Módulo ecuación de la recta.doc

Colegio San Andrés Maipú.

Nombres:

Daniela Carrasco Antonnella Saavedra Curso:

4to.Medio Profesora: Marta Orias Asignatura: Matemáticas.

¡BIENVENIDO SEAS!

Para comenzar veamos los puntos que te enseñaré en este módulo.

CONTENIDOS:

1-. Ecuación principal de la recta

2-. Ecuación de la recta dado dos puntos conocidos

3-. Ecuación de la recta dado dos puntos

4-. Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente

5-. Ecuación general de la recta

¡Hey! ¡Bienvenido! Antes de empezar, quiero presentarme. ¡Soy Lisa Simpson! ¡Y soy la que te

ayudará a comprender y aplicar los conceptos de La ecuación de la Recta! ¡Ven, vamos! ¡No perdamos más

tiempo!

Los ejercicios son fáciles de

aprender, pero debes tomar

mucha atención para poder

Ecuación de la recta.

La fórmula es la siguiente:

y =

m

x +

n

Cuando se nos pregunta por

la

ecuación de la recta

, nosotros

exhibimos esta ecuación,

donde

"m"

es la

pendiente

de la recta

y donde

"n"

es el valor que nos indica

la

intersección

entre el eje de las

ordenadas

(eje y)

con la recta.

¿Pero qué significa esto?

Seguramente lo acabas de leer y pusiste una cara de confusión diciendo: “No entendí

nada” No te preocupes yo también lo hice. Es más fácil de lo que parece y nos ayudará

a resolver los ejercicios. ¡Sigamos!

PENDIENTE DE

LA RECTA

Observamos la figura:

Para dibujar una recta en el plano

nosotros especificamos un

sistema de coordenadas, es decir,

un sistema que consiste de dos

ejes: un eje de las abscisas

(eje x)

,

y un eje de las ordenadas

(eje

y)

como muestra la figura:

(a,b)

a

b

L

Y

X

Eje de las abscisas

Eje de las

ordenadas

Cuando en el eje “x” tomamos el

valor “a”, es decir, cuando x = a,

entonces en ele eje “y” obtenemos

el valor “b”, es decir, y = b

Pero, ¿Cuál es el

valor de “b” cuando

x = a?

¿Cuál es el valor de

Para responder lo anterior, necesitamos conocer la ecuación de la recta.

A modo de ejemplo, si la ecuación de la recta es y = 2x+1, entonces:

Cuando x = 2 :

y = 2 * 2 + 1 = 5, esto significa que el punto (2,5) si pertenece a la recta.

Cuando x = 1 :

y = 2 * 1 + 1 = 3, así el punto (1,3) pertenece a la recta

Ahora estamos en condiciones de decir el significado de lo que entendemos por la ecuación de

la recta:

La ecuación de la recta es una igualdad que relaciona al eje “x”

con el eje “y”. Nos permite calcular el valor que obtiene y

Ecuación de la recta dado dos puntos conocidos

d

y

b

B C

a x c

A continuación deducimos la ecuación de la

recta que pasa por dos puntos conocidos.

Supongamos que los puntos conocidos

son (a,b) y (c,d). Entonces si(x,y) es un punto

cualquiera que está en la recta tenemos la

situación que se muestra en la siguiente figura:

Y

A

E

D

Notemos en la figura que:

AB = x-a AC = c-a BE = y-b CD

= D-B

Cómo los triángulos ABE y ACD

tienen los mismos ángulos,

entonces se tiene que:

AB = BE

AC CD

Al reemplazar los valores de los

trazos en la igualdad anterior,

obtenemos la ecuación:

x-a = y-b

Al pasar multiplicando

d-b

al lado izquierdo, obtenemos:

y-b = d-b (x-a)

c-a

Al valor m = d-b se la llama pendiente de la recta

c-a

Así la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a,b) y (c,d) es:

y-b = m (x-a)

Ejemplo:

1-. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,5) (3,4):

m = 5 – 4 = - 1 = - 1

2 – 3 1

También que:

m = 4 – 5 = - 1 = - 1

2 – 3 1

2-. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (3,2).

Sabemos que la ecuación de la recta es y = mx – n, donde m es la

pendiente de la recta y n es la intersección entre el eje con la recta.

Entonces, ¿Cómo determinamos el valor de m?

Como las ordenadas de los puntos son -1 y 2, y las abscisas de los puntos son

2 y 3 entonces la pendiente da:

m = -1 – 2 = - 3 = 3

2 – 8 -1

Así la ecuación de la recta

(faltando calcular el valor de n) es:

y = 3x + n

Sigamos, ¿Cómo calculamos el valor de n?

Veamos, sabemos que el punto

(2,-1)

pertenece a la recta; esto significa lo

siguiente:

Al reemplazar el dato anterior en la ecuación

y = 3x + n

obtenemos:

-1 = 3 * 2 + n, de donde n = - 7

Así la ecuación de la recta es:

y = 3x – 7

Si utilizamos el punto

(3,2)

que también pertenece a la recta, entonces:

2 = 3 * 3 + n. de donde n = - 7

Así la ecuación de la recta también nos da:

y = 3x – 7

Ecuación de la recta dado dos puntos

Centímetros

12

9

6 C B 3

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tiempo (Semanas)

Comencemos con un

ejemplo: En un laboratorio

se estudia el crecimiento

de algunas plantas. Para

poder registrarlo utilizan

gráficos. Observa el

siguiente gráfico:

Sabemos que la planta creció en 4 semanas 3 cm y en 8 semanas, 6 cm. Como el gráfico es una recta, podemos decir que esta recta para por los puntos (4,3) y (8,6)

Debemos responder cuánto creció la planta en 9 semanas, por lo que llamaremos a este punto C (9, y)

Sabemos que la planta creció en 4 semanas 3 cm y en 8 semanas, 6 cm. Como el gráfico es una recta, podemos decir que esta recta para por los puntos (4,3) y (8,6)

Como la recta pasa también por C, la pendiente de la recta que pasa por A y B es igual a la pendiente de la recta que pasa por B y C:

mBC = mAB

y – 6 = 6 – 3 9 – 8 8 – 4

y – 6 = 3 1 4

y = 3 + 6 4

y = 27 = 6,75 4

Por lo tanto, en 9 semanas la planta creció 6,75 cm.

Para saber el crecimiento de la planta en cualquier número de semana, vamos a determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. Consideremos un punto D (x-y)

mBD = mAB

y – 6 = 6 – 3 x – 8 8 - 4

y – 6 = 3 x – 8 4

y – 6 = 3 * (x – 8) 4

y – 6 = 3 x – 3 * 8 4 4

y – 6 = 3 x – 6 4

y = 3 x - 6 + 6 4

y = 3 x 4

Así, si nos preguntamos el crecimiento de la planta a las 5 semanas, por ejemplo, basta reemplazar en la ecuación de la recta.

y = 3 * 5 4

y = 15 4

y = 3,75

5 y

B (4,5)

A (-3,2)

2

P (x,y)

-3 4 x

Por ser P, A y B puntos de una misma recta, es decir, son colíneales, las

pendientes de PA y PB son iguales:

mPA = y – 2 ; mAB = 5 -2 = 3

x + 3 4 + 3 7

mPA = mAB

y – 2 = 3

x + 2 7

Multiplicando por 7 (x + 3) a ambos lados de la igualdad, obtenemos:

7y – 14 = 3x + 9

3x – 7y +23 = 0

A esta última ecuación recibe el nombre de la ecuación general de la recta.

Si en esta ecuación despejamos la variable y, obtenemos:

y = 3x + 23

7 7

La que se denomina

ecuación principal de la recta.

Ahora, supongamos que

queremos determinar la

ecuación de la recta que

pasa por los puntos: A (-3,

Fíjate en que el coeficiente de x, es decir, 3, coincide con la pendiente de la

recta. 7

En la ecuación principal: y = mx + n, m es la pendiente; recordemos la relación

entre el signo de m y la gráfica, vista con anterioridad en clases.

Ahora analicemos en qué punto la recta intercepta al eje y:

y

P

X

m > 0

En general, ¿Cómo podríamos determinar la ecuación de la recta que pasa por

dos puntos cualesquiera, A(x1, y1) y B(x2, y2)?

Consideremos un punto C = (x,y)

mAC = mAB

y – y1 =

(x – x1)

Por lo tanto, la expresión

representa a la recta que pasa

por los puntos

A

(x

y

) y B (x

, y

)

Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente

Observa bien en la figura, que el

punto P donde la recta intercepta

al eje y, tiene abscisa cero (x = 0)

Si reemplazamos x = 0 en la

ecuación principal: y = mx + n,

obtenemos: y = 0 * x +n; por lo

tanto, y = m

Es decir, el punto P tiene

ordenada y = n.

Luego, si conocemos un punto A (x1, y1), y la pendiente m, podemos determinar

la ecuación de la recta que pasa por A y tiene pendiente m utilizando la

siguiente fórmula:

y – y

= m (x – x

)

Ecuación general de la recta.

Ya sabemos que

Representa a la recta que pasa por los puntos

A (x

, y

) y B (x

, y

)

También sabemos que la pendiente de la recta

que pasa por los puntos A (x

, y

) y B (x

, y

)

Es:

m =

Ejemplo: Vamos a determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y

tiene pendiente 2. y – 3 = 2 (x – (-1)) y – 3 = 2 (x + 1) y – 3 = 2x + 2 + 3

EJERCICIOS

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de

la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una

recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Veamos un ejemplo:

Hallemos la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector directos

igual (-2, 1) x – 1 = y – 5

-2 1

x – 1 = -2y + 10 Obtenemos: x + 2y – 11 = 0

Veamos otro ejemplo:

Hallemos la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2

y – 5 = -2 (x – 1) y – 5 = -2x + 2

Resuelve los siguientes ejercicios

1-. Si la ecuación de la recta es y = 3x – 1 encuentra el valor de “y” correspondiente a x = 1,5

a) 2,5 b) 3,5 c) -2,5 d) -3,5

2.- Si la ecuación de la recta es y = 2x + 3 encuentra el valor de “y” correspondiente si x = 5

a) -13 b) 12 c) 13 d) 10

3-.Si la ecuación de la recta es y = 1 x + 3 encuentra los valores correspondientes si x =3, si x = 2 y si x = 4 en orden consecutivo

a) Los valores correspondientes son: 4, 2, -1 b) Los valores correspondientes son: 3, 2, -1 c) Los valores correspondientes son: 6, 5,8 d) Los valores correspondientes son: 5,6,8

4-. Si la ecuación de la recta es y =3x – 1, encuentra el valor correspondiente si x = 2 3

a) y = 2 b) y = -1 c) y = 0 d) y = 1

¡Muy bien ya hemos visto los

conceptos básicos de la Ecuación de la recta! Es el momento perfecto para aplicar tus nuevos

5-. Si la ecuación de la recta es y = 4x + 6, encuentra el valor correspondiente si x = 8, x = 3 y si x= 5.

a) Valores Correspondientes: 38, 18, 26 b) Valores Correspondientes: 12, 32, 20 c) Valores Correspondientes: 14, 9, 11 d) Valores Correspondientes: -38, 26, 18

6-.Al modificar la ecuación de la recta x – 2y + 1 = 0 a la forma y = mx + n los valores de y n son:

a) m = 1, n = 1 2 b) m = 2, n = 1 2 c) m = 1, n = 1 2 2 d) m = -1, n = -1

2 2

7-. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa de mejor manera la recta de la ecuación: y = -x + 1?

a) b) c) d)

8-. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (6,3)

a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d) -1

9-. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,6) y (7,2)

a) 1 b) -1 c) 4

4 d) – 4

4

10-. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 2) y (4, 4)

11-. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,8)

a) m = 6 b) m = 1 6 c) m = -6 d) m = - 1

6

12-. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,4,) y (-1,3)

a) y = 3x + 13 4 4 b) y = 1x – 13

4 4 c) y = 1x + 13

4 4 d) y = -1x + 13

4 4

Determina la pendiente de las siguientes rectas.

13.- 3x – y + 2 = 0

a) m = 3 b) m = 3

1 c) m = -3 d) m = 0

14.- 2x – 4y + 1 = 0

a) m = 1 b) m = -1 c) m = 1

2 d) m = 4

15-. x = 3y – 1

a) m = 3 b) m = 1 c) m = 0 d) m = 1 3 16.- y = 3x – 1

17-. 2x – y = 3

a) m = 3 b) m = 2 c) m = -2 d) m = -3

18-. 2x + 3y = 6

a) m = -2 b) m = - 2 3 c) m = 2

3 d) m = 1 3

Determina los puntos en que las siguientes rectas interceptan al eje x y al eje y

19-. y = 3x – 2

a)

b)

c)

d)

20-. 2x – 4y = 1

a)

b)

c)

d)

21-. 2x + 3y = 6

22-. x – 2 = 0

a) (2,0) (-2,2)

b) (2,0) ; no intercepta el eje y. c) (2,2,) (2,0)

d) (0,2) (0, -2)

23-. y = x

a) (0,0) (0,0) b) (1,1) (1,1) c) (-1,0)(0,-1)

d) Ninguna de las anteriores.

24-. y – 2 = 0

a) (0,2); no intercepta el eje y b) (0,2) (0,0)

c) No intercepta el eje x; (0,2) d) (2,0) (0,2)

Expresa cada ecuación de la recta en su forma principal.

25-. 2x – 3y + 7 = 0

a) y = 2x + 7 3 3 b) y = 3x – 3

2 7 c) y = 7x – 3 2 2 d) N.A

26-. 6x + 3y – 9 = 0

a) y = 2x – 3 b) y = 3x + 2 c) y = -2x + 3 d) y = 2x + 3

27.- 2x – 5y + 6 = 0

a) y =2x + 6 5 5 b) y = 2 + 6x

5 5 c) y =5x + 5

6 6 d) y = -2x + 6

28.- 3x – 2y = 0

a) y = 3x 2 b) y = 3 2 c) y = 2x

3 d) y = -3x

2

29.- 2x – 8y – 16 = 0

a) y = 4x – 2 1 b) y = -2 – 4

1 c) y = 1x – 2

4 d) y = 2x – 1

4

30-. 3y – x – 18 = 0

a) y = 6x + 3 1 b) y = -3x + 6

1 c) y = -1x + 6

3 d) y = 1x + 6

3

Expresa cada ecuación de la recta en su forma general

31-. y = 2x – 7

a) 7x – y – 2 = 0 b) 2x – y – 7 = 0 c) x – 2y – 7x = 0 d) 2x – 7 – y = 0

32.- y = - 2x + 6 5

33.- y = 6x – 1 3

a) 3x – 18y – 1 = 0 b) 3x + 18y – 1 = 0 c) 18x – 3y – 1 = 0 d) -18x + 3y – 1 = 0

34.- y = 1x 3

a) x – 3y = 0 b) 3x – y = 0 c) -3x – y = 0 d) x + 3y = 0

35-. y = - 1x + 1 8 8

a) x – 8y + 1 = 0 b) x + 8y – 1 = 0 c) 1x + y + 8 = 0 d) –x + 8y – 1 = 0

36.- y = -5x

a) 5x + y = 0 b) x + 5y = 0 c) -5x + y = 0 d) x – 5y = 0

Dado los siguientes gráficos, determina las pendientes de las rectas.

a) m = 1 2 b) m = 2 c) m = -1 d) m = -2

2

38.-

2 a)m = -2

b)m= 0 c)m= 3 d)m= 1

39.-

3

-2

40.-

2

-1

Resuelve los siguientes problemas:

I.- Representa en un plano cartesiano las siguientes rectas:

41.- y = x – 6

42.- y = 2x 5

43.- y = - 5x + 1 3

44.- y = -2x + 5

II.- Haz el gráfico de la recta y luego determina cada pendiente y coeficiente de posición.

45.- 2x + 5y – 20 = 0

a) m = 2 b) m = -2 c) m = 2

3 d) m = -2

3

a) m = 2 b) m = -2 c) m = -1 d) m = 0

¡RECUERDA BUSCAR LA SOLUCIÓN DE LOS GRÁFICOS EN EL SOLUCIONARIO

III.- Resuelve:

46.- ¿Cuáles de los puntos que aparecen pertenecen a la recta de la ecuación y = 3x – 1?

I.- (0,1) II.- (-1,-3) III.- (0,-1) IV.- (1,2)

a) Todos

b) Sólo II, III y IV c) Sólo III y IV d) Sólo II y III

IV.-Aplicando Contenidos.

47.- Analizando la ecuación de la recta es INCORRECTO afirmar que:

I.- m es la pendiente

II.-El valor de m es el valor que nos indica la intersección entre el eje de las ordenadas y la recta

III.- n es la pendiente.

IV.- x es el eje de las abscisas e y el eje de las ordenadas.

a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I, II y IV d) Sólo II, III y IV

48.- Según el siguiente gráfico es CORRECTO afirmar que:

I.- m < 0 II.- m > 0 III.- No existe m IV.- m = 0

49.- Según el gráfico despejar y. y

k

x

50.- La ecuación de la recta es y = 1 ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2?

a) 3 b) 1 c) N.A

d) Falta el valor de la pendiente.

a) y = 1 b) y = -1 c) y = 0

Solucionario

41- Gráfico:

1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4 -5 -6

42- Gráfico:

2

1 1 2 3 4 5 43- Gráfico: 1 2 3 -1

-2

-3

-4

44- Gráfico: 1 2 5

45- Gráfico:

4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

46- Alternativa c) 47- Alternativa d) 48- Alternativa a) 49- Alternativa d) 50- Alternativa d)

m = n = 4

¡Bien! ¡Hemos terminado el Módulo de Ecuación de la recta! Espero que te haya sido de gran ayuda para tu aprendizaje. ¡Nos veremos en otra ocasión! ¡Si sigues teniendo dudas, consúltalas

con tu profesor! ¡Bien! ¡Hemos terminado el

Módulo de Ecuación de la recta! Espero que te haya sido de gran ayuda para tu aprendizaje. ¡Nos veremos en otra ocasión! ¡Si sigues teniendo dudas, consúltalas