DIBUJO TECNICO 2º BACHILLERATO

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2º Bachillerato

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Rafael Ciriza

Roberto Galarraga

Mª Angeles García

José Antonio Oriozabala

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Diseño de portada: Iturri

Diseño y maquetación: IPAR

Dibujos:

Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © Texto:

Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia

ISBN: 84-9746-124-X D.L.:

Imprime:

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Dibujo técnico

2º Bachillerato

Rafael Ciriza

Roberto Galarraga

Mª Angeles García

José Antonio Oriozabala

EREIN

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ÍNDICE

1.- Nociones de geometría proyectiva . . . 9

Elementos fundamentales . . . 9

Formas geométricas fundamentales. Clasificación . . . 9

Transformaciones geométricas. . . 11

Producto de transformaciones. Transformación involutiva . . . 12

Congruencia. Igualdad e isomería . . . 12

Relaciones de incidencia o determinación . . . 13

Relaciones de ordenación y separación . . . 13

Operaciones proyectivas . . . 14

Perspectividad . . . 15

Proyectividad entre formas de primera categoría . . . 17

2.- Homología, afinidad homológica y homotecia . . . 18

Homología . . . 18

Afinidad homológica . . . 22

Homotecia . . . 23

3.- Potencia e inversión . . . 27

Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . 27

Eje radical . . . 28

Centro radical de tres circunferencias . . . 29

Inversión . . . 30

4.- Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión. . . 34

Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia. . . 34

Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión . . . 36

5.- Curvas cíclicas . . . 47

Curvas cíclicas . . . 47

6.- Métodos del sistema diédrico . . . 53

Vistas auxiliares . . . 53 Verdadera magnitud . . . 56 Posiciones favorables . . . 57 Abatimientos . . . 64 Giros . . . 72 7.- Paralelismo y perpendicularidad . . . 78 Paralelismo. Condiciones . . . 78 Perpendicularidad . . . 80 8.- Intersecciones . . . 89

Recta con recta . . . 89

Recta con plano . . . 90

Plano con plano . . . 90

9.- Distancias . . . 95

Distancia entre dos puntos. Verdadera magnitud de un segmento . . . 95

Distancia de un punto a un plano . . . 95

Distancia de un punto a una recta . . . 96

(5)

Mínima distancia entre rectas que se cruzan . . . 97

Distancia entre planos paralelos . . . 98

10.- Sólidos, superficies y sombras . . . 101

Introducción . . . 101

Clasificación de las superficies . . . 101

Poliedros regulares . . . 102

Representación de sólidos limitados por superficies radiadas . . . 105

Representación de superficies de revolución . . . 107

Sombras . . . 116

11.- Secciones y desarrollos de superficies . . . 128

Secciones . . . 128

Desarrollos . . . 130

12.- Sistema axonométrico ortogonal. . . . 139

Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . 139

Tipos de perspectiva . . . 140

Representación del punto . . . 141

Representación de la recta . . . 141

Representación del plano . . . 142

Puntos y rectas sobre el plano . . . 145

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos . . . 146

Intersecciones entre rectas y planos . . . 146

13.- Representación de cuerpos poliédricos y de revolución en axonometría ortogonal . . . 148

Figuras planas sobre las caras del triedro trirrectángulo. . . . 148

Trazado de los ejes en la perspectiva isométrica . . . 153

Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . 154

Secciones generadas por planos . . . 155

Verdaderas magnitudes . . . 158

14.- Sombras en la axonometría ortogonal . . . 162

Fundamentos . . . 162

Luz natural . . . 162

Luz artificial . . . 165

15.- Sistema axonométrico oblicuo . . . 168

Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . 168

Representación del punto . . . 170

Representación de la recta . . . 170

Representación del plano . . . 170

Puntos y rectas sobre el plano . . . 170

Paralelismo, perpendicularidad, intersecciones, secciones y sombras . . . 171

Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . 171

Verdaderas magnitudes . . . 172 16.- Sistema cónico. . . . 173 Fundamentos . . . 173 Definiciones . . . 174 Tipos de perspectiva. . . 175 6

(6)

17.- Procedimientos de trazado en el sistema cónico . . . 177

Procedimiento Directo o de las Visuales . . . 177

Características fundamentales de la Perspectiva Cónica . . . 179

Procedimiento de los Puntos de Fuga . . . 182

Trazado de figuras poligonales planas . . . 185

Escala de anchuras para segmentos paralelos a la línea de tierra . . . 186

Escala de alturas para segmentos perpendiculares al plano geometral . . . 187

Escala de profundidades para segmentos perpendiculares al plano del cuadro . . . 188

Procedimiento de los Puntos de Distancia . . . 190

Escala de profundidades para segmentos horizontales oblicuos al plano del cuadro. . . . 195

Procedimiento de los Puntos Métricos . . . 197

Influencia de diferentes parámetros en la perspectiva cónica . . . 198

Planos inclinados y rectas límite . . . 200

Trazado de curvas planas . . . 203

18.- Sombras en el sistema cónico . . . 209

Generalidades . . . 209 Luz natural . . . 209 Luz artificial . . . 217 19.- Acotación . . . 219 Principios . . . 219 Clasificación de cotas . . . 219

Acotación de piezas según sus formas y dimensiones . . . 220

Normas de acotación . . . 223

20.- Acabados superficiales . . . 235

Introducción . . . 235

Diferentes errores superficiales . . . 235

Medición de la rugosidad . . . 236

Indicación de acabados superficiales en los planos . . . 236

Acabados superficiales recomendados . . . 238

21.- Tolerancias . . . 240

Introducción. . . 240

Tolerancias dimensionales. . . 240

Ajustes . . . 245

Tolerancias geométricas . . . 251

22.- Representación normalizada de elementos mecánicos . . . 257

Elementos de unión . . . 257

Rodamientos. . . 266

Ruedas dentadas y engranajes . . . 270

(7)

9

Cualquier figura geométrica está formada por un conjunto de elementos fundamentales, ligados entre si por una serie de relaciones, denomina-das propiedades geométricas. Entre las propiedades geométricas viene destacar las métricas y las gráficas.

Las propiedades métricas cuyo estudio corresponde a la Geometría Métrica, se refieren al concepto de medida y las propiedades gráficas, en las cuales no interviene el concepto de medida se refieren a la posi-ción relativa de puntos, rectas y planos dando su estudio srcen a la Geometría Proyectiva.

Los elementos que componen figuras espaciales pueden deducirse uno a partir de otros, pero siempre algunos de ellos han de definirse como fundamentales. Los elementos fundamentales de la Geometría son el punto, la recta y el plano. Estos elementos fundamentales, tienen en la Geometría Proyectiva un concepto más amplio que en la Geometría Métrica, ya que aquellos reciben ahora los nombres particulares de pun-tos, rectas y planos propios al admitir la existencia de los llamados ele-mentos impropios o del infinito.

Llamaremos punto impropio o del infinito a la dirección de una recta y diremos, por tanto, que todas las rectas paralelas tienen común su punto impropio.

El conjunto de los puntos impropios de un plano recibe el nombre de recta impropia o del infinito, y es el elemento común al conjunto de pla-nos paralelos al primero.

El conjunto de las rectas impropias del espacio recibe el nombre de plano impropio o del infinito, que contiene también, por tanto, a todos los puntos impropios del espacio.

1

1 .. Noci

Nociones de g

ones de geome

eometri

tria

a

proyectiva

Dibujo técnico

Elementos

fundamentales

Formas geométricas

fundamentales.

Clasificación

Se llama forma geométrica fundamental al conjunto continuo de infini-tos elemeninfini-tos fundamentales (puninfini-tos, rectas, planos) que cumplen determinadas condiciones de pertenencia respecto a otros elementos fundamentales.

Atendiendo a los elementos geométricos fundamentales, las formas geo-métricas se clasifican en tres grupos:

(8)

Son las constituidas por elementos de dos especie solamente (puntos y rectas, o rectas y planos). Las formas fundamentales de este grupo son: Son las constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rec-tas, o planos). Tres son las formas fundamentales de primera categoría: Se

Serierie recrectiltilíneínea a , constituida por los infinitos puntos de una recta. A

dicha recta se le denomina base de la serie. Fig 1

Formas Formas fundamentales de fundamentales de primera categoría primera categoría A B C D r Ha

Hazz dede rerectctasas también llamado haz de rayos y radiación plana,

consti-tuida por las infinitas rectas de un plano que pasan por un punto V de dicho plano. El plano que las contiene se llama base del haz, y el punto común V, vértice o centro de l haz. Fig 2

fig. 1 r V s m n p q fig. 2 Ha

Hazz dede plplananosos, constituida por los infinitos planos que pasan por una

recta denominada arista del haz. Fig 3

β r γ α λ fig. 3 Formas Formas fundamentales de fundamentales de segunda categoría segunda categoría

(9)

11

1. Nociones de geometria proyectiva

 m n q A B C D β n q m V α λ fig. 4 fig. 5

Es el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.

Formas Formas fundamentales de fundamentales de tercera categoría tercera categoría

Trasformaciones

geométricas

El concepto de transformación equivale a los de operación, relación, correspondencia, etc. En toda transformación, a cada punto A de una

forma f , le corresponde uno A´ y solo uno, de f´ y recíprocamente. Son

transformaciones geométricas entre otras, la traslación (fig 6), el giro (fig 7), las simetrías central y axial (figs 8 y 9).

A B C A’ C’ B’ fig. 6 L

Laa ffoorrmmaa ppllaanna a : es el

conjunto de todos los pun-tos y rectas que yen un plano. Fig 4

La

La raradidiacacióiónn. Es el

con-junto de las infinitas rectas y planos que pasan por un punto V, llamado vértice o centro de radiación. Fig 5

B’ C’ A’ O B C  A C’ B’ A’ O C B A fig. 8 B C A a B’ C’ A’ fig. 9 fig. 7

(10)

Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponerse mediante un movimiento coinciden.

Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden no ser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en el espacio que las haga coincidir.

La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentes en el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no son congruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, no existe ningún movimiento que las haga coincidir.

Si en una transformación las distancias entre puntos homólogos se man-tiene, es decir se verifica la igualdad de segmentos AB=A´B´ la trans-formación se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llama isomería acorde y si no discorde.

Definiciones: Definiciones:

• La transformación de una forma f en otra f´ , en la que a cada

ele-mento A de f le corresponde uno A´de f´ , se llama univoca. Si

tam-bién se verifica que cada elemento A´de f´ es el transformado de uno

solo A de f , se llama biunívoca. La transformación de f´ en f se llama

inversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de f y f´ que se

corres-ponden, homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transforma-ciones biunívocas.

• Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transfor-mados tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, la transformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientación que los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la sime-tría central son transformaciones acordes. La simesime-tría axial, discorde. • El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En la simetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial son dobles los puntos del eje e.

• Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es una identidad. El giro de 360º es una identidad.

Producto de

transformaciones.

Transformación

involutiva

Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´

una forma f se convierte en otra f´ y si por medio de una segunda

trans-formación geométrica de elementos homólogos A´ y A´´, f´ se

convier-te en otra f´´ , la transformación de elementos homólogos A y A´´ que

convierte f en f´´ se llama producto de ambas transformaciones.

Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una figura idéntica a la primera, la transformación producto se llama invo-lutiva. En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías res-pecto del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en la segunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo que es involutiva. A A’’ 1 O A’ 2 fig. 10

Congru

Congruencia.

encia. Iguald

Igualdad

ad

e isomería

(11)

13

Relaciones de

incidencia o

determinación

La palabra incidencia es sinónima de pertenencia o determinación. Diremos que dos elementos de distinto nombre se pertenecen cuando el primero está sobre el segundo, o el segundo pasa por el primero. Por ejemplo, decir que una recta pertenece a un plano significa que la recta está en el plano o que el plano contiene o pasa por la recta.

Las relaciones de incidencia son las siguientes:

• Dos puntos distintos determinan una recta que contiene a ambos. • Dos rectas distintas determinan un punto que pertenece a ambas. • Dos planos distintos determinan una recta que pertenece a ambos. • Tres puntos no pertenecientes a una misma recta, determinan un

plano que contiene a los tres puntos.

• Tres planos no pertenecientes al mismo haz determinan un punto que_{pertenece a los tres planos.}

• Un punto y una recta que no se pertenezcan determinan un plano que contiene a ambos.

• Un plano y una recta que no se pertenezcan determinan un punto que pertenece a ambos.

Relaciones de

ordenación

y separación

La definición de punto impropio por la cual una recta AB tiene un solo

punto impropio I∞, nos hace concebir a la recta como una línea (curva

de radio infinito) cerrada por su punto del infinito, de tal modo que, dado un punto A en ella, se pueda recorrer íntegramente pasando por el punto impropio y volver a A de nuevo. Esta es la llamada disposición natural o circular de los puntos en la recta proyectiva.

En la figura 11,, se puede comprobar que fijado un punto A y un senti-do como srcen, queda determinada la ordenación de cualquier par de puntos M y N de la recta. En el sentido de la flecha M precede a N ó N sigue a M.

Si cortamos la recta por dos puntos A y B, figura 12 , aparecen en ella dos segmentos: el segmento finito de extremos A y B, y el segmento infinito de extremos también A y B. El primero solo contiene puntos propios y el segundo contiene puntos propios y el impropio de la recta. Para diferenciar los dos segmentos, será necesario marcar un tercer punto en cada segmento; así en la figura 13, el segmento ACB (ó BCA) es el segmento finito y el ADB (ó BDA) el infinito. Uno cualquiera de ellos se llama complementario del otro.

Por último, si los elementos C y D están respectivamente, en los dos segmentos complementarios, figura 13, se dice que los pares AB y CD se separan, y si C y D estuvieran en el mismo segmento, se dice enton-ces que los dos pares no se separan.

A B M N I• fig. 11 A B I• I• fig. 12 I• I• A C B D fig. 13

(12)

V V M N a b c fig. 15 fig. 16

Sección por un plano Sección por un plano λ

•

• Cortar una rectaspor un plano es hallar la intersección I también

lla-mada traza desconλ. Fig 17

•

• Cortar un planoα por otroλ es hallar la intersección o trazaideα

conλ. Fig 18

•

•Cortar una figura formada por planos y rectas, por un plano λ es

hallar las trazas de dichas rectas y planos conλ formando lo que se

denomina una sección. Fig 19

I s  fig. 17 i   fig. 18 a b c A B λ α β n m γ fig. 19

Operaciones

proyectivas

Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son proyec-tar desde un punto o una recta y corproyec-tar por una recta o un plano.

Proyección Proyección desde

desde un un punto punto VV

•

•Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VA llamada recta

yectante. Fig 14 •

• Proyectar una rectasdesde V es trazar el planoα determinado por V

y sllamado plano proyectante. Fig 15

•

•Proyectar una figura formada por puntos y rectas desde V es trazar las

rectas y planos Que determina V con los puntos y rectas de la figura. La radiación formada se llama proyección o perspectiva de la figura. Fig 16

V

A

(13)

15 Proyección desde Proyección desde una recta r una recta r •

• Proyectar un punto A desderes trazar el planoα determinado porr

y A. Es el mismo caso que la fig. 15 •

• Proyectar una rectaadesde otrar , coplanaria con ella, es trazar el

planoα que determinan. Fig 20

•

•Proyectar desderuna figura formada por los puntos A, B y C es

tra-zar los planosα,β yγ, determinados porr y cada uno de los puntos

de la figura. Fig 21 r a  A B C β r α γ fig. 20 fig. 21 •

• Cortar un planoα por una rectas , es hallar la intersección o traza I

entre ambas. Fig 17 •

•Cortar una recta a por otras coplanaria con ella es hallar la

intersec-ción I de ambas. Fig 22.

Sección Sección

por una recta s por una recta s

a s I s A B C α β γ fig. 22 fig. 23

Perspectividad

Se dice que dos formas son perspectivas, o que están relacionadas pers-pectivamente, cuando una es sección de la otra o cuando las dos son proyección o sección de una forma de primera categoría y existe un ele-mento común a ambas.

•

• Cortar una figura formada

por planos, por una rectas es

hallar las intersecciones o

trazas des con cada uno de

los planos. Fig 23

Para terminar podemos decir que proyectar una figura sobre un plano es lo mismo que cor-tar la proyección por dicho plano.

Perspectividad entre Perspectividad entre una forma y su sección una forma y su sección o proyección

o proyección

•

•Si cortamos un haz de rectasa, b, c...

por otra rectam que no pase por V,

la serie rectilínea A,B, C... de basem

que se forma como sección, es pers-pectiva con el haz de rectas. Fig 24 B C D A V m d c b a fig. 24

(14)

•

• Dos series rectilíneas de basem yn , figura 28, son perspectivas por

ser secciones del haz de rectas que pasan por V, siendo V el centro perspectivo de las series.

•

• Si cortamos un haz de planos de aristar por dos planosα yβ que pasan

por un mismo punto de la arista, figura 29, las dos secciones resultantes

de ambos planos son dos haces de rectas perspectivos. La aristar del

haz de planos se llama eje perspectivo de los haces de rectas.

m n V fig. 28 α β r V fig. 29 V A B C D E a b _c d e fig. 26 V α β γ r a b c π fig. 27 •

• Si seccionamos un un haz de planos de aristar con otra rectam no

coplanaria conr , la serie rectilínea A, B, C... que se forma como

sec-ción es perspectiva con el haz de planos. Fig. 25 •

• Si cortamos un haz de rectasa, b, c... por un planoπ que no pase por

V, el conjunto de puntos A, B, C... sección del haz de rectas, es pers-pectiva con ésta. Fig. 26

•

•Si cortamos una radiación de planosα,β,γ... por un planoπ, el

con-junto de rectasa, b, c... sección de la radiación de planos, es

pers-pectiva con ésta. Ver Fig. 19 •

•Si cortamos el haz de planosα,β,γ... de aristar por un planoπ, el

haz de rectas que pasa por V que se forma como sección, es pers-pectiva con el haz de planos. Fig. 27

B m α γ r β A C fig. 25 Perspectividad entre Perspectividad entre secciones de la misma secciones de la misma forma forma

(15)

•

• Dos haces de rectas de vértices V y V´, de una misma serie rectilinea

A, B, C, D de baser , figura 30, son perspectivos por ser proyecciones

de la serier . La base de la serie se llama eje perspectivo de los haces.

•

• Dos haces de planos, proyecciones de un mismo haz de rectasa, b,

c, d,desde dos rectas distintasm yn que pasan por el vértice V del haz de rectas, figura 31, son perspectivos por ser proyecciones del haz de rectas. El plano del haz se llama plano central perspectivo.

17 Perspectividad Perspectividad entre proyecciones entre proyecciones de la misma forma de la misma forma

De entre las definiciones sobre proyectividad, la Chasles, la Staudt y la de Poncelet, todas ellas equivalentes, nos quedamos con la de Poncelet por ser la más sencilla de interpretar: “Dos formas de primera categoría son proyectivas si pueden obtenerse una de otra por medio de una cadena finita de proyecciones y secciones”.

En el ejemplo de la figura 32, dada la serie rectilínea A, B , C y D de

base m y la rectar, proyectando

desder, se obtiene el haz de

pla-nos α, β, γ y δ de arista r .

Cortando este haz de planos por

otro planoπ, se obtiene el haz de

rectas a, b, c y d de vértice V.

Cortando este haz de rectas con una recta n obtenemos la serie rectilínea A´, B´, C´ y D´. Estos haces y series, y los obtenidos de ellos por proyección y sección, son proyectivos entre si.

Según la especie de los elementos que se correspondan, la proyectividad se clasifica en:

•

•Homografía: Si los elementos homólogos son de la misma especie:

punto y punto; recta y recta ó plano y plano. •

• Correlación: Si son de distinta especie: Punto y recta, punto y plano...

Proyectividad

entre formas de

primera categoría

Clasificación Clasificación de la proyectividad de la proyectividad V V’ A B C D r d c b a m n V fig. 30 fig. 31 A B C D A’ B’ C’ D’ a b c d n m r β α γ δ π V fig. 32

(16)

La homología en el espacio es la correspondencia existente entre dos figuras resultantes de seccionar un haz de rectas por dos planos no paralelos.

2

2 .. Hom

Homolo

ología

gía,, afin

afinida

idad

d hom

homológ

ológica

ica

y homotecia

Dibujo técnico

Homología

β 3 α r1 s1 B1 C1 A’ V B’ S’ r’ C’ 1 A1 2 Eje de homología fig. 1

En la figura 1 observamos que las tres rectas que parten del punto V son seccionadas por los planos α y β obteniéndose unos puntos de corte, de forma que a cada punto A 1 le

corres-ponde otro homólogo A’, a cada recta r 1 otra homóloga r’ , y a

cada figura S1 otra homóloga S’.

Los elementos que intervienen en una homología son: – El centro de homología : punto V de donde parten el haz de

rectas.

– El eje de homología : recta intersección entre los dos planos. Por otro lado, diremos que tres puntos A 1 B1 C1 son homólogos

de A’ B’ C’ cuando cumplan las siguientes condiciones: – Estar en línea recta, con el centro de homología punto V. – Que las rectas homólogas, por ejemplo A1B1 y A’ B’, se

cor-ten en puntos del eje de homología.

Esta última condición nos lleva a definir el eje de homología como el lugar geométrico de los puntos dobles , es decir, de los puntos que son homólogos de sí mismos .

V M1 T' K' N1 α β α' ML M’L’ Rectas límites Rectas límites

Se llama recta límite al lugar geométrico de los puntos homó-logos de los puntos del infinito .

Como sabemos, si dos rectas son paralelas, o un plano y una recta son paralelos, estos se cortan en el infinito. Pues bien, si en la figu-ra 2 tfigu-razamos rectas pafigu-ralelas al plano α por el punto V en dife-rentes direcciones, significa que dichas rectas se cortarán con α en el infinito según esas direcciones. Sin embargo, estas mismas rectas cortan al plano β en los puntos M1, N1… formando una recta. Esta

recta es la llamada recta límite RL. El punto M1 tendrá su homólogo

(17)

19 2. Homología, afinidad homológica y homotecia

M’L’ C1 A1 B1 V V T A C B A' C' B' 1 2 3 Z α β ω ML ML fig. 3 V K Z M N A B C Z 2 1 M' N' A' C' B' Z' _K' fig. 4 V d d ML Homologia-ardatza M’L’ fig. 5 ML ≡ M’L’ d d V Homologia-ardatza fig. 6

según la dirección VM1, al igual que todos los

puntos que conforman esta recta límite . De igual manera hallaremos la recta límite R’L’. Por V se trazan paralelas al plano β y los pun-tos de corte con el plano α formarán la R’L’. Así, diremos que el homólogo del punto K’ pertene-ciente al plano α estará en el infinito sobre el plano β. Según la dirección VK’.

En la figura 3 podemos observar cómo se reali-za el paso de la homología espacial a la plana. Para ello se abate el plano β sobre el plano α

girándolo sobre el propio eje de homología obte-niendo A, B, C y RL. Para abatir el punto V se traza por dicho punto un plano ω perpendicular a los plano α y β obteniéndose el punto T inter-sección del plano ω con R’L’. Haciendo centro en T y con radio TV hallamos V sobre el plano

α. En la misma figura podemos ver que las direcciones de las rectas A’B’ y VZ son parale-las.

En la figura 4 tenemos la homología dibujada en el plano y podemos observar que las rectas límites son paralelas al eje de homología . Además, las distancias de las rectas limites R’L’ y

RL al eje de homología y al centro de homología respectivamente son iguales.

Puede darse el caso de que las dos rectas límites sean exteriores a la parte del plano comprendido entre V y el eje , tal como indica la figura 5. También puede ocurrir que las dos rectas lími- tes se confundan, es decir, coincidan, tal como indica la figura 6. La homología se llama enton-ces homología involutiva .

(18)

Una homología queda definida conociendo los elementos siguientes: 1.El centro , el eje, y dos puntos homólogos .

2.El centro , el eje, y la recta límite de la figura homóloga que se busca.

B A C D A' V fig. 7 Formas de definir Formas de definir una homología una homología EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los datos de la figura 7 halla el polígono homólogo al dado.

Solución:Para hallar el homólogo del punto B, por ejemplo, unimos B con A y alargamos hasta cortar al eje de homología en el punto 1. El

homólo-go 1’ del punto 1 es el mismo punto por pertenecer al eje . Unimos 1’ con A’ y V con B. Estas dos rectas se cortarán en B’ homólogo de B. Repitiendo esta opera-ción obtendremos los demás puntos. Para obtener las rectas límites tomare-mos un punto situado en el infinito según una dirección cualquiera; por ejemplo el punto Z’ del infinito situado sobre la recta A’B’. Si este punto Z’ del infinito está sobre la recta A’B’ su homó-logo estará sobre la recta AB. Trazando por V una recta paralela a la recta A’B’, ésta se cortará con la recta AB en el punto Z perteneciente a la recta límite RL.

Una vez hallado Z, y sabiendo la pro-piedad que tienen las rectas límites de equidistancia respecto al centro de homología, y eje de homología y de paralelismo respecto del eje de homolo- gía , trazaremos RL y R’L’. C' V C 4 3 2 1 D' A' B' D A B ≡ 1' Z' Z ML M’L’

(19)

B V 1 A D C D’ C’ A’ B’ r r’ 2 ≡ 2’ 4 ≡ 4’ 3 ≡ 3’ Homologia-ardatza ML B A C D V ML Homologia-ardatza

2. Dados los datos de la figura 8 halla el polígono homólogo al dado.

Casos

Casos particula

particulares

res

Dependiendo de que el centro de homología y el eje de homología sean propios o impropios , es decir, que sean conocidos o estén en el infinito, obtendremos casos parti-culares de homología.

En la figura 9 vemos que el centro de homología está en el infinito. En este caso obtenemos una afinidad homológica.

En la figura 10 observamos que el eje de homología está en el infinito por ser los dos planos paralelos, obteniéndose una homotecia .

fig. 8   V C 3 2 1 A' C' B' A B Afinitate-ardatza fig. 9

Solución:Para hallar por ejemplo el homólo-go del punto B, se traza una recta cualquiera que pase por B, por sencillez cogemos la recta BC, la cual corta en 1 a la RL y en 2 al eje . La recta homóloga de la 1-2, recta r, deberá pasar por el punto 2’ y ser paralela a la V 1 recta r’ . El

punto de corte entre la recta r’ y la recta VB nos dará B’ homólogo de B. Para hallar los demás puntos procederemos como en el ejercicio anterior.

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2. Homología, afinidad homológica y homotecia

Ya en la figura 11 tenemos que tanto el eje como el centro de homolo- gía están en el infinito, obteniéndose una traslación .

En la relación K = A0 A /A0 A’ = B0B / B0B’ = C0C /C0C’,

a la constante K se le denomina razón de afinidad . Si las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad la razón de afinidad será negativa, K < 0 (figs. 12 y 13). Si las dos figuras están al mismo lado del eje de afinidad la razón de afinidad será positiva, K>0. (fig. 14)   V B A C B' A' C' fig. 10 V   A' C' B' A B C fig. 11

Afinidad homológica

Ya hemos visto que la afinidad es un caso particular de la homología , y la consecuencia de que el centro de homología sea impropio es que las rectas que unen puntos homólogos sean paralelas. A la dirección de éstas se le denomina dirección de afinidad , pudiendo ser ésta oblicua al eje de afinidad (fig. 12) o perpendicular al mismo (fig. 13). Las rectas límites serán impropias , es decir, estarán en el infinito.

B A C 2 Co Bo Ao 3 1 C' A' B' K < 0 B A C 3 2 C_o B_o A_o 1 A' C' B' K < 0 fig. 12 _{fig. 13} A C B K > 0 A' B' C' Ao B_o Co 1 2 3 fig. 14

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EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los datos de la figura 15 halla el polígono afín al dado.

1 3 4 D' C' B' 2 B C A D A' B C A D A' fig. 15

Solución :En la figura se puede observar cómo obtenemos los puntos afines del polígono dado, de forma similar a como lo hacíamos en una homología normal.

2. Dados los datos de la fig ura 16 y sab iendo que la razón de afinidad es K = -1 halla el polígono afín al dado.

E D C B A d E D C B A 4 1 Ao 2 3 E' D' A' C' B' fig. 16

Solución: Aplicando la definición de la razón de afinidad, tenemos:

K = AA0 /A’A0 -1 = AA0 /A’A0 A’A0 = -AA0

El signo menos (–) indica que las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad . Si nos fijamos en el resultado del ejercicio comprobaremos que las dos figuras son simétricas respecto del eje de afinidad. Por tanto, podemos decir que la simetría axial es un caso particular de la afinidad homológica .

Homotecia

La homotecia también es un caso particular de la homología . En esta relación geométrica el eje de homología es impropio y como conse-cuencia de ello no existen rectas límites .

En la figura 17 el homólogo del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’, y se cumple que OA’/OA = OB’/OB = OC’/OC = K, siendo K la razón

de homotecia . Si ésta es positiva, K > 0, los puntos homólogos están a un mismo lado del centro de homotecia (fig. 17), y si es negativa, K < 0, los puntos homólogos están a distinto lado del centro de homotecia . (fig. 18)

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En toda homotecia se cumple que:

1. Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas. 2. Los segmentos homólogos son paralelos y proporcionales. 3. Los ángulos homól ogos son iguales.

B' A A' B C' C O K > O B C A O K < O B' A' C'

En la figura 19 tenemos dos circunferencias homotéticas . Se cumple que:

fig. 17 fig. 18 R/r = OC’/OC = K También: R = r · K OC’ = K · OC A O C T _B B' T' A' C' D D' r R fig. 19 EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS OC’ = K · OC = 2,5 · 25 = 62,5 mm R = K · r = 2,5 · 10 = 25 mm O 1 0 C 25 62,5 2 5 C' fig. 20

1. Dado el centro de homotecia O, la razón de homote-cia K = 2,5 y una circunferenhomote-cia de centro C y radio 10 mm, calcula su homotética sabiendo que OC = 25 mm.

En la figura 20 se observa que la homotética es otra circunferencia de centro C’ situada en la recta OC tal que:

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2. Dados los datos de la figura 21 y la razón de homotecia K = –1 halla el homotético del polígono dado ABDC.

C D A B O C' B' D' A' fig. 21

En el ejercicio resuelto podemos observar que la homotecia así definida es una simetría central .

EJERCICIOS EJERCICIOS

1. Halla el homólogo del punto B en la homología definida en la siguiente figura.

B

V

A

A'

3. Halla las figuras afines de las dadas.

B V P P' A D C B V A C B A C A' B B' P A D C

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4. Halla la figura homotética del polígono dado, siendo el centro de homotecia el punto 0 y la razón de homotecia K = 1/3. G H F C D E A B O O A B C K

5. Halla la figura homotética del triángulo ABC siendo O el centro de homotecia y K = 2 la razón de homotecia.