forma trigonométrica √ −3 + 3 3i 2 − 2i. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(18) 18. 2 − 2i Ejercicio 19. Expresar en forma trigonométrica √ 3+i 6i Ejercicio 20. Escribe en forma trigonométrica: 1+i √ 1 + 3i Ejercicio 21. Escribe en forma trigonométrica: 1−i √ √ 6 + 2i Ejercicio 22. Escribe en forma trigonométrica:: √ 12 − 2i Test. Responde a las preguntas: 1. El complejo z = −2 + 2 i está en: (a) 1o cuadrante (b) 2o cuadrante 2. La forma polar de z = −2 + 2 i es: √ √ (a) 8π/4 (b) 8−π/4 3. La forma polar de 3 (cos 30o − i sen 30o ) es (a) 330 (b)1 3−30 4. El módulo de 1π · 12π · 13π es: (a) 3 (b) 1 5. El argumento de −3 es: (a) π (b) 0. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Sección 3: Forma polar de un número complejo. (c) 3o cuadrante (c). √. 83π/4. (c) 360 (c) otro (c) 2 π. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(19) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 19. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3.4. Potencia en forma polar. A. Teorema 3.3. La potencia n-ésima de un número en forma polar mϕ es un complejo cuyo módulo es la potencia n-ésima de m y cuyo argumento es n veces ϕ. n. (mα ) =. mnn α. (6). 5. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Ejemplo 3.7. Efectuar 2π/4 Solución: 5 2π/4 = 255×π/4 = 32225o 2. Ejemplo 3.8. Efectuar (3π ) Solución: 2 (3π ) = 322×π = 8180o 5. Ejercicio 23. Hallar la potencia (1 + i). √ Ejercicio 24. Hallar la potencia (−2 + 2 3i)6 1 Ejercicio 25. Operar en forma polar (1 + i)5. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(20) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 20. r=A+lu. 3.5. Raı́z n-ésima de un complejo. A. n. (rα ) = mϕ = rnn α igualando módulos y argumento, √ m = rn =⇒ r = n m ϕ + k · 360o n α = ϕ + k · 360o =⇒ α = k = 0, 1, · · · , n − 1 n La raı́z n-ésima de un número en forma polar corresponde a n números complejos con la expresión. mϕ =. √ n. m ϕ + k · 360o. k = 0, 1, · · · , n − 1. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Queremos hallar la raı́z n−ésima de un complejo a + b i que expresaremos en forma polar mϕ . √ x = n mϕ ⇐⇒ xn = mϕ Llamemos a la solución buscada x = rα , entonces se tiene que. √ n. MATEMATICAS 1º Bachillerato. (7). n √ 3. En los números reales 1 = 1, pero ahora en el campo de los complejos ademas de 1, hay otros dos complejos cuyo cubo es la unidad.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(21) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 21. √ 3. r=A+lu. Ejemplo 3.9. Hallar las raı́ces 1 Solución: Ponemos el radicando en forma polar. A. d. √ 3 El módulo es 1 = 1 y de la ecuación (7) dando valores a k = 0, 1, 2 se tienen los argumentos,. 1120o. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. 1 =⇒ 10. α =0 0 + k · 360o 0 α1 = 120 αk = 3 α2 = 240. MATEMATICAS 1º Bachillerato. luego las tres raı́ces son 10. 1120o. 1240o. O. 10o. 1240o Los afijos de las soluciones son los vértices de un triángulo equilátero.. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(22) Sección 3: Forma polar de un número complejo. 22. √ 5. r=A+lu. Ejemplo 3.10. Hallar las raı́ces −32 Solución: Ponemos el radicando en forma polar. A. d. √ 5 El módulo es 32 = 2 y de la ecuación (7) dando valores a k = 0, 1, · · · 4 se tienen los argumentos,. 2108o. 2108o. 2170o. 2242o. CIENCIAS. MaTEX. 236o 2170o. luego las cinco raı́ces son 236o. B s=B+mv. Complejos. −32 =⇒ 32180. α0 = 36o α = 108o 0 + k · 360o 1 α2 = 170o αk = 5 α3 = 242o α4 = 314o. MATEMATICAS 1º Bachillerato. O. 2314o. 2242o. 2314o. Los afijos de las soluciones son los vértices de un polı́gono regular de cinco lados. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(23) 23. Ejercicio 26. Un complejo z en forma binómica es a + b i, su conjugado es z̄ = a + b i y su opuesto es −z = −a − b i. ¿Cuál es la expresión de los mismos en forma polar? Ejercicio 27. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su cociente es 4, sus argumentos suman 40o y la suma de sus módulos es 15. Ejercicio 28. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su producto es 27 i y uno de ellos es el cuadrado del otro.. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Sección 3: Forma polar de un número complejo. Ejercicio 29. Hallar un complejo z1 que cumpla que su inverso al cuadrado sea el opuesto de su conjugado.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(24) Soluciones a los Ejercicios. 24. r=A+lu. Soluciones a los Ejercicios. A. Ejercicio 1. Teniendo en cuenta que i4 = 1, basta dividir por 4 los exponentes: a) i34 = i4·8+2 = (i4 )8 · i2 = i2 = −1 64. b) i. 81. c) i. 4·16. =i. = (i ). 4·20+1. =i. 4 16. =1. 4 20. = (i ). MATEMATICAS 1º Bachillerato. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. ·i=i. Complejos. d ) i107 = i4·26+3 = (i4 )26 · i3 = i3 = −i Ejercicio 1. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(25) Soluciones a los Ejercicios. 25. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 2.. A. −2 + 3 i. d B s=B+mv. CIENCIAS. 2i. MaTEX. −2. Complejos. 3+ i 2. −2 − i 2 − 2i. Ejercicio 2 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(26) 26. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 3. a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) = 5 + 3 i. A. d. b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i) = 4+. B s=B+mv. CIENCIAS. c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i) = 7 − 5 i d ) (2 − 4 i) − (3 − 3 i) = −1 − i Ejercicio 3. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(27) Soluciones a los Ejercicios. 27. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 4. a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) = 16 + 11 i. A. d. b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i) = 8. B s=B+mv. CIENCIAS. c) (5 + i) · (1 − 3 i) = 8 − 14 i d ) (2 − 4 i) · (3 − 3 i) = −6 − 18 i. MaTEX. e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i) = 48 + 20 i. Complejos. f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i) = −20 − i Ejercicio 4. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(28) Soluciones a los Ejercicios. 28. Ejercicio 5. Sean los números complejos conjugados. r=A+lu A. z̄ = a − b i. z + z̄ =(a + b i) + (a − b i) =2 a es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un número real. Ejercicio 5. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. z = a + bi. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(29) Soluciones a los Ejercicios. 29. Ejercicio 6. Sean los números complejos conjugados. r=A+lu A. z̄ = a − b i. z · z̄ =(a + b i) · (a − b i) =a2 − ab i + ab i − b2 i2 =a2 + b2. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. z = a + bi. MATEMATICAS 1º Bachillerato. es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un número real. Ejercicio 6. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(30) Soluciones a los Ejercicios. 30. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 7. 2− i 2− i 3+ i 7− i 7 1 a) = · = = − i 3− i 3− i 3+ i 10 10 10. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. 3− i 3− i 8 − 6i 8 6 3− i b) = · = = − i 3+ i 3+ i 3− i 10 10 10 5 − 2i 5 − 2i 3 − 2i 11 − 16 i 11 16 = · = = − i 3 + 2i 3 + 2i 3 − 2i 13 13 13. d). i 1− i 1+ i 1 1 i = · = = + i 1+ i 1+ i 1− i 2 2 2. Complejos. c). MaTEX. Ejercicio 7. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(31) Soluciones a los Ejercicios. 31. r=A+lu. Ejercicio 8.. A. √. 87π/4. b) 2 i −→ 2π/2. f ) 2 −→ 20 h) −2 − 2 i −→. 2i. 2 + 2i. B s=B+mv. CIENCIAS. c) −2 i −→ 23π/2 √ d ) −2 + 2 i −→ 83π/4 √ e) 2 + 2 i −→ 8π/4 g) −2 −→ 2π. d. −2 + 2 i. −2. −2 − 2 i. √. MaTEX. 2. −2 i. Complejos. a) 2 − 2 i −→. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 2 − 2i. 85π/4 Ejercicio 8. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(32) Soluciones a los Ejercicios. 32. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 9.. A. √ √ m =√ 6 + 2 = 8√ √ √ a) 6 + 2i 2 3 π ϕ = arctan √ = arctan = 3 6 6 √ m = 12 + 4 = 4 √ √ b) 12 − 2 i 2 3 11 π ϕ = arctan − √ = arctan − = 3 6 12 √ √ ( m= 4+4= 8 c) −2 + 2 i 2 3π ϕ = arctan − = arctan −1 = 2 4 . d B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX Ejercicio 9. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(33) Soluciones a los Ejercicios. 33. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 10.. A. √ √ 12 m= √ √ = 12 π6 a) 3 + 3 i = 3 π ϕ = arctan = 3 6 π b) 2 i = 2 2 √ c) −2 + 2 i = 83 π/4 . d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Ejercicio 10. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(34) Soluciones a los Ejercicios. Ejercicio 11. (. 34. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. p. √. A. ). √ m = 12 + 12 = 2 π = 2 π4 ϕ = arctan 1 = 4 √ π π 2 cos + i · sen 4 4 ( ) m=1 1 3π = 1 32π b) − i = ϕ = arctan − = 0 2 3π 3π cos + i · sen 2 2 ( ) m=2 √ √ π c) 2 + 2 i = = 2 π4 ϕ = arctan 1 = 4 π π 2 cos + i · sen 4 4. d. a) 1 + i =. B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. Ejercicio 11 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(35) Soluciones a los Ejercicios. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Binómica √ 1-i 3−i √ √ 3 2 3 2 + i 2 2 √ 1 + 3i. √Polar 27π/4 211π/6. Trigonométrica 2( cos 7π/4 + i sen 7π/4) 2 (cos 11π/6 + i sen 11π/6). 3π/4. 3( cos π/4 + i sen π/4). 2π/3. 2 (cos π/3 + i sen π/3) Ejercicio 12. √. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Ejercicio 12. Cartesiana (1, −1) √ ( 3, −1) ! √ √ 3 2 3 2 , 2 2 √ (1, 3). 35. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(36) 36. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 13.. A. x + 3i 3 − 2i (3 x + 6) + (9 − 2 x) i x + 3i = · = 3 + 2i 3 + 2i 3 − 2i 13 para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero 3x + 6 = 0 =⇒ x = −2 13. d B s=B+mv. CIENCIAS. Ejercicio 13. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(37) Soluciones a los Ejercicios. 37. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14.. A. 3 − 2xi 4 − 3i 12 − 6 x (9 + 8 x) i 3 − 2xi = · = − 4 + 3i 4 + 3i 4 − 3i 25 25 a) para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero 12 − 6 x = 0 =⇒ x = 2 25. d. z=. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. b) para que sea real puro la parte imaginaria debe ser cero (9 + 8 x) i 9 = 0 =⇒ x = − 25 8 Ejercicio 14. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(38) Soluciones a los Ejercicios. 38. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 15.. A. x+i 2−i 2 x + 1 (2 − x) i x+i = · = + 2+i 2+i 2−i 5 5 √ igualamos el módulo a 2 s 2 2 √ 2x + 1 2− x + = 2 =⇒ 5 5. d. z=. B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. 4 x2 + 4x + 1 4 − 4 x + x2 + = 2 =⇒ 25 25 5 x2 + 5 = 50 =⇒ x2 = 9 =⇒ x = ±3 Ejercicio 15. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(39) 39. Prueba del Teorema 3.1. Expresamos los complejos mα y m0β en forma trigonométrica. Al operar aparece el coseno y el seno de la suma de ángulos: mα · m0β =m(cos α + i sen α) · m0 (cos β + i sen β). MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. =m · m0 [cos α cos β − sen α sen β + i sen α cos β + i cos α sen β] =m · m0 [cos(α + β) + i sen(α + β)] =(m · m0 )α+β. MaTEX Complejos. Prueba de los Teoremas. J. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(40) Soluciones a los Ejercicios. 40. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 16.. A. √ a) 3π/6 · 2π/6 = 6π/3 = 6(cos 30 + sen 30 i) = 3 3 + 3 i √ √ b) 4π/12 · 2π/6 = 8π/4 = 8(cos 45 + sen 45 i) = 4 2 + 4 2 i √ √ 2 c) 2π/3 · = 12π = 1(cos 360 + sen 360 i) = 1 2 5π/3 d ) −3 · 4π/4 · 2π/6 = 3π · 4π/4 · 2π/6 = 2417π/12. d B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. √ 2417π/12 = 24(cos 120 + sen 120 i) = −12 + 12 3 i Ejercicio 16. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(41) 41. Prueba del Teorema 3.2. Expresamos los complejos mα y m0β en forma trigonométrica. Al operar aparece el coseno y el seno de la diferencia de ángulos: mα m(cos α + i sen α) = m0β m0 (cos β + i sen β). MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. m(cos α + i sen α) (cos β − i sen β) m0 (cos β + i sen β) (cos β − i sen β) (operando) m = 0 [cos(α − β) + i sen(α − β)] m m = m0 α−β =. Complejos. Prueba de los Teoremas. J. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(42) 42. r=A+lu. Ejercicio 17. 3π/6 3 a) = 2π/6 2 0 4π/12 b) = (2)23π/12 2π/6 3π/2 3 c) = 2π/4 2 π/4 d). MATEMATICAS 1º Bachillerato A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. 8π = (4)π/2 2π/2 Ejercicio 17. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(43) 43. Ejercicio 18. Expresamos numerador y denominador en forma polar √ √ 2π −3 + 3 3 i =⇒ m = 36 ϕ = 3 √ 7π 2 − 2i =⇒ m = 8 ϕ = 4 Ahora operamos el cociente en forma polar √ 62π/3 3 −3 + 3 3i =√ = √ 2 − 2i 87π/4 2 −13π/12 −. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. 13π 13π 11π = 2π − = = 165o y pasamos a forma binómica 12 12 12 3 √ (cos 165o + sen 165o i) 2 Ejercicio 18. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(44) 44. Ejercicio 19. Expresamos numerador y denominador en forma polar √ 7π 2 − 2 i =⇒ m = 8 ϕ = 4 √ √ π 3 + i =⇒ m = 4 ϕ = 6 Ahora operamos el cociente en forma polar √ √ 87π/4 2 − 2i √ = = 2 2π/6 19π/12 3+i. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. y pasamos a forma trigonométrica √ 19π 19π + sen i) 2(cos 12 12 Ejercicio 19. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(45) 45. Ejercicio 20. Expresamos numerador y denominador en forma polar π 6i =⇒ m = 6 ϕ = 2 √ π 1 + i =⇒ m = 2 ϕ = 4 Ahora operamos el cociente en forma polar 6π/2 6 6i =√ = √ 1+ i 2π/4 2 π/4. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. y pasamos a forma trigonométrica π 6 π √ (cos + sen i) 4 4 2 Ejercicio 20. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(46) 46. Ejercicio 21. Expresamos numerador y denominador en forma polar √ π ϕ= 1 + 3 i =⇒ m = 2 3 √ 7π 1− i =⇒ m = 2 ϕ = 4 Ahora operamos el cociente en forma polar √ 2π/3 2 1 + 3i = √ =√ 1− i 27π/4 2 −17π/12 −. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. 17π 17π 7π = 2π − = = 105o y pasamos a forma trigonométrica 12 12 12 2 √ (cos 105o + sen 105o i) 2 Ejercicio 21. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(47) 47. Ejercicio 22. Expresamos numerador y denominador en forma polar √ √ √ π 6 + 2 i =⇒ m = 8 ϕ = 6π √ 12 − 2 i =⇒ m = 4 ϕ = − 6 Ahora operamos el cociente en forma polar √ √ √ √ ! 8π/6 6 + 2i 2 √ = = 4 2 12 − 2 i −π/6. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. π/3. y pasamos a forma trigonométrica √ π π 2 (cos + sen i) 2 3 3 Ejercicio 22. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(48) Prueba de los Teoremas. 48. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Prueba del Teorema 3.3. Por la regla del producto se tiene. A. d. n. (mα ) =mα · mα · · · mα =(m · m · · · m)α + α + · · · + α =mnn α. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. J. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(49) 49. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 23. Calculamos su módulo y su argumento. p ( √ ) √ m = 12 + 12 = 2 π 1+ i= = 2 π4 ϕ = arctan 1 = 4 Ahora operamos la potencia en forma polar √ 5 √ 5 2 π4 = 25 π4. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Ejercicio 23. Complejos. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(50) 50. Ejercicio 24. Calculamos su módulo y su argumento. p √ √ 6 m = 22 + 12 = 16 = 4 √ = 4 2π (−2 + 2 3i) = 2π 3 ϕ = arctan − 3 = 3 Ahora operamos la potencia en forma polar 6 4 2π = 464 π = 460 3. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. Ejercicio 24. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(51) Soluciones a los Ejercicios. 51. Ejercicio 25. Expresamos numerador y denominador en forma polar 1 =⇒ m = 1 ϕ=0 √ π 1 + i =⇒ m = 2 ϕ = 4 Ahora operamos el cociente en forma polar 1 10 1 10 √ √ √ = = = (1 + i)5 ( 2π/4 )5 4 25 π/4 4 2 3 π/4. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Complejos. MaTEX. y pasamos a forma binómica 3π 3π 1 1 1 √ (cos + i sen )=− + i 4 4 8 16 4 2 Ejercicio 25. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(52) Soluciones a los Ejercicios. 52. Ejercicio 26. A partir del gráfico es fácil observar que si a + b i es en forma polar mϕ , entonces Su conjugado a − b i en polar es m−ϕ Su opuesto −a − b i en polar es mπ+ϕ. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. a + bi. MaTEX Complejos. π+ϕ ϕ 0. −a − b i. −ϕ. a − bi. Ejercicio 26 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(53) Soluciones a los Ejercicios. 53. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 27. Sean z1 = mα y z2 = kβ . Planteamos un sistema y resolvemos. m mα = 4 = 40 k kβ α − β = 0 =⇒ α + β = 40 α + β = 40 m + k = 15 m + k = 15. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. m = 4 k =⇒ 5 k = 15 =⇒ k = 3 Los complejos pedidos son 1220o. Complejos. α = β =⇒ 2 α = 40 =⇒ α = β = 20 m = 12 320o Ejercicio 27. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(54) 54. r=A+lu. Ejercicio 28. Sean z1 = mα y z2 = kβ . Planteamos un sistema y resolvemos. m · k = 27 mα · kβ = 27 i = 2790o α + β = 90 =⇒ 2 2 mα = (kβ ) = k2β m = k2 α = 2β α = 2 β =⇒ 3 β = 90 =⇒ α = 60 m = k 2 =⇒ k 3 = 27 =⇒ k = 3 Los complejos pedidos son 960o. MATEMATICAS 1º Bachillerato A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. β = 30. Complejos. Soluciones a los Ejercicios. m=9 330o Ejercicio 28. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(55) 55. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 29. Sean z1 = mα el complejo buscado Su inverso es 10 1 1 = = mα mα m −α. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. El conjugado de z1 = mα es z̄1 = m−α y el opuesto de este es −z̄1 = mπ−α luego se tiene que cumplir que 1 1 = m3 = mπ−α =⇒ −2 α = π − α m2 −2 α. MaTEX Complejos. Soluciones a los Ejercicios. El complejo buscado es 1−π = 1π = −1 Ejercicio 29. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(56) Soluciones a los Tests. 56. r=A+lu. Soluciones a los Tests. A. m=. √. ϕ = arctan −. 4+4=. √. d. 8. B s=B+mv. 2 3π = arctan −1 = 2 4. CIENCIAS. Final del Test. MaTEX Complejos. Solución al Test: En efecto ( −2 + 2 i. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(57) MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Índice alfabético argumento, 11. d B s=B+mv. CIENCIAS. conjugado, 9. MaTEX Complejos. forma binomica, 6 cociente, 10 producto, 8 representación, 6 suma, 7 forma polar, 11 división, 17 potencia, 19 producto, 16 radicación, 20 forma trigonométrica, 13 módulo, 11 unidad imaginaria i, 3. 57. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
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