SISTEMAS DE ECUACIONES
CON
2
INC ´
OGNITAS
1.
¿M´
as inc´
ognitas?
Como trabajar con 1 sola inc´ognita era muy fome, ahora lo haremos con 2 inc´ognitas: x e y. Para efectos PSU, estas inc´ognitas siempre ser´an presentadas de manera lineal, es decir, a lo m´as estaran elevadas a 1.
Ejemplo 1 Una ecuaci´on lineal con 2 inc´ognitas es x+y= 5.
Ojo 1 Esta ecuaci´on tiene infinitas soluciones puesto que podemos elegir cualquier x que queramos, y basta con tomar y = 5−x para encontrar la otra inc´ognita. Por ejemplo, si escogemos x = 0 entonces tomamos y = 5, si escogemos x= 1, tomamos y= 4, etc.
Un sistema de ecuaciones lineales con 2 incognitas esta constituido por 2 o m´as ecuaciones lineales que involucran estas 2 inc´ognitas. En general son de la forma
Ax + By = C
Dx + Ey = F ,
donde A, B, C, D, E, F ∈ R son los coeficientes. Al par ordenado (x, y) que satisface ambas ecuaciones simult´aneamente se le llama soluci´on del sistema.
Ojo 2 Para resolver un sistema de n inc´ognitas, necesitamos al menos n
ecuaciones.
2.
¡A resolver!
Existen 3 m´etodos pa resolver sistemas de ecuaciones lineales:
1. Por Sustituci´on: consiste en despejar en una ecuaci´on una de las 2 va-riables para luego reemplazar su valor en la otra ecuaci´on y as´ı obtener una ecuaci´on con una sola inc´ognita.
3. Por Gr´afica: consiste en graficar ambas ecuaciones lineal como rectas y encontrar el punto de intersecci´on (x, y). Como este punto pertenece a ambas rectas, satisface ambas ecuaciones y por lo tanto es soluci´on del sistema.
Ejemplo 2 Resolver el sistema 2x + 2y = 4
x − y = 2
Primero resolvamos porsustituci´on. Despejemosxde la segunda ecuaci´on:
x−y= 2⇒x= 2 +y.
Reemplazemos en la primera ecuaci´on
2x+ 2y = 4⇒2(2 +y) + 2y= 4⇒4 + 4y= 4⇒4y= 0⇒y= 0.
Finalmente, reemplazamos este valor de y en la segunda ecuaci´on,
x−y= 2⇒x−0 = 2⇒x= 2.
Ahora, resolvamos por reducci´on. Dividamos la primera ecuaci´on por 2
para obtener
x+y= 2.
Sumemosla con la segunda ecuaci´on
(x+y) + (x−y) = 2 + 2⇒2x= 4⇒x= 2.
Finalmente, reemplazamos este valor de x en la segunda ecuaci´on
x−y= 2⇒2−y= 2⇒ −y= 0⇒y= 0.
Para terminar, resolvamosgr´aficamente. Despejemosy en ambas ecuacio-nes
2x+ 2y = 4⇒2y=−2x+ 4⇒y=−x+ 2,
Ahora, grafiquemos ambas rectas
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=x−2
y=−x+ 2 (2,0)
x y
Por lo tanto, como las rectas se intersectan en el punto (2,0) concluimos quex= 2 e y= 0.
Ojo 3 Para despejar no importa cu´al de las dos variables se considere. Es recomendable escoger la que sea m´as f´acil de despejar.
Sea el sistema Ax + By = C
Dx + Ey = F , entonces El sistema tiene solucion unica si A
D 6= B E. El sistema tiene infin´ıtas soluciones si A
D = B E =
C F. El sistema no tiene soluci´on si A
D = B E 6=
C F.
3.
Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.
1. El par ordenado (5,4) es soluci´on del (los) sistema(s): I) 3x+ 4y = 31
2x+ 3y = 22 II)
x+y = 9
−3x+ 2y = −7 III)
2x−y = 6 x−y = 1
a) S´olo I
b) S´olo I y II
c) S´olo I y III
d) S´olo II y III
e) I, II y III
2. Para que el par ordenado (2,3) sea soluci´on del sistema mx−y = 7 x+ny = 8 los valores dem yndeben ser, respectivamente,
a) 2 y 5
b) 2 y 6
c) 5 y 2
d) 3 y 5
e) 10 y 3
3. La figura es la soluci´on gr´afica del sistema
a) −x+y = −2
−x+y = 3
b) −x+y = 2
x−y = 3
c) 2x−2y = 4 3x−3y = 3
d) −3x+ 3y = 2
x−y = 3
e) −x−y = −2
−x−y = 3
−3 2
−2 3
4. Sea el sistema x+y = −2 2x−3y = −5 .
Despejandox en una de las ecuaciones y sustituy´endola en la otra, se obtiene
a) 5y+ 9 = 0
b) 5y+ 1 = 0
c) 5y−1 = 0
d) 4y−1 = 0
e) y−1 = 0
5. En el sistema 2x−y = −1 5x−7y = 16 .
Al eliminar la inc´ognitay por el m´etodo de reducci´on se obtiene
a) 23 + 9x= 0
b) 23−9x= 0
c) 9x+ 9 = 0
d) 6x−23 = 0
e) 19x−23 = 0
6. En el sistema 2x−ky = 5 4x−y = 15
¿Qu´e condicion debe cumplirk para que tenga solucion unica?
a) k6= 1
b) k= 1 2
c) k=−12
d) k6=−12
7. ¿Para qu´e valor dek el sistema 5x−ky = 2
3x+ 2y = 3 no tiene soluci´on?
a) −43
b) −10 3
c) 2
d) 10 3
e) 5
8. Un cuarto de la suma de dos n´umeros es 81 y un tercio de su diferencia es 54. El doble del menor es
a) 72
b) 81
c) 162
d) 243
e) 486
9. Un ni˜no con $410 compra 34 dulces: unos de $10 y otros de $15. ¿Cu´antos dulces de $10 compr´o?
a) 12
b) 14
c) 20
d) 23
e) 34
10. La intersecci´on de las rectas y= 3−x e y=x−9 es el punto
a) (3,0)
b) (−3,6)
c) (6,3)
d) (0,−3)
11. En el sistema x+y = a+ 3b
x−y = a−3b el valor dey es
a) a
b) −3b
c) 3b
d) −a
e) a−b
12. El par ordenado (3,−2) es soluci´on del (los) sistema(s): I) x−y = 5
2x+y = 4 II)
3x−y = 11
−x−3y = 3 III)
2x−y = 8 3x+y = 7
a) S´olo I
b) S´olo I y II
c) S´olo I y III
d) S´olo II y III
e) I, II y III
13. Para que el par ordenado (1,-2) sea soluci´on del sistema 2x+ 3ty = −4 kx−y = 4 los valores dek y tdeben ser, respectivamente,
a) 6 y 1
b) 6 y−1
c) 6 y−13
d) 2 y 1
e) 2 y−1
14. La soluci´on del sistema x+ 4y = 2
2x+ 3y = 6 es (x, y) =
a) 18 5,−
2 5
b) −185,− 2 5
c) 18,−25
d) −25,18
e) 18, 25
15. Si 13x+ 2y = 44
12x−y = 15 entonces 37x=
a) 2
b) 9
c) 59
d) 74
e) 333
16. Si m+n = a
m−a = b entonces 4mn=
a) a2 −b2
b) (a−b)2
c) (a+b)2
d) a−b
e) 4a2 −4b2
17. Si x−y−p = 0
x−2y+ 3p = 0 entonces x y =
a) −2
b) −54
c) 2 5
d) 4 5
e) 54
18. Si el sistema x−3y = 2
5x+ky = 7 tiene soluci´on ´unica, entonces k es
a) cualquier valor real
b) igual a−15
c) igual a−212
d) distinto de−15
19. Si el sistema 3x−15y = 5
x+by = 4 no tiene soluci´on, entonces bes
a) igual a−5
b) distinto de −12
c) igual a−12
d) distinto de−5
e) igual a−45
20. Dos pasteles y un chocolate cuestan $920 y tres pasteles y un chocolate cuestan $1.270. ¿Cu´anto cuesta un pastel?
a) $700
b) $500
c) $440
d) $420
e) $350
21. Un pantal´on (P) cuesta $2.000 menos que el 20 % de un abrigo (A). Si en la liquidaci´on, despu´es de una rebaja de $20.000, el abrigo qued´o en $30.000, ¿en cu´al de las alternativas se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular el valor del pantal´on y del abrigo?
a) P −2000 = A5 yA+ 20000 = 30000
b) P −2000 = A
5 yA−20000 = 30000
c) P −2000 = A
5 yA= 50000
d) P + 2000 = A
5 yA−20000 = 30000
e) P + 2000 = A5 yA+ 20000 = 30000
22. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 a˜nos ten´ıa el triple de la edad que ten´ıa Fernando. ¿Cu´al ser´a la edad de Fernando dentro de 5 a˜nos?
a) 5 a˜nos
b) 10 a˜nos
c) 15 a˜nos
d) 20 a˜nos
23. La diferencia entre dos ´angulos complementarios es 50o
. Entonces, la suma entre el mayor y el doble del menor es
a) 70o
b) 110o
c) 140o
d) 160o
e) 180o
24. A una funci´on de teatro organizada por un colegio asistieron 1.000 personas, dejando $2.650.000 por la venta de entradas, las cuales eran de dos tipos: galer´ıa que costaba $2.000 y platea que costaba $3.000. Si se vendieron entradas de los dos tipos, ¿cu´antas personas asistieron a la platea?
a) 350
b) 400
c) 450
d) 550
e) 650
25. Juan compra 13 fichas en un casino, entre verdes y rojas. Las fichas verdes valen $800 y las rojas valen $300. Si el total gastado en ellas fue $6.900, entonces ¿cu´antas fichas verdes compr´o?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 10
26. Pepe tiene dos hijos. ´El tiene 30 a˜nos m´as que su hijo mayor. Se puede calcular la edad de Pepe, si se conoce:
(1) La diferencia de las edades de sus hijos. (2) La suma de las edades de sus hijos.
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
27. Seanp yq n´umeros enteros positivos. Se puede determinar el valor de ellos si:
(1) p q =
5
7 y (p+q) 2
= 144. (2) q−p= 2
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional. 28. El sistema 2x+ 3y = 9
4x+ky = p tiene infinitas soluciones si: (1) p= 18
(2) k = 10
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
29. Se puede determinar el valor de 3a−b 3a si: (1) a: b= 3 : 2
(2) a−b= 5
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
30. Seanxey n´umeros positivos y distintos. Se puede determinar el valor de la expresi´on x−y
x2 +y2
−2xy si: (1) 2x+ 3y= 48
(2) x−y= 4
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
1 E 2 C 3 A 4 C 5 A
6 E 7 B 8 C 9 C 10 E
