Integrales dobles en

C

F

C

Integrales dobles en coordenadas polares

Aplicaciones

Logros esperados

 Representa gráfica y simbólicamente regiones de integración haciendo uso de coordenadas polares.

 Analiza el uso coherente y pertinente de coordenadas polares en el cálculo de una integral doble.

 Resuelve ejercicios y problemas de aplicación a diversas ciencias, en diversos contextos, que involucran el cambio de coordenadas

cartesianas a polares.

Integrales dobles en coordenadas polares Caso I

Si 𝑓 es una función continua en un rectángulo polar dado por:

𝑅 = 𝑟; 𝜃 ; 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ; 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 con 0 ≤ 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋 entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝑅

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑏

𝑎 𝛽

𝛼

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥

+ 𝑦

= 𝑟

Relación entre coordenadas cartesianas y polares

Rectángulo polar

Ejemplo 1

Calcule las siguiente integrales dobles en la región descrita:

a.- arctan_𝐷 ^𝑦_𝑥 𝑑𝐴 donde

𝐷 = (𝑥; 𝑦) 1 ≤ 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 ∧ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥

b.- (3𝑥 + 4𝑦_𝐷 ²)𝑑𝐴 donde 𝐷 es la región en el semiplano superior limitada por las circunferencias 𝑥² + 𝑦² = 1 y 𝑥² + 𝑦² = 4

Solución

Integral doble en coordenadas polares Caso II

Si 𝑓 es una función continua en una región polar dada por:

𝐷 = 𝑟; 𝜃 ; 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ; 𝑔₁(𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑔₂(𝜃) entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝒓 𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑔₂(𝜃)

𝑔₁(𝜃) 𝛽

𝛼

𝜽 = 𝜶 𝜽 = 𝜷

𝒓 = 𝒈_𝟐(𝜽)

𝒓 = 𝒈_𝟏(𝜽)

𝑫

Ejemplo

Integral doble en coordenadas polares

1

Calcule la integral doble

𝑥

𝐷

𝑑𝐴

donde 𝐷 es la región sombreada mostrada en la figura adjunta.

𝑥

𝑦 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 = 𝟐𝒙

𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 = 𝒙

Solución

Ejemplo

Integral doble en coordenadas polares

2

En la figura adjunta, 𝐷 es la región sombreada que está

limitada por las circunferencias con ecuaciones polares 𝑟 = 4 y 𝑟 = −4 cos 𝜃 , además por la recta 𝜃 = ^𝜋

2. a.- Exprese analíticamente, en

coordenadas polares, la región sombreada 𝐷.

b.- Modele con una sola integral iterada, en coordenadas polares, la siguiente integral

𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷

𝑥 𝑦

𝒓 = 𝟒

𝒓 = −𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝜽

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 limitada por la espiral cuya ecuación polar es: 𝑟 = ^𝜋

3𝜃, las circunferencias 𝑥² + 𝑦² = 1 ; 𝑥² + 𝑦² = ¹₄ y el eje 𝑋.

Exprese la siguiente integral como suma de dos integrales dobles iteradas.

𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷

Solución

𝝅 𝟑𝜽

𝑥 𝑦

PASO 1: Describamos la región D en coordenadas polares. Notemos que ésta descripción requiere dividir la región en dos partes.

Caso para que analice el estudiante: 1

𝒓 = 𝝅 𝟑𝜽

𝑥 𝑦

𝑷

𝑸

PASO 2: Hallamos las

coordenadas de los puntos 𝑃 y 𝑄.

Para 𝑃, resolvemos el sistema 𝑟 = 𝜋

3𝜃 𝑟 = 1

2 y obtenemos: 𝑃 ¹

2;^2𝜋

3 .

𝒓 = 𝟏

𝒓 = 𝟏 𝟐

Para 𝑄, resolvemos el sistema 𝑟 =

𝜋 𝑟 = 13𝜃 y obtenemos: 𝑄 1;^𝜋

3

𝑫

𝑫

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 3: Describimos la región 𝐷 = 𝐷₁ ∪ 𝐷₂ 𝐷₁ = 𝑟; 𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

3 ∧ 1

2 ≤ 𝑟 ≤ 1 𝐷₂ = 𝑟; 𝜃 𝜋

3 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 3 ∧ 1

2 ≤ 𝑟 ≤ 𝜋 3𝜃

PASO 3: Formulamos la integral pedida usando coordenadas polares:

𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷₁

+ 𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷₂

= 𝑟 (𝑟 cos 𝑟²)

1

12

𝑑𝑟

𝜋3

0

𝑑𝜃 + 𝑟 (𝑟 cos 𝑟²)

3𝜃𝜋

12

𝑑𝑟

2𝜋3

𝜋3

𝑑𝜃

Caso para que analice el estudiante: 1

Finalmente:

𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑟² cos 𝑟²

1

12

𝑑𝑟

𝜋3

0

𝑑𝜃 + 𝑟² cos 𝑟²

3𝜃𝜋

12

𝑑𝑟

2𝜋3

𝜋3

𝑑𝜃

Integral doble en coordenadas polares Caso III

Si 𝑓 es una función continua en una región polar dada por:

𝐷 = 𝑟; 𝜃 ; 𝑟₀ ≤ 𝑟 ≤ 𝑟₁ ; 𝑓₁(𝑟) ≤ 𝜃 ≤ 𝑓₂(𝑟) entonces:

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝒓 𝑑𝜃𝑑𝑟

𝑓₂(𝑟)

𝑓₁(𝑟) 𝑟₁

𝑟₀

𝒓_𝟎 𝒓_𝟏

𝜽 = 𝒇_𝟏 𝒓 𝜽 = 𝒇_𝟐 𝒓

𝑫

Ejemplo

Integral doble en coordenadas polares

1

En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 limitada por la espiral cuya ecuación polar es: 𝑟 = _3𝜃^𝜋 , las circunferencias 𝑥² + 𝑦² = 1 ; 𝑥² + 𝑦² = ¹₄ y el eje 𝑋.

Exprese la siguiente integral como una sola integral doble iterada y calcule su valor

𝑥² + 𝑦² cos 𝑥² + 𝑦² 𝑑𝐴

𝐷

𝒓 = 𝝅 𝟑𝜽

𝑥 𝑦

Solución

Ejemplo

Integral doble en coordenadas polares

2

En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 limitada por las curvas de ecuaciones polares 𝑟 = 2 y 𝑟 = 2 + 2 sen 𝜃. Modele con una sola integral doble iterada, en coordenadas polares, la integral siguiente

𝑥⁴ + 2𝑥²𝑦² + 𝑦⁴ 𝑑𝐴

𝐷

(sug. Use la simetría de la región 𝐷)

Solución

Área de una región plana

Sea 𝐷 ⊂ ℝ³ una región plana en ℝ². El área de 𝐷 esta dada por la integral doble

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑫 = 𝒅𝑨

𝑫

𝑦

𝐷

Área de una región plana:

Casos particulares

Si 𝐷 es una región definida por

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹^𝟐; 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ; 𝒈_𝟏(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒈_𝟐(𝒙)

donde 𝑔₁ y 𝑔₂ son continuas en 𝑎; 𝑏 entonces el área de 𝐷 es:

𝒙

Descripción de 𝐷:

𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

𝒈_𝟏 𝒙 ≤ 𝒚 ≤ 𝒈_𝟐(𝒙)

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷 = 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑔₂(𝑥)

𝑔₁(𝑥) 𝑏

𝑎

Orden: 𝒅𝒚𝒅𝒙

Área de una región plana:

Casos particulares

Si 𝐷 es una región definida por

𝐷 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅²; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ; 𝑕₁(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑕₂(𝑦)

donde 𝑕₁ y 𝑕₂ son continuas en 𝑐: 𝑑 , entonces el área de 𝐷 es:

𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐷) = 𝑑𝐴

𝐷

= 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑕₂(𝑦)

𝑕₁(𝑦) 𝑑

𝑐

𝒚 Descripción de 𝐷:

𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

𝒉_𝟏 𝒙 ≤ 𝒚 ≤ 𝒉_𝟐(𝒙)

Orden: 𝒅𝒙𝒅𝒚

Ejemplo

Área de una región plana

1

En cada calcule el área de la región limitada por las curvas dadas

a.- 𝑦 = 16𝑥 + 20; 𝑦 = −2𝑥 + 20; 𝑦 = 4𝑥² donde 𝑥 ≥ 0 b.- 𝑦 = 𝑥; 𝑥𝑦 = 16; 𝑥 = 2

c.- 𝑦 = 4 − 𝑥²; 𝑦 = ln 2𝑥 − 3 ; 𝑦 = 1

Solución

Ejemplo

Área de una región plana

2

La siguiente placa será usada como parte de un logo para una tienda comercial. Los límites de esta placa son

modelados mediante las curvas de ecuaciones 𝑥 + 𝑦 = 3 ; 𝑦 = 𝑥² + 1 Calcule el área de la placa.

Solución

Volumen

Si 𝑓 es una función

sobre una región 𝑅 en el plano y 𝑓(𝑥; 𝑦) ≥ 0 para todo 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 , entonces el

𝑬 = (𝒙; 𝒚; 𝒛) 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹 ∧ 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒇(𝒙; 𝒚)

que se encuentra sobre la región 𝑅 y bajo la gráfica de 𝑓 se define como

𝑽𝒐𝒍(𝑬) = 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑹

𝒙 𝒚

𝒛

𝒙 𝒚

𝒛

𝒙

𝒚 𝑬

𝑹

Gráfica de 𝒇

Ejemplo

Volumen

1

Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², 𝑦 = 𝑥², 𝑦 = 1, 𝑧 = 0

Solución

𝒙 𝒚 𝒛

Ejemplo

Volumen

2

Sea 𝐷 la región del plano, en el segundo cuadrante, que es exterior a la gráfica de 𝑥² + 𝑦² − 2𝑦 = 0 e interior a 𝑥² + 𝑦² = 4. Calcule el volumen de la parte del sólido limitado

superiormente por 𝑧 = 𝑥² + 𝑦² e inferiormente por la región 𝐷

Solución

𝒙 𝒚 𝒛

Masa de una lámina plana

Considere una delgada placa que tiene la forma dada por la región 𝐷 del plano y cuya densidad está dada por la

función continua 𝜌(𝑥; 𝑦), entonces la masa 𝒎 de la lámina está dada por

𝒎 = 𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

Región 𝐷

𝑦

𝑥

Ejemplo

Masa

1

Determine la masa de una lámina D limitada por un triángulo con vértices 0,0 ; 2,1 y 0,3 , cuya densidad en cada

punto 𝑥; 𝑦 esta dada por 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦.

Solución

Ejemplo

Masa

2

Una lámina ocupa la parte del disco 𝐷 = * 𝑥, 𝑦 / 𝑥²+𝑦² ≤ 1+

que se encuentra en el primer cuadrante. Si la densidad (en gr/cm²) de la lámina en cualquier punto (𝑥, 𝑦) es igual al

doble de la distancia de dicho punto al eje 𝑋 . Determine la masa de la lámina

Solución

Momento y centro de masa

Considere una delgada placa que tiene la forma dada por la región 𝐷 del plano y cuya densidad está dada por la función continua 𝜌(𝑥; 𝑦), entonces los momentos de masa respecto a los ejes 𝑋 e 𝑌 son

𝒙 = 𝑴

𝒎 = 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

Luego, si 𝑚 es la masa de la lámina, las coordenadas del

𝑴

= 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

𝑴

= 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

𝒚 = 𝑴

𝒎 = 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝝆 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

Ejemplo

Centro de masa

1

Determine la masa y el centro de masa de una lámina triangular cuyos vértices son 0; 0 , (1; 0) y (0; 2), cuya densidad está dada por 𝜌 𝑥; 𝑦 = 1 + 3𝑥 + 𝑦

Solución

Ejemplo

Centro de masa

2

Determine el centro de masa de una lámina semicircular de radio 𝑎, si la densidad de la lámina en cualquier punto 𝑃 es proporcional a la distancia del punto 𝑃 al centro del círculo

Solución

Área de una superficie (en ℝ

)

Si 𝑓 y sus primeras derivada parciales son continuas en una región cerrada 𝑅 del plano 𝑋𝑌, entonces el área de la

𝑆 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) está dada por:

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒚

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚 𝒛

𝑠

Área de una superficie (en ℝ

) OBSERVACIONES

Si la región cerrada 𝑹 está en el plano 𝑿𝒁, entonces el área de la superficie 𝑺, descrita por 𝑦 = 𝑓 𝑥; 𝑧 , sobre 𝑅 es

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒙

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒛

𝟐

𝒅𝑨

𝑹 Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚 𝒛

𝑠

Área de una superficie (en ℝ

) OBSERVACIONES

Si la región cerrada 𝑹 está en el plano 𝒀𝒁, entonces el área de la superficie 𝑺, descrita por 𝑥 = 𝑓 𝑦; 𝑧 , sobre 𝑅 es

𝑨 𝑺 = 𝟏 + 𝝏𝒇

𝝏𝒚

𝟐

+ 𝝏𝒇

𝝏𝒛

𝟐

𝒅𝑨

𝑹

Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚 𝒛

𝑠

Ejemplo

Área de una superficie

1

Calcule el área de la superficie 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 que está ubicada sobre el triángulo de vértices 0,0 ; (0,2) y 2,0.

Solución

Ejemplo

Área de una superficie

2

Determine el área de la parte del cilindro 𝑧 = 1 − 𝑦², ubicada en el primer octante y situada entre los planos verticales

𝑥 + 𝑦 = 1 y 𝑥 + 𝑦 = 3

Solución

Ejemplo

Área de una superficie

3

En la figura adjunta se muestra el cilindro 𝑥² + 𝑦² = 4 que es cortado por el plano 𝑧 = 𝑥. Determine el área de la parte del cilindro que está sombreada

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

Sea el sólido limitado por las superficies de ecuaciones:

𝑦 + 𝑧 = 4 ; 𝑧 = 𝑥² ; 𝑦 = 0 Calcule:

a.- El volumen de este sólido.

b.- El área de la porción de plano que limita superiormente a este sólido.

c.- El área de la proyección del sólido sobre el plano 𝑋𝑌

Solución

PASO 1: Graficamos el sólido.

Notemos que al proyectar sobre el plano 𝑋𝑌 el volumen se calcula por la integral

4 − 𝑦 𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑌

− 𝑥²𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑌 𝒙 𝒚

𝒛

𝒚 + 𝒛 = 𝟒

𝒛 = 𝒙^𝟐

a)

Caso para que analice el estudiante: 1

Podemos simplificar los cálculos si proyectamos sobre el plano 𝑋𝑍, en este caso el volumen se expresa por:

4 − 𝑧 𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑍

𝒙 𝒛

𝒛 = 𝒙^𝟐

PASO 2: Describimos la proyección 𝐸_𝑥𝑍 ∶ 0 ≤ 𝑧 ≤ 4; − 𝑧 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧

^𝑧 PASO 3: Calculamos la integral doble como una integral doble iterada.

4 − 𝑧 𝑑𝐴

𝐸_𝑋𝑍

= 4 − 𝑧 𝑑𝑥

𝑧

− 𝑧

𝑑𝑧

4

0

= 4 − 𝑧 2 𝑧 𝑑𝑧

4

0

= 256

15 ≈ 17,067

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 1: Notamos que la porción de plano cuya área queremos calcular, es la gráfica de la función

𝑓 𝑥; 𝑦 = 4 − 𝑦 y en consecuencia su área es:

1 + 𝑓_𝑥² + 𝑓_𝑦²𝑑𝐴

𝑆_𝑋𝑌

b)

𝒔_𝑿𝒀

PASO 2: Describimos la proyección 𝑆_𝑋𝑌 ∶ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥²

𝒚 + 𝒙^𝟐 = 𝟒

𝒔_𝑿𝒀

𝒙

𝒚 PASO 3: Formulamos y calculamos la integral doble:

1 + 𝑓_𝑥² + 𝑓_𝑦²𝑑𝐴

𝑆_𝑋𝑌

= 1 + (−1²)𝑑𝑦

4−𝑥²

0

𝑑𝑥

2

−2

Caso para que analice el estudiante: 1

= 1 + (−1²)𝑑𝑦

4−𝑥²

0

𝑑𝑥

2

−2

= 2 4 − 𝑥² 𝑑𝑥

2

−2

= 32 2

3 ≈ 15,085

PASO 1: La proyección en el plano 𝑋𝑌 ya fue obtenida en el item anterior: 𝑆_𝑋𝑌 ∶ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥²

Luego el área se calcula por medio de la integral doble:

𝑑𝐴

𝑆_𝑋𝑌

= 𝑑𝑦

4−𝑥²

0

𝑑𝑥

2

−2

= 4 − 𝑥² 𝑑𝑥

2

−2

= 32

3 ≈ 10,667

c)

Lo que no debes olvidar

• La variación de las variables 𝜃 y 𝑟 de una región descrita en coordenadas polares depende de como está trazado el borde de la región

𝑟 = −1 + cos 𝜃

La región 𝑅 queda descrita por las desigualdades:

𝝅 ≤ 𝜽 ≤ ^𝟑𝝅

𝟐 ; −𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ≤ 𝒓 ≤0

𝑹

𝒓 𝟎 −𝟏 −𝟐 −𝟏 0

𝜽 0 𝜋

2 𝜋 3𝜋

2

2𝜋

• En coordenadas polares, al igual que en cartesianas, hay dos ordenes en las integrales iteradas.

𝑟₀ ≤ 𝑟 ≤ 𝑟₁ 𝑓₁ 𝜃 ≤ 𝜃 ≤ 𝑓₂(𝜃)

𝒓_𝟎 𝒓_𝟏

𝜽 = 𝒇_𝟏 𝒓 𝜽 = 𝒇_𝟐 𝒓

𝜽 = 𝜽_𝟎 𝜽 = 𝜽_𝟏

𝒓 = 𝒈_𝟐(𝜽)

𝒓 = 𝒈_𝟏(𝜽)

𝜃₀ ≤ 𝜃 ≤ 𝜃₁ 𝑔₁ 𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 𝑔₂(𝜃)

ORDEN

𝑑𝜃𝑑𝑟

ORDEN

𝑑𝑟𝑑𝜃

Lo que no debes olvidar

• Al pasar una integral doble de coordenadas cartesianas a polares, debes incluir el Jacobiano

𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝐴 Coord. POLARES 𝒓 𝑓 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝐴

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Qué dificultades tuve para representar regiones en coordenadas polares?

 ¿Qué estrategias apliqué para reconocer

adecuadamente los dos ordenes de integración en coordenadas polares?

 ¿Las coordenadas polares me permitieron

simplificar el cálculo de algunas integrales

dobles?

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson