Ejercicios

(1)

Ecuaciones Exponenciales

Página 1

Ejercicios de ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

1) 23x-4 = 64 página 2

2) 32x-7 * 27 = 35x página 3

3) 2x+1 = 1024 página 4

4) 23 * 2x-5 = 0,25 página 5

5) 100x – 1001*10x + 1000 = 0 página 6

6) 𝟏

𝟐𝐱−𝟑

= 𝟓 − 𝟐

𝐱−𝟏

página 7

7) 23+2x – 3*2x+1 + 1 = 0 página 8

8) 4x – 8 = 2x+1 página 9

9) 4x+1 – 5*42x-1 + 4864 = 0 página 10

10)4x – 9 * 2x + 8 = 0 página 11

11)2x-1 + 2x+2 = 72 página 12

12) 𝟏𝟐𝟖𝟑 = 42x página 13

13) 𝟖𝟏𝟓 = 31-3x página 14

14)63 – x = 216 página 15

15)(3/7)3x – 7 = (7/3) 7x – 3 página 16

16)132x – 6 * 13x + 5 = 0 página 17

17)4x – 3 * 4x + 1 + 4x + 2 = 20 página 18

18)3x (1/3)x – 3 = (1/27)x página 19

19)10x – 5x – 1 * 2 x – 2 = 950 página 20

20)2x + 2x+1 = 384 página 21

21)5x + 5x+1 + 5x+2= 775 página 22

22)9x – 10 * 3x+1 + 81= 0 página 23

23)4x – 9 * 2x = – 20 página 24

(2)

Página 2

Soluciones

1) Resuelve la siguiente ecuación.

23x-4 = 64

Resolución:

Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igualar exponentes, es decir:

23x-4 = 26 => 3x – 4 = 6 => 3x = 10 => x = 10/3

Así pues la solución de nuestra ecuación será:

x = 10/3

(3)

Página 3

32x-7 * 27 = 35x

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar todos los sumandos con incógnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igualar exponentes, es decir:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de tres

32x-7 * 33 = 35x , y ahora en el miembro de la izquierda para multiplicar potencias de la

misma base sumamos exponentes,

32x-7+3 = 35x => 2x – 7 + 3 = 5x => 3x = –4 => x = -(4/3)

x = -(4/3)

(4)

Página 4

2x+1 = 1024

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos

2x+1 = 1024 => 2x+1 = 210, de donde

x +1 = 10 => x = 9

Así pues la solución de nuestra ecuación será,

x = 9

(5)

Página 5

23 * 2x-5 = 0,25

Resolución:

23+x-5 = 1/4 => 2x-2 = 2-2, de donde

x – 2 = –2 => x = 0

Así pues la solución de nuestra ecuación será,

x = 0

(6)

Página 6

5) Halla las soluciones de esta ecuación.

100x – 1001*10x + 1000 = 0

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez

(102)x – 1001*10x + 1000 = 0 => (10x)2 – 1001*10x + 1000 = 0, (hemos dado la vuelta a

los exponentes de la primera potencia aplicado propiedades de potencias y de producto,

Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 10x = t, así tendríamos:

t2 – 1001t + 1000 = 0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones son,

t = 1000 y t = 1

La solución para t es t = 1 y t = 1000; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 10x = 1(pues t = 10x)

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

Si t = 1000 => 10x = 103 (pues t = 10x)

x = 3

(7)

Página 7

𝟏

𝟐𝐱−𝟑

= 𝟓 − 𝟐

𝐱−𝟏

Resolución:

𝟏

𝟐𝐱−𝟑

= 𝟓 − 𝟐

𝐱−𝟏

_=>

𝟏

𝟐𝐱∗𝟐−𝟑

= 𝟓 − 𝟐

𝐱

_{∗ 𝟐}

−𝟏

𝟏

𝐭∗𝟐−𝟑

= 𝟓 − 𝐭 ∗ 𝟐

−𝟏

, que operando nos quedaría,

8 t = 5 –

t

2

=> 8

t = 10−t

2

=> 16 = 10t – t

2

=> t2 – 10t + 16 = 0

Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedaría,

t = 8 y t = 2

La solución para t es t = 8 y t = 2; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 8 => 2x = 23 (pues t = 2x)

x = 3

Si t = 2 => 2x = 21 (pues t = 2x)

x = 1

(8)

Página 8

23+2x – 3*2x+1 + 1 = 0

Resolución:

23+2x – 3*2x+1 + 1 = 0 => 23 * 22x – 3*2x * 2+ 1 = 0 => 23 * (2x)2 – 3*2x * 2+ 1 = 0

8t2 – 6t + 1 = 0

t = 1/4 y t = 1/2

La solución para t son las anteriores; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1/4 => 2x = 1/4 (pues t = 2x) y nos queda x = -2

x = -2

Si t = 1/2 => 2x = 1/2(pues t = 2x) y nos queda x = -1 Así pues la solución de nuestra ecuación será:

x = -1

(9)

Página 9

4x – 8 = 2x+1

Resolución:

4x – 8 = 2x+1 => 22x – 8 = 2x * 2 => (2x)2 – 8 = 2x * 2

t2 – 8 = 2t => t2 – 2t – 8 = 0

t = 4 y t = -2

Si t = 4 => t= 22 => 2x = 22 (pues t = 2x)

x = 2

Si t = -2 => 2x = -2 (pues t = 2x)

Solución que es imposible pues no hay ningún exponente que haga que una potencia de dos sea negativa

(10)

Ecuaciones Exponenciales Página 10

4x+1 – 5*42x-1 + 4864 = 0

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cuatro

4x+1 – 5*42x-1 + 4864 = 0 => 4x * 41 – 5*42x * 4-1 + 4864 = 0 =>

4x * 41 – 5*(4x)2 * 4-1 + 4864 = 0

4t – 5/4 * t2 + 4864 = 0

t = 64 y t = -(304/5)

Si t = 64 => t= 43 => 4x = 43 (pues t = 4x)

x = 3

Si t = -(304/5) => 4x = -(304/5) (pues t = 4x)

Solución que es imposible pues no hay ningún exponente que haga que una potencia de cuatro sea negativa

(11)

10)Resuelve la siguiente ecuación.

4x – 9 * 2x + 8 = 0

Resolución:

Si nos fijamos no se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:

(2x)2 – 9 * 2x + 8 = 0

t2 – 9t + 8 = 0

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones, t = 1 y t = 8; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 2x = 1(pues t = 2x)

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

Si t = 8 => 2x = 23 (pues t = 2x)

x = 3

(12)

2x-1 + 2x+2 = 72

Resolución:

2x * 2-1 + 2x * 22= 72

t/2 + 4t = 72 => 9t = 144 => t = 16

pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 16 => 2x = 24 (pues t = 2x)

x = 4

(13)

𝟏𝟐𝟖 𝟑

= 42x

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación exponencial. En estos casos el objetivo es dejar todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igualar exponentes, es decir:

𝟐𝟕

𝟑

= 24x => 27/3 = 24x

Igualando exponentes,

7/3 = 4x => x = 7/12

x = 7/12 = 0,583333

(14)

𝟖𝟏 𝟓

= 31-3x

Resolución:

𝟑𝟒

𝟓

= 31-3x => 34/5 = 31-3x

Igualando exponentes,

4/5 = 1 – 3x => 3x = 1 – 4/5 => 3x = 1/5 => x = 1/15

x = 1/15 = 0,06666667

(15)

63 – x = 216

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de seis

63 – x = 216 => 63 6– x = 63 => 63 (6x)–1 = 63

216 t–1 = 216 => t–1 = 1 => 1/t = 1 => t = 1

La solución para t es t = 1; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 6x = 1(pues t = 6x)

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

(16)

(3/7)3x – 7 = (7/3) 7x – 3

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación exponencial. La base no es la misma, pero es la misma fracción “dada la vuelta”, aquí debemos recordar que si cambiamos de signo al exponente cambiamos “el orden” de la fracción. Así pues si operamos así:

(3/7)3x – 7 = (3/7) 3 – 7x => ((3/7)x) 3):(3/7)7 = (3/7)3: (((3/7)x)7

Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (3/7)x = t, así tendríamos:

t3 : (3/7) 7 = (3/7) 3 : t7 => t10 = (3/7) 10 => t = +(3/7)

La solución para t es t = +(3/7); pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = +(3/7) => (3/7)x = +(3/7) (pues t = (3/7)x)

x = 1 (pues no hay ninguna x que haga que la potencia sea negativa e

igual a la base)

(17)

132x – 6 * 13x + 5 = 0

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de trece

(13x)2 – 6 * 13x + 5 = 0

t2 – 6t + 5 = 0

Ecuación de segundo grado que si revolvemos nos da como soluciones para t son t = 1 y t = 5; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 13x = 1(pues t = 13x) => x = 0 Si t = 5 => 13x = 5(pues t = 13x) => x = log13 5

x = 0 y x = log

13

5 = 0,62747

(18)

4x – 3 * 4x + 1 + 4x + 2 = 20

Resolución:

4x – 3 * 4x * 4 + 4x * 42= 20 => 4x – 12 * 4x + 16 * 4x= 20

t – 12t + 16t = 20 => 5t = 20 => t = 4

Si t = 4 => 4x = 4(pues t = 4x)

x = 1

(19)

3x (1/3)x – 3 = (1/27)x

Resolución:

Si nos fijamos se trata de una ecuación exponencial. La base no es la misma, pero si nos fijamos y factorizamos el 27 tendremos la misma base. Así pues si operamos así:

3x (1/3)x : (1/3)–3 = (1/33)x => 3x (3)–x : (3)3 = (1/3x) 3 => 1 : (3)-3 = (1/3x) 3

Una vez aquí realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (1/3)x = t, así tendríamos:

1 : 3-3 = t3 => t = 3

La solución para t es t = (3); pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = (3) => (1/3)x = (3) (pues t = (1/3)x)

x = -1

(20)

10x – 5x – 1 * 2 x – 2 = 950

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez

10x – 5x – 1 * 2 x – 1 * 2 –1 = 950 => 10x – (5* 2) x – 1 * 2 –1 = 950

10x – (10) x – 1 * 2 –1 = 950 => 10x – 10 x 10–1 * 2 –1 = 950

t – t / 20 = 950

Si resolvemos la ecuación de primer grado nos quedaría como solución para t = 1000; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1000 => 10x = 1000(pues t = 10x) => x = 3

x = 3

(21)

2x + 2x+1 = 384

Resolución:

2x + 2x+1 = 384 => 2x + 2 * 2x = 3 * 27

t + 2t = 3 * 27 => 3t = 3 * 27 => t = 27

Si t = 27 => 2x = 27 (pues t = 2x)

x = 7

(22)

5x + 5x+1 + 5x+2= 775

Resolución:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cinco

5x + 5x+1 + 5x+2 = 775 => 5x + 5 * 5x + 52 * 5x = 31 * 52

t + 5t + 25t = 31 * 52 => 31t = 31 * 52 => t = 52

Si t = 52 => 5x = 52 (pues t = 5x)

x = 2

(23)

9x – 10 * 3x+1 + 81= 0

Resolución:

9x – 10 * 3x+1 + 81= 0 => (32)x – 10 * 3 * 3x + 34= 0 => (3x)2 – 30 * 3x + 34= 0

t2 – 30t + 34 = 0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son, t = 3 y t = 27; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 3 => 3x = 3 y t = 27 = 33 => 3x = 33 (pues t = 3x)

Así pues las soluciones de nuestra ecuación será:

x = 1 y x = 3

(24)

4x – 9 * 2x = – 20

Resolución:

4x – 9 * 2x = – 20 => (22)x – 9 * 2x = – 20 => (2x)2 – 9 * 2x = – 20

t2 – 9t + 20 = 0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son, t = 5 y t = 4; pero recuerda debes dar la solución para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO, es decir t = 2x, entonces,

Si t = 4 => 2x = 4 =>

x = 2

y si t = 5 => 2x = 5 =>

x = log

2

5

Así pues las soluciones de nuestra ecuación serán:

x = 2 y x = log

2

5 = 2,3219

(25)

3 * 4x + 3 * 4x + 1 + 4x + 2 = 62

Resolución:

3 * 4x + 3 * 4x * 4 + 4x * 42= 62 => 3 * 4x + 12 * 4x + 16 * 4x= 62

3t + 12t + 16t = 62 => 31t = 62 => t = 2

Si t = 2 => 4x = 2(pues t = 4x)

Ejercicios

Ejercicios de ecuaciones exponenciales

= 𝟓 − 𝟐

Soluciones

x = 10/3

x = -(4/3)

x = 9

x = 0

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

x = 3

= 𝟓 − 𝟐

= 𝟓 − 𝟐

=>

= 𝟓 − 𝟐

∗ 𝟐

= 𝟓 − 𝐭 ∗ 𝟐

x = 3

x = 1

x = -2

x = -1

x = 2

x = 3

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

x = 3

x = 4

x = 7/12 = 0,583333

x = 1/15 = 0,06666667

x = 0 (pues cualquier número elevado a cero da 1)

x = 1 (pues no hay ninguna x que haga que la potencia sea negativa e

igual a la base)

x = 0 y x = log

5 = 0,62747

x = 1

x = -1

x = 3

x = 7

x = 2

x = 1 y x = 3

x = 2

x = log

5

x = 2 y x = log

5 = 2,3219

x = 1/2 (pues 2 es la raíz cuadrada de 4)

_=>

_{∗ 𝟐}