“Contar es más que recitar los números” Guía No 80
Duración: 13 horas
Área: Matemáticas Año:2020
Meta de Aprendizaje Nº 27: Haciendo uso de herramientas digitales, Interpreto conjuntos de datos (agrupados y no agrupados) provenientes de fuentes diversas, utilizo las medidas de dispersión para encontrar información en diferentes muestras poblacionales y desarrollo mi habilidad para comparar, contrastar y cuestionar críticamente la información estadística proveniente del entorno.
Preguntas Esenciales:
¿Qué relaciones puede encontrar entre el diagrama de árbol y las técnicas de conteo (permutación y combinatoria)?
¿De qué maneras se puede realizar el conteo de eventos, sin recurrir al diagrama de árbol?
¿De qué manera se pueden simplificar conteos en un experimento aleatorio?
¿Qué condiciones debe cumplir una situación para que sea resuelta por permutación y por combinatoria?
Evidencias
Diferencia información para precisar la ocurrencia de un evento.
Argumenta acerca de la matematización en la organización de objetos dentro de un conjunto.
Compara características de experimentos aleatorios, definiendo técnicas de conteo.
Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5
Organizando Combinando sin orden
Una idea matemática de
combinatoria
Agrupando sin olvidar el orden
Que significa permutar
Materiales Requeridos
Fotocopia de la guía por estudiante.
3/8 de cartulina
Hojas
Fichas de parques
Palos de pincho
Actividad 1: Organizando
Laura se ha puesto a discutir con sus padres sobre uno de los juegos de azar más comunes del país. Ella durante meses ha visto cómo sus padres invierten un dinero cada semana con el fin de lograr el anhelado premio mayor y ha llegado a la conclusión de que ganar resulta casi imposible con las condiciones dispuestas para el juego, ya que existen muchas variables que multiplican las
posibilidades, sin embargo sus padres resaltan que todo es cuestión de azar y que en algún momento llegará ese golpe de suerte. ¿Qué argumento podría agregar Laura para defender su idea? ¿Es posible precisar cuántas opciones existen de realizar el juego?
Al día siguiente al llegar a la escuela, Laura cuestiona a sus compañeros sobre el sorteo y ellos proponen que miren otro tipo de situaciones que involucren conteos para poder llegar a la cantidad exacta de posibilidades que tienen de jugar.
REALIZANDO CONTEOS
1. Construye representaciones graficas o arreglos que permitan determinar el número de posibilidades que tiene cada experimento:
Si se tienen 5 estudiantes para formar un grupo de 3
¿Cuántos grupos se pueden formar?
De cuantas maneras se puede organizar en una fila a 5 estudiantes
Obtener 8 al lanzar un par de dados.
Un restaurante ofrece la posibilidad de elegir para el postre entre tres frutas y 4 dulces
Si una prueba contiene 4 preguntas con tres opciones de respuesta cada ¿De cuantas maneras diferentes puede un alumno contestar la prueba?
Sabías que…
Contar en probabilidad significa determinar el número de posibilidades que tiene un experimento aleatorio, para ello se han desarrollado diferentes técnicas de acuerdo a las
condiciones del problema y la dependencia de los sucesos, dos de las técnicas de conteo existentes son el principio de suma y multiplicación.
PRINCIPIO DE SUMA
Si un suceso se puede realizar de maneras diferentes, otro independiente de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de posibilidades está dado por:
EJEMPLO
¿De cuántas formas se puede proteger del frío una persona que tiene 3 chaquetas y 3 sacos? sabiendo que no se puede poner saco y chaqueta a la vez.
3+3= 6 posibilidades.
Nota: Si durante la interpretación del problema se usa el conector (Ó) se realiza una suma. Para protegerse del frio se pone un saco O una chaqueta.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un suceso se puede realizar de maneras diferentes, otro independiente de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de posibilidades está dado por:
EJEMPLO
Una empresa de calzado fabrica calzado de tres diseños diferentes, en dos colores diferentes ¿Cuántos pares diferentes pueden exhibir en la empresa?
3 diseños x 2 colores = 6 pares diferentes
Nota: Si durante la interpretación del problema se usa el conector (Y) se realiza una suma. Para crear un par de zapatos se escoge un diseño Y un color.
Aplicando…
2. Determine el número de posibilidades de que suceda cada uno de los siguientes experimentos y represente una de las posibilidades.
A. Una heladería vende 6 sabores diferentes de helado, con 4 formas de galleta y 3 dulces diferentes ¿Cuántos helados pueden si cada uno lleva un sabor, una galleta y un dulce?
B. En un almacén venden 5 tipos de camisa, 3 clases de pantalones y 2 tipos de zapatos
¿Cuántas opciones tiene un cliente que quiere comprar una camisa, un pantalón y un par de zapatos?
C. Nelson tiene que realizar un viaje con itinerario entre Bogotá, Cali y Cartagena o entre Bogotá, Cali y Santa Marta, el número de aerolíneas con las que cuenta para
realizar cada trayecto son:
o BTA – CAL: 5 aerolíneas.
o CAL – CAR: 2 aerolíneas.
o CAL – STA.M: 4 aerolíneas.
¿De cuantas formas diferentes puede Nelson realizar el viaje a Cartagena o Santa Marta?
D. Un equipo de futbol decide cambiar su uniforme. Si tiene para seleccionar entre tres colores de camiseta (Rojo, Negro y Amarillo), Cuatro colores de pantaloneta (Rojo, blanco, negro y azul) y dos colores de medias (Negro y blanco). Represente todos los diseños que puede tener el equipo.
Consulte cual es el formato de las placas de vehículos y motos en 7 países de Latinoamérica y determine el número total de placas en cada uno de ellos.
Actividad 2: Combinando sin orden
David desea realizar un ordenamiento con fichas de colores, sin embargo no sabe precisar cuántos arreglos puede hacer en una cuadricula de 2x3.
A CONSTRUIR…
1. Se necesitan fichas de parques de diferentes colores.
Dibuje en cartulina una cuadricula de 2x3, realice el ordenamiento y conteste las siguiente preguntas
E. ¿De cuántas maneras puedes colocar una ficha?
F. ¿Y de cuantas 2, 3, 4, 5, 6 fichas?
G. ¿Puedes encontrar una regla general?
2. Durante una clase un profesor toma 8 estudiantes para conformar un grupo de seis personas ¿Cuántos grupos puede formar? ¿Qué relación existe entre el total de estudiantes y el grupo formado? Dibuje los grupos que se pueden conformar, guiado por la siguiente representación.
Actividad 3: Una idea matemática de combinatoria Sabías que…
Una combinación es la cantidad de formas posibles de seleccionar r elementos de un conjunto de n elementos distintos, de tal manera que r sea diferente de n, la característica de la combinación es que su organización difiere de un orden solo contempla los elementos que pueden componer el subconjunto, si se ha definido n y r, la fórmula de combinación es:
( ) ( )
El símbolo en matemáticas no es el cierre de una exclamación, se denomina factorial de un número natural y está dado por el producto de todos los números anteriores a el:
Revise los ejemplos propuestos en el video https://www.youtube.com/watch?v=bPx- PBP_YvQ y construya tres preguntas sobre el tema.
Proponga dos situaciones de su cotidianidad que involucren una organización por combinación.
Determine el número de posibilidades para cada caso detallando cada paso de la solución.
De un grupo de 7 estudiantes se quiere elegir un grupo de 4 para representar a su colegio ¿Cuántos grupos distintos se pueden armar?
¿Cuantos comités de 3 integrantes se pueden seleccionar de un grupo conformado por 8 personas?
Valentina tiene en su armario 8 faldas y necesita escoger 5 para llevar a la excursión
¿De cuantas maneras puede elegirlas?
¿Cuantos triangulo quedan determinados por 10 puntos si tres de ellos no están alineados? Realice una posible representación de la situación.
Actividad 4: Agrupando sin olvidar el orden
Construya 9 banderines de colores diferentes y ubíquelos en fila como se muestra en la figura, ¿De cuantas maneras diferentes puede ubicar los banderines? ¿Cuál es la característica principal de este experimento?
Si se agregan dos astas más, para rotar las banderas por las 11 astas ¿De cuantas maneras se puede hacer la organización?
Actividad 5: Que significa permutar
Cuando se quieren agrupar elementos dando un orden especifico, se realiza una permutación, existen permutaciones con o sin repetición:
PERMUTACION SIN REPETICIÓN
De un grupo de n elementos se pueden tomar r elementos y organizarlos, aplicando la formula
( ) ( )
Con cinco dígitos impares se van a formar números de 3 cifras
¿Cuántos números distintos se pueden formar si no se permite la repetición?
( )
( )
PERMUTACIÓN Con n objetos distintos, el ¿Cuántos números de 4 cifras se
CON REPETICIÓN número de permutaciones der elementos con repetición está dado por:
pueden formar utilizando las cifras del conjunto A = {1, 3, 4, 8, 9, 7}?
6 cifras conforman el conjunto (n) y se deben armar números de 4 cifras (r)
Desarrolle de manera detallada los problemas y represente si es el caso.
Se marcan 5 tarjetas con las letras A, B, C, D, E, para formar palabras con o sin sentido de 4 letras ¿Cuántas palabras se pueden formar?
¿Cuantas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra SOMALIAS?
Se lanza una moneda seis veces ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener?
Se quiere organizar en una biblioteca seis libros de lomo azul, 3 libros de lomo verde y 4 libros de lomo rojo, distintos entre sí ¿De cuantas maneras diferentes se pueden organizar los libros en la biblioteca, si se quiere que los del mismo color permanezcan juntos?
En un almacén de calzado se van a exhibir 9 pares de zapatos diferentes de ¿cuantas maneras se pueden exhibir en forma horizontal?
