Capítulo 5
Objetivos de aprendizaje
OA1 Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de herramientas computacionales y los patrones
básicos del flujo de efectivo.
OA2 Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su cálculo para montos únicos y la relación entre ellos.
Objetivos de aprendizaje (cont.)
OA4 Calcular tanto el valor futuro como el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo.
OA5 Comprender el efecto que produce la capitalización de los intereses, con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre la tasa de interés efectiva anual.
OA6 Describir los procedimientos implicados en: 1. la
El papel del valor del tiempo en
las finanzas
• La mayoría de las decisiones financieras implican costos y beneficios que se extienden a lo largo del tiempo.
• El valor del dinero en el tiempo permite comparar flujos de efectivo de diversos periodos.
• Pregunta: Suponga que su padre le ofrece entregarle una cantidad de dinero y le da a elegir una de las siguientes dos opciones:
– recibir $1,000 hoy, o
– recibir $1,100 en un año a partir de hoy.
El papel del valor del tiempo en
las finanzas (cont.)
• La respuesta dependerá de la tasa de interés que pueda obtener sobre cualquier cantidad que reciba el día de hoy. • Por ejemplo, si pudiera depositar los $1,000 hoy al 12%
anual, usted preferiría recibir el dinero hoy.
Valor futuro frente a valor
presente
• Suponga que una empresa tiene ahora la oportunidad de gastar $15,000 en alguna inversión que le generará $17,000 distribuidos durante los siguientes 5 años, como se indica a continuación:
• ¿Es esto una buena inversión?
Figura 5.1
Figura 5.2
Figura 5.3
Herramientas computacionales
Hojas electrónicas de cálculo:
– Al igual que las calculadoras financieras, las hojas electrónicas de cálculo tienen rutinas integradas que simplifican los cálculos del valor del dinero en el tiempo.
– El valor de cada variable se registra en una celda de la hoja de cálculo, y el cálculo se programa usando una ecuación que
relaciona las celdas individuales.
Patrones básicos de flujos de
efectivo
• Las entradas y salidas de efectivo de una empresa se describen por medio de su patrón general.
Valor futuro de un monto único
• Valor futuro es el valor en una fecha futura específica de un monto colocado en depósito el día de hoy y que gana un interés a una tasa determinada. Se calcula aplicando un
interés compuesto durante un periodo específico.
• Interés compuesto es el interés ganado en un depósito
específico y que se vuelve parte del principal al final de un periodo determinado.
Ejemplo de finanzas personales
Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés compuesto anualmente, ¿cuánto
dinero tendrá al cabo de un año?
Valor futuro de un monto único:
Ecuación para calcular el valor futuro
• Usamos la siguiente notación para las diferentes entradas:
– VFn = valor futuro al final del periodo n
– VP = valor presente o capital inicial
– i = tasa anual de interés pagada. (Nota: En las calculadoras financieras, normalmente se usa I para identificar esta tasa).
– n = número de periodos (generalmente años) que el dinero se mantiene en depósito
Valor futuro de un monto único:
Ecuación para calcular el valor futuro
Jane Farber deposita $800 en una cuenta de ahorros que paga el 6% de interés compuesto anual. Desea saber cuánto dinero tendrá en la
cuenta al término de 5 años.
Este análisis se representa en una línea de tiempo de la siguiente manera:
Figura 5.4
Valor presente de un monto único
• Valor presente es el valor actual en dólares de un monto futuro; es decir, la cantidad de dinero que debería invertirse hoy a una tasa de interés determinada, durante un periodo específico, para igualar el monto futuro.
• Se basa en la idea de que un dólar hoy vale más que un dólar mañana.
• Descuento de flujos de efectivo es el proceso para calcular los valores presentes; es lo contrario de la capitalización de intereses. • La tasa de rendimiento o de retorno anual recibe diversos nombres,
Ejemplo de finanzas personales
Paul Shorter tiene la oportunidad de recibir $300 dentro de un año a partir de hoy. Si puede ganar el 6% sobre sus
inversiones, ¿cuánto es lo máximo que debería pagar ahora por esa oportunidad?
Valor presente de un monto único:
Ecuación para calcular el valor presente
El valor presente, VP, de cierto monto futuro, VF
n,
que se recibirá en n periodos a partir de ahora,
suponiendo una tasa de interés (o costo de
Valor presente de un monto único:
Ecuación para calcular el valor presente
Pam Valenti desea calcular el valor presente de $1,700 que recibirá dentro de 8 años. El costo de oportunidad de Pam es del 8%.
La siguiente línea de tiempo muestra este análisis:
Figura 5.5
Anualidades
Anualidad es un conjunto de flujos de efectivo periódicos e iguales durante un lapso determinado. Estos flujos de
efectivo pueden ser entradas de rendimientos obtenidos por inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener
rendimientos futuros.
– Anualidad ordinaria (o diferida) es una anualidad en la que el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo.
– Anualidad anticipada es aquella en la que el flujo de efectivo ocurre al inicio de cada periodo.
– Una anualidad anticipada siempre será mayor que una anualidad ordinaria equivalente, ya que el interés se capitalizará un
Ejemplo de finanzas personales
Fran Abrams está tratando de decidir cuál de dos
anualidades recibir. Ambas son anualidades de $1,000
durante 5 años; la anualidad A es una anualidad ordinaria, y la anualidad B es anticipada. Fran elaboró una lista de los flujos de efectivo, la cual se presenta en la tabla 5.1. de la siguiente diapositiva.
Tabla 5.1 Comparación de los flujos de efectivo entre una anualidad ordinaria y una anualidad anticipada
Cálculo del valor futuro de una
anualidad ordinaria
• Usted puede calcular el valor futuro de una anualidad
ordinaria que paga un flujo de efectivo anual FE, usando la siguiente ecuación:
Ejemplo de finanzas personales
Fran Abrams desea determinar cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años si
elige la anualidad A, la anualidad ordinaria que paga el 7% de interés anual. La anualidad A se ilustra gráficamente a continuación:
Cálculo del valor presente de una
anualidad ordinaria
• Usted puede calcular el valor presente de una anualidad ordinaria que paga un flujo de efectivo anual FE, usando la siguiente ecuación:
Cálculo del valor presente de una
anualidad ordinaria (cont.)
Braden Company, una pequeña empresa fabricante de juguetes de plástico, desea determinar el monto máximo que debería pagar para obtener una anualidad ordinaria determinada. La anualidad consiste en flujos de efectivo de $700 al final de cada año durante cinco años. La empresa requiere que la anualidad brinde un rendimiento mínimo del 8%.
Cálculo del valor futuro de una
anualidad anticipada
• La ecuación para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada que hace pagos anuales de FE por n años es la siguiente ecuación:
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de
Ejemplo de finanzas personales
Fran Abrams ahora desea calcular el valor futuro de una anualidad
anticipada para la anualidad B de la tabla 5.1. Recuerde que la anualidad B es durante 5 periodos y el primer pago se realiza inmediatamente.
Obtención del valor presente de una anualidad anticipada
• El valor presente de una anualidad ordinaria que paga un flujo anual FE se calcula utilizando la siguiente ecuación:
• Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de
Los hechos hablan
Un conductor de camiones de Kansas, Donald Damon, se llevó la sorpresa de su vida cuando se dio cuenta de que tenía el boleto ganador de la lotería Powerball del sorteo realizado el 11 de noviembre de 2009. El premio mayor
anunciado era de $96.6 millones. Damon podía elegir que le entregaran su premio en 30 pagos anuales de $3,220,000 (30
Cálculo del valor presente de una
perpetuidad
• Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita que garantiza un flujo de efectivo anual continuo.
• Si una perpetuidad paga un flujo de efectivo anual de FE, iniciando dentro de un año a partir de ahora, el valor
Ejemplo de finanzas personales
Ross Clark desea fundar una cátedra de finanzas en su universidad. La institución le indicó que requiere de
$200,000 anuales para mantener la cátedra; la donación
ganaría el 10% anual. Si queremos determinar el monto que Ross debe donar a la universidad para fundar la cátedra,
Valor futuro de un ingreso mixto
Valor futuro de un ingreso mixto
Si Shrell espera ganar el 8% sobre sus inversiones, ¿cuánto acumulará al término de 5 años si invierte esos flujos de efectivo tan pronto como los recibe?
Valor presente de un ingreso mixto
Valor presente de un ingreso mixto
(cont.)
Si la empresa debe ganar por lo menos el 9% sobre sus
inversiones, ¿cuánto es lo máximo que debería pagar por esa oportunidad?
Capitalización de intereses con una
frecuencia mayor que la anual
• Capitalizar con una frecuencia mayor que la anual da
como resultado una tasa de interés efectiva más elevada, ya que se está ganando interés sobre los intereses también con mayor frecuencia.
• Como resultado, la tasa de interés efectiva es mayor que la tasa de interés nominal (anual).
Tabla 5.4
Tabla 5.5 Valor futuro de los años 1 y 2 de una inversión de $100 al 8% de interés, con diversos periodos de
Capitalización de intereses con una
frecuencia mayor que la anual (cont.)
Una ecuación general para capitalizar con mayor frecuencia que la anual es:
Capitalización continua
• La capitalización continua implica la capitalización del interés un número infinito de veces al año a intervalos de microsegundos.
• Una ecuación general para la capitalización continua es:
Ejemplo de finanzas personales
Calcule el valor al término de 2 años (n = 2) del depósito de $100 de Fred Moreno (VP = $100) en una cuenta que paga el 8% de interés anual (i = 0.08) capitalizable
continuamente.
VF2 (capitalización continua) = $100 e0.08 2
= $100 2.71830.16
Tasas nominales y efectivas de
interés anual
• La tasa nominal anual (establecida) es la tasa de interés anual contractual que cobra un prestamista o que promete pagar un prestatario.
• La tasa efectiva anual (verdadera) (TEA) es la tasa de interés anual pagada o ganada en realidad.
Ejemplo de finanzas personales
Fred Moreno desea calcular la tasa efectiva anual
relacionada con una tasa nominal anual del 8% (r = 0.08) cuando el interés se capitaliza: 1. anualmente (m = 1); 2.
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Depósitos necesarios para acumular una suma futura
La siguiente ecuación calcula el pago anual (FE) que tendríamos que ahorrar para lograr un valor futuro (FVn):
Suponga que usted desea adquirir una casa en 5 años, y calcula que en ese momento requerirá dar un enganche de $30,000. Para acumular $30,000, deberá hacer depósitos anuales iguales al final de cada año en una cuenta que pague un interés anual de 6%.
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Amortización de préstamos
• Amortización del préstamo es la determinación de los pagos iguales y periódicos que son necesarios para brindar a un
prestamista un rendimiento de interés específico y para
reembolsar el principal del préstamo en un periodo determinado. • El proceso de amortización del préstamo implica efectuar el
cálculo de los pagos futuros durante el plazo del préstamo, cuyo valor presente a la tasa de interés estipulada equivale al monto del capital inicial prestado.
• El programa de amortización del préstamo es el programa de pagos iguales para reembolsar un préstamo. Muestra la
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Amortización de préstamos (cont.)
• La siguiente ecuación calcula los pagos periódicos iguales del préstamo (FC) necesarios para pagar al prestamista un rendimiento específico y reembolsar el principal del préstamo (VP) en un periodo específico:
• Suponga que pide prestados $6,000 al 10% y acuerda realizar pagos
anuales iguales a fin de año, durante 4 años. Para calcular el monto de los pagos, el prestamista determina el monto de una anualidad de 4 años
Enfoque en la práctica
El nuevo siglo complicó las hipotecas para clientes de mayor riesgo
• En 2006 unos $300 mil millones de tasas hipotecarias se ajustaron hacia arriba.
• En un mercado con valores de los inmuebles al alza, un prestatario tenía la opción de refinanciar la hipoteca, usando algo de la plusvalía creada por el incremento en el valor del bien inmueble, para reducir el pago de la hipoteca. • Pero después de 2006, los precios de los inmuebles declinaron durante tres
años, de modo que el refinanciamiento ya no fue una opción para muchos clientes de bajos recursos.
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo de las tasas de interés o de crecimiento
• Con frecuencia es necesario calcular el interés anual
compuesto o la tasa de crecimiento (es decir, la tasa anual de cambio de los valores) de una serie de flujos de
efectivo.
• La siguiente ecuación nos servirá para obtener la tasa de interés (o tasa de crecimiento) que representa el
Ejemplo de finanzas personales
Ray Noble realizó una inversión de $1,250 hace 4 años. Ahora tiene $1,520. ¿Qué tasa de interés anual compuesto de rendimiento ganó Ray con esta inversión? Al introducir los valores adecuados en la ecuación 5.20, tenemos:
Ejemplo de finanzas personales
Jan Jacobs puede solicitar en préstamo $2,000 que
reembolsará en montos anuales iguales, a fin de año, de $514.14 durante los próximos 5 años.
Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo de un número desconocido de periodos
• En ocasiones, es necesario calcular el número de periodos que se requieren para generar un monto determinado de flujo de efectivo a partir de un monto inicial.
• El caso más sencillo es cuando una persona desea
Ejemplo de finanzas personales
Ann Bates desea determinar el número de años que requerirá su depósito inicial de $1,000, con el 8% de interés anual, para que crezca hasta alcanzar $2,500. En resumen, a una
Ejemplo de finanzas personales
Bill Smart puede solicitar un
préstamo de $25,000 a una tasa de interés anual del 11%; se requieren pagos anuales iguales de $4,800 cada fin de año. Bill desea determinar
cuánto tiempo se requerirá para
reembolsar el préstamo por completo. En otras palabras, desea determinar cuántos años, n, se requerirán para reembolsar el préstamo de $25,000 a una tasa del 11%, VPn, si los pagos de $4,800 se realizan al final de cada
Revisión de los objetivos de
aprendizaje
OA1 Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de herramientas computacionales y los patrones básicos del flujo de efectivo.
– Los gerentes financieros y los inversionistas usan las técnicas del valor del dinero en el tiempo para determinar el valor de los ingresos
Revisión de los objetivos de
aprendizaje (cont.)
OA2 Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su cálculo para montos únicos y la relación entre ellos.
– El valor futuro (VF) se basa en el interés compuesto para medir montos futuros: el principal inicial o depósito de un periodo, junto con el
interés ganado a partir de este, se convierte en el principal inicial del siguiente periodo.
Revisión de los objetivos de
aprendizaje (cont.)
OA3 Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una anualidad ordinaria como de una anualidad anticipada, y calcular el valor presente de una perpetuidad.
– El valor futuro o presente de una anualidad ordinaria se puede calcular usando ecuaciones algebraicas, una calculadora financiera o un
programa de hoja de cálculo.
– El valor de una anualidad anticipada siempre es i% mayor que el valor de una anualidad ordinaria idéntica. El valor presente de una
Revisión de los objetivos de
aprendizaje (cont.)
OA4 Calcular el valor futuro y el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo.
Revisión de los objetivos de
aprendizaje (cont.)
OA5 Comprender el efecto que produce la capitalización de los intereses, con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre la tasa de interés efectiva anual.
Revisión de los objetivos de
aprendizaje (cont.)
OA6 Describir los procedimientos implicados en: 1. la determinación de los depósitos necesarios para acumular una suma futura, 2. la
amortización de préstamos, 3. el cálculo de las tasas de interés o de crecimiento, y 4. el cálculo de un número desconocido de periodos.
