Ejercicios detallados del obj 1 Mat IV (735

Hola!!! Se que estas bien anímicamente y si este material llego a tus manos es porque ya estas preparado internamente para comenzar a profundizar en el estudio de la Matemática a distancia. Como quizás has revisado, se han escrito muchos libros de Matemática, tanto comerciales como los libros diseñados en las universidades a distancia, y ellos tienen, como todo en la vida, sus fortalezas y debilidades, pues fueron hechos por seres humanos, al igual que este sencillo y humilde material, así, por medio de este escrito se pretende fortalecer esa debilidad que a mi juicio tienen algunos escritos de Matemática.

En lo primero que debemos caer en la cuenta es QUE LA MATEMÁTICA ES LA ASIGNATURA MÁS SENCILLA DEL MUNDO, ya que si ciertamente posee complejidad, no quiere decir que no sea sencillo su aprendizaje y lo que más te facilitara dicho aprendizaje es tu ACTITUD, cambia tu interior, tu mente y tu exterior, es decir, tu ambiente tendrá que cambiar, ya que es imposible tener una clase de mente y otro tipo de ambiente (Emmet Fox), de manera que puedo concluir a través de la experiencia de años, que la actitud del estudiante, el tesón, en fin, un sentimiento positivo a aprehender es importante, por lo tanto el primer pago para lograr aprender Matemática es la vigilancia de tus pensamientos y emociones (motivaciones), es en superar ese primer obstáculo, ese obstáculo que muchos no ven, pero que esta allí y existe, me refiero a ti mismo, basta con que observes la trayectoria de algunos eventos de tu vida y te darás cuenta que ciertamente cuando has sentido esa energía positiva, esa fé, ese pleno convencimiento de algo, pues sucede. Fíjate que nadie discute si la Universidad Nacional Abierta (UNA) queda en Venezuela o si Simón Bolívar es el libertador de América, simplemente lo aceptamos como verdades absolutas sin la menor duda, pues de esa misma manera deberás convencerte que tu si puedes aprender Matemática, que puedes aprobarla, que puedes obtener las habilidades y destrezas para resolver distintos ejercicios y problemas, que si otros lo han logrado, tu también puedes, porque tu tienes esa chispa, ese poder que todos los seres humanos tenemos y que heredamos de nuestro único Dios padre-madre.

a ti solo, porque sencillamente no puedes, sin embargo, seguro que los problemas actuales de tu vida puedes resolverlos, busca siempre dentro de ti, intenta tener paz y calma para estudiar, de obtener el hábito de estudio mañanero que es el ideal, sin embargo, tu eliges, tu decides como, donde y cuando estudiar, y recuerda que siempre tienes 2 opciones: ser una víctima de la Matemática o aprender de ella, tiene mucho que enseñarte, desde la música, el cine, el celular y toda la tecnología reposa sobre la sólida base de la Matemática, e inclusive la naturaleza es Matemática por ser perfecta.

Quiero hacer hincapié en lo siguiente: ADEMÁS DE MOTIVARTE AL LEER ESTO EN ESTE INSTANTE DE TU VIDA, PROCURA SOSTENER ESA MOTIVACIÓN EN EL TIEMPO, CUANDO DEJES DE LEER ESTO, CUANDO CRUCES ESA PUERTA POR DONDE SALDRAS, TRATA, TRATA Y SIGUE TRATANDO DE MANTENERTE MOTIVADO, claro esta, es natural que como seres humanos tengamos altas y bajas emocionales y mentales, pero es precisamente en las bajas donde tu te demostraras que eres grande, que si puedes superar ese “bajón” y seguir adelante, ya que el problema no es caer, sino no permanecer caído, y entender que gracias a esas caídas, gracias a esos errores, aprendemos y crecemos como persona, como pareja, como hijo, como hija, como madre, como padre, como amigo, como amiga, como estudiante…

En la página https://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/ encontraras ayuda de múltiples maneras en la Matemática, e inclusive en la vida, porque estoy convencido que hay que buscar un equilibrio, una armonía de vida para lograr un aprendizaje significativo.

Este libro es abierto y se escribirá en forma continua, porque pretende dar respuesta y solución a los ejercicios y problemas que se te presenten, en formar un grupo de personas que nos ayudemos mutuamente, que pasemos los favores de conocimiento, en fin, lograr que tu amigo, amiga logres tus anheladas metas de no solo graduarte, sino de aprehender realmente Matemática y puedas multiplicar esta información a tu familia, amistades y todo aquel que lo necesite.

Espero este material te ayude, y me ayudes a mejorarlo con tus comentarios que me puedes hacer llegar a través de los correos: [email protected] y [email protected]

Gracias por leer este material y sobre todo gracias por creer en ti, y en la ayuda que estoy seguro encontraras. Si no observas el tema que te interesa desarrollar en este libro, dímelo y a la brevedad lo pondremos para tu beneficio, encontraras títulos abiertos de lo que pretendemos desarrollar para ti y donde corresponda puedes decirme lo que necesitas para avanzar a la medida de tus necesidades, por ejemplo, si lo que deseas desarrollar es de Matemática V, escribe a los correos y allí colocaremos el desarrollo que necesitas, este es un trabajo arduo pero con la inteligencia de Dios a través de nosotros nos permitirá lograr el objetivo, el objetivo de que APREHENDAS MATEMÁTICA, de nuevo GRACIAS!!! Estoy muy agradecido…

Capitulo IV Matemática IV (735)

Objetivo 1. Aplicar los conceptos de dominio, rango, curvas de nivel, límite y continuidad en la solución de problemas.

Ejercicio 1

Sea la función 2

:

f D⊂_ℝ →_ℝ definida por

(

)

2 2 2 2 2

( , ) x y

f x y

x y x y

=

+ − . Calcular

( ) ( )x y,lim→0,0 f x y

( )

, .

Solución

Ejemplos y comentarios de límites, continuidad, domino, rango y curvas de nivel

Para calcular límites de varias variables, no existe una regla que sigas al pie de la letra, es decir, tal como sucedía en funciones de una variable, no existe por decirlo de alguna manera una receta que te permita calcular todo límite al cual te enfrentes, sin embargo, te puedo mencionar que en límites de funciones de una variable es fundamental manejar muy bien la factorización, la racionalización, identidades trigonométricas, entre otros aspectos, y a pesar de manejar muy bien estas técnicas, la destreza de resolverlos se adquiría cuando soluciones varios tipos de límite que se te presenten, es por ello que a continuación presentaré varios casos de límites de funciones de varias variables, con la intención que tengas variedad de cómo enfrentarlos, conozcas los variados mecanismos válidos, pero, ten siempre en cuenta QUE TU ERES QUIEN TIENE QUE RESOLVER EJERCICIOS PARA QUE LOGRES OBTENER UN CONOCIMIENTO Y DOMINIO REAL DEL TEMA.

Solo trato de hacerte fácil los conocimientos básicos y el entendimiento de este tema, porque sé que dicho dominio depende de la lectura de muchos autores y haber resuelto una buena cantidad de límites.

Ahora recordemos lo que significa límite de una función. Límite significa que nos acercamos a un punto para conocer el comportamiento de la función cerca de dicho punto, es decir, evaluamos la función cerca, muy cerca del punto, para saber qué valores toma.

En funciones de una variable, nos acercábamos a un punto que se encontraba en el eje equis, así:

Es decir, solo existían 2 caminos, acercarse por la derecha o por la izquierda, y recuerda que usábamos el hecho de que si los limites laterales eran iguales, el límite existía, pero si dichos limites laterales eran diferentes el límite no existía, por contradecir, el teorema de unicidad del límite, que nos indica que el límite es único.

Es importante recalcar que todos los caminos que tomes deben pertenecer al dominio de la función que se te presente en el problema del límite.

Pasare a desarrollar algunos ejercicios claves, que espero te ayuden a precisar las distintas herramientas que se pueden utilizar para resolver límites de funciones de varias variables.

LOS EJERCICIOS QUE A CONTINUACIÓN SE

PRESENTAN, ESTAN RESUELTOS, POR ENDE, ES

IMORTANTE QUE ENTIENDAS QUE A MEDIDA QUE

TENGAS EXPERIENCIA RESOLVIENDO LIMITES SE TE

HARA MÁS SENCILLO SABER QUE HACER, PERO EN

UN PRINCIPIO RESOLVERAS EJERCICIOS Y TE

EQUIVOCARAS POR UN CAMINO, PERO AL TOMAR

OTRO CAMINO U OTROS CAMINOS RESOLVERAS LA

SITUACIÓN QUE ENFRENTES

a) Calcular

( ) ( )

2 2 ,lim0,0 x y

x y x y

→ +

Primero evaluemos dicho límite, para conocer la situación presente:

( ) ( )

2 2

2 2

, 0,0

0 .0 0 lim

0 0 0

x y

x y

x y

→ + = + =

Al evaluar el límite se obtuvo la forma indeterminada 0

0. Podrías pensar en aplicar el teorema de L’hôpital, sin embargo, NO PUEDES APLICAR DICHO TEOREMA A FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SOLO ES APLICABLE A FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Vamos a tomar trayectorias para acercarnos al punto límite que en este caso es el origen (0,0), para ello vamos a determinar el dominio de la función, para poder seleccionar las trayectorias o curvas sencillas válidas.

Como la función es de 2 variables, el dominio será un subconjunto del plano, es decir, de 2

ℝ .

Para determinar el dominio de la función 2

2

x y

x +y analizamos el numerador y el denominador, que en este caso son polinomios, por ende no presentan restricciones, sin embargo, al analizar la fracción, recordamos que no existe la división entre cero, por ello el denominador debe ser distinto de cero, es decir:

2

0

x + ≠y

Por lo tanto debemos excluir los puntos del plano tales que 2

0

x + =y , es decir los puntos sobre la parábola: 2

y= −x , grafiquemos esta situación:

El dominio de la función 2

2

x y

x +y es toda la región amarilla del plano, excepto los puntos que anulan al denominador, es decir, los puntos de la parábola: 2

Recuerda, calculamos el dominio, porque las curvas o trayectorias que seleccionemos, deben estar contenidas en el dominio de la función, además, claro está de pasar por el punto al cual tiende el límite.

Tomemos una trayectoria sencilla, que pertenezca al dominio (zona amarilla) y que pase por el origen (punto verde), para acercarnos pues al punto límite que es el origen en este caso.

Esta trayectoria puede ser la recta y=x. Dibujemos esta trayectoria:

Sustituyendo y=x en el límite planteado, se tiene:

( ) ( )

(

)

2 2 3 3 3

2 2 2

,lim0,0 lim0 lim0 lim0 ₁ lim0

x y x x x x

x y x x x x x

x y x x x x x x

→ + = → + = → + = → + = → _x

(

)

2 2

0

0 0

lim 0

1 0 1 1 1 x

x x

x+ = → + = + = =

¿Podemos concluir que el límite es cero?

NO

Tomemos ahora otra trayectoria sencilla, que pertenezca al dominio (zona amarilla) y que pase por el origen (punto verde), para acercarnos pues al punto límite que es el origen en este caso.

Esta trayectoria puede ser la parábola 2

y=x . Dibujemos esta trayectoria:

Sustituyendo 2

y=x en el límite planteado, se tiene:

( ) ( )

2 2 2 4 4

2 2 2 2

,lim0,0 lim0 lim0₂ lim0

x y x x x

x y x x x x

x y x x x

→ + = → + = → = → 2

2x

2 2

0

0 0

lim 0

2 2 2

x

x →

= = = =

¿Podemos concluir que el límite es cero?

NO

¿Por qué no?, porque ya te explique que hay infinitos caminos, y calcular todos los caminos es imposible, pero las trayectorias se pueden utilizar para bien saber el candidato a límite (en caso que por 2 o más caminos sigas obteniendo el mismo valor) o para lo que más se utiliza, que es para demostrar que el límite no existe, es decir, si por 2 caminos distintos, el límite arroja resultados diferentes puedes concluir sin temor a equivocarte que el límite no existe.

PRIMERO: Calcular: 2

2 0

lim

0

x

x y x y

y →

 

 

 ₊ 

 ₌ 

 

, el límite tiende a cero porque en el

límite original la variable equis tendía a cero y la función se evalúa en y=0 porque en el límite original la variable ye tendía a cero. Entonces obtenemos:

( )

( )

2 2

2 2 2

0 0 0

0 0

lim lim lim 0

0 0

x x x

x x y

x y x x

y

→ → →

  _{ }

 

 _{=  = =}

 

 ₊  _{ +   }

 ₌   

 

SEGUNDO: Simplemente se cambian o se iteran las variables equis y ye, observa:

Calcular: 2

2 0

lim

0

y

x y x y

x →

 

 

 ₊ 

 ₌ 

 

, el límite tiende a cero porque en el límite original la

variable ye tendía a cero y la función se evalúa en x=0 porque en el límite original la variable ye tendía a cero. Entonces obtenemos:

2 2

2 2

0 0 0

0 0

lim lim lim 0

0 0

y y y

x y y

x y y y

x

→ → →

 

   

 _{= = =}

   

 ₊  _{+  }

 

 ₌ 

 

Estos caminos iterados son bastante sencillos de aplicar, pero el hecho que den iguales NO GARANTIZA QUE ESE SEA EL VALOR DEL LÍMITE, lo que si puedes CONCLUIR es lo siguiente, si al aplicar límites iterados obtienes valores diferentes, pues EL LÍMITE NO EXISTE Y SE TERMINO EL EJERCICIO.

Ahora ¿Qué hacer?, hemos obtenido todos los valores iguales, pero, NO PUEDO CONCLUIR QUE ESE ES EL LÍMITE, ok! La respuesta es, vamos a intentar demostrar que el límite ciertamente es cero, para demostrarlo hay varias maneras, aplicare varias de ellas para que tu amiga y amigo estudiante selecciones la que a tu juicio sea más sencilla para ti.

USANDO LA DEFINICIÓN DE LÍMITE

La definición de límite épsilon-delta para funciones de 2 variables ( ) ( )x y,lim→0,0 f x y

( )

, =L es:

Dado un ε >0 ∃ un δ >0 / 0<

( ) (

x y, − x y₀, ₀

)

<δ ⇒ f x y

( )

, − <L ε Ahora te describiré la definición:

1) Épsilon: ε 2) Delta: δ

3) 0<

( ) (

x y, − x y₀, ₀

)

<δ: la distancia entre un punto genérico

( )

x y, y el

punto límite

(

x y0, 0

)

es mayor que cero y menor que delta.

4) f x y

( )

, − <L ε: la distancia entre la imagen f x y

( )

, y el límite L es menor que épsilon.

La definición de límite quiere decir que todo punto que se encuentre dentro de la circunferencia

( ) (

x y, − x y₀, ₀

)

<δ (circunferencia con centro en

(

x y0, 0

)

y radio δ ), tendrá su punto dentro de la circunferencia f x y

( )

, − <L ε (circunferencia con centro en L y radio ε), si esta condición se cumple, el límite existe.

Como se observa en el gráfico, recuerda que la circunferencia roja es la dada, (primera parte de la definición, “dado un ε”) y el trabajo consistirá en buscar una circunferencia de radio delta que garantice que todo punto DENTRO de ella (circunferencia verde) tenga su correspondiente punto DENTRO de la circunferencia roja.

En fin, esta vía para demostrar límites cosiste en buscar δ en función de ε partiendo o desarrollando f x y

( )

, −L y haciendo uso de

( ) (

x y, − x y₀, ₀

)

<δ.

Pasaré a aplicar este método para demostrar que el límite planteado es cero, es decir:

( ) ( )

2 2

,lim0,0 0

x y

x y x y

→ + =

El primer paso es escribir la definición para este caso particular: Dado un ε >0 ∃ un

( ) ( )

2 2

0 / 0 x y, 0, 0 x y 0

x y δ > < − <δ⇒ _{− <}ε

+

Fíjate como se sustituyó:

(

_{0 0}

) ( )

2

2

, 0, 0 , 0 y ( , ) x y

x y L f x y

x y

= = =

+ . El segundo paso es desarrollar 2 2

2 0 2

x y x y

x +y− = x +y hasta obtener las

estructuras: x y y , para aplicar: x

y

δ

δ

 _<  

<

siguiente análisis: De

( ) ( )

( )

2 2

, 0, 0 ,

x y − < →δ x y < →δ x +y <δ, se observa que

2 2

x +y es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo:

Y como los catetos tienen menor longitud que la hipotenusa, se tiene:

2 2

2 2

x x y

y x y  _{< +} 



< +



Y como 2 2

x +y <δ, se tiene:

2 2 2 2

2 2

2 2 y 2 2

x x y x x y x

x y

y

y x y y x y

δ δ

δ

δ δ

 _{< +}  _{< + <  <}

  

+ < ⇒ ⇒

  

<



< + < + < 

 

 

Pasemos pues a desarrollar 2

2

x y

x +y , observa:

2

2 2

2

2 2 2 2

x y x y x y x y

x +y = x +y = x +y = x +y

Ahora buscaremos una función mayor que la obtenida hasta ahora

2

2

x y x +y

, esto se logra eliminando del denominador el valor positivo. Observa que

en el denominador tenemos 2 sumandos 2

y

x y, pues eliminaremos x2 porque todo número elevado a un exponente par siempre es positivo, así se puede escribir:

2 2

2

x y x y y x +y <

Te explicare un poco más lo aplicado en esta última maniobra:

En el 95% de los casos se usa el hecho de comparar fracciones, ya que normalmente te darán fracciones en los límites que te pedirán calcular, por eso, procede así:

b) Disminuye el denominador quitando uno de los valores que está sumando, este valor a eliminar es el positivo.

Para que te quede bien claro estas dos reglas, las aplicare así. Busca una fracción mayor que la fracción 11

7 .

Bueno si dejo igual el numerador, y disminuyo el denominador quitado el 2, obtengo:

11 11 5 2+ ≤ 5

Claro, si disminuyo el denominador, dejando el numerador igual, siempre obtendré una fracción mayor que la dada, a este proceso se le llama mayorar.

Continuando, se observa que la última expresión obtenida se puede simplificar:

2

2 2 2

2 2

x y x y x y x y

y

x +y < → x +y < y

2

2 2

x y x x y → <

+

Como x <

δ

entonces podemos escribir del último resultado obtenido:

2 2

2 2

2 2

x y x y

x

x +y < → x +y <δ

Del último resultado

2

2 2

x y x +y <δ

y de 2

2

x y

x +y <ε , se tiene la siguiente comparación:

Por lo tanto:

2

δ = ∴ =ε δ ε

( ) ( )

2 2

,lim0,0 0

x y

x y x y

→ + =

Observaciones:

*El valor de delta y épsilon siempre es positivo.

*En general a valores pequeños de épsilon, siempre se obtendrán valores pequeños de delta, esto, porque al analizar límites se desea saber el comportamiento de la función en una vecindad muy cercana del punto límite.

USANDO EL TEOREMA DEL EMPAREDADO

El teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema del acotamiento, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías (Rusia), criterio del sándwich o teorema del sándwich) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. ESTE TEOREMA SE PUEDE APLICAR TANTO A FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, QUE ES NUESTRO CASO, COMO A FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Fíjate la utilidad del teorema del emparedado para resolver límites de funciones de varias variables.

El teorema del emparedado dice:

Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean, f g, y h funciones definidas en I , exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a se tiene:

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x

Y supongamos también que:

( )

( )

lim lim

x→ag x = x→ah x =L Entonces,

( )

lim

x→a f x =L

Para aplicar este teorema, debemos construir la desigualdad:

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x

La respuesta es sencilla, si observamos la función

2 2

x y

x +y se tiene que

2

0

x ≥ , sin embargo la variable y puede tomar valores positivos o negativos, por ende este elemento ye no nos permite garantizar que toda la función siempre es positiva, surgiendo la pregunta ¿cómo garantizo que toda la función dada sea positiva, es decir, mayor o igual que cero?, la respuesta es que debemos tomar el valor absoluto de toda la función, ya que el operador valor absoluto siempre arroja resultados positivos, así:

2 2 2

2

2 2 2 2

. .

x y x y x y

x y

x +y = x +y = x +y = x +y

Elimine el valor absoluto de 2

0

x ≥ porque sabemos que ya es positivo. Nuestro límite sería:

( ) ( )

2 2

, 0,0

. lim x y

x y

x y

→ +

Ahora podemos escribir:

2 2

.

0 x y

x y

≤ +

Que es la primera parte de la construcción de la desigualdad

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x .

Para completar la estructura y aplicar el teorema del emparedado,

buscamos una función mayor que la función dada

2 2

.

x y

x +y y sabemos que esto

se logra eliminando un término del denominador, tal como ya explique, es decir:

2 2

2

. .

x y x y

y x +y ≤

NOTA: Elimine el término 2

x por ser el término POSITIVO, ahora tenemos:

2

2 2 2

2 2

.

. . . x y

x y x y x y

y

x +y ≤ → x +y ≤ y

2

2 2

.

x y x

x y

→ ≤

+

2

2 2

.

0 x y x

x y

≤ ≤

+

Al procedimiento para llegar a

2

2 2

.

0 x y x

x y

≤ ≤

+ se le llama mayorar o acotar.

Como la intención es aplicar el teorema del emparedado, debemos calcular los límites de las funciones extremas, es decir, debemos calcular:

( ) ( )x y,lim→0,0 0 y ( ) ( ) 2 ,lim0,0

x y→ x

Y si ambos límites son iguales, podremos conocer el valor del

( ) ( )

2 2 ,lim0,0 x y

x y x y

→ + , procedamos: a)

( ) ( )x y,lim→0,0 0=0 porque el límite de una constante es igual a la constante

b)

( ) ( )

2 2

,lim0,0 0 0

x y→ x = =

En conclusión, como

( ) ( ) ( ) ( )

2

,lim0,0 0 ,lim0,0 0

x y→ = x y→ x = , entonces, por el teorema del emparedado:

( ) ( ) ( ) ( )

2 ₂

2 2

,lim0,0 0 ,lim0,0 0

x y x y

x y x y

x y

x y

→ + = ⇒ → + =

OJO: Cuando calculamos límites de valor absoluto, y da cero, se cumple:

Si

( ), ( 0,0)

lim 0

x y→x y f = entonces ( )x y, lim→(x y₀,₀) f =0

Por esto afirmamos

( ) ( ) ( ) ( )

2 ₂

2 2

,lim0,0 0 ,lim0,0 0

x y x y

x y x y

x y

x y

→ + = ⇒ → + =

USANDO EL TEOREMA DE LA SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Antes de enunciar dicho teorema hare algunos comentarios.

Es decir todo límite de la forma

( ), ( 0, 0)

lim ( , )

x y→x y f x y se puede transformar en:

( ) ( )x y,lim→0,0 f x y( , ) a través del cambio de variable

0 0

x u x y v y

= +

 

= +

 . Observa el siguiente

ejemplo: Calcular: ( ) ( ) 2 , 1,3 8 1 lim 3 x y y x y x → − −

− , con el cambio:

1 3 x u y v = +   = +

 se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

(

) (

)

( ) ( )

2

2 2

, 1,3 , 0,0 , 0,0

3 8 1 1

8 1 6 9 8 8 1

lim lim lim

3 3 3 1 3 3 3

x y u v u v

v u

y x v v u

y x v u v u

→ → → + − + − − − _{= =} + + − − − − + − + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

, 1,3 , 0,0

8 1 6 8

lim lim

3 3

x y u v

y x v v u

y x v u

→ →

− − ₌ + −

− −

II) El cambio de variable en coordenadas polares si el límite tiende a cero, es: cos x r y rsen

θ

θ

=   = 

En caso de que el límite no tienda a cero y no desees hacer el primer cambio de variable explicado en “I”, puedes hacer la siguiente sustitución:

0 0

cos

x x r

y y rsen

θ

θ

= +   = +  Observa: * ( ) ( )

(

)

2

(

)

2

, 0,0 0

cos 6 8 cos

6 8

lim lim

3 3 cos

u v r

u r rsen rsen r

v v u

v rsen

v u rsen r

θ

θ

θ

θ

θ

+

θ

θ

→ → = + −  + − _{→ →}  = −  − 2 2 0 2 0

6 8 cos

l

6 8 cos

lim

3 cos rim 3cos

r

rsen sen

r

r sen rsen r

rsen r sen

θ

θ

θ

θ

θ

+

θ

θ

θ

θ

θ

+ _→ → + −  _{+ −}    −  =  − ** ( ) ( )

(

)

(

)

(

)

2 2

, 1,3 0

1 cos 3 8 1 cos 1

8 1

lim lim

3

3 3 3 1 cos

x y r

x r rsen r

y x

y rsen

y x rsen r

θ

θ

θ

θ

+

θ

θ

→ → = + + − + −  − − → → = + −  + − +

2 2 2 2

0 0

9 6 8 8 cos 1 6 8 cos

lim lim

3 3 3 cos 3 cos

r r

rsen r sen r rsen r sen r

rsen r rsen r

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

+ + → → + + − − − ₌ + − + − − − 2 2 0 2 0

6 8 cos

l

6 8 cos

lim

3 cos rim 3cos

r

sen rsen

r

rsen r sen

s

r

rsen r en

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

+ + _→ → + −  _{+ −}    −  =  −

Explicado lo anterior, continuamos. El teorema de sustitución trigonométrica para demostrar que el límite existe o que no existe es el siguiente:

TEOREMA. Supongamos que se pude descomponer la función F r

( )

,

θ

de esta forma:

( )

, ( ) ( )

F r

θ

=h r G

θ

Donde además:

a)

0

lim ( ) 0

r→ +h r = . (Se calcula r tendiendo a cero por la derecha porque r siempre es mayor que cero, es decir, r≥0)

b) G( )θ está acotada en

[

0, 2

π

]

Entonces:

( ) ( )x y,lim→0,0 f x y

( )

, =0

Fíjate que este teorema solo permite demostrar que un límite vale cero, sin embargo, se puede aplicar para demostrar también límites que no dan cero, ya que demostrar

( ) ( )x y,lim→0,0 f x y( , )=L es lo mismo que demostrar:

( ) ( )x y,lim→0,0

(

f x y( , )−L

)

=0.

III) Para aplicar este teorema debes saber analizar cuando una función trigonométrica está o no está acotada en el intervalo

[

0, 2

π

]

:

ALGUNAS FUNCIONES ACOTADAS EN EL INTERVALO

[

0, 2

π

]

*senθ

*cosθ

ALGUNAS FUNCIONES NO ACOTADAS EN EL INTERVALO

[

0, 2

π

]

Básicamente debes observar si se anula el denominador de la fracción, ya que la división entre cero no existe, haciendo tender la expresión a infinito y por ende NO ESTAR ACOTADA.

* 1

senθ Esta función no está acotada porque senθ =0 en 0 y 2π , y 0 y 2π

* 1

cosθ Esta función no está acotada porque cosθ =0 en 2

π

y 3 2 π , y 2 π y 3 2 π

pertenecen al intervalo

[

0, 2

π

]

.

* 3 2 2 cos cos sen

θ

θ

−

θ

Esta función no está acotada porque

2 2 2 2 2 2

cos

θ

−sen

θ

= →0 cos

θ

=sen

θ

→ cos

θ

= sen

θ

→cos

θ

=sen

θ

y esta igualdad ocurre cuando

4

π

θ

= que pertenece al intervalo

[

0, 2

π

]

.

IV) Por último, si el límite queda dependiendo del ángulo teta (θ) el límite no existe.

Un ejemplo de esta situación es:

( ) ( )_{x y,}lim_0,0 2 2

xy

x y

→ +

Efectuando la sustitución trigonométrica:

( ) ( )

(

) (

)

(

)

2 2

2 2

2 2 2 2 2

, 0,0 0 0 0

cos cos

lim lim lim lim

cos cos

x y r r r

xy r rsen r sen r

x y r rsen r sen

θ

θ

θ θ

θ

θ

θ

θ

+ + + → → → → × = = =

+ + + 2

cos sen

r

θ θ

( )

1

0

lim cos cos

r→ + θ θsen = θ θsen

Como el límite queda dependiendo solo del ángulo θ el límite no existe.

Pasemos a aplicar pues, dicho teorema a nuestro límite que te recuerdo consiste en demostrar que

( ) ( )

2 2

,lim0,0 0

x y

x y

x y

→ + =

Aplicando el cambio: x rcos

y rsen

θ

θ

=   =

 , se tiene:

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

2

2 2 2 3 2

2

2 2 2 2

, 0,0 0 0 0

cos cos cos

lim lim lim lim

cos cos

cos

x y r r r

r rsen

x y r rsen r sen

x y r rsen r rsen r r sen

Fíjate que esta la función

( )

2 2

2

cos ,

cos

r sen

F r

r sen

θ θ

θ

θ

θ

=

+ no se puede

descomponer en F r

( )

,

θ

=h r G( ) ( )

θ

, por ende no es aplicable el teorema en este caso.

b) Calcular

( ) ( ), 0,0

. lim

x y

senx seny

x y

→ +

Primero evaluemos dicho límite, para conocer la situación presente:

( ) ( ), 0,0

. 0. 0 0.0 0 0

lim

0 0 0 0 0

x y

senx seny sen sen

x y

→ + = + = = =

Al evaluar el límite se obtuvo la forma indeterminada 0

0. Podrías pensar en aplicar el teorema de L’hôpital, sin embargo, NO PUEDES APLICAR DICHO TEOREMA A FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SOLO ES APLICABLE A FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Ahora bien, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema del acotamiento, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías (Rusia), criterio del sándwich o teorema del sándwich) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. ESTE TEOREMA SI SE PUEDE APLICAR TANTO A FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, QUE ES NUESTRO CASO, COMO A FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Fíjate la utilidad del teorema del emparedado para resolver límites de funciones de varias variables.

El teorema del emparedado dice:

Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean, f g, y h funciones definidas en I , exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a se tiene:

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x

Y supongamos también que:

( )

( )

lim lim

( )

lim

x→a f x =L

Para aplicar este teorema, debemos construir la desigualdad:

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x

Te preguntaras en este momento ¿Pero cómo lo hago?

La respuesta es sencilla, tomas la función que te dan y observas si la misma es positiva, por ejemplo, nuestra función es senx seny.

x + y , observa que al

existir la función valor absoluto tanto en el numerador como en el denominador podemos afirmar sin temor a equivocarnos que la función siempre es positiva, es decir:

. 0 senx seny

x y

≤ +

Fíjate que hasta aquí, ya tenemos parte de la estructura

( )

( ) ( )

g x ≤ f x ≤h x , es decir, hasta aquí tenemos g x

( )

≤ f x

( )

, ahora procederemos a buscar una función h x

( )

que complete la estructura buscada, de nuevo te preguntarás Pero por Dios ¿Cómo busco esa función?.

Respuesta, como tanto el numerador y el denominador son positivos, podemos mayorar como mencione, dejemos el numerador sin alterar, y disminuyamos el denominador, ¿Cómo disminuimos el denominador?, en este caso tenemos la suma de 2 números positivos, es decir xy y , por lo tanto

elimina cualquiera de ellos, en este caso eliminare y , obteniendo senx seny.

x y

como se que el denominador es menor, es decir, evidentemente x < +x y , podemos concluir que:

. .

senx seny senx seny

x + y ≤ x

Por lo ya explicado de la fracción mayorante.

De manera que ahora tenemos la estructura completa:

. .

0 senx seny senx seny

x y x

≤ ≤

Como la intención es aplicar el teorema del emparedado, debemos calcular los límites de las funciones extremas, es decir, debemos calcular:

( ) ( )x y,lim→0,0 0 y ( ) ( ), 0,0

. lim

x y

senx seny

x

→

Y si ambos límites son iguales, podremos conocer el valor del

( ) ( ), 0,0

. lim

x y

senx seny

x y

→ + , procedamos:

a)

( ) ( )x y,lim→0,0 0=0 porque el límite de una constante es igual a la constante

b)

( ) ( ), 0,0 ( ) ( ), 0,0 ( ) ( ), 0,0 ( ) ( ), 0,0 ( ) ( ), 0,0

. .

lim lim lim . lim . lim

x y x y x y x y x y

senx seny senx seny senx senx

seny seny

x x x x

→ = → = → = → →

Aplique la propiedad de valor absoluto A B. = A B. Recordando el límite especial o notable:

0

lim 1

x

senx x

→ = , tenemos:

( ) ( )x,ylim0,0 .( ) ( )x y,lim0,0 ( ) ( )x y,lim0,0 .( ) ( )x y,lim0,0 1.0 0 sen

senx

seny x seny

x

x → → →

→ = = =

En conclusión, como

( ) ( ), 0,0 ( ) ( ), 0,0

.

lim 0 lim 0

x y x y

senx seny x

→ = → = , entonces, por el

teorema del emparedado:

( ) ( ), 0,0

.

lim 0

x y

senx seny

x y

→ + =

c) Calcular

( ) ( )_{, 0,0} 2 2

1 lim

xy

x y

e

x y

→

− + .

Evaluemos para conocer la situación que se nos presenta:

( ) ( )

( ) ( )

0.0 0

2 2

2 2

, 0,0

1 1 1 1 1 0

lim

0 0 0

0 0

xy

x y

e e e

x y

→

− ₌ − ₌ − ₌ − ₌

+ ₊

Se obtiene una forma indeterminada.

Para calcular este límite hare uso del hecho ya explicado en cuanto a trayectorias. Ya te comente que en varias variables hay infinitos caminos, es importante mencionarte que estos caminos deben pertenecer al dominio de la función, por lo tanto, analicemos primero cual es el dominio de la función dada para poder seleccionar trayectorias válidas. Como la función es de 2 variables, el dominio será un subconjunto del plano, es decir, de 2

Observando el numerador de la función ₂ 1₂ xy e

x y

−

+ , encontramos que existe para todo punto del plano, ya que la función exponencial xy

e no tiene restricciones.

El denominador también existe para todo punto del plano, ya que se trata de un polinomio 2 2

x +y .

Finalmente, observando la fracción ₂ 1₂ xy e

x y

−

+ , se tiene la restricción de que el denominador debe ser diferente de cero, ya que la división entre cero no existe, es decir, 2 2

0

x +y ≠ . Ahora bien, el único punto donde 2 2

0

x +y = es el origen, por ende, el dominio de la función dada es todo el plano real menos el origen, graficando esta situación:

Recuerda, SIEMPRE LAS TRAYECTORIAS QUE SELECCIONES DEBEN PERTENECER AL DOMINIO DE LA FUNCIÓN Y PASAR POR EL PUNTO AL CUAL TIEDE EL LÍMITE.

Esta trayectoria puede ser la recta y=x. Dibujemos esta trayectoria:

Sustituyendo y=x en el límite planteado, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

2 .

2 2 2 2 2

, 0,0 , 0,0 0

1 1 1

lim lim lim

2

xy x x x

x y x x x

e e e

x y x x x

→ → →

− ₌ − ₌ −

+ +

Observa que el límite ahora es de una variable, evaluemos:

( )

2 ₀2

2 2

0

1 1 1 1 0

lim

2 2 0 0 0

x x

e e

x

→

− ₌ − ₌ − ₌

Tenemos la forma indeterminada 0

0 y como la función es de una sola variable, podemos aplicar L’hôpital, es decir, derivar tanto el numerador como el denominador y evaluar, es decir:

(

)

( )

( )

2 ₂ 2

2

'

' 2

0 0 2 0 0

1 ₂ 2

1

lim lim lim lim

2 ₂ 4

x _x x

x

x x x x

e _{e x} e x

e

x _x x

→ → → →

−

− = = =

( )

4x

( )2

2 ₀

0

2 1 1 1

lim .1

4 2 2 2

x

x→ e e

= = = =

¿Podemos concluir que el límite es 1

2?

NO

bien saber el candidato a límite (en caso que por 2 o más caminos sigas obteniendo el mismo valor) o para lo que más se utiliza, que es para demostrar que el límite no existe, es decir, si por 2 caminos distintos, el límite arroja resultados diferentes puedes concluir sin temor a equivocarte que el límite no existe.

Tomemos ahora otra trayectoria sencilla, que pertenezca al dominio (zona amarilla) y que pase por el origen (punto rojo), para acercarnos pues al punto límite que es el origen en este caso.

Esta trayectoria puede ser la parábola 2

y=x . Dibujemos esta trayectoria:

Sustituyendo 2

y=x en el límite planteado, se tiene:

( ) ( ) _{( )} ( )

( )

2 3

2

. 2

2 2 2 4

, 0,0 , 0,0 2 2 0

1 1 1

lim lim lim

xy x x x

x y x x x

e e e

x y _{x x} x x

→ → →

− ₌ − ₌ −

+ ₊ +

Observa que el límite ahora es de una variable, evaluemos:

( ) ( )

3 ₀3

2 4

2 4

0

1 1 1 1 0

lim

0 0

0 0

x x

e e

x x

→

− ₌ − ₌ − ₌

Tenemos la forma indeterminada 0

0 y como la función es de una sola variable, podemos aplicar L’hôpital, es decir, derivar tanto el numerador como el denominador y evaluar, es decir:

(

)

(

)

( )

(

( )

)

3 2 2 2

3

'

2

2 2

'

2 4 3 2

0 0 2 4 0 0 0

1 3 3 3

1

lim lim lim lim lim

2 4 2 4

x x x x

x

x x x x x

e e x e x e x

e

x x _{x x} x x x x

→ → → → →

−

− = = = =

+ ₊ + +

( )

x

(

2 4+ x2

)

( )

( )

(

_{( )}

)

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2 2

2 0 0

2 2

0

3 0

3 0 1. 0 0

lim 0

2 4 2 4 0 2 0 2 2

x

x

e

e x e

x

→ + = ₊ = + = = =

Se observa claramente que con 2 trayectorias distintas se obtuvieron resultados diferentes, por una trayectoria 1

2 y por la otra trayectoria 0, por lo tanto contradice el teorema de unicidad del límite que nos indica que el límite es único, en conclusión el límite dado NO EXISTE.

d) Calcular

( ) ( )

( )

3

4 4

, 0,0

. . lim x y

x y sen y

x y

→ +

Primero evaluemos dicho límite, para conocer la situación presente:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

3 3 4 4 4 4 , 0,0

0 . 0 . 0

. . _{0.0 0}

lim

0 0

0 0

x y

sen x y sen y

x y

→ + = ₊ = =

Ojo con esto a continuación. En este tipo de límite se acostumbra a multiplicar y dividir por el argumento de la función trigonométrica, en este caso

3

y , con el objetivo de tener la estructura de límite notable

( )

0 lim 1 u sen u u → = , entonces: ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3 ₃ 4 3

4 4 3 4 4 3

, 0,0 , 0,0

. . . . ₁

lim lim

x y x y

x y sen y _y x y sen y

x y y x y y

→ + = → +

Separando convenientemente para crear la estructura sen u

( )

u , podemos

escribir:

( ) ( )

( )

4

, 0,0 4

3 3 4 . lim x y x y x sen y y y

→ + i

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4

4 4

, 0,0 , 0,0

3 3

lim . lim

x y x y

x y sen

y

y

y

x

→ + i →

Ahora analicemos cada uno de estos límites: *)

( ) ( ), 0,0

4

4 4

.

lim

x y

x y

x y

→ +

En este tipo de límite se acostumbra aplicar el teorema del emparedado ya explicado suficientemente. Recuerda que el primer paso es garantizar que la función es mayor que cero para poder escribir la primera parte de la estructura de desigualdades o acotaciones.

Si observamos la función

4

4 4

.

x y

x +y se tiene que 4

0

y ≥ y 4 4

0

x +y ≥ por

tener exponentes pares. Sin embargo la variable x puede tomar valores positivos o negativos, y precisamente este elemento equis no nos permite garantizar que toda la función siempre es positiva, surgiendo la pregunta ¿cómo garantizo que toda la función dada sea positiva, es decir, mayor o igual que cero?, la respuesta es que debemos tomar el valor absoluto de toda la función, ya que el operador valor absoluto siempre arroja resultados positivos, así:

4 4 4

4

4 4 4 4 4 4 4 4

. . .

. x y x y x y

x y

x +y = x +y = x +y = x +y

Elimine el valor absoluto de 4

0

y ≥ y 4 4

0

x +y ≥ porque sabemos que ya son positivas.

Nuestro límite sería:

( ) ( ), 0,0

4

4 4

.

lim x y

x y

x y

→ +

Ahora podemos escribir:

4

4 4

.

0 x y

x y

≤ +

Y para completar la estructura completa y aplicar el teorema del

emparedado, buscamos una función mayor que la función dada

4

4 4

.

4 4

4 4 4

. .

x y x y

x +y ≤ y NOTA: Elimine el término 4

x por conveniencia, porque ahora puedo simplificar la expresión a la derecha, observa:

4 4

4 4

.

. x y

x y

x +y ≤ 4

y

4

4 4

.

x y x

x y

→ ≤

+

Finalmente se tiene la estructura de desigualdades completas:

4

4 4

.

0 x y x

x y

≤ ≤

+

Recuerda que al procedimiento para llegar a

4

4 4

.

0 x y x

x y

≤ ≤

+ se le llama

mayorar o acotar.

Como la intención es aplicar el teorema del emparedado, debemos calcular los límites de las funciones extremas, es decir, debemos calcular:

( ) ( )x y,lim→0,0 0 y ( ) ( )x y,lim→0,0 x

Y si ambos límites son iguales, podremos conocer el valor del

( ) ( ), 0,0

4

4 4

.

lim

x y

x y

x y

→ + , procedamos:

a)

( ) ( )x y,lim→0,0 0=0 porque el límite de una constante es igual a la constante

b)

( ) ( )x y,lim→0,0 x = =0 0

En conclusión, como

( ) ( )x y,lim→0,0 0=( ) ( )x y,lim→0,0 x =0, entonces, por el teorema

del emparedado:

( ) ( ), 0,0 4 ( ) ( ), 00

4

4 _,

4

4 4

. .

0 0

lim lim

x y x y

x y x y

x y x y

→ + = ⇒ → + =

OJO: Recuerda que calculamos el límite del valor absoluto, sin embargo, en este caso aplica ya que:

Si

( ), ( 0,0)

lim 0

x y→x y f = entonces ( )x y, lim→(x y₀,₀) f =0

**)

( ) ( )

( )

( )

, 0,0 0

3 3

3 3

lim lim

x y y

sen y sen y

y y

En este caso hacemos uso del límite notable:

( )

0 lim 1 u sen u u

→ = , y esto lo podemos lograr de dos maneras, efectuaré las 2 maneras y tu seleccionas con la cual te identifiques o te sientas más cómoda o cómodo:

*Con el cambio de variable

3 0 0 u y y u  ₌  → ⇒ _→

 , se tiene:

( )

3

( )

3

0 0

lim lim 1

y u

sen y sen u

y u

→ = → =

**Como la función es de una sola variable puedes aplicar L’Hôpital:

( )

( ) ( )

( )

( )

0 2 3 0 2 3

3 ₀ 2

3 3

lim lim cos lim

3

y y y

y sen y y y

y y → = → = →

( )

( )

3 2 cos 3 y

y 0

( )

( )

3 cos

lim cos 0 1

y→ y

= = =

De cualquier manera este límite es uno, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

, 0,0 4 4 , 0,0

3 3

4

lim . lim 0.1 0

x y x y

sen y

x y

y y

x

→ + i → = =

Finalmente:

( ) ( )

( )

3

4 4

, 0,0

. .

lim 0

x y

x y sen y

x y → + = e) Calcular ( ) ( ) 3 2 , 0,0 . lim x y x y x y → +

En este tipo de límite se acostumbra aplicar el teorema del emparedado ya explicado suficientemente. Recuerda que el primer paso es garantizar que la función es mayor que cero para poder escribir la primera parte de la estructura de desigualdades o acotaciones.

Si observamos la función

3 2

.

x y

x + y se tiene que

2

0

y ≥ y x + ≥y 0, el

de toda la función, ya que el operador valor absoluto siempre arroja resultados positivos, así:

3 2 3 2 3 2

3 2 _{. . .}

. x y x y x y

x y

x + y = x + y = x + y = x + y

Elimine el valor absoluto de 2

0

y ≥ y x + ≥y 0 porque sabemos que ya son positivas.

Nuestro límite sería:

( ) ( )

3 2

, 0,0

. lim x y

x y

x y

→ +

Ahora podemos escribir:

3 2

.

0 x y

x y

≤ +

Y para completar la estructura completa y aplicar el teorema del

emparedado, buscamos una función mayor que la función dada

3 2

.

x y

x + y y

sabemos que esto se logra eliminando un término del denominador, tal como ya explique, es decir:

3 2 3 2

. .

x y x y

x + y ≤ x

NOTA: Elimine el término y por conveniencia, porque ahora puedo simplificar la expresión a la derecha, observa:

3

3 2

.

x y x

x + y ≤

2 .y

x

3 2

2 ₂

.

.

x y

x y x y

→ ≤

+

Finalmente se tiene la estructura de desigualdades completas:

3 2

2 ₂

.

0 x y x .y

x y

≤ ≤

+

Recuerda que al procedimiento para llegar a

3 2

2 ₂

.

0 x y x .y

x y

≤ ≤

+ se le

llama mayorar o acotar.

( ) ( )x y,lim→0,0 0 y ( ) ( )

2 2

,lim0,0 .

x y→ x y

Y si ambos límites son iguales, podremos conocer el valor del

( ) ( )

3 2

, 0,0

. lim x y

x y

x y

→ + , procedamos:

c)

( ) ( )x y,lim→0,0 0=0 porque el límite de una constante es igual a la constante

d)

( ) ( )

2 ₂

,lim0,0 . 0.0 0

x y→ x y = = En conclusión, como

( ) ( ) ( ) ( )

2 ₂

,lim0,0 0 ,lim0,0 . 0

x y→ = x y→ x y = , entonces, por el teorema del emparedado:

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 _{3 2}

, 0,0 , 0,0

. _.

lim 0 lim 0

x y x y

x y _{x y}

x y x y

→ + = ⇒ → + =

6) Calcular

( ) ( )

(

)

(

)

4 ₂

8 ₄

, 1,0

1 . lim

1 x y

x y

x y

→

− − +

Evaluemos para conocer la situación que se nos presenta:

( ) ( )

(

)

(

)

( )

( )

4 ₂ 4 ₂

8 ₄ 8 ₄

, 1,0

1 . 1 1 .0 0.0 0

lim

0 0 0

1 1 1 0

x y

x y

x y

→

− −

= = =

+

− + − +

Se obtiene una forma indeterminada.

Para calcular este límite hare uso del hecho ya explicado en cuanto a trayectorias. Ya te comente que en varias variables hay infinitos caminos, es importante recordarte que estos caminos deben pertenecer al dominio de la función, por lo tanto, analicemos primero cual es el dominio de la función dada para poder seleccionar trayectorias válidas. Como la función es de 2 variables, el dominio será un subconjunto del plano, es decir, de 2

ℝ .

Observando el numerador de la función

(

)

(

)

4 ₂

8 ₄

1 . 1

x y

x y

−

− + , encontramos que existe para todo punto del plano, ya que se trata de una función polinómica que no tiene restricciones.

Finalmente, observando la fracción

(

)

(

)

4 ₂

8 ₄

1 . 1

x y

x y

−

− + , se tiene la restricción de que el denominador debe ser diferente de cero, ya que la división entre cero no existe, es decir,

(

)

8 4

1 0

x− +y ≠ . Ahora bien, el único punto donde

(

)

8 4

1 0

x− +y = es

( )

1, 0 , por ende, el dominio de la función dada es todo el plano real menos el punto

( )

1, 0 , graficando esta situación:

Recuerda, SIEMPRE LAS TRAYECTORIAS QUE SELECCIONES DEBEN PERTENECER AL DOMINIO DE LA FUNCIÓN Y PASAR POR EL PUNTO AL CUAL TIEDE EL LÍMITE.

Tomemos una trayectoria sencilla, que pertenezca al dominio (zona amarilla) y que pase por el punto

( )

1, 0 (punto rojo), para acercarnos pues al punto límite.

Sustituyendo y= −x 1 en el límite planteado, se tiene:

( )

( )

(

)

4 _{2 6 6 6}

8 4 8 4 4 4

0 0 0 0

.

lim lim lim lim

1

y y y y

y y y y y

y y y y

y y

→ ₊ = → + = → + = → 4

y

(

)

2 2

4 4

4 0

0 0

lim 0

1 0 1 1

1 y

y y

y + = → + = + = =

¿Podemos concluir que el límite es cero?

NO

¿Por qué no?, porque ya te explique que hay infinitos caminos, y calcular todos los caminos es imposible, pero las trayectorias se pueden utilizar para bien saber el candidato a límite (en caso que por 2 o más caminos sigas obteniendo el mismo valor) o para lo que más se utiliza, que es para demostrar que el límite no existe, es decir, si por 2 caminos distintos, el límite arroja resultados diferentes puedes concluir sin temor a equivocarte que el límite no existe.

Tomemos ahora otra trayectoria sencilla, que pertenezca al dominio (zona amarilla) y que pase por el punto

( )

1, 0 (punto rojo), para acercarnos pues al punto límite que es

( )

1, 0 en este caso.

Sustituyendo y= −

(

x 1

)

2 en el límite planteado, se tiene:

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

4 2 2 2 4 4

8 ₄ 4 4 ₄ 4

, 1,0 , 1,0 2 ₄ , 1,0 , 1,0 , 1,0

1 .

1 . .

lim lim lim lim lim

2

1 ₁

x y x y x y x y x y

x y _y

x y y y y

y

x y _{x y} y y

→ → → → →

− −

= = = =

− + _{− +} + 4

2y

1 2 =

Se observa claramente que con 2 trayectorias distintas se obtuvieron resultados diferentes, por una trayectoria 0 y por la otra trayectoria 1

2, por lo tanto contradice el teorema de unicidad del límite que nos indica que el límite es único, en conclusión el límite dado NO EXISTE.

f) Calcular

( ) ( )

3 3

, 0,0

8 lim

2

x y

x y x y →

+ +

Evaluemos para conocer la situación que se nos presenta:

( ) ( )

( )

( )

3 3

3 3

, 0,0

0 8 0

8 0 0 0

lim

2 0 2 0 0 0 0

x y

x y

x y

→

+

+ _{= =} + ₌

+ + +

Se obtiene una forma indeterminada.

(

)

(

)

3 3 2 2

a + =b a b a+ −ab b+

Observa que: 3 3 3

( )

3

8 2

2

a x

x y x y

b y =



+ = + →

=

 , sustituyendo en la fórmula anterior, se obtiene el límite:

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )

(

)

2 2 3 3

, 0,0 , 0,0 , 0,0

2 2 2 2

8

lim lim lim

2 2

x y x y x y

x y x xy y x y

x y

x y x y

→ → → + − + + + _{= =} + +

(

)

2 2 2 4 2

x xy y

x y − + + ( ) ( )

(

)

( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

,lim0,0 2 4 0 2 0 0 4 0 0 x y→ x − xy+ y = − + =

Pasaremos a demostrar que ciertamente este límite es cero. Para ello aplicaré la definición de límite, a saber:

Dado un ε >0 ∃ un

( ) ( )

2 2

0 / 0 x y, 0, 0 x 2xy 4y 0

δ > < − <δ⇒ _{− + − <}ε

El segundo paso es desarrollar 2 2 2 2

2 4 0 2 4

x − xy+ y − < →ε x − xy+ y <ε

hasta obtener las estructuras: x y y , para aplicar: x

y

δ

δ

 _<   <

 . Estas estructuras

se obtienen del siguiente análisis: De

( ) ( )

( )

2 2

, 0, 0 ,

x y − < →δ x y < →δ x +y <δ, se observa que 2 2

x +y es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo:

Y como los catetos tienen menor longitud que la hipotenusa, se tiene:

2 2

2 2

x x y

y x y  _{< +} 



< +



Y como 2 2

x +y <δ, se tiene:

2 2 2 2

2 2

2 2 y 2 2

x x y x x y x

x y

y

y x y y x y

δ δ

δ

δ δ

 _{< +}  _{< + <  <}

  

+ < ⇒ ⇒

  

<



< + < + < 

 

 

Pasemos pues a desarrollar 2 2

2 4

x − xy+ y <ε, observa:

2 2

2 2 2 2

2 4 2 4 2 4

x − xy+ y ≤ x + − xy+ y = x + x y + y