CONJUNTOS, RELACIONES, FUNCIONES Y LÓGICA

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F UNCIONES Y L ÓGICA

Fundamentos de la Matemática  2012

Profa. Mónica Olave – Profa. Cristina Ochoviet – Prof. Gustavo Franco Conjuntos

“Cuando decimos: ‘un elemento pertenece a un conjunto’, estamos utilizando nada menos que tres conceptos primitivos básicos de nuestra teoría: elemento, conjunto y pertenencia.”1

Para indicar que b es un elemento de un conjunto A, se escribe b A, que se lee «b pertenece a A». Si por el contrario b no es elemento de A, escribimos b A, que se lee «b no pertenece a A».

Si bien conjunto es un concepto primitivo, cada conjunto particular se puede definir por extensión (nombrando cada uno de sus elementos) o por comprensión (dando una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto y solo ellos).

1) ¿Puede escribirse cualquier conjunto por extensión? En caso negativo dar un ejemplo.

2) Sea A  {x / x  , 3  x  10}

i) Escribe el conjunto A por extensión.

ii) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

1  A 4  A 9 2  A 3,5  A 10  A 3  A

3) Escribe por comprensión los siguientes conjuntos:

i) A  {Brasil, Argentina}

ii) B  {0, 2, 4, 6, 8, 10}

iii) C  { 2, 2 }

4) Escribe por extensión los siguientes conjuntos:

i) D  {x / x  3n, n  , 5  n  8}

ii) E  {x   / ( 2 1)( 2 2) 0 x 9 x   }

Igualdad de conjuntos 5) Completa con

o 

{2, 1, 5} ... {x   / (x  1)(x  2)(x  5)  0}

[2, 3] ... {x   / 2  x  3}

{x   / (x  1

2)(x  9)  0} ... [9, 1 2]

1 Osin, L. (1975). Introducción al análisis matemático. Buenos Aires: Editorial Kapelusz. (p. 3)

(2)

Definición

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Simbólicamente: A  B  x, ((x  A  x  B)  (x  B  x  A))

«A  B» (1) y «x, ((x  A  x  B) (x  B  x  A))» (2), son lo que se denominan proposiciones. Es decir, oraciones que son verdaderas (V) o falsas (F), pero no ambas cosas a la vez. Si una proposición es verdadera, diremos que su valor de verdad es V, y si es falsa diremos que su valor de verdad es F.

Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Las proposiciones compuestas están formadas por proposiciones simples. Por ejemplo, una proposición simple sería “Pablo lee el Quijote” y en cambio una proposición compuesta podría ser “Pablo lee el Quijote y Cien años de soledad”. A las proposiciones las representaremos utilizando letras minúsculas de nuestro alfabeto: p, q, r,…

Las proposiciones (1) y (2) se llaman equivalentes. Dos proposiciones son equivalentes (y lo notaremos con el símbolo “”), cuando tienen el mismo valor de verdad.

En la proposición (2) aparece el llamado cuantificador universal (), y las operaciones básicas:

conjunción () e implicación (). Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p  q, que se lee

«p y q», se la denomina conjunción lógica de p y q. Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p  q, que se lee «p implica q», se la denomina condicional o implicación lógica de las proposiciones p y q (en ese orden). También se dice que p es el antecedente del condicional y que q, es el consecuente.

Las definiciones de estas operaciones vienen dadas por las siguientes tablas, que nos permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad de las proposiciones que la forman:

p q p  q

V V V

F V F

V F F

F F F

Observando la tabla vemos que la proposición p  q es verdadera únicamente cuando p y q son verdaderas, lo que está de acuerdo con el uso corriente de la conjunción «y»2.

Se podría pensar que carece de sentido que la proposición «p  q» sea verdadera cuando p y q son falsas, pero consideremos la siguiente proposición matemática: n, n  , (n 2  n2  4).

2 Aunque el uso coloquial de la conjunción «y», no siempre es claro y libre de ambigüedades. Por más información al respecto se puede consultar: Bosch, J. (1965). Introducción al simbolismo lógico. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires. (p. 9)

p q p  q

V V V

F V V

V F F

F F V

(3)

Cabe esperar que la proposición anterior sea verdadera. Al sustituir n por diferentes números enteros en las expresiones «n  2» y «n2  4», se obtienen distintas proposiciones y se dan todas las posibles combinaciones de valores de verdad, exceptuando la combinación V-F. Por ejemplo, tomando n como 3, 3 y 1, resultan respectivamente las combinaciones V-V, F-V y F-F, y todas estas combinaciones dan a la implicación el valor de verdad esperable (V)3.

Inclusión. Subconjuntos.

6) Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones en :

i) x2  x  0 S1 ii) x2  π  0 S2 iii) x (2x  1) (x  4)  0 S3 iv) x  5  x  6 S4Definición

Se dice que un conjunto A está incluido ampliamente en un conjunto B, o que A es subconjunto de B, y se escribe A  B, si todo elemento de A es también elemento de B.

Simbólicamente: A  B  x, (x  A  x  B) Observa que: A  B  (A  B  B  A)

Cuando queremos distinguir expresamente que no se cumple la igualdad, o sea cuando: A  B y A  B, decimos que A está incluido estrictamente en B, o que A es subconjunto propio de B y escribimos: A  B. Esto implica que todo elemento de A pertenece a B, pero hay elementos de B que no pertenecen a A.

7) Escribe simbólicamente la definición de A incluido estrictamente en B.

8) Indica, justificando, si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas, siendo S1, S2, S3 y S4, los conjuntos solución de la actividad 6):

S1

S2

S3  S2

S3  S3

S1

S2   S3

S4

S1

9) ¿Qué debe cumplirse para que A  B ?

Observa que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A  A

3 Por más consideraciones acerca de la tabla de verdad de la implicación se pueden consultar desde la página 42 a la 45 del libro: González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa.

(4)

En la actividad 9), habrás concluido que: A  B  x, (x  A  x  B).

La proposición «1  B», es la negación de la proposición «1  B». Si la proposición «1  B» es verdadera, la proposición «1  B», es falsa y, por el contrario, si «1  B» es falsa, la proposición

«1  B», es verdadera.

En general, si p es una proposición, la proposición p, que se lee « no p », se denomina negación de la proposición p.

La tabla de verdad de la negación es la siguiente:

En la proposición «x, (x  A  x  B)»4 aparece el llamado cuantificador existencial (). El cuantificador universal () y el cuantificado existencial () se vinculan, por ejemplo, de la siguiente manera: sea P(x) una expresión5 que depende de x, la proposición, « (x, P(x))»6 es equivalente a la proposición «x, P(x)».

“Profesor: … decir que la proposición

x, P(x) es verdadera significa que la proposición

x, P(x) 7 es falsa.

Por ejemplo: si es cierto que

Todo alumno entiende los cuantificadores entonces decir que

Existen alumnos que no entienden los cuantificadores es falso. Es claro, ¿no?...

[…]

Juan: ¡Ah! Pero, yo pensaba que la negación de

Todas sus explicaciones son claras era

Ninguna de sus explicaciones es clara pero veo que estaba en un error. Debo decir:

Algunas de sus explicaciones no son claras Profesor: Muy buen ejemplo, Juan. Y gracias por tu sinceridad…

4 Cuando se dice «existe x», significa que «existe, por lo menos, un x».

5 Con este tipo de expresiones trabajaremos más adelante cuando veamos funciones proposicionales.

6 Se lee: «Para todo x, se verifica P(x

7 Se lee «existe x tal que se verifica P(x

p p

V F

F V

(5)

Ahora bien, el cuantificador universal «» puede asimilarse, intuitivamente, a expresiones que indican universalidad (en alemán, Algemanheit, de donde proviene el símbolo «»: una «A»

invertida). El carácter universal de una proposición del lenguaje cotidiano se obtiene, usualmente, anteponiendo al sujeto la palabra todo (en inglés, «All», lo que ha generalizado la notación

«»)…”8

Conjunto Vacío

Puede suceder que ningún elemento satisfaga la condición de pertenencia (por ejemplo: «conjunto de todos los triángulos de cuatro lados»).

Nos encontramos entonces con un conjunto particular que llamaremos vacío.

Una posible definición del conjunto vacío podría ser: {x  A / x  x}

Su notación será: 9 y podemos escribir también:   { }.

Observa que: 1) Cualquiera sea el conjunto A, se cumple que  A.

2)   {  }

Una posible justificación de la observación 1):   A  x, (x    x  A).

Como el antecedente de la proposición «x, (x    x  A)» es falso cualquiera sea x, dicha proposición, según las tablas de verdad de la implicación, es verdadera. Por lo tanto, la proposición « A» es también verdadera, ya que es equivalente a «x, (x   x  A)».

10) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a)   {  } b)   {  } c)   {  } d)    e)   

Conjunto de Partes o Conjunto Potencia Definición

Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes de A o conjunto potencia de A, y se escribe

P

(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Simbólicamente:

P

(A)  {X / X  A}

8 González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa. (pp. 79-80).

Nota: Se han realizado modificaciones al texto original para que la cita guarde coherencia con el curso.

9 “Este símbolo corresponde a letra «o» escandinava y pretende ser una modificación del número cero, con el cual –como veremos- se presentan analogías evidentes. Su aparición en la Matemática es de fecha más bien reciente, comenzando su popularidad a principios de la década del 50.” Op. Cit., pie de pág. 111.

(6)

11)

a) Se consideran los conjuntos A  {1, 2, 3}, B  {1, 2} y C  {3}, escribe

P

(A),

P

(B) y

P

(C).

b) Completa: Si un conjunto E tiene n elementos, el conjunto

P

(E) tiene ... elementos.

c) El conjunto de partes de A, ¿puede ser vacío? Justifica.

Operaciones entre conjuntos Unión de conjuntos

12) Resuelve las siguientes inecuaciones en  y escribe el conjunto solución utilizando intervalos de números reales:

i) 32 2 0 1 x x

 

ii) ( x 3) (x x2 4) 0

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Se llama unión de A y B, y se escribe A  B, a un nuevo conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Simbólicamente: A  B  {x / x  A  x  B}

13) Dados los siguientes conjuntos mediante diagramas de Venn, raya el conjunto A  B:

En la fórmula: «x  A  x B», aparece la operación básica llamada disyunción (). Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p  q, que se lee «p o q», se la denomina disyunción lógica de p y q 10.La definición de esta operación viene dada por la siguiente tabla:

p q p  q

V V V

F V V

V F V

F F F

10 En la pág. 37 del libro: González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa, se realizan consideraciones que vinculan el símbolo «» con la conjunción «o» de nuestro idioma.

A B A B B A

(7)

Analicemos ahora, desde el punto de vista lógico, la definición de conjunto unión. Según dicha definición, las proposiciones «x  A  B» (1) y «x  A  x  B» (2) (para un x particular), son equivalentes. Mirando la tabla de verdad de la disyunción, vemos que la proposición (2) es verdadera si:

1) «x  A» es verdadera y «x  B» es verdadera.

2) «x  A» es falsa y «x  B» es verdadera.

3) «x  A» es verdadera y «x  B» es falsa.

Será falsa únicamente cuando «x  A» y «x  B» sean ambas falsas a la vez.

Por ejemplo, consideremos los conjuntos A  {2, 5} y B  {1, 2}, y teniendo en cuenta el análisis realizado anteriormente, hallemos A  B.

¿1  A  B?

Sí, puesto que la proposición «1  A» es falsa y la proposición «1  B» es verdadera; con lo cual la proposición «1  A  1  B» es verdadera, y como son equivalentes, «1  A  B»

también es verdadera.

¿2  A  B?

Sí, puesto que la proposición «2  A» es verdadera y la proposición «2  B» es verdadera;

con lo cual la proposición «2  A  2  B» es verdadera, y como son equivalentes,

«2  A  B» también es verdadera.

¿5  A  B?

Sí, puesto que la proposición «5  A» es verdadera y la proposición «5  B» es falsa; con lo cual la proposición «5  A  5  B» es verdadera, y como son equivalentes, «5  A  B»

también es verdadera.

¿7  A  B?

No, puesto que la proposición «7  A» es falsa y la proposición «7  B» es falsa; con lo cual la proposición «7  A  7  B» es falsa, y como son equivalentes, «7  A  B»

también es falsa. Lo mismo sucede para cualquier x que no sea ni 1, ni 2, ni 5.

Por lo tanto: A  B  {1, 2, 5}

14) Comprueba, utilizando las tablas de verdad, que:

a) (p  q)  (p  q) (Definición del condicional) b) (p  q)  (p  q) (Ley de De Morgan) c) (p)  p (Doble negación)

15) Utilizando proposiciones equivalentes, justifica que la negación de la proposición:

«x, (x  A  x  B)» (definición de A  B) es la proposición: «x, (x  A  x  B)»

(A  B).

(8)

Algunas definiciones:

1) Una proposición es una tautología si y solo si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.

2) Una proposición es una contradicción si y solo si es falsa para todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.

3) Una proposición es una contingencia si y solo si no es una tautología ni una contradicción.

16) Estudia, utilizando las tablas de verdad, si las siguientes proposiciones son tautología, contradicción o contingencia:

a) p  (q  r) b) (p  (p))

c) (p  q )  (q  p)

17) Prueba, utilizando las tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son tautologías:

i) ((p  q )  p)  q (Modus Ponens) ii) ((p  q )  (q))  p (Modus Tollens) iii) p  p (Identidad)

iv) (p  q)  p (Simplificación) v) p  (p  q) (Adición)

vi) ((p  q )  (p))  q (Silogismo disyuntivo)

vii) ((p  q )  (q  r))  (p  r) (Silogismo hipotético)

A las tautologías de la actividad anterior, se las denomina reglas lógicas.

Definición

Llamaremos regla lógica a toda implicación que sea una tautología.

Definición

Si p  q es una tautología, escribiremos p  q, que se lee: «si p, entonces q».

Propiedades de la operación Unión 1) A  A  A (Idempotencia)

2) A  B  B  A (Conmutativa)

3) A  (B  C)  (A  B)  C (Asociativa) 4) A    A (Existencia del elemento neutro)

(9)

5) A  A  B

6) B  A  A  B  A

En la propiedad 6, aparece una operación básica más. Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p  q, que se lee «p implica doblemente a q», se la denomina bicondicional de las proposiciones p y q 11. La definición de esta operación viene dada por la siguiente tabla:

Definición

Si la proposición p  q es una tautología, escribiremos p  q, que se lee «p si y solo si q» o «p es equivalente a q», y a dicha proposición la denominaremos ley lógica.

18) Prueba que las siguientes proposiciones son leyes lógicas:

a) (p  q)  (p  q) b) (p  q)  p  q c) (p)  p

También se cumplen las siguientes equivalencias:

1) (p p) p Idempotencia de la disyunción.

2) (p p) p Idempotencia de la conjunción.

3) (p q)  (q p) Conmutativa de la disyunción.

4) (p q) (q p) Conmutativa de la conjunción.

5) [(p q) r]p (q r)] Asociativa de la disyunción.

6) [(p q) r][p (q r)] Asociativa de la conjunción.

7) [p (q r)](p q) (p r) Distributiva de la conjunción respecto de la disyunción.

8) [p (q r)] (p q) (p r) Distributiva de la disyunción respecto de la conjunción.

11 Los símbolos: , , , , , se llaman conectivos lógicos. “Para describir un lenguaje L, es necesario disponer, previamente, de un lenguaje auxiliar que permita expresar las reglas que codifican a L. El lenguaje que empleamos para hablar acerca de otro lenguaje, se denomina metalenguaje, en tanto que, el lenguaje que es objeto de nuestra descripción, recibe el nombre de lenguaje objeto.” (González Cabillón, 1993, p. 7)

p q p  q

V V V

F V F

V F F

F F V

(10)

9) pp t, siendo t una tautología. Tercero Excluido.

10) pp c, siendo c una contradicción.

11) p t t, siendo t una tautología.

12) p t p, siendo t una tautología.

13) p c p, siendo c una contradicción.

14) p c c, siendo c una contradicción.

15) (p q) (p q) Ley de De Morgan.

16) (p q) (p q) Ley de De Morgan.

19) Demuestra las propiedades de la operación unión enunciadas más arriba.

20) Comprueba que las proposiciones «p  q» y «(p  q) (q p)», son equivalentes12.

“Silvia: [p  q] ¡Es como si fueran dos condicionales! ¿No, Profesor…?

Profesor: ¡Y, sí!... En la proposición anterior, se indican, el condicional p  q 13

al que se suele llamar directo, y su recíproco q  p

¡El bicondicional es la conjunción de ambos!

La proposición directa expresa que p es suficiente para que se cumpla q; la recíproca establece que p es necesaria para que se cumpla q. Si ambas proposiciones son verdaderas, es decir, tanto la directa como la recíproca son teoremas, diremos que las proposiciones p y q son equivalentes y también, que p es condición necesaria y suficiente para que se cumpla q.

Laura: ¿Algún ejemplito?...

Profesor: Durante el curso nos encontraremos con varios ejemplos. Ahora, veamos uno muy simple que seguramente aclarará las ideas: […]”14

Una condición necesaria –pero no suficiente- para que un número sea múltiplo de 6 es que sea múltiplo de 2.

Es decir, para que un número sea múltiplo de 6 es necesario que sea múltiplo de 2, pero –como sabemos- esto no alcanza, pues, por ejemplo 2, 8 o 10, son múltiplos de 2 pero no de 6.

12 Esta equivalencia es la definición del bicondicional.

13 Los condicionales «p  q » y «q  p», se llaman, respectivamente, contrario y contra-recíproco del condicional «p q», al que se lo llama directo.

14 González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa. (pp. 46-47).

Nota: Se han realizado modificaciones al texto original para que la cita guarde coherencia con el curso.

(11)

Una condición suficiente –pero no necesaria- para que un número sea múltiplo de 6 es que sea múltiplo de 12.

Es decir, para que un número sea múltiplo de 6 basta que sea múltiplo de 12, pero –como sabemos- esto no es imprescindible, pues, 6, 18 o 30 son múltiplos de 6 pero no de 12.

Alfredo: ¿Y algún ejemplo de condición necesaria y suficiente?...

Profesor:

 Si n es múltiplo de 6 entonces n es múltiplo de 2 y de 3 simultáneamente.

 Si n es múltiplo de 2 y de 3 simultáneamente entonces n es múltiplo de 6.

Decimos, pues, que la condición «n es múltiplo de 2 y de 3 simultáneamente» es una condición necesaria y suficiente para que n sea múltiplo de 6.

21) Comprueba, utilizando tablas de verdad, que:

i) q  p es equivalente a p  q (el contra-recíproco es equivalente al directo).

ii) p  q no es equivalente a p  q (el contrario no es equivalente al directo).

iii) p  q es equivalente a (p  q)  c, siendo c una contradicción.

En la parte 1) de la actividad anterior has probado que la proposición

«(q  p)  (p  q)», es una ley lógica, y se llama transposición. Esta ley es la que justifica que, en muchas ocasiones, en vez de demostrarse la proposición directa, se demuestre, debido a que resulta más fácil, su contrarecíproca.

Por ejemplo, en virtud de la ley de transposición, demostrar la proposición: «x, x  , y, y  , (x  y  2x  2y)», es equivalente a demostrar: «x, x  , y, y  , (2x  2y  x  y)».

Muchas veces se confunde la demostración del contra-recíproco, con la demostración por el absurdo, cuyo sustento lógico es la ley que probaste en la parte 3) de la actividad anterior:

(p  q)  [(p  q)  c], siendo c una contradicción. Ya tendremos oportunidad de trabajar más adelante con ambos mecanismos de demostración.

Intersección de conjuntos

22) Resuelve en  el siguiente sistema: 2- 5 0 - 7 02 x xx

 

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Se llama intersección de A y B, y se escribe A  B, a un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

Simbólicamente: A  B  {x / x  A  x  B}

(12)

23) Dados los siguientes conjuntos mediante diagramas de Venn, raya el conjunto A  B:

Analicemos desde el punto de vista lógico la definición de intersección de conjuntos. Teniendo en cuenta dicha definición, las proposiciones «x  A  B» (1) y «x  A  x  B» (2) (para un x particular) son equivalentes. Según la tabla de verdad de la conjunción, la proposición (2) será verdadera únicamente cuando las proposiciones simples «x  A» y «x  B» (para un x particular), sean ambas verdaderas a la vez; en todos los demás casos será falsa.

Por ejemplo, consideremos los conjuntos A  {2, 5} y B  {1, 2}, y teniendo en cuenta el análisis realizado anteriormente, hallemos A  B.

¿1  A  B?

No, pues la proposición «1  A» es falsa y la proposición «1  B» es verdadera, con lo cual la proposición «1  A  1  B» es falsa, y como son equivalentes, es falsa también la proposición «1  A  B»; por lo tanto «1  A  B» es verdadera.

¿2  A  B?

Sí, pues las proposiciones «2  A» y «2  B», son ambas verdaderas a la vez, entonces es verdadera la proposición «2  A  2  B» y por lo tanto, como son equivalentes, también es verdadera la proposición «2  A  B».

¿5  A  B?

No, el razonamiento es análogo al que realizamos para justificar que 1  A  B. Lo mismo sucede con cualquier otro x que no sea 2.

Por lo tanto: A  B  {2}.15

Propiedades de la operación Intersección 1) A  A  A (Idempotencia)

2) A  B  B  A (Conmutativa)

3) A  (B  C)  (A  B)  C (Asociativa) 4) A     (Absorción)

5) A  B  A

6) B  A  A  B  B

15 A un conjunto con un solo elemento se le llama unitario.

A B A B

A B

(13)

24) Demuestra las propiedades anteriores.

Diferencia de conjuntos

25) Escribe el conjunto de todos los números reales x de modo que ( )2 2-1 - 5 f x x

x sea un número real.

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Se llama diferencia de A y B, y se escribe A  B, a un nuevo conjunto que tiene por elementos los que pertenecen a A y que no pertenecen a B.

Simbólicamente: A B  {x / x  A  x  B}

Propiedades de la operación Diferencia 1) A  A  

2) A    A 3)  A  

4) A  (B  C)  (A  B)  C

26) Demuestra las propiedades anteriores.

27) Dados los siguientes conjuntos mediante diagramas de Venn, raya el conjunto A  B:

Complementación

28) Resuelve las siguientes inecuaciones en . Escribe el conjunto solución para cada caso.

i) (x2  5)(2x  7)  0 S1...

ii) (x2  5)(2x  7)  0 S2 ...

iii) Completa: S1  S2  ...

S1  S2 ...

A B A B A

B

B A

(14)

Definición

Sean los conjuntos A y B tal que A  B. Se llama complemento de A con respecto a B, y se escribe A ABc, o ,B' A al conjunto formado por los elementos que pertenecen a B y que no B pertenecen a A.

Simbólicamente: ABc  {x / x  B  x  A}

29) Raya en la figura el conjunto A . Bc

30) Se considera A  B. Completa:

 

AB Bc C ...

 A  A Bc ...

 A  A Bc ...

31) Dados los conjuntos: A  {a, b, c, d, e}, B  {a, c, d, f, g}, C  {a, b, c, d, e, f, g}, D  {a, c, d}, E  {b, e}, F  {f, g}

a) Completa usando los símbolos de intersección, diferencia y unión:

i) A ... B  C ii) A ... B  E iii) A ... B  D iv) B ... A  F b) Determina B  D, B  D, B  D, E  F, A Cc, B Cc,

P

(D), C  B y B  C.

c) Indica, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

i) {a, b}  A ii) {a, b}  C iii) D  A  B iv) B  C v) {a, b}  A vi) C  E vii) A  B  C viii) a  D ix) a  D

32) Demuestra las siguientes igualdades:

i) (A  B)  C  (A  C)  (B  C) (Propiedad distributiva de la unión con respecto a la intersección) ii) (A  B)  C  (A  C)  (B  C) (Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión)

iii)

A B

Cc ACc BCc, con A C B C   . (Ley de De Morgan)

iv)

A B

Cc ACc BCc, con A C B C   . (Ley de De Morgan16)

16Augustus de Morgan (1806-1871) Matemático inglés. En 1858, demostró las dos igualdades mencionadas, hoy conocidas universalmente como leyes de De Morgan. Estas fórmulas –en forma equivalente- ya habían sido introducidas por los escolásticos con escasa repercusión.”

González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa. (pie de pág. 133) B

A

(15)

Más actividades

33) Expresa por extensión los siguientes conjuntos:

a) A  {x /x  , 4x  20}

b) B  {x /x  , 5  x

4}

c) C  {x /x  , 5  x

4}

d) D  {x /x  , 2  2x – 3

11}

e) E  {x / x  , x  C}

34) Expresa por comprensión el conjunto:

a) S de los números naturales que al multiplicarlos por 4 y sumarles 2 dan como resultado un divisor de 30.

b) P de los múltiplos no negativos de 1.

35) Dados los conjuntos: A  {1, 2}; B  {{1}, {2}}; C  {{1}, {1, 2}}; D  {{1}, {2}, {1, 2}}.

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta:

a) A

B b)A

B

c)AC

d) A 

C

e)A

D

f)BC g)B

D

h) B D

i)A D

36) Dado el conjunto A  {1, {2, 3}, 4}, indica, justificando, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

i) 1  A ii) {3, 4}  A iii) {3, 2}  A iv) {1, 2}  A v) {{2, 3}}  A vi) {1, 4}  A

37)Dados los conjuntos A  {a, b, c}, B  {b, d, e} y C  {a, b, c, d, e}, determina:

i) A  B ii) A  B iii) (A  B)  C iv) A  (B  C) v) (A  C)  (B  C) vi) ACCB CC vii)

A B viii) A – B ix) C – A x)

CC A B CCCC

38) Sean M, un conjunto de 8 elementos y P, un conjunto de 5 elementos.

a) ¿Cuál es el máximo número de elementos de M  P? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es el mínimo número de elementos de M  P? ¿Por qué?

c) ¿Cuál es el máximo número de elementos de M  P? ¿Por qué?

d) ¿Cuál es el mínimo número de elementos de M  P? ¿Por qué?

39) Considera los conjuntos:

A  {x / 0 x 6}, B  {x / 2 x 8}, C  {x / 2 x 6}, D  {x / 3 x 4}.

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

a) 3 C b) x A x 5 c) x 8 x B d) x B x 2 e) C D f) D A g) A B  C h) B C  B

(16)

40) Se consideran los conjuntos A  {x  , 8  x 2 3

 } y B  {x  , 2

2  x  }.

Representa en la recta real los conjuntos A, B, A  B, A  B, A  B y B  A.

41) Halla:

i) {; 2; 2; 3,14}    vi) [ 2, 3)    ii) {

2

 , 7, 3

19, 0}    vii) [ 2, 3)    iii) (2, 3]    viii) (2, 3]   

iv) [5, 7]    ix) [5, 7]    v) [5, 7]   

42) Expresa, en cada caso, el conjunto sombreado como el resultado de operaciones entre conjuntos:

43) De tres conjuntos A, B y C, se sabe que A C  {x / x



, x  9  x



6}, B C  {2, 8, 5, 7, 9} B C  {5, 7}, A C  {2} y C  (BA)  {8}.

Halla A, B y C.

44) La sangre humana puede contener o no ciertos antígenos: el A, el B, el RH.

La sangre es llamada tipo A positivo si el individuo tiene el A y el RH, pero no el B;

análogamente para B positivo. Una persona que tiene solamente los antígenos A y B se dice que tiene sangre AB negativa. Si tiene solo el antígeno RH tiene sangre tipo O positivo.

En un hospital fueron registrados los siguientes datos de determinados pacientes: 25 tienen el antígeno A, 17 el A y el B, 27 el B, 22 el B y el RH, 30 el RH, 12 no tienen ninguno, 16 tienen el A y el RH y 15 tienen los 3.

a) ¿Cuántos tienen solamente un antígeno?

b) ¿Cuántos tienen exactamente 2 antígenos?

c) ¿Cuántos pacientes fueron registrados?

d) ¿Cuántos tienen los siguientes tipos de sangre?

i) O positivo ii) B positivo

(17)

Si a y b designan dos objetos matemáticos cualesquiera, el par ordenado asociado con a y b, se representa mediante el símbolo

(a, b)

donde a y b se denominan, respectivamente, primer componente y segundo componente del par ordenado.

Par ordenado

“Profesor: Creo que ha llegado el momento de considerar un concepto particularmente importante con el cual ustedes ya están familiarizados. Me refiero, concretamente, al concepto de par ordenado. ¿Lo recuerdan?...

[…]

[…]

Ana (interrumpiendo): ¡Profesor! ¿No bastaría decir que

Un par ordenado es un par de elementos escritos en un orden definido?

Juan: Ana… ¿Cómo podés escribir un par de elementos, sin escribirlos en un orden definido? ¡En el espacio es imposible, y en el tiempo, también!...

Profesor: Sí, sí. Además, el «orden» mencionado por Ana no es un concepto que matemáticamente hayamos presentado oficialmente en sociedad. El adjetivo «ordenado» que venimos empleando para los pares, tiene un carácter gramatical, y no matemático. Dicho adjetivo pretende recordarnos que

(a, b)  (b, a) a menos –claro está- que a y b sean iguales.

Por lo tanto, tenemos que esforzarnos un poco más en lograr una definición de par ordenado que satisfaga nuestra curiosidad conjuntista. Es decir, para cada par de elementos a y b deseamos construir un nuevo conjunto, simbolizado (a, b) que posea la propiedad fundamental:

(a, b)  (c, d)  (a  c  b  d) […] Intentemos, pues, dar una definición conjuntista…

Obviamente, no podríamos definir

(a, b) como

{a, b}

puesto que

{a, b}  {b, a}

y no se cumpliría la propiedad fundamental…

Pero… ¿cómo dar una definición razonable de (a, b)? ¡No es fácil!

(18)

DEFINICIÓN

El par ordenado asociado con los elementos a y b (sotto voce: ¡en ese orden!) es el conjunto (a, b) definido por

(a, b)  {{a}, {a, b}}

TEOREMA (Propiedad fundamental de los pares ordenados) Sean a, b, c, y d elementos cualesquiera. Se cumple:

(a, b)  (c, d)  (a  c  b d) Observen que

(a, b)

es, de acuerdo con esta definición, un conjunto binario cuyos elementos son los conjuntos {a} y {a, b}

Tal definición es, sin dudas, extravagante y no intuitiva, pero como veremos, resulta adecuada para demostrar el siguiente

Demostración:”17

Terna ordenada

“El concepto de par ordenado puede generalizarse fácilmente al de terna ordenada. Del mismo modo que los pares ordenados hallan una interpretación geométrica sencilla e interesante mediante las coordenadas de un punto del plano (dos dimensiones), las ternas ordenadas admiten también un modelo geométrico extremadamente útil: concretamente, las coordenadas de un punto en el espacio (tres dimensiones).

Para la definición de terna ordenada de objetos hemos de definir el símbolo (a, b, c)

de suerte que

(a, b, c)  (d, e, f)  (a  d  b  e  c  f)18

17 González Cabillón, J. (1993). Matemática. 5º año. Tomo I. Montevideo: Colección Cánepa. (pp. 138 a 140).

Notas: 1) Se han realizado modificaciones al texto original para que la cita guarde coherencia con el curso.

2) El alumno interesado puede leer la demostración del teorema en las páginas 140 a 142.

18 Op. Cit., p. 143.

(19)

n-upla ordenada

Análogamente, para la definición de n-upla ordenada asociada a los elementos a1, a2, …, an, se debe definir el símbolo

(a1, a2, …, an) con la propiedad fundamental

(a1, a2, …, an)  (b1, b2, …, bn)  (a1  b1  a2  b2  …  an  bn) 19.

Producto Cartesiano Definición

Sean A y B dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de A y B, y se escribe A  B, a un nuevo conjunto formado por todos los pares ordenados tales que el primer componente del par pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B.

Simbólicamente: A  B  {(a, b) / a

A  b

B}

45) Se consideran los conjuntos E y H tales que: E  {1, 2} y H  {a, b, c}

Completa el producto cartesiano H  E.

E  H  {(1, a), (1, b), (1,c), (2, a), (2, b), (2, c)}

H  E  {...

¿Se cumple la propiedad conmutativa del producto cartesiano?

46) Un alumno dice haber hallado el siguiente producto cartesiano:

A  B  {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 1), (c, 2)}

¿Puede ser correcto?

47) Dados los conjuntos: A  {5, 7}, B  {7, 9} y C  {9, 10 11}; completa la siguiente tabla colocando  o  según corresponda.

A  B B  C C  A A  C (5, 7)

(7, 9) (7, 7) (7, 5) (5, 9) (9,7) (9, 10)

48) ¿En qué caso A  B es el conjunto vacío?

19 En la pág. 143 se puede consultar la definición de terna ordenada y en la pág. 144, la definición de n-upla ordenada.

(20)

Relaciones Definición

Se llama relación de A en B, y se escribe R : A  B, a cualquier subconjunto del producto cartesiano A  B.

Simbólicamente: R es una relación de A en B  R  A  B

Terminología

 Si R es una relación de A en B, y (a, b)  R, diremos que a está relacionado con b y lo representaremos: a R b o R (a)  b.

 Habitualmente trabajaremos con relaciones de A en A a las que llamaremos, en forma más breve, relaciones definidas en A o relaciones en A. Usualmente, en vez de escribir R : A  A, se escribe R : A.

Representaciones de una relación

Consideremos los conjuntos A  { ,  } y B  { !, * }, y la relación R : A  B tal que R  { (, *), (, !), (, !)}.

En forma tabular:

Diagrama sagital:

Diagrama cartesiano

A   

B * ! !

A B

*

!

 

!

*

.

. .

(21)

Relaciones definidas en un conjunto

49) Considera el conjunto de palabras A  {apenas, hora, más, carbón, pero, frío} y la relación

R

definida en A: “tiene la misma cantidad de letras que”.

Representa la relación en un diagrama de Venn, en el que se agregarán flechas, teniendo en cuenta que:

si a

R

b, sale una flecha de a hacia b.

si a

R

a, sale una flecha de a y vuelve hacia a.

Cuando se trata de una relación definida en un conjunto no vacío pueden analizarse ciertas propiedades:

Definición

Dado un conjunto A no vacío y una relación

R

definida en A, diremos que:

R

cumple la propiedad idéntica o reflexiva  a A a a,

R

.

R

cumple la propiedad recíproca o simétrica  a A b A a b, ,

R

b a

R

.

R

cumple la propiedad transitiva  a A b A c A a b b c, , ,

R R

a c

R

.

50) Analiza cuáles propiedades cumple la relación

R

de la actividad anterior.

Definición

Dado un conjunto A (no vacío), diremos que una relación

R

definida en A es de equivalencia si y solo si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Notación: Si una relación

R

definida en A es de equivalencia y (a, b) 

R

, se puede escribir a b .

Por lo tanto, la relación

R

definida en A: “tiene la misma cantidad de letras que”, es una relación de equivalencia.

 a

b

a

Si observas el diagrama de la relación

R

notarás

que los elementos del conjunto A han quedado separados en subconjuntos. Se dice que la relación de equivalencia

R

determina una partición del conjunto A en clases de equivalencia. En nuestro ejemplo quedan determinadas tres clases: A1, A2 y A3.

(22)

Definición

Dado un conjunto A (no vacío), una relación

R

de equivalencia definida en A, y a  A, se llama clase de a, y se escribe

C

a o [a], al conjunto formado por todos los elementos de A que están relacionados con a.

Simbólicamente: [a]  {x  A, x

R

a}

51) Completa: [a] ………

P

(A)

Teorema

Sean un conjunto A (no vacío), una relación

R

de equivalencia definida en A, y a, b  A, se cumple que:

a

R

b  [a]  [b].

52) Demuestra el teorema anterior.

Volviendo a la actividad de la página 1, tenemos que:

Dos elementos pertenecientes a la misma clase, se llaman equivalentes. Por ejemplo, las palabras hora y frío son equivalentes (tienen la misma cantidad de letras).

Puesto que dos cualesquiera de los elementos de una clase son equivalentes, cualquier elemento de una clase puede servirnos como representante de dicha clase.

El conjunto formado por las clases de equivalencia A1, A2 y A3, se denomina conjunto cociente de A módulo

R

, y se lo nota: A

R

.

Definición

Dado un conjunto A (no vacío) y una relación

R

de equivalencia definida en A, se llama conjunto cociente de A módulo

R

, y se escribe A

R

, al conjunto que tiene como elementos a todas las clases de equivalencia de elementos de A.

Simbólicamente: A

R

[ ]x

P

( ) /A x A .

53) Se consideran el conjunto A  {2, 3, 5, 7} y la relación

R

definida en A: “es divisor de”. Analiza si

R

es de equivalencia y en caso afirmativo halla el conjunto cociente de A módulo

R

.

Para las clases A1, A2 y A3 que la relación

R

determinó (actividad de la página 1), se verifican las siguientes tres propiedades:

1. Cada clase tiene por lo menos un elemento.

Simbólicamente: A1  , A2   y A3  .

(23)

2. Cada elemento del conjunto A pertenece solamente a una clase, es decir, no hay dos clases con elementos comunes.

Simbólicamente: A1  A2  , A2 A3   y A1 A3  .

3. Todo elemento de A pertenece a alguna de las clases.

Simbólicamente: A1  A2  A3  A.

Podemos decir entonces que   {A1, A2, A3}, es una partición del conjunto A.

Definición

Se llama partición de un conjunto A (no vacío), a todo subconjunto del conjunto de partes de A, en donde sus elementos cumplen: son no vacíos, disjuntos dos a dos, y su unión es el conjunto A.

Simbólicamente:

Consideremos dos conjuntos A e I, tales que A , I  e I .  es una partición de A, si y solo si, A i I que verifica: i,

 P

(A).

Ai  ,  i  I.

i .

i IA A 20

, , .

i j i j

A A A A i j I

54) En geometría se dice que una recta, una circunferencia o la mediatriz de un segmento, determinan una partición del plano, ¿a qué partición se está haciendo referencia?

Teorema

Dado un conjunto A (no vacío) y una relación

R

de equivalencia definida en A, se cumple que A

R

es una partición de A.

Una posible lectura del teorema anterior es que toda relación de equivalencia definida en un conjunto A (no vacío) determina una partición de A en clases de equivalencia.

55) Demuestra el teorema anterior.

56) Se consideran los conjuntos A a b c d y , , , b a c d, , , . i) Demuestra que  es una partición de A.

20 Sean I , I   (familia de índices ) y

A i Ii,

  

Ai i I una familia de conjuntos. Se denomina unión de la familia

A i Ii,

, al conjunto i I

Ai

x i I x A,    i

.

(24)

ii) Determina por extensión una relación de equivalencia

R

definida en A cuyo conjunto cociente sea .

iii) Dos elementos cualesquiera de A que están relacionados según

R

, ¿cómo se vinculan con el conjunto ?

Teorema

Sea  una partición de A. Definimos la relación

R

en A de modo que dos elementos de A están relacionados si y solo si pertenecen al mismo elemento de la partición . Entonces, dicha relación es de equivalencia y el conjunto cociente que esta relación

R

determina es la partición .

57) Demuestra el teorema anterior.

58) Se considera el conjunto A  {a, b, c, d, f} y la partición de A:   {{a, b, c}, {d}, {f}}.

Escribe por extensión la relación de equivalencia

R

correspondiente al teorema anterior y comprueba que: A

R

.

59) a) Comprueba que la relación paralelismo, definida en el conjunto de todas las rectas del plano, es de equivalencia.

b) ¿Por qué elementos está compuesta cada clase de equivalencia que la relación paralelismo determina en el conjunto de todas las rectas del plano? ¿Qué nombre recibe cada una de estas clases?

60) Se consideran los conjuntos A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B  {0, 1, 2, 3, 4}, C  {2, 3, 4, 5}, D  {2, 3}, E  {7, 8, 9} y M  {A, B, C, D, E }, y las relaciones

R

1 y

R

2

definidas en M tales que: P

R

1 Q  P  Q y P

R

2 Q  P  Q.

Representa

R

1 y

R

2 en diagramas de Venn y analiza las propiedades que cumplen.

Definición

Dado un conjunto A no vacío y una relación

R

definida en A, diremos que:

R

cumple la propiedad inidéntica  a A a a, ( , )

R

.

R

cumple la propiedad asimétrica  a A b A, , ( , )a b

R

( , )b a

R

.

R

cumple la propiedad antisimétrica  a A b A, , ( , )a b

R

( , )b a

R

a b .

R

1 cumple las propiedades: inidéntica, asimétrica y transitiva. Diremos entonces que

R

1 es una relación de orden estricto.

R

2 cumple las propiedades: idéntica, antisimétrica y transitiva. Diremos entonces que

R

2 es una

relación de orden amplio.

(25)

Definición

Dado un conjunto A no vacío y una relación

R

definida en A, diremos que

R

es una relación de orden estricto si y solo si cumple las propiedades inidéntica, asimétrica y transitiva.

Si

R

es una relación de orden estricto definida en A, se dice que el conjunto A está estrictamente ordenado u ordenado estrictamente por la relación

R

.

Definición

Dado un conjunto A no vacío y una relación

R

definida en A, diremos que

R

es una relación de orden amplio si y solo si cumple las propiedades idéntica, antisimétrica y transitiva.

Si

R

es una relación de orden amplio definida en A, se dice que el conjunto A está ampliamente ordenado u ordenado ampliamente por la relación

R

.

61) Se consideran los conjuntos A  {0, 1, 2}, B  {0, 1, 2, 3, 4}, C  {0, 1, 2, 3, 4, 5}, D  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y N  {A, B, C, D, E }, y la

relación

R

3 definida en N tal que: P

R

3 Q  P  Q.

Representa

R

3 en un diagrama de Venn y analiza las propiedades que cumple.

Definición

Dada una relación

R

de orden (amplio o estricto) definida en un conjunto A no vacío, diremos que dos elementos a y b de A son comparables si y solo si a

R

b o b

R

a.

Definición

Dada una relación

R

de orden (amplio o estricto) definida en un conjunto A no vacío, diremos que

R

es una relación de orden total si todo par de elementos distintos de A son comparables. En caso contrario se dice que

R

es una relación de orden parcial.

62) Analiza si las relaciones

R

1,

R

2 y

R

3, definidas en las actividades anteriores, son de orden total o parcial.

63) Analiza para cada una de las siguientes relaciones si son de orden estricto o amplio, parcial o total:

i) “” definida en

P

(A) (con A  ).

ii) “” definida en .

iii) “” definida en .

iv) “” definida en .

v) “” definida en .

(26)

Definición

Se considera una relación

R

de orden amplio definida en un conjunto A no vacío.

Diremos que a  A es un elemento mínimo de A si y solo si  x  A, a

R

x.

Diremos que b  A es un elemento máximo de A si y solo si  x  A, x

R

b.

64) Podrá existir más de un máximo o más de un mínimo? Justifica.

65) Se considera el conjunto B  {a, b, c, d, e, f} y la relación

R

definida en B tal que

R

 {(a, a), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b), (c, c), (d, a), (d, c), (d, d), (e, f), (f, f)}.

a) Representa

R

en un diagrama cartesiano y comprueba que no es una relación de orden amplio.

b) Define una nueva relación

S

tal que

R

esté incluida en

S

, agregando a

R

la menor cantidad de pares ordenados posibles para que

S

sea de orden amplio.

c) Investiga la existencia de mínimo y máximo en B según la relación

S

.

66) Sean R1, R2, R3 y R4, relaciones definidas en el conjunto A  {0, 1, 2}, cuyas representaciones en sistemas de ejes cartesianos son las siguientes:

(27)

Investiga si las relaciones anteriores son de equivalencia o de orden amplio. Si alguna relación es de equivalencia, determina el conjunto cociente y si es de orden amplio, indica si es total o parcial y halla, en caso de existir, máximo y mínimo.

Más actividades

67) Dados los conjuntos: A  {a, b, c, d}; B  {1, 2, 3}; C  {a, c, 2, 3}

R1  {(a, 2), (a, 1), (b, 3)}; R2  {(a, 1), (c, 1)}; R3  {(2, a), (3, c), (2, c)} y R4  {(x, y) / x  y, x  , 0  x  3}

a) Investiga si las siguientes son relaciones en los conjuntos que se indican:

R1 : A  B; R3 : A  B; R2 : A  B; R2 : A  C; R3 : B  A;

R3 : B  C; R3 : C  B; R4 : B  B; R4 : B  C; R1 : A  C b) Representa mediante diagramas las relaciones de la parte a).

68) Dado el conjunto A = {a, b, c, d, e}, define tres relaciones diferentes en A y representa cada una de ellas mediante diagrama de flecha, diagrama cartesiano y en forma tabular.

69) Investiga qué propiedades cumplen cada una de las siguientes relaciones:

a) La relación de paralelismo, en el conjunto de las rectas del plano.

b) La relación “es menor que”, en el conjunto de los números naturales ().

70) Investiga qué propiedades cumple cada una de las siguientes relaciones y, en caso de ser posible, clasifícalas:

a) La relación “es hermano de” (para esta actividad, diremos que x “es hermano de” y, si x e y son hijos de la misma madre y el mismo padre) definida en el conjunto de todos los seres humanos.

b) La relación “es divisor de” definida en el conjunto A  {2, 3, 6, 8, 12}.

c) La relación “es amigo de” (debes indicar cuándo diremos que x “es amigo de” y) definida en el conjunto de todos los seres humanos.

d) La relación “es menor o igual que” definida en el conjunto A de la parte b).

71) Dado A 1,2,3,4 , se consideran las siguientes relaciones definidas en A : R1 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,1 , 2,3 , 3,3 , 3,1 , 3,2 , 4,4

R2 1,1 , 1,3 , 2,3 , 3,3 , 3,1 , 3,2 , 4,4

a) Representa cada una en un sistema de ejes cartesianos.

b) Indica en cada caso si la relación representada corresponde o no a una relación de equivalencia. Justifica.

72) Se consideran el conjunto A 

1, 2, 3, 4, 6,9, 12, 18, 36 y la relación “divide a” definida en A.

Realiza un diagrama sagital de dicha relación e investiga si es de orden.

(28)

73) Se considera la relación

R

definida en B x / 0 x 3 , tal que su representación gráfica es la región pintada. Investiga si es una relación de equivalencia.

74) Investiga si la relación

R

definida en  tal que x

R

y  x2  x  y2  y es de equivalencia.

75) Sean A a b c d y , , , B b c ,

a) Se considera la relación

R

definida en

P

(A) tal que: X

R

Y  X  B  Y  B.

Prueba que

R

es de equivalencia.

b) ¿Cuál es la clase de a b d ? , ,

c) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto cociente ( )

P

A

R

?

76) Se considera el conjunto A a b c d y en él se definen las relaciones: , , ,

1 , , , , , , ,

R a a b b c c d d ;

2 , , , , , , , , ,

R a a b b c c b c c b ;R3 A A ; R4 a a b b b c c c d d, , , , , , , , , ;

5 , , , , , , , , , , , , , , , , ,

R a a b b b c a b b a c c d d c d d c

a) Investiga si las relaciones anteriores son de equivalencia. Justifica.

b) En cada caso, si la relación es de equivalencia, escribe las clases de equivalencia. Justifica.

77) En el conjunto de puntos de un plano se define la relación: P

R

P d P O, d P O , ,

siendo O un punto determinado del plano.

a) Prueba que

R

es de equivalencia.

b) Halla la clase de T, siendo T un punto del plano y determina el conjunto cociente.

3

1

0 1 3

(29)

78) Se define en el conjunto de los números reales la siguiente relación: x

R

y  x  y  x3  y3 a) Prueba que

R

es una relación de equivalencia.

b) Halla las clases de los reales 1, 2 y 3.

c) Halla los a   / Ca tenga tres elementos.

79) Se define en * la siguiente relación: x

R

y  xy  0.

a) Prueba que

R

es de equivalencia.

b) Halla C1, C1 y Ca, con a  *. c) Escribe el conjunto cociente

80) Se define en la relación (x, y)

R

(x’, y’ )  x  x’  2(y  y’ ) a) Prueba que

R

es de equivalencia

b) Halla las clases de (0, 0) y de (2, -1).

81) Sea A un conjunto y

R

1 y

R

2 dos relaciones de equivalencia en A. Prueba que

R

1

R

2 es una relación de equivalencia en A.

82) Sea

R

definida en A, con A tal que

R

es idéntica y transitiva; y sea

S

definida en A tal que a

S

b  a

R

b  b

R

a. ¿Es

S

una relación de equivalencia?

83) Se considera el conjunto A

1, 2, 3, 4

y se define la siguiente relación:

R

: A, a

R

b     a b a b 3

a) Determina

R

por extensión.

b) Representa

R

mediante un diagrama cartesiano.

c) Demuestra que

R

es de equivalencia.

d) Halla A .

R

84) (Primer parcial  2009). Se consideran la función f :  , ( )f x x22 y la relación

 

: , ( ). ( ) 0.

S aSb f a f b

a) Determina el conjunto H

x , xSx

.

b) Demuestra que la relación T : H aTb, f a f b( ). ( ) 0, es de equivalencia.

c) Halla el conjunto cociente

H

T , que la relación T determina en H .

(30)

Funciones

85) Se deja caer una pelota desde un edificio y se registra en la siguiente tabla la medida del espacio recorrido e, en metros, en función del tiempo t, en segundos:

t

(segundos) 0 1 1,3 2 3 3,5 4

e (t) (metros)

0 5 8,45 20 45 61,25 80

a) A partir de la tabla encuentra una fórmula (e(t)) para el espacio recorrido en función del tiempo. Indica dominio y posibles codominios para la función e, teniendo en cuenta que la pelota llega al piso a los cuatro segundos.

b) Representa gráficamente e en función de t.

c) Representa gráficamente la función f cuya fórmula es la misma que la que obtuviste en la parte a), pero ahora con dominio  y codominio +0( +0 + 0 ).

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Se dice que f es una función de A en B, y se escribe: f : A  B, si y solo si f es una relación de A en B que cumple que, todo elemento de A está relacionado con un único elemento de B.

Observación

f : A  B es función, significa:

 f es una relación de A en B: f  A  B

 Existencia: x  A, y  B, (x, y)  f

 Unicidad: x  A, y, z  B, ((x, y)  f  (x, z)  f  y  z) Terminología

Consideremos la función f : A  B:

1) A se llama dominio de la función f, y se escribe D(f) 2) B se llama codominio de la función f, y se escribe Cod(f)

3) Si x  A está relacionado con y  B, diremos que y es el correspondiente o la imagen de x, y que x es la preimagen de y; escribiremos f (x)  y.

Observa que para que una función quede definida es necesario indicar dominio, codominio y una cierta relación definida del dominio en el codominio.

No confundir:

 f es la función, es decir, un conjunto de pares ordenados.

 f (x) es la imagen de x al aplicar la función f, es decir, es un elemento del codominio.

(31)

Otra posible definición de función

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se dice que f es una función de dominio A y codominio B si y solo si f es una terna ordenada (A, B, G) tal que:

i) G  AB

ii) Para todo x perteneciente a A, existe un único y perteneciente a B tal que (x, y) pertenece a G.

Representaciones de una función

“Si el precio de un boleto de ómnibus es de $ 15, la función que relaciona el dinero recaudado con el número de boletos vendidos puede expresarse en varios lenguajes:

Lenguaje coloquial: texto o frase que relaciona las dos variables. ‘El dinero recaudado depende o es función del número de boletos vendidos’.

Lenguaje tabular: tabla de valores que relaciona las dos variables.

Nº de boletos 0 1 2 … 50 …

Pesos 0 15 30 … 750 …

Lenguaje analítico: expresión analítica que relaciona las dos variables. Si x indica el número de boletos vendidos y el dinero recaudado en pesos lo expresamos con y, entonces la relación entre las dos variables viene dado por la expresión y  15.x

Lenguaje gráfico: gráfica que relaciona las dos variables. Una gráfica nos permite, entre otras cosas, observar globalmente el fenómeno.”21

Otra posible forma de representar una función es a través de los llamados diagramas sagitales o diagramas de flechas:

21 Ochoviet, C. & Olave, M. (2006). Matemática 4. Montevideo: Santillana. (p. 80)

.

Nº de boletos

vendidos 0 1 2 3 4 5

15 30 75 45 60

$

. . . . .

Nº de boletos vendidos

$ 0

1 2 3 4 5

0 15 30 45 60 75

(32)

Definición

Consideremos la función f : A  B

Se llama recorrido de la función f, y se escribe Rec(f), al conjunto de todas las imágenes.

Simbólicamente: Rec(f)  { y  B / x, x  A, f (x)  y }.

Clasificación de funciones: Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva Definición

Una función f : A  B es inyectiva si y solo si a todo par de elementos distintos del dominio les corresponden elementos distintos del codominio.

Simbólicamente: f : A  B inyectiva  x1, x2  A, (x1  x2  f (x1)  f (x2))

86) La función e de la actividad anterior, ¿es inyectiva? ¿Y la función f? Justifica.

Definición

Una función f : A  B es sobreyectiva si el recorrido de la función es igual al codominio, o dicho de otro modo, si todo elemento del codominio tiene preimagen.

Simbólicamente: f : A  B sobreyectiva  Rec(f)  Cod(f) o también:

f : A  B sobreyectiva  y  B,  x  A, f (x)  y

87) La función e de la actividad anterior, ¿es sobreyectiva?

Discute según que el codominio sea +0, o [0, 80].

¿Y la función f? Justifica.

Definición

Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

88) La función e de la actividad anterior, ¿es biyectiva? Discute según que el codominio sea +0, o [0, 80].

Función Inversa

89) Sea h :    / h(x) = 2x  3

a) Completa:

b) Representa gráficamente h.

x 2 1 1 3

y 3 1

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