Teoría de Conjuntos y
Conjuntos Numéricos
U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S
P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z A D A P T A D A P O R
¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una colección bien definida
de objetos.
“Bien definida” se refiere a que para cualquier
objeto que consideramos, podemos
determinar si está o no, en el conjunto.
Una colección no está bien definida si el
Ejemplos
Conjuntos bien definido
El conjunto de las vocales del alfabeto español.
El conjunto de los profesores de matemáticas de
la UPRA durante el primer semestre del 2012-2013.
Conjunto que NO está bien definido
El conjunto de los mejores sabores de mantecado
El conjunto de los actores más guapos de
Notación de lista para conjuntos
Los objetos que forman un conjunto se llaman los
elementos del conjunto.
Un conjunto se puede representar enumerando sus
elementos separados por comas y entre llaves.
Esta notación se conoce como forma de listado o
lista. Por ejemplo:
1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}.
Notación de elementos
Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras
minúsculas.
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representar
conjuntos.
Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈
significa “pertenece al conjunto”).
Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de
A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”).
Por ejemplo:
Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces, ☺___ B
Conjunto vacío
El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que NO
contiene elementos.
Se denota como {} o Ø. Por ejemplo:
El conjunto de los estudiantes de este salón que
Subconjunto
C es subconjunto de D y escribimos
C D
si cada elemento de C es un elemento del conjunto D.
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier
conjunto. ∅ A, es cierto para cualquier conjunto A. Por ejemplo:
Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D.
Cierto o Falso: D D.
Ejemplo
Si A = {lunes, martes, jueves} y B = {lunes, martes,
viernes} entonces B no es subconjunto de A.
¿Por qué?
Si B no es subconjunto de A, escribimos
B A.
Cierto o Falso: ø B. ______
Naturales
Números de conteo
{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
A este conjunto se le asigna la letra N.
Cardinales
• Son utilizados para medir el tamaño de los
conjuntos, o sea, el número de elementos en un conjunto dado.
• Se compone de los números naturales + cero
• En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers”
por lo que algunos le designan la letra W.
Opuestos de naturales
2 0
Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.
Por ejemplo:
En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero.
Para n un número real,
n + (─n ) = ─n + n = 0.
1
1
0
2
(-5) + = 0 5
Enteros
La unión de los naturales, cero y los opuestos
de los naturales
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} es el conjunto de los enteros.
A este conjunto se le asigna la letra Z.
Sub-conjuntos de los Enteros
implica “es subconjunto de”
El conjunto de los naturales es subconjunto
del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z.
El conjunto de los cardinales es un
subconjunto de Z, W Z.
Más sub-conjuntos de los Enteros
Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el
conjunto de los enteros no negativos pues
no contiene enteros negativos.
Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama
el conjunto de los enteros no positivos
pues no contiene enteros positivos.
El conjunto de los enteros positivos es
{1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍+
El conjunto de los enteros negativos es
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Racionales
A este conjunto se le asigna la letra Q.
Este conjunto está compuesto por los enteros,
las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.
𝑄 =
𝑝
Racionales
Ejemplos: 5 3 11 4 11 4 8 5 85
9 2 9
2
4 2
8
3 3 9 0 7 0 Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Enteros 5 10
50
Tipos de números racionales
Cualquier número racional se puede
representar con uno de dos tipos de números decimales: decimal exacto Ejemplo: decimal periódico Ejemplo: 25 0 4 1 . 3 0 333 0 3 1 . ... . 3
8 = 0.375
5
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales
Irracionales
Un número que NO se puede representar como el
cociente de dos enteros, es irracional.
La representación decimal de los números
irracionales
a) nunca termina (no es exacta)
Irracionales
Comparación entre un número racional y uno
irracional
0.71428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 5 …1.4142135623730950488 01688724209698078569 671875376948073176679 73799073247846210703 88503875343276415727 35013846230912297024 92483605585073721264 412149709993583141322 26659275055927557999 505011
2 5
Reales
Es la unión del conjunto de los números
racionales y del conjunto de los números irracionales.
Básicamente, es el conjunto que contiene
todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos.
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales
Racionales,
Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}
Irracionales
Otro diagrama, R
5 3 9 2 -2 2 -70 1 7
25 0. 3 0. Irracionales π 2 3 4 e Reales, R
Racionales, Q
Enteros, Z
Naturales, N
¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?
A = 0, −𝜋, 4
3 , 2 3, 1.414, 2
7 , 12. 3 , 7, −23 NATURALES:
ENTEROS:
RACIONALES:
IRRACIONALES:
Notación constructiva o generadora para conjuntos
Otra representación para un conjunto es la forma
constructiva o generadora de conjuntos.
En esta forma se define un conjunto enunciando
propiedades que deben tener sus elementos.
Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo:
Escriba el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en
Notación constructiva
Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5,…, 100} en notación constructiva.
C = {x ∈ N | x < 101}
C = {x ∈ N | x ≤ 100}
Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y
10” en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:
C = {x ∈ Z | 0 < x < 101}
La recta numérica real
Los números reales se pueden localizar en una
recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.
A = −2, 0, 2, − 1
2 , 1 3 , 𝜋,
11
Práctica
Localice los números reales que se muestran en la
recta numérica. −𝟏𝟓
𝟒 , − 𝟓
𝟑 , 𝟓. 𝟐𝟓,
𝟕
Subconjuntos de los números reales
Subconjuntos de los Reales se pueden
representar con notación de intervalo
Un intervalo abierto representa un subconjunto
Ejemplo
Escribir en notación de intervalo el siguiente conjunto: “Todos los números entre 3 y 6.”
Cierto o Falso
_____ 𝝅 ∈ 𝟑, 𝟔
_____ 𝟐𝟕
𝟒 ∈ 𝟑, 𝟔 _____ 𝟏𝟏
Intervalo cerrado
Un intervalo cerrado representa un subconjunto
Ejemplo
Escribir en notación de intervalo el
conjunto que contiene: “todos los números desde -2 hasta 7, incluyéndolos.”
Cierto o Falso
_____ 𝟐𝝅 ∈ [-2, 7] _____ − 𝟑
Intervalos infinitos
Un conjunto de reales mayores que un número
dado se expresa:
Ej: Escribir en notación de intervalo “Todos los
Intervalos infinitos
Un conjunto de reales menores que un número
dado se expresa.
Ej: Escribir en notación de intervalo “Todos los
números menores que 11”.
• (−∞, 11)
• Como desigualdad: x < 11
Práctica
Práctica
𝑎) {𝑥|𝑥 ≥ 5} en notación de intervalo
𝑏) 𝑦 0 < 𝑦 ≤ 10 en notación de intervalo
Operación de conjuntos: Unión
Para A, B la unión de A y B está dada por:
A B = {x | x A o x B}.
Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o
Ejemplo
Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y
C = {4, 6, 10}, determine:
1. A B =
2. A C =
Operación de conjuntos: Intersección
Para A, B la intersección de A y B está dada por:
A B = {x | x A y x B}.
Este conjunto contiene todos los elementos que
Ejemplo
Si A = {1, 3, 5, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 10, 12, 14} y
C = {14, 16, 18}, determine:
1. A B
2. B C
3. A C
Conjuntos disyuntos
Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos
disyuntos.
Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos
en común.
En el ejemplo de la pantalla anterior, A y C son
disyuntos.
Ejemplo: Cierto o Falso
_____ 𝑍 ∩ 𝑄 = ∅
Determinar cada unión o intersección si: A={2,5}, B={5, 7, 9},
