CURSO DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO Y DESCRIPTIVA

CURSO DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO Y DESCRIPTIVA

(MATEMÁTICA “IV”)

TRABAJOS AÑO 2017

PROF: SERGIO WEINBERGER

Se considera el cubo ABCDEFGH :

Sean MyN puntos medios de

BF y DH

rspectivamente.

I es el centro de la cara EFGH.

1) Establecer en cada uno de los siguientes pares, posición relativa y hallar intersección:

H G I

E F P

D C A B 2) Demostrar que :

a) EA⊥(ABC) b) (EHD)⊥(ABC) c) DBFH es un rectángulo d)

EB ⊥ ( DAF )

e) i) EC ⊥(HFA) ii)^EC∩^(HFA)=

{ }

^{P /Pescentrodel HFA}

iii) EP EC 3

=1

3) MAGNITUDES FUNDAMENTALES:

“a” : medida de los lados de las caras

“d” : medida de las diagonales de las caras.

“d^*” : medida de las diagonales del cubo (HB,AG yBH)

Construir las magnitudes fundamentales conociendo una de ellas.

. ( Realizar construcciones en los tres casos )

6to

MATEMÁTICA IV

MD

KENNEDY 2017

Prof: S.Weinberger

a) FM y AB b) EN y AD c) HN y DB d) BI y HD e) MN y BD f) EF y AC g) HF y AG h) (ABF) y (EHG) i) (ADG) y (HFB) j) (GED) y (HFB) k) (GED) y (ABC) l) (GED) y (HAB) m) DM y (HEF) n) HB y (EGD) q) AI con BCG

I D C D C

A O B J

E E

8) MAGNITUDES FUNDAMENTALES:

“a” : medida de los lados de las caras

“h” : medida de las alturas de las caras.

“d” : medida de las diagonales del octaedro (EF,ACyBD)

“n” : distancia entre caras opuestas. ( por ejemplo IJ).

Construir las magnitudes fundamentales conociendo una de ellas.

( Realizar construcciones en los cuatro casos ) 4) Probar que ABCD, EBFD y AECF son

rombos.

5) Probar que FE ⊥ (ABCD) y que los cuadriláteros de (1) son cuadrados.

(se sabe que son rombos, es suficiente por ejemplo demostrar que sus

diagonales son iguales).

6) Probar que (ADF) // (BEC).

7) Sean O = EF∩AC∩BD, OI ⊥ (BCF), I∈(BCF).

OJ ⊥ (ADE), J∈(ADE).

Probar que : i) I es centro de BCF ii) O es punto medio de IJ

TETRAEDRO REGULAR.

Se considera un tetraedro regular ABCD, poliedro regular de cuatro caras, triángulos equiláteros iguales. M,N,P,Q,R y S son puntos medios de aristas según figura.

D

N Q

S

J O C R I

M P B

11) MAGNITUDES FUNDAMENTALES:

“a” : medida de los lados de las caras

“h” : medida de las alturas de las caras.

“H” : medida de las alturas del tetraaedro (DI,CJ,etc.)

“n” : distancia entre aristas opuestas. ( por ejemplo MN,PQ,etc.).

Construir las magnitudes fundamentales conociendo una de ellas.

( Realizar construcciones en los cuatro casos ) 9) Probar que MN ⊥ AB y MN ⊥ CD

y AB // CD.

10) Sean: DI ⊥ (ABC), I∈ (ABC).

CJ ⊥ (ABD), J∈ (ABD).

O = DI∩CJ∩MN Probar que:

i) I es centro de ABC

A

ii) ID

4

IO=1 ⁱⁱⁱ⁾ MO=NO

iv) (MNP) es plano mediator de RS v) MNPQ es un cuadrado.

vi) MN ⊥ PQ

1) Representar en el depurado los siguientes puntos e indicar su ubicación respecto a los planos de proyección y bisectores, siguiendo las

referencias del siguiente esquema :

B2 PV B1

6 4 8 7 5 3 2

9 LT 1 PH 10 16

11 13 15 12 14

A(4,3), B(3,5), C(4,-1), D(2,-4), E(-1,3), F(-3,-2), G(-4,1), H(-2,5), I(-3,-3), J(4,-4), K(2,0), L(0,0), M(0,-5).

2) Representar la tercera proyección de los puntos anteriores, verificando la ubicación señalada.

3) Repres. una pirámide VABC con : A(1,2,0), B(4,4,1), V(2,1,2), C(2,2,4).

4) Representar un cubo ABCDEFGH de 6 cm de arista con (ABC)=PH, A(0,5), B(0,7). C con el > alej. posible y E con la > cota.

5) Representar un tetraedro regular ABCD de 6cm de arista con una cara ABC en un plano de perfil. A(2,3), B tiene cota 3 (con el > alej.). D lo más a la izquierda posible.

6) Representar un octaedro regular de 5 cm de arista con (ABC) = B1 , AB//LT (A y B con 5cm de cota ). C y D con la > cota posible.

7) Se considera un prisma cuyas bases ABCD y EFGH son rectángulos (prisma no recto, EA no es ⊥ (ABC) ). A(4,3,0), B(4,5), AB=3cm C(6,…,0). E(7,3). AE=AC.

a) Justificar que A’B’ ⊥ B’C’.

b) “ “ A''E ''= A' ''C' '' c) Representar el prisma.

8) Se considera un octaedro regular ABCDEF de 4cm de arista con EF// LT O(5,6) es el centro del octaedro. A∈B1.

a) Justificar que ABCD es un plano de perfil.

b) Representar el octaedro

9) Verdadero o Falso?. Justificar respuesta.

a) AB ⊥ PH C∈AB ⇒

' '

' '

B A

C A AB

AC = b) α ⊥ ΡΗ ⇒ AB=A'B' AB ⊥ α

b)

A B ˆ C

/ AB // PH ⇒

A B ˆ C

=

A ' B ˆ ' C '

c) r ⊥⊥ s

r ’⊥ s’

r ⊥ PH s ⊥ PH

10) ABCDEFGH es un prisma recto de base rectangular ABCD. (EA⊥(ABC)) A(6,5,0), B(4,5,5), C(6,8), E tiene alejamiento 10.

a) Representar ABCD

b) Justificar que A”E” ⊥ A”B” y A’E’ ⊥ A’C’

c) Representar el prisma.

11) a) Representar una pirámide VABCD cuya base ABCD es un rectán- gulo, sabiendo además:

• A(3,2,0), C(7,4), V(5,....,0).

• AB / / PV, B tiene cota 4, AB=5cm,AV =5cm (B a la derecha de A).

b) Justificar la determinación de B,C y V.

12) a) Representar un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista, sabiendo:

• M(6,6) y N son puntos medios de AByCD resp.

• (CDM)= B1

• CD // LT ( C y D con la <cota posible)

b)Justificar la determinación de los vértices del tetraedro.

1) a)Justificar que , dado un segmento AB /AB// PV ,AB⊥ PV , la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene como catetos

"

" B

A y la diferencia de alejamientos entre A y B, mide AB. (verdadera magnitud del segmento).

b) Dados A(5,3,0), B(1,2,2), C(5,2,5), D(3,-3,5), E(-2,2,6), hallar la “verdadera magnitud” de : AB,AC,BC,CDyDE.

c). Dados : Una recta r cualquiera y los puntos A∈r y B ∈ r, representar un triángulo ABC isósceles con base BC , con AC ⊂r.

d) Representar P(2,3) y Q(5,4) / PQ=8cm.

2) a) Representar un cuadrado de 10cm de lado con A(5,5); B(4,3), C tiene cota 7cm y el mayor alejamiento posible.

b) En el mismo depurado de la parte a), representar un triángulo equilá- tero ABE y E con alejamiento 6.

c) En el mismo depurado, representar una pirámide VABCD, siendo VA de perfil, V(10,9).

3) Representar un tetraedro regular ABCD sabiendo que :

a) a= 4cm, A(2,3), AB horizontal, alej(B)=5cm (B a la derecha de A).

alej (C) = 6cm (con la mayor cota posible)

b) C(4,5), M(5,6), ( M es el punto medio de AB), CM =4cm. D tiene alejamiento 4. (con la mayor cota posible)

c) MN de perfil (M y N puntos medios de AByCDrespect.) M(5,2), N(1,4). B tiene cota 4. (lo mas a la derecha posible).

4) Representar un cubo ABCDEFGH sabiendo que :

a) a= 4cm, A(1,2), AB frontal, cot(B)=3cm (B a la derecha de A).

cot (C) = 4cm (con el mayor alej. posible). E con > cota posible.

b) a= 4cm, A(2,3), AB de perfil, alej(B)=3cm alej(G)=6cm

c) A(4,5), F(1,3), AF=5cm. Alej(H)=4cm. H y E con la < cot< posible.

5) Representar un octaedro regular ABCDEF sabiendo que :

a) O(7,6). (O centro del octaedro). a=4cm. B(5,5). alej(C)=6,5cm b) AD horizontal, a=4cm. A(3,4). alej(D)=5cm (D a la derecha de A) A'F'=3cm. O con la > cota posible.

6) Representar una pirámide ABCD con α=(ABC). α =(a,b). a∩b=A(5,6) B(6,4), AC=b, AB=AC. CD horizontal. D∈B₁,CD=4cm

b’’ a’’

A’’

45º 30º

L 45º 60º T

A’

b’ a’

7) a) Representar un tetraedro regular ABCD de 6 cm de arista con A(1,2) B(-2,5). C∈ PH. D con la mayor cota posible.

b) Representar la sección del tetraedro con PH.

c) Representar la sección del tetraedro con el plano δ//PV, B∈δ 8) Representar un cubo ABCDEFGH sabiendo que m∩r=A, H∈m.

(con la < cota posible). AH=6cm. F coplanar con m y r.(F con la > cota posible). El vértice E se tomará con el < alejamiento posible.

r ’’ m’’

L 60º T 5cm

4cm

r’ m’

1) Dada una recta de perfil AB / A(2,4) ; B(-3,6), determinar un punto C de la Recta cuyo alejamiento sea 5cm.

2) Hallar la intersección de cada una de las siguientes rectas con PH, PV(trazas), con B1 y con B2 :

a” b”

a) L_____________T b) L______________T c) recta // PH cualquiera.

a’ b’

d) recta frontal cualquiera. e) de perfil f) vertical

3) Dados: un puntp P y dos rectas que no pasan por P, una horizontal h y una de perfil p, hallar : i) una recta a que pasa por P y corta a la recta h

ii) “ “ b “ “ “ “ “ “ “ “ “ p

4) Investigar si las rectas dadas a, b y c con a//b//c son coplanares.(las tres en un mismo plano)

a” b” c”

L________________________________T

a’ c’ b’

6) Investigar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas.Justificar a) AB y CD con A(3,-1,0), B(5,2,0), C(2,5,3) D(-1,2,3);

(empleando y sin emplear tercera proyección).

b) c) a”

a” b” b”

L__________________T L_____________________T a’

b’

a’

b’

a” b”

d) L___________________T

a’ b’

7) Hallar trazas de un plano dado por:

a) Dos rectas cualesquiera secantes b) Una horizontal y un punto ∉a ella.

c). Una recta cualquiera y un punto de LT. d) α’’ y un punto.

r’’

A’’

e) α = (A,r) L T

A’

f ) Una recta vertical y otra cualquiera, secantes.

g) Una recta // LT y otra cualquiera, secantes.

h) Una recta ⊥ B1 y otra cualquiera, secantes.

8) Hallar una recta horizontal y otra frontal de un plano...

a) α = (α’’,α’) ,cualquiera. b) de perfil. c) proyectante vertical.

9). Dado α = (α’’,α’),

a) Hallar A(4,1)∈α b) Determinar i = α∩ B1 figura. p/ej.9y10 α’’

c).Hallar r⊂α, formando r’’ 60º con LT.

d) Hallar s⊂α, ^{s// B1} e) Hallar p⊂α,p de perfil. L 45º T f) hallar una recta de máxima pendiente de α 60º

α’

10) Dado α = (α’’,α’), representar un cuadrado ABCD de 6cm

de lado, incluido en dicho plano. A(5,4). AB horizontal, B con > alej. posible.

C y D con la > cota posible, Representar el cubo ABCDEFGH, tomando E con la mayor cota posible.

. 11) Dado α = (α’’,α’), representar un tetraedro regular

ABCD de 6cm de arista con α = (ABC). α’’

I(6,5) es el centro de la cara ABC.

A tiene cota 4 (con el > alej.posible) L 60º D con la mayor cota posible. 30º

α’

12) Dado α = (α’’,α’), representar un octaedro regular ABCDEF de 7cm de arista con una cara BCF en α. B(1,3). α’’

C con la mayor cota posible.

A y F con el mayor alejamiento posible. L 45º 45º

1) D

N

C A

M

B a) Hallar A y B

b) Justificar que M'N'⊥ A'B'

c) Hallar proyecciones de la recta MN, justificando el procedimiento.

d) Representar el tetraedro

e) Hallar las trazas del plano β =( ABC)

2)

E t M D I C A O B h

h’’ M’’

F 60º

L 45º T M’

h’

Se considera un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista. M y N son puntos medios de las aristas AB y CD respectivamente.

α '' )

( ABN α =

L 45º T 45º

α' A(3,2), AB es horizontal (B con el mayor alejamiento)

Se considera un octaedro regular ABCDEF de 5cm de arista. M(3,3) es p.m del segmento EC.

EC=h y MB=t. Son datos h’’,h’ y t’’ según figura.

a) Hallar t’. Justificar.

b) Hallar trazas de α =(BCE). Tomar B con la

> cota posible. Justificar.

c) Representar el poliedro. Tomar O(centro del octaedro) con el alejamiento posible.

t’’

3) Se considera un tetraedro regular ABCD de 5 cm de arista.

D(6,5) y α=(ABC) : α’’

L 45º T

α’ 60º D a) Representar D y α. I , centro de ABC con < cota.

Justificar cada paso del procedimiento.

b) Sabiendo que IA es horizontal,

Representar el el tetraedro C B I A 4)

H G E F

D C

A B

H G J

E F I

D C r’’ A B

45º

L 30º T

r’

D I

Se considera un cubo ABCDEFGH de 5cm de arista, I es centro de la cara ABCD, B(1,2).

a) Representar el punto B y el plano α=(ACG),(α₀ lo más a derecha posible), sabiendo que :

α’’

45º

L 30º T

α’

Justificar el procedimiento.

b) Representar el cubo, sabiendo que AC es frontal . (G con > cota posible)

5) Se considera un cubo ABCDEFGH de 5cm de arista. E(1,3), r =EC, r dada. I es el centro del triángulo AFH, J es centro de EFGH.

AJ horizontal.

a) Representar E , r y C.(con > cota)

b) Determinar las proyecciones de AJ (just) c) Hallar trazas de α =( AFH)

C A M

B

α’’

30º

L T 60º

α’

c) Hallar dos puntos que pertenezcan

a los planos α y β

simultáneamente. Hallar

proyecciones de la recta i=MN.

d) Representar el tetraedro.

1) Determinar las intersecciones de los siguientes planos:

a) Plano cualquiera y plano dado por LT y un punto.

b) Plano α ⊥ Β2 con Β1 c) Plano // PV y otro ⊥ PH d) Plano // PH y otro ⊥ PH

e) α’’β’ f )

β’’

α’β’’ α’’

L T L T α’ β’

α’’

g) α’’ β’’ h) β’

L T L T

α’ α’

β’

2) Determinar las siguientes intersecciones de rectas y planos:

a) recta cualquiera y plano ⊥ PH b) recta cualquiera y plano de perfil c) recta de perfil dada por sus trazas y plano cualquiera.

d) recta // Β2 y plano cualquiera.

3) Dado un plano β//LT, hallar un punto P∈ Β1 / d(P,β)= 5cm 4) Representar A(6,4) y α cuyas trazas cumplan : α’’

y sabiendo además que d( A, α )=3cm

60º

L 45º T α’

5) Hallar la distancia de un punto cualquiera a un plano : a) Horizontal b) ⊥ PH c) de perfil d) ⊥ Β2 e) // LT 6) Hallar la distancia de un punto cualquiera a una recta :

a) frontal b) ⊥ Β1 c) ⊂ Β1 d) // Β2

7) Hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan, una cualquiera y la otra:

a) de fuga b) LT c) horizontal.

8) Se consideran las rectas a, b y n. Se conocen : n’,n’’, a’ y b’.

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10) Dada una recta v⊥PH y un punto P∉ v, hallar una recta r / r//Β1 , P∈r tal que d(r,v)=2cm

11) Representar un cubo ABCDEFGH de α’’

7cm de arista, con una cara ABCD 45º

en α dado. O(6,4) es centro del cubo. L 60º T El centro I de ABCD deberá tener la < cota posible. α’

A tiene cota 5cm (con el > alej.posible)

12) Representar un tetraedro regular α’’

ABCD de 6cm de arista con α=(ADM) dado

M es p.m de BC, A(8,7). AD horizontal. L 45º T D con < alejamiento, M con < cota. 60º

α’

13) Representar un octaedro regular ABCDEF con E(2,1), F(3,6).

cm 8

EF= . BC frontal.

14) a) Determinar β’ de modo que α⊥β. β’’ α’’

b) Representar un tetraedro regular ABCD

con α=(ABC), AD⊂β, D(1,1) L 30º 30º T arista=5cm 60º

α’

15) Representar un cubo ABCDEFGH con A(7,6), F(6,5). AF=8cm H tiene alejamiento 7.

α’’

16) Representar una pirámide regular VABCD de base cuadrada ABCD de 5cm de lado.

A(8,7). α=(ABC) dado. AC de perfil. L 45º T C con el mayor alejamiento posible 60º

VA=5cm (V con < cota posible). α’

1) Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas secantes:

a) Recta frontal y recta cualquiera. b) Dos rectas de Β1 c). Recta horizontal y recta frontal.

2) Hallar el ángulo que forman una recta cualquiera con PH.

8cm

3) Conociendo de un plano α : α’, α’’1 L 75º 30º 30º T y el abatimiento r1 de una recta de α, α’’1

hallar r’’,r’ y α’’. α’

r1

α0 6,5cm

4) Dada la proyección horizontal de un punto P, 60º T su abatimiento P1 con un plano α, y α0 ; 2,5cm hallar α’’,α’ y P’’ P’

4cm P1

5) Representar un tetraedro regular ABCD α’’

de 5cm de arista con (ABC)=α dado.A(6,5)

B tiene alejamiento 4cm (con > cota pos.) L 45º T C con > alej. y D con > cota posible. 60º

α’

6) Representar un tetraedro regular ABCD α’’

de 6cm de arista con (ABC)=α dado.D(9,8)

AB// Β1 A y B con la < cota posible. L 30º T 60º

α’

7) Representar un tetraedro regular ABCD r’’

de 6cm de arista con AB=r dada..A(5,3)

B con el > alej. posible. D∈ Β1 (con> cota) L 45º T C con la < cota posible 30º

r’

8) Representar un tetraedro regular (DM)’’

ABCD sabiendo que CN es altura de ABC,

M es p.m de CN, DM es dada. D(9,7) L 30º T

DM=7cm. AB de perfil. 45º (DM)’

6to

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Prof: S.Weinberger

o L

. . . 10) Representar un cubo ABCDEFGH α’’ α’

con una cara ABCD en α dado. A(5,7) L 45º T AC de perfil AC=8cm E con la > cota posible.

11) Representar un cubo ABCDEFGH de 7cm de arista. A(2,3), G(4,5) (G a la derecha de A). C tiene cota 3 (con el > alej. posible)

12) Representar un cubo ABCDEFGH con E(9,8), C(6,5), EC=8cm

( C a la derecha de E). H∈ Β1 (con el > alej. posible).

13) Representar un cubo ABCDEFGH de 7cm de arista. H(2,3), B(5,7) (B a la derecha de H). AC// Β2

14) Representar un cubo ABCDEFGH de 6cm de arista. El centro del cubo es O(6,4). La sección del cubo con un plano α es un exágono regular RSTUVW. α // LT y α’ tiene alejamiento 6cm. Cot(R)=5cm.

15) Representar un octaedro regular ABCDEF de 8cm de arista. E(10,8) M(7,7) es el punto medio de BC y se encuentra a la derecha de E.

F tiene 6cm de alejamiento.

α’’

16) Representar un octaedro regular ABCDEF L 45º T de 8cm de arista con centro O(8,7).

(ADF)=α dado. A lo más a la izquierda posible. α’ α’’

A’’

17) Dado A(6,6), un plano α y la proyección r’’

de una recta, determinar las proyecciones 45º r’’

de un tetraedro regular ABCD tal que AD=r, 30º (BCD)=α. Tomar D con la < cota posible. α’

A’

α’’

1) Dados : un plano α y un punto A(4,3)∈α : 45º

L 30º T a) Hallar una recta r⊂α, A∈r, r forme 30º con PH α’

b) Hallar una recta s⊂α, A∈s, s forme 30º con Β2

α’’

L α0 =P0 45º T 2) Dados : un plano α y un punto A(7,5), hallar una 30º

recta r/ P∈r, r // Β1 y r forme 30º con α. α’

r’’

3) Dados: r y A(5,3)∈r,

a) Hallar una recta s⊥r, A∈s, s forme 30º con PV.

b) Hallar un plano α / r⊂α, α forme 60º con PH. 45º

60º

r’

4) Por A(7,5), trazar :

a) un plano α ⊥ Β1 , α forme 30º con LT

b) un plano β // LT, β forme 60º con α (hallado en a) 5) Hallar una recta r que forme :

a) 30º con PH y 45º con PV, distando sus trazas 7cm entre si.

b) 30º con PV y 45º con Β1 c) 60º con π y 45º con Β2

6) Hallar un plano α que forme: α’’

a) 60º con PH y 45º con Β2 ( sol. aprox. L T ) α’

b) 45º con Β1 y 60º con Β2

7) Representar un tetraedro regular ABCD de 6cm de altura, con una cara ABC α’

en un plano α que forma 60º con PV y 45º con π. L T D(8,7) y la recta DA forma 30º con PH, α’

teniendo su traza horizontal el mayor alej. posible. (sol.aprox. para α)

8) Representar un octaedro regular ABCDEFde 8cm de arista. α’’

El plano diagonal α=(BFD) forma 45º con PH y 60º con PV.

B dista 10cm de P∈LT dado. (B con < cota) A’’ 5cm P’’

A∈LT dado A’ P’

6to

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Prof: S.Weinberger

E J F

C D A B

Escrito 6to MD Mat “IV” 19/5/10 Liceo J.F.Kennedy

Prof: Sergio Weinberger FILA1 H G F E I F

D C A O B M D C

A B

E

1) AJ yDG

2) AJ y FG 3) AJ y (BDG) 4) (EGB) y (CHF)

1) Sea ABCDEFGH un cubo. I es centro de EFGH.

a) Completar en cada punteado :

) (

) (

EFG HF

EFG AE

⊂

⊥

) ( ,

...

) ( ,

... ....

ACG EG

EG HF

ACG AE

AE

def HF

⊂

⊂



 →



M

(prop.diag.cuadrado) ^CNyS →^... HF ⊥...

AE y EGsecantes b) Se cumple AI ⊥HF ?Justificar.

2) Sea ABCDEF un octaedro regular de centro O y 4cm de arista. M es pm de BC. a) Justificar que FOM es un triángulo rectángulo.

b) Construir d=FE. (se sugiere considerar el triángulo FOM )

1ª Prueba Parcial 6to MD. MAT “IV” 15/7/11 Liceo J.F.Kennedy Prof: Sergio Weinberger fila1

1) Se considera un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de aristas según figura. CP⊥ (ABC)

D

P

N N

C M A

B

2) Se considera un tetraedro no regular ABCD, con A(3,2,0), B(3,4,2), C(6,0,2) y D(1,2,5).

a) Representar dicho tetraedro en el depurado, con sus tres proyecciones.

Estudiar vistas y ocultas en PH y PV

(no se piden vistas y ocultas en 3era proyección)

b) Verdadero o Falso ? Justificar :

i) AB= A'' B'' ii) AD= A'' D'' iii) BC =B' C'' ' ''

a) Probar que BC ⊥ (ADM) , MN ⊥BC y BC // AD.

b) Investigar si el ángulo ABP es recto.

(puede usarse el teorema del ángulo recto)

c) Sabiendo que MN =5cm, construir las medidas de arista y altura del tetraedro.

Verdadero o Falso? Justificar

(pueden emplearse propiedades del octaedro regular) a) AM y FC secantes E b) AM BD c) AB ⊥ BM

(puede usarse el teorema del ⊥)

M d) (ABM)∩(CDE)=

i ,

con

i

^{// AB}

D C O

A B 2) (GEOMETRÍA DESCRIPTIVA)

Sabiendo que E(7,4,0), F(1,4,0) A(…,3) (hacia la derecha)

F a) Representar en el depurado E,F y O

b) Verdadero o Falso?. Justifica:

i) EF⊥PH ii) (ABC) // PH c) Representar el octaedro.

1ª Prueba Especial 6to MD. MAT 4 7/12 Prof: Sergio Weinberger 1) Se consideran los puntos A(3,3,0), I (3,5,2), y B(3,..,..), y el tetraedro

regular ABCD con DI como altura del mismo.

D

a) Justificar que : i)ABC=A'B'C'

ii) DI=D''I'' C

b) Representar el tetraedro. I

Tomar D con la mayor cota posible.

A B

2) Se considera una pirámide VABCD de base cuadrada ABCD de 4cm de lado. A(2,3,0), B(4,3) y a la derecha de A, ^V

D(4,..,..). (D con el > alej). V(6,..,0), AV =7cm a) Justificar : i) A''B''=4cm ii) A’’B’’⊥ A’’D’’

iii) BD =B' D' D C

b) Representar la pirámide.

A B

1) Sea ABCDEFGH un cubo de 5cm de arista con:

• E(2,3), B(4,6). (B a la derecha de E)

• C tiene alejamiento 7cm (con la mayor cota posible)

a) i) Justificar (con fundamento en el espacio) que : B''C ''= 24cm ii) Sea f / f //PV, f ⊂(EBC),E∈ f . Determinar proyecciones de f.

Justificar procedimiento.

iii) Justificar que A''F ''⊥ f'' b) Representar el cubo.

H G E F

C A B

2) Sea ABCDEF un octaedro de 5cm de arista con:

• B(2,3), C(3,5). (C a la derecha de B)

• E tiene alejamiento 6cm (con la mayor cota posible)

• I centro de la cara BCE y O centro del octaedro.

c) i) Justificar que : B''E ''=4cm

ii) Sea f / f //PV, f ⊂(BCE),E∈ f . Determinar proyecciones de f.

Justificar procedimiento.

iv) Justificar que I ''O''⊥ f'' d) Representar el octaedro.

E

I

D C O

A B

D

C

PH

1ª Prueba Parcial 6to MD. MAT “IV” 14/7/10 Liceo J.F.Kennedy Prof: Sergio Weinberger fila1

1) Se considera un octaedro regular ABCDEF .

E(5,1,0), F(5,6,0). A tiene cota 4 (lo más a la izquierda posible) E

D C A O B

F

2) Representar un rectángulo ABCD con A(4,2,0), B(…,0,0), C(1,..,2) AB=3cm (B con la menor cota posible). Justificar el procedimiento.

a) Justificar :

'' '' '' '' )

' ' )

)

D C B A ABCD iii

F E EF ii PV EF i

=

=

⊥

b) Representar el octaedro

A’’’C’’’ y abs(A)-abs(C); su hipotenusa mide AC.

b) Se considera un triángulo equilátero ABC con A(2,3,0), B(2,5,3) y

absC=2. C con la mayor cota posible.

i) Justificar que si M es p.m de AB, entonces A'B'⊥C'M'

ii) Representar un tetraedro ABCD con una cara ABC

1era PRUEBA PARCIAL 6toI MAT “C” 7/8/08(especial) Liceo Nº3N

2) Se considera una pirámide ABCDE cuya base es un cuadrado ABCD.

O es el centro del cuadrado. Llamamos “a” al lado de ABCD . E

D C O a A a B

a) Justificar que : i)a=5cm ii)A'B'⊥B'C' iii)A''C ''=(5 2)cm b) Representar la pirámide.

2) Sea ABCDEF un octaedro de 5cm de arista con:

• B(2,3), C(3,5). (C a la derecha de B)

• E tiene alejamiento 6cm (con la mayor cota posible)

• I centro de la cara BCE y O centro del octaedro.

e) i) Justificar que : B''E ''=4cm

ii) Sea f / f //PV, f ⊂(BCE),E∈ f . Determinar proyecciones de f.

Justificar procedimiento.

v) Justificar que I ''O''⊥ f'' f) Representar el octaedro.

E

I D C O

A B

• A(3,2,0), B(3,5,4),.

• C(..,2,…), (C con >

cota posible).

• EO ┴ PH , EO=4cm (E con > cota.)

i) Si AB ⊥ PH ⇒ AB=A''B''

ii) Si G es baricentro del triángulo ABC ⇒ M'A' 3 ' 1 G '

M =

M es pm de BC ,(AM)⊥PH iii) ABCD es un cuadrado

(ABC) // LT ⇒ A’B’C’D’ es un paralelogramo

iv) Si a ⊥ b, a ⊥ PV, b ⊥ PV ⇒ a’’⊥ b’’

E b)

C B D O A

F

F G

2) B C

H A D

Representar un octaedro regular ABCDEF de 6cm de arista con A(3,2), B(6,4) (B a la derecha de A) El centro O del octaedro tiene cota 5cm con el mayor alejamiento posible

E Se considera un cubo ABCDEFGH

Con A(2,1,0), B(1,4,0) y G(...,...,0) (G con cota positiva)

a) Justificar que :

i) ABGH= A’’’B’’’G’’’H’’’

ii) FC=F'C'=F''C '' b) Representar el cubo

1) Se considera un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista con A(2,2), B(3,5) y cuyo centro O tiene alejamiento 3

a) Justificar en el espacio que A''B''=4cm b) Hallar la recta f, frontal del plano (ABO),

que pasa por el punto B.

c) Justificar que D’’C’’⊥f ‘’.

d) Representar el tetraedro.

6TO I MAT “C” 1ª.Prueba Parcial 27 / 7 / 07 LICEONº3N

B’’ B

D A’’ K A

N

C A

B

E

I

D C A B

F 6TO I MAT “C” 12 / 2 / 08 “Examen” 1era.Prueba. KENNEDY TRIBUNAL: FRANQUEZ,ROBALLO, WEINBERGER.

D

P Q

C A

N M

B α’’

1) a) Representar un cuadrado MNPQ de 6cm de lado con M(3,2),N(5,2), N ''P''=3cm (N a la derecha de M, P con la mayor cota y alejamiento posibles).

b) Sea ABCD un tetraedro regular con M, N, P y Q hallados en a) como puntos medios de . . AB,BC,CDyAD respect.

i) Representar el tetraedro (B con menor cota posible)

2) Se considera un octaedro regular

ABCDEF con B(1,3,0), C(4,1,0) y E(...,...,0).

El punto I es el centro de la cara BCE y O el centro del octaedro.

a) Justificar que:

i) BCE=B’’’C’’’E’’’

ii) IO=I'O'=I ''O'' b) Representar el octaedro.

1) Se considera un cubo ABCDEFG de 5cm de arista con M,N y P puntos medios de las aristas AE, BC y CG.

B(2,3), N(4,3) (N a la derecha de B). F tiene cota 4 (con el > alej. posible) A con el > alejamiento posible.

a) Verdadero o Falso ? . Justificar. H G i) AB⊥BP ii) EC y MP son coplanares y secantes. E F P iii) EP // DC iv) B’’C’’⊥B’’F’’ v) N’F’ = NF

D C b) Representar el cubo M

N A B

2) Se considera un tetraedro regular ABCD con P y Q como puntos medios de

las aristas BD y AC . P(2,2,0), Q(4,6,0). A tiene cota 2, abscisa positiva y el > alej.

a) Verdadero o Falso? Justificar.

D i) P’’’Q’’’ = PQ = n ii) B’D’⊥A’P’

b) Hallar proyecciones de la recta f, frontal

del plano (ACP) / A∈f P c) Representar el tetraedro.

A Q C

B

EXAMEN 6to MD. MATEMÁTICA ”IV” Cat ”D” 25/2/13

Tribunal: Balbier, Fránquez, Weinberger Liceo J.F.Kennedy

1) Se considera un tetraedro regular ABCD. M es punto medio de AB C(3,1,0) , D(1,4,0) , M(…,…,0) (con la mayor cota posible)

D

B

M C

A b) Representar el tetraedro.

2) Se considera un octaedro regular ABCDEF de 4 cm de arista y centro O.

(ABC)=α dado. La recta AD es horizontal de 3cm de cota . A(...,4) α’’ E

L 45º T

60º D C

A O B

α’

F

a) Verdadero o Falso? Justificar :

i) AB⊥(CDM) ii) AB CD

iii)CDM =C' ''D '''M' ''

iv) AB= A'B'= A''B''=C' ''D' ''

a) Representar la recta AD y el punto D (con > alej. posible).

b) Justificar que A'B'⊥ A'D'y representar la recta AB, justificando el procedimiento.

c) Representar el octaedro, tomando B con la mayor cota posible.

1) Se considera un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista. P es pm de AD A(2,1), AD//LT (D a la derecha de A), cot(B)=1 .

B y C con el mayor alejamiento posible. D a) Verdadero o Falso?. Justificar.

i) AD⊥(ABC) ii) AD⊥(PBC)

P

iii) AD BC iv)BCP = B '''C '''P'''

C b) Representar el tetraedro.

A

B

t 2) Se considera un cubo ABCDEFGH de 5cm de arista.

r E H BC = f (frontal) , BE= t , AF= r . B(3,2) ,

α=(EBC) con sus trazas: α’’ F G L 45º T

45º

A D α^’

f

B C b) i) Hallar las proyecciones de B, f, C, y t.

Tomar C con la mayor cota.

Justificar el procedimiento.

ii) Representar el cubo, tomando E con el mayor alejamiento posible.

a) V o F?. Justificar.

i)t ''⊥ f '' ii)t'⊥α' α

⊥ r iii)

C I B O

D A

F

45°

60°

D

t N

A C

M B r EXAMEN MAT 6toMD. Mat.4 Cat “C” 14/ 2 /14 Liceo Kennedy

Tribunal: Balbier, Martinez, Weinberger 1) Se considera un octaedro regular ABCDEF de 5 cm de arista.

Su centro es O y el centro de la cara ABE es el punto I.

A(4,3), B(5,3) (a la derecha de A). El alejamiento de E es 3cm (E con la mayor cota posible).

a) Verdadero o falso? Justificar: i) ABE=A''B''E'' ii) OI=O' I' b) Representar el octaedro. Tomar O con el mayor alejamiento.

E

2) Se considera un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista. A(4,3), AB=h (horizontal) M y N son puntos medios de las aristas AB y CD respectivamente. MN=t, DC=r α=(ABN).

L T

a) Verdadero o Falso? Justificar: i) t ' ⊥h ' ii) t ''⊥α '' iii) r ''⊥α ''

b) i) Determinar las proyecciones de : A, h, B y t (tomar B con el mayor alejamiento) ii) Representar el tetraedro. Tomar N con la mayor cota posible.

α α’’

' α’