Guía-taller N°1 Mat 9° -2020-1P Z-Q-Q'.

(1)

Tópico generativo: ¿Qué es un número Racional?, ¿Qué es un número Irracional?, ¿Qué es una fracción generatriz? Hilo conductor: ¿Cómo se opera con los números racionales? ¿Cómo se pueden representar los números racionales e irracionales?

Meta de comprensión: Los estudiantes comprenderán el concepto de número racional e irracional.

Evaluación diagnóstica continua: Cada puesta en común que el estudiante o grupo de estudiantes haga frente a sus compañeros y/o el docente será aprovechadas para fortalecer los niveles de comprensión en aras de que los estudiantes desarrolle adecuadamente la guía-taller y alcancen las metas comprensión.

Fase 1. Exploración: ¿Qué es un número racional? ¿Qué es un número irracional?

¿Cómo se operan con cantidades racionales variables?

Fase 2: Investigación guiada.

Antes de iniciar el trabajo de la presente guía-taller, te recomendaría que vieras ver los siguiente vídeos

https://www.youtube.com/watch?v=x9Pp1rIrYsk https://www.youtube.com/watch?v=WDhBucN3ero

(2)

Números Enteros “Z”

Los números enteros es el conjunto de números que van desde menos infinito hasta más infinito. Para nombrarlo se utiliza la letra mayúscula Z y se pueden representar de tres formas.

Representación

1. Recta numérica

2. Diagrama de Venn

3. Conjunto Número

. ….

Propiedades da la suma en Z

Propiedad Enunciado Forma general ejemplos

Clausuradita La suma de dos números enteros da como resultado otro número natural

Sean

a

,

b

,

c

,

d



Z

c

b

a





Z

d

b

a



(



)







Teniendo que:

Conmutativa El orden de los sumando no altera el resultado

Z

d

a

b

a





















(

)

(

)

(

)

-5+(-4)=-4+(-5)=9 =-4 -5-=- 9

Asociativa

En una suma con dos o más sumandos , se toman de dos se obtiene el resultado y a este resultado se le se asocia otro resultado luego

c

b

a

c

b

a





(



)



5+4+7= (5+4)+7= (9+7)=16

Modulativa Existe un numero en los

naturales tal que



0 ,

a



N

/

a



0 

a

5+0=5 10+0=10

….

Ejemplos 2.

Ejemplo 3: Efectuar las siguientes sumas aplicando las propiedades y darle la prueba.

45

90

54

74 

x





45 ) 90 54 (

74 ₁₄₂₄₃

asociativa

x Pp. Asociativa

45

144

(3)

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. Fecha en la que entrega: ____________________

El estudio debe ser tan intenso, que el examen parezca un descanso

Jorge Saldarriaga

Página

3

30

74

144 





x

Pp. Conm. en Z

30

218 



x

Pp. Aso. y Clau en N.

218

45

218

218 







x

Pp. Restar la misma

cantidad a ambos lados de una igualdad, la igualdad no cambia en Z.

173

0 





x

Pp. Mod y Clau. en Z

173 





x

Ejercicio 2.

Efectuar la siguiente operación aplicando las propiedades y dándole la prueba

81

30 5246

13 

x





Cod





Números racionales “Q”

Los números Racionales, también llamados números quebrados o fraccionarios son aquellos número de la forma . Para nombrarlos se utiliza la letra mayúscula Q

Representación: los números

Q

se pueden representar de 3 formas:

i. Conjunto numérico.

   



__ _ _ _ _ _

 ,...,

4 4 , 3 3 , 2 2 , 1 1 , 0 , 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 ,..

Q

ii. Diagrama de ven

iii. Recta numérica.

Fracción

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominado:

r denominado

numerador . los denominadores indican las partes en que se ha dividido la unidad, y el numerador las que se han tomado de esa unidad dividida.

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Página

4 Las fracciones propios son aquellos cuyo numerador

es menor que el denominador.

Las fracciones impropias son aquellos fraccionarios cuyo numerador es mayor que el denominador.

Representación de una fracción “Q”

Las fracciones se pueden representar gráficamente, utilizando rectángulos, círculos o cualquier otra figura que permita hacer divisiones iguales de ella. Ejemplo 1, representación de una fracción en forma gráfica utilizando rectángulos.

Ejemplo 2, representación de una fracción en forma gráfica utilizando circulos.

O en la recta numérica.

Ejemplo 2, representación de una fracción en la recta numérica

a) , b)

En resumen una fracción se puede representar: • escrita.

• gráfica. • numérica.

• en la recta numérica. Ejemplo 1.

Clasificación de Racionales

Los racionales pueden ser Homogéneos y Heterogéneos.

Homogéneos cuando tienen el mimos denominador

Ejemplo

34 42 , 34 17 , 34

4 , 34

2

 

Heterogéneos cuando tienen diferente denominador

Ejemplo

13 42 , 8 17 , 3 4 , 4 2

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5

Simplificación y amplificación de un “Q”

i. Para simplificar una racional, se divide el numerador y el denominador por su m.c.d

Ejemplo 1 de simplificación

76 24

el m.c.d es 4. Esto implique que se divide el 24

entre 4 y el 76 entre 4, quedando

19 6 76 24 _

También pudo haberse hecho simplificaciones sucesivas en numerador y el denominado, hasta que ya no se pudiera simplificar por la misma cantidad en ellos

ii. Amplificar una racional es multiplicar el numerador y el denominador por el mismo valor

Ejemplo 1 de amplificación.

Amplificar 3 8

por (4) Solución:

12 32 4 3

4 8 3

8 _

  

12 32 3 8_ 

Nota: el simbol matemático



en conclusión. Expresión decimal. Clasificación

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se divide el numerador entre el denominador. Al hacer esta división el resultado puede ser:

Operaciones. Las operaciones que se manejan en los naturales son: Suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación

Desarrollo:

SUMA

Ejemplo 1 de suma

Explicación

1. Hallar el m.c.m de los denominadores. Primero se descomponen en factores primos

El m.c.m de dos o más números es el producto de sus factores primos comunes con su mayor exponente, y los no comunes.

2. Dividir ese m.c.m por faca uno de los denominadores y multiplicarlo por respectivos numerador y llevar el producto a una suma indicada.

3. Efectuar la suma indicada y

RESTA.

Para la resta se efectúa un proceso similar, solo que en lugar de sumar, se resta.

Ejemplo 1 de Resta

6

11

6

15

4

2

5

3

2 







(6)

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6







21

2

3

2 Cod

Multiplicación.

Para multiplicar se multica numerador por numerador y denominador por denominador

3 5 6 10 2 5 3 2

.  

          

a







21

2

3

2 Cod

DIVISIÓN

Para dividir se invierten los términos en la divisor y se hacer una multiplicación

Ejemplo 1 de División

15 4 5 2 3 2

2 5 3 2

  



Dividir

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7 7 7 6 4 : como plantear puede se 9 7 6 4  Ejercicio 3

Efectuar la siguiente suma

71

1 Cod

POTENCIACIÓN

Para la potenciación de números raciones, en los casos en que división no sea exacta, se aplica la propiedad distributiva con respecto a la división, se la siguiente forma

Ejemplo 1 de Potenciación, cuando la división no es exacta 125 8 5 5 5 2 2 2 5 2 5 2 . ₃ 3 3              Hallar

Nota. Cuando el exponente es negativo se debe aplicar la propiedad de inverso multiplicativo, reciproco o inverso de un número.

Recordar que el inverso multiplicativo es aquel número que al multiplicarlo da como resultado 1. Yu se expresa de la forma:

x

x1 1 en forma general

n n

x x  1

Ejemplo 2 de Potenciación, cuando la división no es exacta Hallar 4 3 2        Solución: 4 9 2 3 posillo de ley aplicado 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 4 4 4             

Recordar que cualquier número elevado a la cero da cero. Es decir. 50 1_,750 1_{en forma general}

1

0 

x

Ejemplo 3 de Potenciación, cuando la división no es exacta

1

8

3

1

8

3

8

3

0 0 0 0



































Ejemplo 4 de Potenciación, cuando la división es exacta

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8 Ejemplo 4 de Potenciación, cuando la división es

exacta

 

0.0370

27 1 3 3 3 1 3 1 3 6 18 3 3 3                RADICACIÓN

Para la división de números raciones, en los casos en que división no sea exacta, se aplica la propiedad distributiva con respecto a la división, en la siguiente forma

1. Radicación, cuando la división no es exacta

Hallar la raíz de: 0.8000 4

5 15 25 16

25 _ _ _

2. de Radicación, cuando la división no es exacta 5414 . 0 7 4 343 64 343 64 3 3

3   

3. de Radicación, cuando la división es exacta

2

128

128 16384

₇

7



ORDEN DE LOS RACIONALES

Existen diversas maneras de establecer el orden de dos o más fracciones. A continuación mostraremos alguna de ellas:

Orden con fracciones de igual denominador. i. Con igual denominador.

De dos racionales que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo 1 de dos racionales con igual denominador.

Determinar cuál de los siguientes racionales es menos 5 4 ; 5 3

, esto implica que: 5 4 < 5 3

Pues 3 < 4

ii. Con igual numerador.

De dos fracciones que tienen igual numerador es mayor el que tiene menor denominador Ejemplo 1 de dos racionales con igual numerador. es menor el que tiene mayor denominador.

4 3 ; 7 3

Esto implica que: 4 3 < 7 3

Pues 7 > 4

iii. Orden con numeradores y denominadores distintos

De dos fracciones que tienen distinto denominador se debe buscar una fracción equivalente a cada una de las fracciones dadas cuyos denominadores sean iguales, o pasarlas a número decimal.

Por ejemplo:

¿Cuál de estos racionales es mayor 9 7 ó 6 5 ?

a) Una manera es buscar fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador. Esto se puede hacer simplificando a amplificando las fracciones. En este caso se puede amplificar por 3 y por 2 las segunda para que queden con el mismo denominador. 18 14 9 7 18 15 6

5 _ _ _

, (Como se observa ambas fracciones tienen equivalentes con denominador 18 Como 15 > 14 se puede decir que:

18 14 > 18 15 y en consecuencia 9 7 > 6 5

(9)

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9 ..

777777 .

0 9 7 ... 8333333 .

0 6

5 _ _ _

Como

0 .

8333333

>

0 .

777777

..

entonces 9 7 > 6 5

.

Fracción generatriz

La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreductible (no se puede simplificar más) que da como resultado dicho número decimal. Por ejemplo, el número decimal (periódico puro) 0.428571428571428571428571428571... cuyo periodo es 428571, está generado por la fracción . Vamos a ver cómo obtener las fracciones generatrices para cada tipo de decimal: decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto. El último paso, en cada tipo, será simplificar la fracción para que sea irreductible.

1. Decimal Exacto

Llamaremos decimal exacto a cualquier número decimal que tenga un número finito de decimales, es decir, un número finito de números después de la coma. Por ejemplo, 2,46 es un decimal exacto, pero 2,46666.... no lo es. Fracción generatriz

 Escribimos en el numerador el número sin la coma.

 En el denominador escribimos 10 elevado al número de decimales, es decir, el

denominador es un 1 y tantos 0’s como decimales tiene el número.

Ejemplo: 2,46 Obtenemos la fracción

Simplificamos:

Por tanto, la fracción generatriz de 2,46

2. Decimal Periódico Puro

Llamaremos decimal periódico puro a cualquier número decimal que presenta una repetición en las cifras decimales (después de la coma). Las cifras que se repiten conforman el período, que se repite indefinidamente (tiene un número infinito de decimales).

Ejemplo: 3,23232323... Obtenemos la fracción generatriz:

3. Decimal Periódico Mixto

Llamaremos decimal periódico mixto a cualquier número decimal que presenta, a partir de un determinado decimal, un período. Los decimales anteriores al período se denominan ante-período. Por ejemplo, es un número decimal con período

Ejemplo: 5,061212121212... Obtenemos la fracción

Simplificamos:

Ejercicio 4. Hallar la fracción generatriz de

123123 ,

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10 Número irracional

Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en Q ciertos problemas. Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras, llamando d a la longitud buscada, se ha de cumplir que:

H2_{= 1}2_{+ 1}2 ₌

2

, de donde, H2 =

2

que no es un números racionales puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras palabras, la expresión decimal

2

tiene infinitas cifras decimales.

Números irracionales en la recta numérica.

A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras

decimales no periódicos es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación.

Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras no es difícil representar geométricamente muchos números irracionales

como 2, 3, 5, 6 √2, √3, √5, etc.

Veamos cómo se puede representar, por ejemplo,

2

_{=1,414...,es decir,}

1 <

2 <

2

Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1cm de ancho 1cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.

Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue: x2_{= 1}2_{+ 1}2_{, esto implica que x}2 _{= 2}

x



2

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11 Ejercicio 5. Graficar el irracional

Cod

Números irracionales famosos



: Numero (pi): 3.1416 aproximadamente

e

: Número de Euler: 2.71828

aproximadamente



_{: La razón de Oro;}

_{1,6180 aproximadamente}

Si divides una línea en dos partes de manera que:

la parte larga dividida entre la corta es igual que el

total dividido entre la parte larga. Entonces tienes la razón de oro.

NUEMROS REALES.

Los números reales son todos aquellos que pueden representarse dentro de una recta numérica, sin importar que el número sea negativo, positivo, decimal racional o irracional, entero o el cero

.

(12)

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Cod: Grado: 8° fecha de entrega: Mayo 13- 2019 2

do

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Guía-Taller #1. MATEMATICAS

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