UN ESTADO DEL ARTE DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS HISTÓRICOS DE MAMPOSTERÍA. PARTE II: MODELOS DE ANÁLISIS
Agustín Orduña Bustamante1, Fernando Peña Mondragón2 y Guillermo Roeder Carbo3 RESUMEN
Esta segunda parte del artículo presenta la aplicación de algunos de los métodos de análisis empleando modelos constitutivos avanzados, que fueron mostrados en la primera parte, para obtener la respuesta de una estructura de mampostería histórica cuando está sometida a cargas laterales.
ABSTRACT
This second part of the paper presents the application of some analyses models using advanced constitutive models to obtain the response of a historical construction when it is subjected to lateral loads.
INTRODUCCIÓN
La decisión de utilizar uno u otro método de análisis, cuando se estudia la estabilidad y/o reforzamiento de las estructuras históricas que fueron construidas con mampostería, depende principalmente del grado de precisión que se desea en los resultados, lo que lógicamente depende del nivel del estudio estructural que se realizará. Con el método de los elementos finitos, se puede obtener una buena predicción del comportamiento de los edificios históricos de mampostería usando tanto micro-modelos como macros modelos. Generalmente, debido a que las estructuras antiguas son de grandes dimensiones, es recomendable utilizar el macro-modelado, el cual permite reducir el tiempo de elaboración de los modelos estructurales, el tiempo de análisis de éstos y también el tiempo de interpretación de los resultados. Aunque el método de los elementos finitos es utilizado ampliamente para estudiar las condiciones de estabilidad de estas estructuras y, en caso de reparación, la estimación de las configuraciones óptimas de reforzamiento, éste tiene grandes inconvenientes. Uno de los principales es la traducción de la geometría real de las estructuras históricas a la de los modelos numéricos. Esta traducción es importante si se desea caracterizar adecuadamente, con la cinemática de las deformaciones de los elementos, la respuesta de la estructura de forma objetiva. Otro inconveniente es la asignación del modelo constitutivo para representar las características mecánicas del material. Como se presentó en la primera parte, existen muchos tipos de modelos no lineales de comportamiento del material y, dependiendo del modelo constitutivo que se utilice, éstos se usan con determinados proceso de solución para actualizar las variables internas que reflejan el estado de daño en el material. Por ejemplo, para los modelos de plasticidad se suelen definir algoritmos de retorno de los esfuerzos a la superficie de fluencia que limita el espacio donde los esfuerzos deben persistir y éste depende de si son consistentes o no con el procedimiento de solución no lineal de las ecuaciones de flujo que se definen a partir de hipótesis que soportan esta teoría. También, la asignación de un modelo constitutivo depende del tipo de solicitación que se le impone a la estructura. Por ejemplo, en sistemas de cargas casi-estáticas que incrementan su magnitud de forma
1 Profesor e investigador, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad de Colima, km 9 carretera Colima-Coquimatlán, 28400, Colima-Coquimatlán, Colima. Teléfono: (312)316-1167; Fax: (312)316-1167; [email protected]
2 Investigador de Postdoctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono: (55)562-23471; Fax: (55)562-23468; [email protected]
3 Investigador de Postdoctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono: (55)5665-9784; Fax: (55)5528-5975; [email protected]
monótona, se suelen emplear modelos de agrietamiento distribuido o modelos de plasticidad independientes de la velocidad de deformación. En casos de cargas cíclicas, estos modelos son inadecuados (Roeder, 2004). En este último caso, se suelen emplear modelos de daño en donde se pueda acoplar el efecto de disipación debido al daño producido, el cual se aproxima en modelos simples como una disipación de características viscosas, con un modelo de comportamiento que describa el fenómeno de fricción interna debido a la evolución del agrietamiento en materiales compuestos como la mampostería (Ragueneau et al., 2000).
A pesar de estos inconvenientes, se ha incrementado el empleo del método de los elementos finitos gracias a las nuevas técnicas numéricas y desarrollos gráficos basados en métodos de descomposición de dominios que permiten acelerar la generación de las geometrías y la velocidad para obtener resultados cuando se emplean sistemas de cómputo de alto desempeño como los Clusters.
Por su parte, el Método de los Elementos Rígidos es un método simplificado de análisis para estructuras de mampostería, que se puede utilizar tanto para realizar análisis elástico-lineales, como para análisis estáticos o dinámicos no lineales. Los resultados numéricos que se obtienen son muy parecidos a los de los elementos finitos, pero a diferencia de ese método, la discretización se realiza con menos elementos. Esto conlleva a tener menos grados de libertad, lo cual nos permite realizar análisis en menor tiempo, tanto computacional, como de preparación de datos e interpretación de resultados.
Cabe mencionar que, las simplificaciones utilizadas en las leyes constitutivas del material permiten solo describir en forma global el comportamiento de la mampostería (Peña, 2001). Esto implica que se puede conocer la resistencia, deformación última y se puede predecir el patrón de daño de la estructura. Sin embargo, estos modelos simplificados del material no permiten modelar pérdidas de resistencia después de que se ha alcanzado la resistencia residual. Por lo que, hay veces en que no representa correctamente los últimos ciclos de carga.
Finalmente, el análisis límite con modelos de bloques rígidos representa un grado aún mayor de simplificación. Con este procedimiento es posible estimar la carga última de un edificio, el mecanismo de falla y la distribución de esfuerzos en las zonas críticas cuando se produce el colapso. Por otro lado, no es posible calcular deformaciones ni propiedades dinámicas ni caracterizar el comportamiento cíclico de las estructuras. Esto no quiere decir que sea un método carente de valor, por el contrario, muchas construcciones históricas pueden ser evaluadas estructuralmente con la información proporcionada por el análisis límite. Los tiempos para elaboración del modelo, solución del problema e interpretación de resultados son significativamente menores que los requeridos por el método de los elementos finitos no lineales. La caracterización del material es mucho más sencilla y económica puesto que sólo se requiere de la resistencia en compresión y del coeficiente de fricción. Por lo tanto, desde un punto de vista práctico, ésta es una herramienta más atractiva que las anteriores.
ANÁLISIS DEL MONASTERIO DE SAN VICENTE DE FORA
El monasterio de San Vicente de Fora, ejemplo de la arquitectura Portuguesa del siglo XVI, representa el monumento típico de la ciudad de Lisboa. La estructura resistente está conformada por columnas y arcos de bloques de piedra unidos con mortero, combinados con muros de relleno de mampostería. Este monumento, que sobrevivió al sismo de 1755, presenta; sin embargo, signos aún visibles de los efectos de dicha catástrofe. Como parte de un programa de investigación, cuyos objetivos fueron la estimación de la vulnerabilidad sísmica del monasterio y la evaluación de soluciones y técnicas de refuerzo de monumentos históricos, en el laboratorio ELSA, del Centro de Investigación Conjunta de la Comisión Europea, se efectuaron varias pruebas en un modelo a escala natural de una sección de su fachada interior (Ambrosetti, 1998; Pegon et al., 2001, Giordano et al., 2002). La figura 1 presenta la geometría del modelo experimental y la figura 2 muestra esquemáticamente la configuración de los actuadores de carga vertical y horizontal. El espécimen ensayado consta de un arreglo ordenado de bloques de piedra unidos con mortero, en columnas y arcos, así como de mampostería de relleno. El arreglo de bloques y las propiedades del material utilizado en el prototipo, reproducen a los de la estructura real. A fin de simular las condiciones del sub-ensamble dentro de la estructura completa, la parte superior del modelo fue confinada horizontalmente mediante barras
pos-tensadas, que proporcionaron una carga de 350 y 175 kN. La presencia de pisos superiores se tomó en cuenta aplicando cargas verticales de 400 kN en la parte superior de cada columna y de 100 kN en cada panel de mampostería de relleno. Igualmente, se forzó la deformación de cortante restringiendo los desplazamientos verticales en la parte superior de las dos columnas externas. Las acciones sísmicas sobre el modelo se consideraron mediante la aplicación de fuerzas horizontales igualmente distribuidas en la parte superior de las tres columnas a través de un marco de carga. El programa de pruebas consistió de ensayes tanto seudo-dinámicos, como casi-estáticos cíclicos (Ambrosetti, 1998).
Figura 1 Geometría del modelo ensayado.
Estructura metálica de
transmisión Actuador C Actuador H Cojinetes de sujeción Estructura metálica de transmisión Actuador R Barras presforzadas Actuador L
Figura 2 Modelo utilizado en el Laboratorio ELSA (Ambrosetti, 1998).
Los valores de módulo de Young de los bloques, la relación de Poisson y resistencia a la tensión de las juntas de mortero que se utilizaron en los modelos de la estructura se han tomado de la tabla 1. El valor de resistencia a la tensión del mortero considera que el material en general tiene un pobre desempeño bajo este efecto.
Tabla 1 Parámetros de los materiales (Ambrosetti, 1998; Pegon et al, 2001)
MATERIAL (GPa) E ν (kg/mρ 3) (MPa) σt (MPa) σc
BLOQUES 110 0.2 2600 6.60 66.77
MAMPOSTERÍA 1 0.2 1500 2.98 13.52
JUNTA 2.5 0.2 1800 2.65 23.10
MODELADO DE LA ESTRUCTURA MEDIANTE ELEMENTO FINITOS
El modelo de elementos finitos que se presenta a continuación se basa en los presentados por Guzmán et al. (2001) y Roeder (2004) donde se utilizan los conceptos de agrietamiento distribuido considerando un modelo de material completamente frágil y un modelo de plasticidad de Rankine ortótropo con dos variables internas que manejan el estado de daño en tensión del material en dos direcciones ortogonales (Ec. 1).
(
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( )
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2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 , , 2 2 x y x y xy f κ κ = σ −σ κ + σ −σ κ + σ −σ κ − σ −σ κ ατ σ + (1)Para el modelo de plasticidad se considera una energía de fractura de 0.02 N-mm/mm2 en ambas direcciones materiales x y y. Este valor de energía de fractura se ajusta al tamaño de los elementos finitos, triangulares de tres nudos y cuadriláteros de cuatro, que se están utilizando en el modelo numérico (figura 3). La función de esfuerzos y deformaciones equivalentes que simulan el ablandamiento del material se supone lineal. Además, dado que la información para la resistencia a cortante no ha sido proporcionada en las referencias, se adopta para este ejemplo un factor α1 igual a 1.5 para tomar en cuenta la contribución al corte en el criterio de fluencia (Roeder, 2004).
Figura 3 Modelo de elementos finitos de la estructura.
1 α se obtiene dividiendo el producto de las resistencias a tensión en las direcciones x y y entre la resistencia al cortante del material elevada al cuadrado
MODELADO DE LA ESTRUCTURA MEDIANTE ELEMENTOS RÍGIDOS
La figura 4 muestra la malla de elementos rígidos con la que se modeló la estructura. Se utilizaron 198 elementos con 584 grados de libertad. El material se consideró isótropo con las características indicadas en la tabla 1. Los bloques y las juntas se consideraron como un material homogéneo, ya que los elementos rígidos son más grandes que los bloques, por lo que el material que se les debe asignar es la combinación de ambos. Por tal motivo, se hizo una homogenización de ambos materiales dando por resultado los siguientes parámetros: E = 10.5 GPa; v = 0.2; ρ = 2,600 kg/m3; σ
c = 30.75 MPa; σt = 2.65 MPa.
Figura 4 Modelo de elementos rígidos
MODELADO DE LA ESTRUCTURA MEDIANTE ANÁLISIS LÍMITE
La figura 5 muestra el modelo de bloques rígidos que se usó para el análisis límite de la estructura en estudio. Este análisis sigue el procedimiento descrito en Orduña y Lourenço (2003). El procedimiento se basa en suponer que la estructura se puede modelar como un conjunto de bloques infinitamente rígidos que interactúan entre sí mediante interfaces. Estas interfaces son incapaces de transmitir esfuerzos de tensión, pero pueden transmitir esfuerzos cortantes limitados por el criterio de Coulomb, y esfuerzos de compresión. En este procedimiento de análisis límite es posible limitar los esfuerzos de compresión hasta un valor predeterminado, llamado esfuerzo efectivo, que normalmente es una fracción de la resistencia uniaxial y que toma en cuenta el posible agrietamiento transversal y la reducida ductilidad del material. Las hipótesis básicas consisten en buscar una solución que cumpla con el equilibrio, compatibilidad, condiciones de falla y leyes de flujo. Mediante un proceso de solución propuesto por Orduña (2003), se sigue aproximadamente la historia de carga sobre la estructura al hacer variar el esfuerzo efectivo de un valor muy bajo (apenas el necesario para soportar las cargas permanentes) hasta su valor estimado.
RESULTADOS
La figura 6 muestra la curva desplazamiento-fuerza para los modelos numéricos y la obtenida en el ensayo experimental. Se puede observar que, cualitativamente, la tendencia de la curva de los modelos numéricos es similar a la del modelo experimental. Cuantitativamente, el modelo de elementos finitos presenta una resistencia mayor en la parte final del experimento. Para un desplazamiento máximo de 30 mm, el experimento indica una carga resistente de 502 kN. Para ese desplazamiento, el modelo de elementos finitos predice una carga de 561 kN, siendo 11% mayor. Esto se debe a que el comportamiento en compresión comienza a gobernar la respuesta del modelo experimental.
Figura 5 Modelo de bloques rígidos
El modelo de elementos rígidos presenta al final un comportamiento plástico, dando una resistencia menor. Esto se debe fundamentalmente a las simplificaciones realizadas en las leyes constitutivas de los materiales. La carga máxima resistente es de 464 kN, siendo 7.6% menor que la del experimento. Mientras que, la carga lateral última calculada mediante el análisis límite es de 509 kN (1.4% de diferencia) que concuerda bastante bien con la carga máxima medida en el modelo experimental (figura 5).
0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 δ(mm) f(kN) Experimental Elementos Finitos Elementos Rígidos Análisis Límite
Figura 6 Comparación de resultados obtenidos del ensayo experimental y las simulaciones numéricas Las distribuciones de esfuerzos principales obtenidos con elementos finitos y mostrados en la figura 7, muestran como en los últimos estados de carga gobierna el comportamiento a compresión. En rojo se marcan los esfuerzos principales mayores (tensión) y en azul los menores (compresión). En la figura 7(a) se aprecian los resultados obtenidos del análisis, antes de comenzar el agrietamiento en la estructura; lo que se obtiene al aplicar una fuerza lateral con una magnitud de aproximadamente 200 kN, para la cual se presenta un desplazamiento de 0.09 mm. En la figura 7(b) se presentan los resultados cuando se aplica, en el modelo numérico, una carga máxima de aproximadamente 587 kN que ocasiona un desplazamiento de 38.2 mm.
(a) (b)
Figura 7 Esfuerzos principales (a) antes del agrietamiento y (b) al final de la simulación numérica de elementos finitos.
La figura 8 presenta la distribución de esfuerzos axiales obtenidos al final del análisis con el modelo de elementos rígidos. Se observa que en el capitel y la base de las columnas, los esfuerzos de compresión máximos se encuentran en extremos opuestos, lo que indica que la línea de presiones es inclinada. Esto concuerda con el análisis límite (figura 9). Se observa también una concentración de esfuerzos de tensión entre las dovelas del arco y el relleno de mampostería, lo que indica una separación entre estos materiales que concuerda con el patrón de daños (figura 10). Por otra parte, la figura 9 presenta los empujes en las interfaces del modelo de análisis límite. Aunque no puede observarse un patrón definido de los empujes en el muro superior, es evidente que el empuje inclinado en las columnas es congruente con la distribución de esfuerzos principales menores en el modelo de elementos finitos de la figura 7(b) y con los esfuerzos axiales del modelo de elementos rígidos (figura 8).
Figura 8 Esfuerzos axiales finales obtenidos con el modelo de elementos rígidos (a) verticales, (b) horizontales
El patrón de agrietamiento en el modelo experimental se puede observar en la figura 10(a). La distribución de los esfuerzos principales de tensión obtenidos con los elementos finitos (figura 7b) y la localización de agrietamientos se presentan en las mismas partes de la estructura. Obviamente, la intensidad de los esfuerzos que se obtiene con el modelo es menor debido a que refleja el comportamiento de ablandamiento del material en esas partes de la estructura. A pesar de que el modelo de plasticidad se activa ocasionando que se redistribuyan los esfuerzos debido al inicio del comportamiento inelástico del material por efectos de tensión, los esfuerzos principales de compresión mantienen prácticamente la misma distribución. La literatura que estudia esta estructura en particular, reporta que el material de este modelo experimental tiene una resistencia muy alta a compresión, por lo que también la tendencia observada en el modelo experimental y el modelo numérico es bastante similar al nivel de cargas impuesto en la estructura.
Figura 9 Líneas de presiones obtenidas del análisis límite
(a) (b)
(c) (d)
Figura 10 Patrones de agrietamiento en (a) modelo experimental, (b) elementos finitos (Guzmán et al, 2002), (c) elementos rígidos y (d) mecanismo de colapso de acuerdo con el análisis límite. Las zonas que se dañan en la estructura, de acuerdo con los elementos rígidos, se presentan en la figura 10(c). Se presenta el daño en la base de las columnas; así como en el arranque de los arcos, entre sus dovelas y el material de relleno. Estos daños concuerdan con los presentados por el modelo de laboratorio (figura 10a). La figura 10(d) muestra el mecanismo de falla obtenido mediante análisis límite. Puede observarse que hay correspondencia con los patrones de agrietamiento mostrados en la figura 10(a), que básicamente consiste en agrietamiento en la base de las columnas, deslizamiento en el extradós de los arcos y agrietamiento en el muro superior, principalmente junto a las continuaciones de las columnas. También se observa la formación de
articulaciones entre las dovelas de los arcos, en concordancia con los resultados del método de los elementos finitos mostrados en la figura 10(b).
Según los resultados obtenidos, la hipótesis de considerar que las juntas de mortero presentan un bajo desempeño en tensión tiene una influencia decisiva en el comportamiento global del modelo de elementos finitos a través de un modelo de plasticidad, que ha permitido estimar, de manera simple, las características principales del comportamiento experimental hasta una carga horizontal de 587 kN.
Las simulaciones numéricas de la estructura permiten observar que el modelo de plasticidad con elementos finitos es apropiado en estructuras donde la falla del material se debe básicamente a la tensión, como puede ocurrir por efectos sísmicos en muros de mampostería simple donde las cargas verticales sobre éstos son de poca magnitud o en muros que componen una construcción histórica donde, generalmente, los elementos estructurales son robustos y la falla por compresión no es evidente en el daño observado en la estructura.
CONCLUSIONES
En esta segunda parte del artículo se realizaron simulaciones numéricas utilizando, análisis límite, elementos rígidos y el método de los elementos finitos para poder visualizar las bondades de cada uno de estos procedimientos de análisis para la evaluación de la estabilidad de las estructuras históricas de mampostería. El método de los elementos finitos es uno de los procedimientos de análisis que se emplea en muchos centros de investigación donde se estudian las estructuras históricas de mampostería. Este método permite emplear relaciones constitutivas no lineales complejas que simulan la respuesta de las estructuras en ese intervalo. Métodos de evaluación estructural que hoy se pueden catalogar dentro de la teoría del análisis límite fueron usados desde los siglos XVII y XVIII; sin embargo, aún en nuestros días esta herramienta no ha sido completamente explorada. Los resultados de este tipo de análisis son suficientemente confiables, dentro de los límites de incertidumbre manejados normalmente en la ingeniería de edificios históricos.
En estudios preliminares, donde se requiere una evaluación rápida y confiable de la capacidad de las estructuras antiguas y, en los casos que se requiera, la estimación de la configuración de reforzamiento se debe recomendar el empleo de métodos de análisis simplificados, tales como el análisis límite o el de modelos que empleen elementos rígidos. En estudios donde se requiere una mayor información, o cuando la complejidad de la estructura haga inviable el uso los modelos simplificados de análisis, el empleo del método de los elementos finitos no-lineales es imprescindible.
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