Teoría Avanzada en Polinomios Ortogonales Multivariados

(1)

Minicurso

Teoría Avanzada en

Polinomios Ortogonales Multivariados

(Tercera sesión)

Teresa E. Pérez Departamento de Matemática Aplicada

Universidad de Granada (España) e–mail: [email protected]

V EIBPOA – Encuentro Iberoamericano de polinomios ortogonales y sus aplicaciones

Instituto de Matemáticas, UNAM del 8 al 12 de junio de 2015.

(2)

Familias de polinomios ortogonales multivariadas

1 _{Producto tensor}

2 Polinomios ortogonales sobre la bola unidad Carácter clásico

Polinomios de Zernike

3 _{Polinomios ortogonales sobre el simplex (Polinomios de Appell)} Carácter clásico

(3)

Familias de polinomios ortogonales multivariadas

3 _{Polinomios ortogonales sobre el simplex (Polinomios de Appell)}

Carácter clásico

4 _{Polinomios de Koornwinder en dos variables}

(4)

Producto tensor de pol. ortogonales en una variable

Para cada 1 ≤ i ≤ d, se considera la función pesowi(x)definida en el

intervalo (ai, bi), y el producto escalar hf gii :=

Z bi

ai

f (x) g(x) wi(x) dx

Sea{p(i)n }n≥0, una sucesión de polinomios ortogonales asociada al

producto escalar anterior, esto es, grado(p(i)n ) = n, n ≥ 0

hp(i)n ,p(i)mi =k(i)n δn,m, k

(i)

(5)

Producto tensor de pol. ortogonales en una variable

Entonces los polinomios en d variables Pν(x):= d Y i=1 p(i)_ν_i(xi), donde x = (x1, x2, . . . , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0 constituyen un sistema de polinomiosmutuamente ortogonal asociados al producto escalar

hf, gi := Z Ω f (x) g(x) W (x) dx, donde dx= d Y i=1 dxi, W (x)= d Y i=1 wi(x), Ω= d Y i=1 [ai, bi]

(6)

Producto tensor de pol. ortogonales en una variable

Ejemplos destacados:

Polinomios multivariados de Hermite en Rd Polinomios multivariados de Laguerre en Rd+ Polinomios multivariados de Jacobi en el d–cubo . . .

(7)

Familias de polinomios ortogonales multivariadas

Carácter clásico

4 _{Polinomios de Koornwinder en dos variables}

(8)

Polinomios ortogonales sobre la bola unidad

C. Hermite (1865), P. Appell & J. Kampé de Fèriet (1926)

Extensión de los polinomios ortogonales de Gegenbauer

(9)

Polinomios ortogonales sobre la bola unidad

Norma euclídea: kxk =qx2₁+ x2₂+ · · · + x2_d Bola unidad: Bd= {x = (x1, x2, . . . , xd) ∈ Rd: kxk ≤ 1} Función peso: Wµ(x)= (1 − kxk2)µ= 1 − (x21+ x22+ · · · + x2d) µ , µ > −1

(10)

Polinomios ortogonales sobre la bola unidad

Producto escalar: hf,giµ=ωµ Z Bd f (x) g(x)Wµ(x)dx

dondeωµes la constante de la normalización tal queh1, 1iµ= 1

ωµ= Z Bd Wµ(x)dx −1 = Γ(µ + d/2 + 1) πd/2_{Γ(µ + 1)}

La medida sobre la bola escentralmente simétrica: Wµ(−x)=Wµ(x), ∀x ∈ Bd

(11)

Medida sobre la bola: carácter clásico

Ecuaciones de tipo Pearson paraWµ(x)= (1 − kxk2)µ, µ > −1

∂i[(x2i−1)Wµ(x)]+ d X j=1 j6=i ∂j[xixjWµ(x)] = (2 µ+3) xiWµ(x), 1 ≤ i ≤ d

Ecuación matricial de tipo Pearson paraWµ(x)

div(ΦWµ(x)) =ΨtWµ(x), donde Φ=      x2₁− 1 x1x2 · · · x1xd x1x2 x22− 1 · · · x2xd .. . ... . .. ... x1xd x2xd · · · x2d− 1      , Ψ= (2 µ + 3)      x1 x2 .. . xd      Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 11 / 33

(12)

Medida sobre la bola: carácter clásico

Sea {Pn}n≥0cualquier OPS sobre la bola. Entonces Pn=(Pνn1(x), P n ν2(x), · · · , P n νrn(x)) t

Ecuación en derivadas parcialespara los polinomios

Para i = 1, 2, . . . , rn, L[P_νn_i(x)] =λnPνni(x) donde n = |νi|,λn= −(n + d)(n + 2 µ)∈ R, y L[P] = ∆P− d X j=1 ∂ ∂xj xj " 2µP+ d X k=1 xk ∂ ∂xk P # x = (x1, x2, . . . , xd)

(13)

Primera base (mutuamente) ortogonal (Dunkl & Xu)

P_0,00 (x; Wµ) = 1, P_j,hn (x; Wµ) = P (µ,βj) j (2kxk2− 1)Y n−2j h (x) 0 ≤ n, 0 ≤ j ≤ n/2, 1 ≤ h ≤ σn−2j, βj = n − 2j + d/2 − 1

P_j(α,β)(t):polinomios clásicos de Jacobien [−1, 1]

{Y_hn−2j : 1 ≤ h ≤ σn−2j}: base deesféricos armónicosen

Sd−1= {ξ ∈ Rd: kξk = 1}

Polinomios homogéneos de grado n − 2j, con ∆ Y_hn−2j= 0

1 ωd−1

Z

Sd−1

Y_hn(ξ) Y_km(ξ)dω(ξ) = δn,mδh,k

(14)

Segunda base (mutuamente) ortogonal (Koornwinder)

P_νn(x)= d Y j=1 _q 1 − kxj−1k2 νj P(αj,αj) νj xj p1 − kxj−1k2 ! = P(α1,α1) ν1 (x1) d Y j=2 _q 1 − kxj−1k2 νj P(αj,αj) νj xj p1 − kxj−1k2 ! |ν| = n, n ≥ 0 donde x = (x1, x2, . . . , xd) ∈ Rd, ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0 x0 = 0, xj = (x1, x2, . . . , xj), 1 ≤ j ≤ d νj _{= (ν} j, νj+1, . . . , νd), 1 ≤ j ≤ d αj = µ + |νj+1| + d+1−j₂

(15)

Polinomios de Zernike (Frits Zernike 1888–1966)

Si el plano complejo C se identifica con R2, los polinomios ortogonales con respecto a la función peso sobre la bola (el disco unidad) en R2

Wµ(x, y)=

µ + 1 π (1 − x

2_{− y}2₎µ_, _{µ > −1} en las variables complejas

z = x + iy, z = x − iy¯

son los llamados los polinomios de Zernike P_n,mµ (z ¯z)= (µ + 1)n+m (µ + 1)n(µ + 1)mz n_z_¯m_{2F1(−n, −m; −µ − n − m;} 1 z ¯z) = (µ + 1)n+m (µ + 1)n(µ + 1)m znz¯m X k≥0 (−n)k(−m)k (−µ − n − m)k 1 k! 1 z ¯z k

(16)

Polinomios de Zernike (Frits Zernike 1888–1966)

Para n ≥ 0, m ≤ |n| y n − m un número par

Z_nm(ρ, θ)= ( Nm n R |m| n (ρ)cos(mθ), m ≥ 0 N_nmRn|m|(ρ)sin(|m|θ), m < 0 N_nm =p2 − δ0,m(n + 1)no siempre aparece

R|m|n (ρ), 0 ≤ ρ ≤ 1, es la parte radial: un polinomio de Jacobi

R|m|_n (ρ)= (−1)(n−m)/2ρmP_(n−m)/2(m,0) (1 − 2ρ2)

cos(mθ),sin(|m|θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, es la parte angular. Esféricos armónicos de grado m en dos dimensiones, m ≥ 0

(17)

Polinomios de Zernike (Frits Zernike 1888–1966)

Spherical harmonics Zernike polynomials1

1

Gráficos prestados por David Gómez–Ullate

(18)

Familias de polinomios ortogonales multivariadas

3 _{Polinomios ortogonales sobre el simplex (Polinomios de Appell)} Carácter clásico

(19)

Polinomios ortogonales sobre el simplex (Polinomios

de Appell)

P. Appell & J. Kampé de Fèriet (1926)

Extensión de los polinomios ortogonales de Jacobi

Figuras realizadas por Miguel Piñar en Sage

(20)

Polinomios ortogonales sobre el simplex (Polinomios

de Appell)

Simplex T = {x = (x1, x2, . . . , xd) : xi ≥ 0, _{1 − |x| ≥ 0} ∈ R}d donde |x| = x1+ x2+ . . . + xd Función peso W (x) = xα1₁ xα2₂ · · · xαd_d (1 − |x|)αd+1, αi> −1 Producto escalar hf, gi= Z T f (x) g(x)W (x)dx

(21)

Polinomios sobre el simplex: carácter clásico

Ecuación de tipo Pearson para el peso

∂

∂xi[xi(1 − |x|)W (x)] =(αi(1 − |x|) − αd+1xi)W (x)

Ecuación en derivadas parcialespara los polinomios

L[Pν(x)] =λnPν(x) where n = |ν|,λn∈ R, and L= d X i=1 xi(1 − xi)∂xixi− X 1≤i<j≤d 2xixj∂xixj+ d X i=1 (αi− (|α| + d)xi)∂xi

(22)

Familias de polinomios ortogonales multivariadas

Carácter clásico

(23)

Análogos en dos variables a los polinomios de Jacobi

T. Koornwinder[1975] describió un método para generar polinomios ortogonales en dos variables

Estudió análogos alos polinomios de Jacobien dos direcciones: Es posible expresarlos en términos de polinomios de Jacobi Sus propiedades son análogas a las de los polinomios de Jacobi Son funciones propias de un operador diferencial en derivadas parciales de segundo orden

(24)

Un método para generar polinomios ortogonales en

dos variables (K, 1975)

Consideremos

ω1(x)una función peso en(a1, b1),

ω2(x)una función peso en(a2, b2), y

ρ(x)una función positiva en(a1, b1)tal que

ρ(x)es un polinomio de grado ≤ 1, o

ρ(x)es la raíz cuadrada de un polinomio no negativo de grado ≤ 2

Además, sea

{p(k)n (x)}n≥0 la SPO asociada aρ2k+1(x)ω1(x), k ≥ 0.

(25)

Un método para generar polinomios ortogonales en

dos variables (K, 1975)

Entonces para 0 ≤ k ≤ n Pn,k(x, y)=p(k)_n−k(x)ρk(x)qk y ρ(x) ,

son polinomios de grado n, ortogonales con respecto al producto escalar (Pn,k,Pm,k) = Z R Pn,k(x, y) Pm,h(x, y)ω(x, y)dx dy, donde ω(x, y)=ω1(x) ω2 y ρ(x) en R= {(x, y) : a1 < x <b1,a2ρ(x)< y <b2ρ(x)}.

(26)

Análogos en dos variables a los polinomios de Jacobi

Class V 1 1 x 1 1 y Class V 1 1 x 1 1 y Class VI 1 1 u 1 1 v Class VI 1 1 u 1 1 v Class VII x y Class I & II 1 1 x 1 1 y Class I & II 1 1 x 1 1 y Class III 0 1 x 1 1 y Class III 0 1 x 1 1 y Class IV 0 1 x 1 y Class IV 0 1 x 1 y

(27)

Clases I & II: Polinomios ortogonales clásicos en la

bola

ρ(x) = (1 − x2)12 en [−1, 1] ω1(x) = (1 − x2)µ+ 1 2, {P(µ+ 1 2,µ+ 1 2) n (x)}n≥0 ω2(x) = (1 − x2)µ, {P (µ,µ) n (x)}n≥0 Para n ≥ k ≥ 0, definimos P_n,k(µ)(x, y)=P(µ+k+ 1 2,µ+k+ 1 2) n−k (x)(1 − x 2₎1₂k_P(µ,µ) k ((1 − x 2₎−1 2y)

ortogonales con respecto a la función peso

Wµ(x, y)= (1 − x2− y2)µ, µ > −1

en la bola unidad

B2 = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2≤ 1}

(28)

Polinomios de Koornwinder: Clase III

P_n,k(α,β)(x, y)=P(α,β+k+ 1 2) n−k (2x − 1)x 1 2kP(β,β) k (x −1 2y) AquíW (x, y)= (1 − x)α(x − y2)β, enR= {(x, y) ∈ R2: y2 < x < 1} Class III 0 1 x -1 1 y Class III 0 1 x -1 1 y

(29)

Polinomios de Koornwinder: Clase IV

P_n,k(α,β,γ)(x, y)=P_n−k(α,β+γ+2k+1)(2x − 1)xkP_k(β,γ)(2x−1y − 1)

Función peso W (x, y)= (1 − x)α(x − y)βyγ, α, β, γ > −1 Región S= {(x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < x < 1}}

(30)

Polinomios de Koornwinder: Clase IV

Son los polinomios deAppellsalvo un cambio de variable lineal

0 1 x 1 y 0 1 x 1 y

(31)

Clase V: P. O. Clásicos sobre el cuadrado unidad

ρ(x) = 1, ω1(x) = (1 − x)α1(1 + x)β1, {Pn(α1,β1)(x)}n≥0 ω2(x) = (1 − x)α2(1 + x)β2, {Pn(α2,β2)(x)}n≥0 Para n ≥ k ≥ 0, definimos P(α1,β1,α2,β2) n,k (x, y)=P (α1,β1) n−k (x) P (α2,β2) k (y)

ortogonales con respecto a la fucnión peso

W (x, y)= (1 − x)α1(1 + x)β1(1 − y)α2(1 + y)β2 en el cuadrado unidad

R= {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x, y ≤ 1}

(32)

Polinomios de Koornwinder: Clase VI

Función peso W (u, v) = (1 − u + v)α(1 + u + v)β(u2− 4v)γ en la región R= {(u, v) /|u| < v + 1, u2− 4v > 0}, para α, β, γ > −1, α + γ + 3/2 > 0, β + γ + 3/2 > 0. Class VI -1 1 u -1 1 v Class VI -1 1 u -1 1 v

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Polinomios de Koornwinder: Clase VII

Función peso

W (x, y) = [−(x2+ y2+ 9)2+ 8(x3− 3xy2) + 108]α en la región delimitada por el hipocicloide de Steiner

R = {(x, y) ∈ R2: −(x2+ y2+ 9)2+ 8(x3− 3xy2_{) + 108 = 0}}

Class VII

x y