5.FACTORIZACIÓN POLINOMIOS. SOLUCIONES

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES

1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso: a) 2x−8=2(x−4) Raíz={4}

b) −5x+15=−5(x−3) Raíz={3} c) 5x−25=5(x−5) Raíz={5}

d) 

  

 

+ = +

4 13 4

13

4a a

     

− =

4 13

Raíz

e) 

  

 

− = −

3 11 3

11

3x x

     

= 3 11

Raíz

f) 

    

+ =

   

 

+ = +

2 5 6 6 15 6

15

6x x x

     

− =

2 5

Raíz

g) 

    

− − =

   

 

− − = + −

3 8 9 9

24 9

24

9x x x

     

= 3 8

Raíz

h) 

    

+ = +

6 1 2 3 1

2x x



    

− =

6 1

Raíz

i) 

  

 

− − = + −

20 1 8 5 2

8x x



    

= 20

1

Raíz

j) 3x2 −6x=3x(x−2) Raíces={0,2} k) −2x2+8x=−2x(x−4) Raíces={0,4}

l) 5x3 −15x2 =5x2(x−3) Raíces={0(doble), 3}

m) 

    

− − = + −

2 7 2

7

2x2 x x x

     

= 2 7

Raiz

n) 

    

− =

−

5 3 5

3

5x4 x3 x3 x

   

 

=

5 3 (triple), 0

Raíces

o) 

    

+ =

   

 

+ =

+

2 1 14

14 7 14

7

14x2 x x x x x

   

 

− =

2 1 , 0

Raíces

p) 

    

+ =

+

6 7 6

7

6x2 x x x

     

− =

6 7

Raiz

q) −3x3 +12x2 =−3x2(x−4) Raíces={0(doble) ,4} r) −2x3 −4x2 =−2x2(x+2) Raíces={0(doble) ,−2}

s) ( 2)

3 1 3

2 3

1 _{4 3 3}

+ =

+ x x x

2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso: a) x2 −7x+10

1) Hallamos las raíces del polinomio

      = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = ± = − ± = ⋅ ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = + − 2 2 3 7 5 2 3 7 2 3 7 2 9 7 2 40 49 7 1 2 10 1 4 ) 7 ( 7 0 10 7 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: x2 −7x+10=(x−5)(x−2) Raíces={5,2}

b) x2 −7x−18

1) Hallamos las raíces del polinomio

      − = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = ± = + ± = ⋅ − ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = − − 2 2 11 7 9 2 11 7 2 11 7 2 121 7 2 72 49 7 1 2 ) 18 ( 1 4 ) 7 ( 7 0 18 7 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: x2 −7x−18=(x−9)(x+2) Raíces={9,−2}

c) 3x2 −6x−9

1) Hallamos las raíces del polinomio

      − = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = ± = + ± = ⋅ − ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = − − 1 6 12 6 3 6 12 6 6 12 6 6 144 6 6 108 36 6 3 2 ) 9 ( 3 4 ) 6 ( 6 0 9 6 3 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: 3x2 −6x−9=3(x−3)(x+1) Raíces={3,−1}

d) 3x2 −5x+2

1) Hallamos las raíces del polinomi

      = ⇒ = − = = ⇒ + = = ± = ± = − ± = ⋅ ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = + − 3 2 6 4 6 1 5 1 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 24 25 5 3 2 2 3 4 ) 5 ( 5 0 2 5 3 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: 

     − − = + − 3 2 ) 1 ( 3 2 5

3x2 x x x

      = 3 2 , 1 Raíces

e) 2x2 +x+3

1) Hallamos las raíces del polinomio

real solución tiene no 4 23 5 4 24 1 1 2 2 3 2 4 ) 1 ( 1 0 3 2 2

2 = − ± − = ± − =

⋅ ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = +

+x x

x

f) x2 +x−20

1) Hallamos las raíces del polinomio

      − = ⇒ − − = = ⇒ + − = = ± − = ± − = + ± − = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = − + 5 2 9 1 4 2 9 1 2 9 1 2 81 1 2 80 1 1 1 2 ) 20 ( 1 4 ) 1 ( 1 0 20 2 2 x x x x x x x 2) Factorización: 2 + −20=( −4)( +5)

x x x

x Raíces={4,−5}

g) 6x2 +x−1

1) Hallamos las raíces del polinomio

       − = ⇒ − − = = ⇒ + − = = ± − = ± − = + ± − = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = − + 2 1 12 5 1 3 1 12 5 1 12 5 1 12 25 1 12 24 1 1 6 2 ) 1 ( 6 4 ) 1 ( 1 0 1 6 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: 

     +       − = − + 2 1 3 1 6 1

6x2 x x x

      − = 2 1 , 3 1 Raíces

h) 2x2 −7x−15

1) Hallamos las raíces del polinomio

      − = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = ± = + ± = ⋅ − ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = − − 2 3 4 13 7 5 4 13 7 4 13 7 4 169 7 4 120 49 7 2 2 ) 15 ( 2 4 ) 7 ( 7 0 15 7 2 2 2 x x x x x x x

2) Factorización: 

     + + = − − 2 3 ) 5 ( 2 15 7

2x2 x x x

      − = 2 3 , 5 Raíces

i) −2x4 +6x3 +8x2

1) Extraemos factor común −2x2

) 4 3 ( 2 8 6

2 4 + 3 + 2 =− 2 2 − −

− x x x x x x

2) Hallamos las raíces de (x2 −3x−4)

      − = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = ± = + ± = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± = ⇒ = − − 1 2 5 3 4 2 5 3 2 5 3 2 25 3 2 16 9 3 1 2 ) 4 ( 1 4 ) 3 ( 3 0 4 3 2 2 x x x x x x x

j) 3x3 −11x2 −4x

1) Extraemos factor común “x_”

) 4 11 3 ( 4 11

3x3 − x2 − x=x x2 − x− 2) Hallamos las raíces de (3x2 −11x−4)

      − = ⇒ − = = ⇒ + = = ± = = ± = + ± = ⋅ − ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = − − 3 1 6 13 11 4 6 13 11 6 13 11 6 169 11 6 48 121 11 3 2 ) 4 ( 3 4 ) 11 ( 11 0 4 11 3 2 2 x x x x x x x

3) Factorización: 

     + − =       + − ⋅ ⋅ = − − = − − 3 1 ) 4 ( 4 3 1 ) 4 ( 4 ) 4 11 3 ( 4 11

3x3 x2 x x x2 x x x x x x x

      − = 3 1 , 0,4 Raíces

k) 5 4 3

45 39

6x − x − x

−

1) Extraemos factor común “x3_”

) 45 39 6 ( 45 39

6 5 − 4 − 3 = 3 − 2 − −

− x x x x x x

2) Hallamos las raíces de (−6x2 −39x−45)

      − = ⇒ − − = − = ⇒ − + = = − ± = = − ± = − − ± = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ± = ⇒ = − − − 2 3 12 21 39 5 12 21 39 12 21 39 12 441 39 12 1080 1521 39 ) 6 ( 2 ) 45 ( ) 6 ( 4 ) 39 ( 39 0 45 39 6 2 2 x x x x x x x 3) Factorización:       + + − =       + + ⋅ − ⋅ = − − − = − − − 2 3 ) 5 ( 6 2 3 ) 5 ( ) 6 ( ) 45 39 6 ( 45 39

6x5 x4 x3 x3 x2 x x3 x x x3 x x

      − − = 2 3 , 5 (triple), 0 Raíces

l) x x x

7 6 7 1 7

1 _{3 2} − +

1) Extraemos factor común “ x

7 1 ” ) 6 ( 7 1 7 6 7 1 7

1 _{3 2 2}

− + =

−

+ x x x x x

2) Hallamos las raíces de (x2 +x−6)

     

− =

⇒

− − =

=

⇒

+ − = = ± − =

= ±

− = + ± − = ⋅

− ⋅ ⋅ − ±

− =

⇒

= − +

3 2

5 1

2 2

5 1

2 5 1

2 25 1 2

24 1 1 1

2

) 6 ( 1 4 ) 1 ( 1 0

6

2 2

x x

x x

x x

x

3) Factorización: ( 2)( 3)

7 1 ) 6 (

7 1 7 6 7 1 7

1 _{3 2 2}

+ − =

− + =

−

+ x x x x x x x x

2

−

1

−

3. Factoriza los siguientes polinomios: a) x3−3x2 −6x+8

Posibles raíces = {divisores de 8} = {±1,±2,±4,±8}

1 −3 −6 +8 8 10 2

− + −

1 −5 +4 0 ⇒−2esraíz⇒ (x+2)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 4 5 ( ) 2 ( ) (

P x = x+ ⋅ x − x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −5x+4) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 1 )( 4 ( 4 5

1 2 2

4 2 8 2

3 5 2

16 25 5 0

4

5 2

2 _⇒ − + = − −

     

= =

= = = ± = − ± =

⇒

= +

− x x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 1 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 5 ( ) 2 ( 8 6

3 2 2

3 − − + = + ⋅ − + = + ⋅ − ⋅ −

x x

x x

x x

x x x

SOLUCIÓN

) 1 )( 4 )( 2 ( )

(x = x+ x− x− P

} 1 , 4 , 2 {− =

Raíces

b) x3−6x2 +5x+12

Posibles raíces = {divisores de 12} = {±1,±2,±3,±4,±6,±12}

1 −6 +5 +12 12 7 1

− + −

1 −7 +12 0 ⇒−1esraíz⇒(x+1)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 12 7 ( ) 1 ( ) (

y P x = x+ ⋅ x − x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −7x+12) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 3 )( 4 ( 12 7

3 2 6

4 2 8 2

1 7 2

48 49 7 0

12

7 2

2 _{⇒ − + = − −}

     

= =

= = = ± = − ± =

⇒

= +

− x x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 3 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 12 7 ( ) 1 ( 12 5

6 2 2

3 − + + = + ⋅ − + = + ⋅ − ⋅ −

x x

x x

x x

2

2

SOLUCIÓN

) 3 )( 4 )( 1 ( )

(x = x+ x− x− P

} 3 , 4 , 2 {− =

Raíces

c) x3+4x2 −3x−18

Posibles raíces = {divisores de – 18 } = {±1,±2,±3,±6,±9,±18}

1 +4 −3 −18 18 12 2

+ + −

1 +6 +9 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 9 6 ( ) 2 ( ) (

y P x = x− ⋅ x + x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 +6x+9) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

2 2

2

) 3 ( 9 6

3 2 6

3 2 6 2

0 6 2

36 36 6 0

9

6 ⇒ − + = −

     

= =

= = = ± = − ± =

⇒

= +

− x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

2 2

2 3

) 3 ( ) 2 ( ) 9 6 ( ) 2 ( 18 3

4 − − = + ⋅ − + = + ⋅ −

+ x x x x x x x

x

SOLUCIÓN

2 ) 3 )( 2 ( )

(x = x+ x− P

} (doble) 3

, 2 {− =

Raíces

d) 2x3 +3x2 −11x−6

Posibles raíces = {divisores de 6} = {±1,±2,±3,±6}

2 +3 −11 −6 6 14 4

+ + +

2 +7 +3 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 3 7 2 ( ) 2 ( ) (

y P x = x− ⋅ x + x+

2

     

+ + = + +

⇒

     

− = − =

− = − = = ± − = − ± − =

⇒

= + +

2 1 ) 3 ( 2 3 7 2 3 4 12

2 1 4

2 4

5 7 4

24 49 7 0

3 7

2 2 x2 x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

     

+ + ⋅ − = + + ⋅

− = − − +

2 1 ) 3 ( 2 ) 2 ( ) 3 7 2 ( ) 2 ( 6 11 3

2x3 x2 x x x2 x x x x

SOLUCIÓN

     

+ + − =

2 1 ) 3 )( 2 ( 2 )

(x x x x

P

   

 

− − =

2 1 , 3 , 2 Raíces

e) x3+3x2 −4x−12

Posibles raíces = {divisores de – 12}={±1,±2,±3,±4,±6,±12}

1 +3 −4 −12 12 10 2

+ + +

1 +5 +6 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 6 5 ( ) 2 ( ) (

y P x = x− ⋅ x + x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 +5x+6) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 3 )( 2 ( 6 5

3 2

6 2 2

4 2

1 5 2

24 25 5 0

6

5 2

2 _⇒ + + = + +

     

− = − =

− = − = = ± − = − ± − =

⇒

= +

+ x x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 3 )( 2 )( 2 ( ) 6 5 ( ) 2 ( 12 4

3 2 2

3 + − − = − ⋅ + + = − + +

x x x x

x x

x x x

SOLUCIÓN

) 3 )( 2 )( 2 ( )

(x = x− x+ x+ P

} 3 , 2 , 2 { − − =

Raíces

f) 3x3 +9x2 −6x−18

3 −

3 −

1 +3 −2 −6 6 0 3

− +

1 0 −2 0 ⇒−3esraíz⇒(x+3)esfactor

grado 2º de polinomio

2 ) 2 ( ) 3 ( ) (

y P x = x+ ⋅ x −

Finalmente, para factorizar (x2 −2) utilizamos las identidades notables (en concreto 2

2 ) )(

(A−B A+B = A −B ):

) 2 )( 2 ( ) 2

(x2 − = x− x+

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 2 )( 2 )( 3 ( 3 ) 2 )( 3 ( 3 ) 6 2 3 ( 3 18 6 6

3x3 + x2 − x− = x3 + x2 − x− = x+ x2 − = x+ x− x+

SOLUCIÓN

) 2 )( 2 )( 3 ( 3 )

(x = x+ x− x+

P

} 2 , 2 , 3

{− −

= Raíces

g) 2x3 −3x2 −23x+12

Posibles raíces = {divisores de 12} = {±1,±2,±3,±4,±6,±12} 2 −3 −23 +12

12 27 6

− + −

2 −9 +4 0 ⇒−3esraíz⇒(x+3)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 4 9 2 ( ) 3 ( ) (

y P x = x+ ⋅ x − x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (2x2 −9x+4) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

     

− − = + −

⇒

     

= =

= = = ± = − ± =

⇒

= + −

2 1 ) 4 ( 2 4 9 2 2 1 4 2

4 4 16 4

7 9 4

32 81 9 0

4 9

2 2 x2 x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

     

− − + =

     

− − ⋅ + = + − ⋅ + = + − −

2 1 ) 4 )( 3 ( 2 2 1 ) 4 ( 2 ) 3 ( ) 4 9 2 ( ) 3 ( 12 23 3

2x3 x2 x x x2 x x x x x x x

SOLUCIÓN

     

− − + =

2 1 ) 4 )( 3 ( 2 )

(x x x x

P

   

 

− =

5 −

1

−

h) 6x3+23x2 −38x−15

Posibles raíces = {divisores de – 15} = {±1,±3,±5,±15}

6 +23 −38 −15 15 35 30

− + +

6 −7 −3 0 ⇒−5esraíz⇒(x+5)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 3 7 6 ( ) 3 ( ) (

y P x = x+ ⋅ x − x−

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (6x2 −7x−3) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

     

+

     

− = − −

⇒

     

− = − =

= = = ± = ±

= + ± =

⇒

= − −

3 1 2

3 6 3 7 6 3 1 12

4 2 3 12 18 12

11 7 12

121 7

12 72 49 7 0

3 7

6 2 x2 x x x

x x x

x x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

     

+

     

− + =

     

+

     

− ⋅ + = − − ⋅ + = − − +

3 1 2

3 ) 5 ( 5 3 1 2

3 5 ) 5 ( ) 3 7 6 ( ) 5 ( 15 38 23

6x3 x2 x x x2 x x x x x x x

SOLUCIÓN

     

+

     

− + =

3 1 2

3 ) 5 ( 6 )

(x x x x

P

   

 

− − =

3 1 , 2 3 , 5 Raíces

i) x4 +x3 +5x2 −x−6

Posibles raíces = {divisores de – 6} = {±1,±2,±3,±6}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores) 1 +1 +5 −1 −6

+1 +2 +7 +6

1 +2 +7 +6 0 ⇒1esraíz⇒(x−1)esfactor y P(x)=(x−1)⋅(x3 +2x2 +7x−6)

6

1

1

−

−

−

1 +1 +6 0 ⇒−1esraíz⇒(x+1)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 6 (

) 1 ( ) 1 ( ) (

y P x = x− ⋅ x+ ⋅ x +x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (_x2 +_x+6) _{(en caso de que las tenga, porque podría ser} irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 6 (

real solución tiene

no 2

23 1

2 24 1 1 0

6 2

2 + + = _⇒ = − ± − = − ± − _{⇒ ⇒} + +

x x x

x

x es irreducible

2

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 6 )(

1 )( 1 ( ) 6 7 2 ( ) 1 ( 6

5 2 3 2 2

3

4 + + − − = − ⋅ + + − = − + + +

x x x x x

x x x

x x x x

SOLUCIÓN

) 6 )(

1 )( 1 ( )

(_x = _x− _x+ _x2 +_x+ P

} 1 , 1 { − = Raíces

j) x4 −x3−11x2 +9x+18

Posibles raíces = {divisores de 18} = {±1,±2,±3,±6,±9,±18}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores) 1 −1 −11 +9 +18

−1 +2 +9 −18

1 −2 −9 +18 0 ⇒−1esraíz⇒(x+1)esfactor y P(x)=(x+1)⋅(x3 −2x2 −9x+18)

18

0

2

+

−

1 0 −9 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor

grado 2º de polinomio

2 ) 9 ( ) 2 ( ) 1 ( ) (

y P x = x+ ⋅ x− ⋅ x −

Finalmente, para factorizar (x2 −9) utilizamos las identidades notables (en concreto 2

2 ) )(

(A−B A+B = A −B ):

) 3 )( 3 ( ) 9

(x2 − = x− x+

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 3 )( 3 )( 2 )( 1 ( ) 9 )( 2 )( 1 ( ) 18 9 2 ( ) 1 ( 18 9

11 2 3 2 2

3

4 − − + + = + ⋅ − − + = + − − = + − − +

x x x x x

x x x

x x x

x x x x

SOLUCIÓN

) 3 )( 3 )( 2 )( 1 ( )

(x = x+ x− x− x+ P

} 3 , 3 , 2 , 1

{− −

= Raíces

k) x4 +x3 −5x2 +x−6

Posibles raíces = {divisores de – 6} = {±1,±2,±3,±6}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)

1

3

−

4

−

1 +1 −5 +1 −6 +2 +6 +2 +6

1 +3 +1 +3 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor y P(x)=(x−2)⋅(x3 +3x2 +x+3)

3

0

3

−

−

1 0 +1 0 ⇒−3esraíz⇒(x+3)esfactor

grado 2º de polinomio

2 ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) (

y P x = x− ⋅ x+ x +

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (_x2 +1) _{(en caso de que las tenga, porque podría ser} irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 1 ( real solución tiene

no 1 1

0

1 2 2

2 + = _⇒ =− _⇒ = − _{⇒ ⇒} +

x x

x

x es irreducible

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) 1 )( 3 )( 2 ( 6

5 2 2

3

4 + − + − = − + +

x x x x

x x

x

SOLUCIÓN

l) x4 +x3 −9x2 +11x−4

Posibles raíces = {divisores de – 4} = {±1,±2,±4}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores) 1 +1 −9 +11 −4

+1 +2 −7 +4

1 +2 −7 +4 0 ⇒1esraíz⇒(x−1)esfactor y P(x)=(x−1)⋅(x3 +2x2 −7x+4)

4

8

4

−

+

−

1 −2 +1 0 ⇒ −4esraíz⇒(x+4)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 1 2 ( ) 4 )( 1 ( ) (

y P x = x− x+ x − x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −2x+1) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 1 ( 1 2 1

1 2

0 2 2

0 2 2

4 4 2 0

1

2 2 2

2 _⇒ − + = −

    

= ± = ± = − ± =

⇒

= +

− x x x x x

x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 4 ( ) 1 (

) 1 )( 4 )( 1 ( ) 1 2 )( 4 )( 1 ( ) 4 7 2 )( 1 ( 4 11 9

3

2 2

2 3 2

3 4

+ −

=

= − + − = + − +

− = + − + −

= − + − +

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

)

1 )( 3 )( 2 ( )

(x = x− x+ x2 + P

} 3 , 2 { − = Raíces

2

5

SOLUCIÓN

) 4 ( ) 1 ( )

(x = x− 3 x+ P

} 4 , (triple) 1

{ −

= Raíces

m) 2x4 −12x3 +6x2 +20x

1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos:P(x)=2x4 −12x3 +6x2 +20x=2x⋅(x3 −6x2 +3x+10)

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q(x)=(x3 −6x2 +3x+10). Posibles raíces = {divisores de – 10}={±1,±2,±5,±10}

1 −6 +3 +10 10 5 5

+ − −

1 −1 −2 0 ⇒5esraíz⇒(x−5)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 2 (

) 5 ( ) (

y Q x = x− ⋅ x −x−

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −x−2) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 1 )( 2 ( 2 1

2 2

2 2 4 2

3 1 2

9 1 2

8 1 1 0

2 2

2 _{⇒ − − = − −}

     

− = − =

= = = ± = ± = + ± =

⇒

= −

− x x x x

x x x

x x

Luego, Q(x)=(x3−6x2 +3x+10)=(x−5)(x−2)(x−1)

3º) Por tanto,

) 1 )( 2 )( 5 ( 2 ) 10 3 6 ( 2 20 6

12

2x4 − x3 + x2 + x= x x3 − x2 + x+ = x x− x− x−

SOLUCIÓN

) 1 )( 2 )( 5 ( 2 )

(x = x x− x− x− P

} 1 , 2 , 5 , 0 { =

Raíces

n) −2x5 −2x4 +2x3 +2x2

1º) Extraemos “−2x2” factor común y tenemos:P(x)=−2x5 −2x4 +2x3 +2x2 =−2x2⋅(x3 +x2 −x−1)

1

1

−

1 +1 −1 −1 1 2 1

+ + +

1 +2 +1 0 ⇒1esraíz⇒(x−1)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 1 2 ( ) 1 ( ) (

y Q x = x− ⋅ x + x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 +2x+1) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

2 2

2

) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 2 1

2 2

1 2

2 2

0 2 2

0 2 2

4 4 2 0

1

2 ⇒ + + = − − = −

     

− = − =

− = − = = ± − = ± − = − ± − =

⇒

= +

+ x x x x x

x x x

x x

Otra forma de factorizar (x2 +2x+1) es darnos cuenta que es una identidad notable x2 +2x+1=(x−1)2

Luego, Q(x)=(x3 +x2 −x−1)=(x−1)(x−1)2 =(x−1)3

3º) Por tanto,

3 2

2 3 2 2

3 4 5

) 1 ( 2 ) 1 (

2 2

2 2

2 − + + =− + − − =− −

− x x x x x x x x x x

SOLUCIÓN 3 2

) 1 ( 2 )

(x =− x x− P

} (triple) 1

(doble), 0

{ =

Raíces

o) x x x x

5 6 5

11 5

6 5

1 4₋ 3₋ 2 ₋ −

1º) Extraemos “ x

5 1

− ” factor común y tenemos:

) 6 11 6

( 5 1 5

6 5

11 5

6 5 1 )

(x =− x4 − x3− x2 − x=− x⋅ x3 + x2 + x+ P

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q(x)=(x3 +6x2 +11x+6). Posibles raíces = {divisores de – 6} = {±1,±2,±3,±6}

1 +6 +11 +6 6 5 1

− − +

1 +5 +6 0 ⇒−1esraíz⇒(x+1)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 6 5 ( ) 1 ( ) (

5

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 +5x+6) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 3 )( 2 ( 6 5 3

2 6

2 2

4 2

1 5 2

1 5 2

24 25 5 0

6

5 2

2 _⇒ + + = + +

     

− = − =

− = − = = ± − = ± − = − ± − =

⇒

= +

+ x x x x

x x x

x x

Luego, _Q(_x)=(_x3 +6_x2 +11_x+6)=(_x+1)(_x+2)(_x+3) 3º) Por tanto,

) 3 )( 2 )( 1 ( 5 1 ) 6 11 6

( 5 1 5

6 5

11 5

6 5

1 4 − 3− 2 − =− 3+ 2 + + =− + + +

− x x x x x x x x x x x x

SOLUCIÓN

) 3 )( 2 )( 1 ( 5 1 )

(x =− x x+ x+ x+ P

} 3 , 2 , 1 , 0 { − =

Raíces

p) x5 −10x4 +31x3−30x2

1º) Extraemos “x2” factor común y tenemos:P(x)= x5 −10x4 +31x3 −30x2 =x2⋅(x3 −10x2 +31x−30)

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q(x)=(x3 −10x2 +31x−30). Posibles raíces = {divisores de – 30}={±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30} 1 −10 +31 −30

30 25 5

+ − +

1 −5 +6 0 ⇒5esraíz⇒(x−5)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 6 5 ( ) 5 ( ) (

y Q x = x− ⋅ x − x+

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −5x+6) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 3 )( 2 ( 6 5 2

2 4

3 2 6 2

1 5 2

1 5 2

24 25 5 0

6

5 2

2 _⇒ − + = − −

     

= =

= = = ± = ± = − ± =

⇒

= +

− x x x x

x x x

x

x

Luego, Q(x)=(x3 −10x2 +31x−30)=(x−5)(x−2)(x−3)

3º) Por tanto,

) 3 )( 2 )( 5 ( ) 30 31 10

( 30

31

10 4 3 2 2 3 2 2

5 − + − = − + − = − − −

x x x x x

x x

x x x

4

−

SOLUCIÓN

) 3 )( 2 )( 5 ( )

(x = x2 x− x− x− P

} 3 , 2 , 5 , (doble) 0

{ =

Raíces

q) x6+2x5 −13x4 −14x3 +24x2

1º) Extraemos “x2” factor común y tenemos:

) 24 14 13

2 ( 24

14 13

2 )

(x =x6 + x5 − x4 − x3 + x2 =x2⋅ x4 + x3 − x2 − x+ P

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio _Q(_x)=(_x4 +2_x3 −13_x2 −14_x+24)_. Posibles raíces = {divisores de 24}={±1,±2,±3,±4,±6,±12,±24}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)

1 +2 −13 −14 +24 +1 +3 −10 −24

1 +3 −10 −24 0 ⇒1esraíz⇒(x−1)esfactor y Q(x)=(x−1)⋅(x3 +3x2 −10x−24) 24

4 4

− + +

1 −1 −6 0 ⇒−4esraíz⇒(x+4)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 6 (

) 4 )( 1 ( ) (

y Q x = x− x+ x −x− Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −x−6) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 2 )( 3 ( 6 2

3 2

5 1 2

25 1 2

24 1 1 0

6 2

2 _⇒ − − = − +

    

− = ± = ±

= + ± =

⇒

= −

−x x x x x x

x

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

) 3 )( 2 )( 4 )( 1 ( ) 6 )(

4 )( 1 (

) 24 10 3

)( 1 ( ) 24 14 13

2 ( 24

14 13

2

2 2

2

2 3 2

2 3

4 2 2 3

4 5

6

− + + − =

− − +

− =

= − − + −

= + − −

+ =

+ −

− +

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x x x

x x

x

SOLUCIÓN

) 3 )( 2 )( 4 )( 1 ( )

(x = x2 x− x+ x+ x− P

} 3 , 2 , 4 , 1 , (doble) 0

{ − − −

= Raíces

r) 4x6 +28x5 +63x4 +41x3 −16x2 −12x

s) x6+2x5−17x4−50x3−65x2−47x−15 t) 5x7 +30x6 +25x5 −120x4 −180x3

2

u) −2x5 +10x4 −12x3 −8x2 +16x

1º) Extraemos “−2x” factor común y tenemos:

) 8 4 6 5 ( 2 16 8

12 10

2 )

(x =− x5 + x4 − x3 − x2 + x=− x⋅ x4 − x3 + x2 + x− P

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q(x)=(x4 −5x3 +6x2 +4x−8). Posibles raíces = {divisores de – 8}={±1,±2,±4,±8}

(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)

1 −5 +6 +4 −8 +2 −6 0 +8

1 −3 0 +4 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor y Q(x)=(x−2)⋅(x3 −3x2 +4) 4

2 2

+ − −

1 −1 −2 0 ⇒2esraíz⇒(x−2)esfactor

grado 2º de polinomio

2

) 2 (

) 2 )( 2 ( ) (

y Q x = x− x− x −x− Finalmente, para buscar las raíces y factorizar (x2 −x−2) (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

) 1 )( 2 ( 2 1

2 2

3 1 2

9 1 2

8 1 1 0

2 2

2 _{⇒ − − = − +}

    

− = ± = ± = + ± =

⇒

= −

−x x x x x x

x

3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

x x

x x

x 10 12 8 16

2 5 + 4 − 3 − 2 + −

) 1 ( ) 2 ( 2 ) 1 )( 2 )( 2 )( 2 ( 2 ) 2 )(

2 )( 2 ( 2

) 4 3 )( 2 ( 2 ) 8 4 6 5 ( 2 16 8

12 10

2

3 2

2 3 2

3 4 2

3 4

5

+ −

− = + − − − − = − − −

− − =

= + − −

− = − + + − −

= + − −

+ −

x x

x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x

x

SOLUCIÓN

) 1 ( ) 2 ( 2 )

(x =− x x− 3 x+ P

} 1 , (triple) 2

, 0

{ −

= Raíces

v) (x2 −4)⋅(x2 +4x+4)

Los dos polinomios son identidades notables.

x2 −4=(x−2)(x+2)

x2 +4x+4=(x−2)2 Por tanto,

3 2

2 2

) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 )( 2 ( ) 4 4 ( ) 4

(x − ⋅ x + x+ = x− x+ x+ = x− x+

w) (x2 +10x+25)⋅(x2 +6x−7)

x2 +10x+25=(x+5)2

⇒     − = = = ± − = ± − = + ± − = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = − + 7 1 2 8 6 2 64 6 2 28 36 6 1 2 ) 7 ( 1 4 ) 6 ( 6 0 7 6 2 2 x x x x x ) 7 )( 1 ( 7 6

2 _{+ − = − +}

⇒_{x x x x}

Por tanto, ) 7 )( 1 ( ) 5 ( ) 7 6 ( ) 25 10

(x2 + x+ ⋅ x2 + x− = x+ 2 x− x+

x) (x2 +3x+2)⋅(x2 −3x+4)

⇒     − = − = = ± − = ± − = − ± − = ⋅ ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = + + 2 1 2 1 3 2 1 3 2 8 9 3 1 2 ) 2 ( 1 4 ) 3 ( 3 0 2 3 2 2 x x x x x ) 2 )( 1 ( 2 3

2 _{+ + = + +}

⇒_{x x x x}

= − ± − = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − − ± = ⇒ = +

− no tiene solución real

2 16 9 3 1 2 ) 4 ( 1 4 ) 3 ( 3 0 4 3 2 2 x x x ) 4 3

( 2 − +

⇒ _{x x} es irreducible

Por tanto, ) 4 3 )( 2 )( 1 ( ) 4 3 ( ) 2 3

(x2 + x+ ⋅ x2 − x+ = x+ x+ x2 − x+

y) (x2 +36)⋅(x2 +x+1)

Los dos polinomios son irreducibles

z) (2x−4)⋅(x2 +25)⋅(2x2 +5x−3)

(2x−4)=2(x−2)

(x2+5) es irreducible

⇒      − = = = ± − = ± − = + ± − = ⋅ − ⋅ ⋅ − ± − = ⇒ = − + 3 2 1 4 7 5 4 49 5 4 24 25 5 2 2 ) 3 ( 2 4 ) 5 ( 5 0 3 5 2 2 2 x x x x x ) 3 ( 2 1 2 3 5

2 2  +

     − = − +

⇒ _{x x x x}

Por tanto, ) 25 )( 3 ( 2 1 ) 2 ( 4 ) 3 ( 2 1 2 ) 25 ( ) 2 ( 2 ) 3 5 2 ( ) 25 ( ) 4 2

( 2 2 2  + 2 +

     − − = + ⋅       − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = − + ⋅ + ⋅

− x x x x x x x x x x x

4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades notables:

a) x2 −16x+64=(x−8)2

b) 3 2 2 2

) 4 ( 5 ) 16 8 ( 5 80 40

5x + x + x= x x + x+ = x x+

c) 

    

+

     

− =

   

 

+

   

 

− = −

5 2 5

2 10

4 10

4 100

16 2

x x

x x

x

d) 9x2 −16=(3x−4)(3x+4)

e) 5x4 −80x2 =5x2(x2 −16)=5x2(x−4)(x+4)

f) 3 2 2 2

) 6 ( 2 ) 36 12 (

2 72 24

2 − − =− + + =− +

− x x x x x x x x

g) 2x5 −12x4 +18x3 =2x3(x2 −6x+9)=2x3(x−3)2

h) 5 4 3 3 2 3( 3)2

7 1 ) 9 6 ( 7 1 7

9 7

6 7 1

− =

+ − =

+

− x x x x x x x

x

i) x4 −4=(x2 −2)(x2 +2)=(x− 2)(x+ 2)(x2 +2)

j) 9x6 −225x2 =9x2(x4 −25)=9x2(x2 −5)(x2 +5)=9x2(x− 5)(x+ 5)(x2 +5) k) −15x4 +60x3 −60x2 =−15x2(x2 −4x+4)=−15x2(x−2)2

l) 2 2 ( 1)2

4 5 ) 1 2 ( 4 5 4 5 2 5 4 5

− = + − =

+

− x x x x

x

m) _3x2 −_6x+₃=_3(x2 −_2x+₁₎=_3(x−₁₎2

n) 3 2 2 2

) 4 ( 3 ) 16 8 ( 3 48 24

3 − − =− + + =− +

− x x x x x x x x

o) −5x5 +405x=−5x(x4 −81)=−5x(x2 −9)(x2 +9)=−5x(x−3)(x+3)(x2 +9) p) x4 −16=(x2 −4)(x2 +4)=(x−2)(x+2)(x2 +4)

q) ( 2)( 2)

5 3 ) 4 ( 5 3 5 12 5

3 4 _{− =} 2 _{− = − +}

x x x

x

r) −5x4 +320x=−5x(x4 −64)=−5x(x2 −8)(x2 +8)=−5x(x− 8)(x+ 8)(x2 +8) s) x4 −1=(x2 −1)(x2 +1)=(x−1)(x+1)(x2 +1)

t) x8 −256=(x4 −16)(x4 +16)=(x2 −4)(x2 +4)(x4 +16)=(x−2)(x+2)(x2 +4)(x4 +16) u) 2x4 −50x2 =2x2(x2 −25)=2x2(x−5)(x+5)

bb) x6 −1=(x3−1)(x3 +1)=(x−1)(x2 +x+1)(x−1)(x2 −x+1) cc) x6 −64=(x3 −8)(x3 +8)=(x−2)(x2 +2x+4)(x−2)(x2 −2x+4) dd) 2x4 +250x=2x(x3+125)=2x(x+5)(x2 −5x+25)

5. Factoriza completamente los siguientes polinomios:

a) (x2 −16)⋅(x2 −10x+25)⋅(x2 +1)=(x−2)(x+2)(x−5)2(x2 +1)

Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

b) (x2 −5x+4)⋅(−2x3+2x)=

⇒

     

= − =

= + = = ± = ± = − ± = ⋅

⋅ ⋅ − ±

=

⇒

= + −

1 2

3 5

4 2

3 5

2 3 5 2

9 5 2

16 25 5 1

2

) 4 ( 1 4 ) 5 ( 5 0

4 5

2 2

x x x

x x

) 1 )( 4 ( 4 5

2 − + = − −

⇒_{x x x x}

−2x3 +2x=−2x(x2 −1)=−2x(x−1)(x+1) Por tanto,

) 1 )( 4 ( ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 )( 2 )( 1 )( 4 ( ) 2 2 ( ) 4 5

(x2 − x+ ⋅ − x3 + x = x− x− − x x− x+ =− x x− 2 x− x+

c) (x2 −1)⋅(x2 −8x+16)⋅(x4 −25)=(x−1)(x+1)(x−4)2(x2 −5)(x2 +5)= )

5 )( 5 )( 5 ( ) 4 )( 1 )( 1

( − + − 2 − + 2 +

= x x x x x x

Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.

d) (x2 −4)⋅(x2 +4)⋅(x2 +7x−8)=

x2 −4=(x−2)(x+2)

x2 +4

Es irreducible

⇒

  

− = = = ± − = ± − = + ± − = ⋅

− ⋅ ⋅ − ±

− =

⇒

= − +

8 1 2

9 7 2

81 7 2

32 49 7 1

2

) 8 ( 1 4 ) 7 ( 7 0

8 7

2 2

x x x

x x

) 8 )( 1 ( 8 7

2 + − = − +

⇒x x x x

Por tanto,

) 8 )( 1 )( 4 )( 2 )( 2 ( ) 8 7 ( ) 4 ( ) 4

(x2 − ⋅ x2 + ⋅ x2 + x− = x− x+ x2 + x− x+

e) (x2 +1)⋅(x2 −6x+5)⋅(x2 −6x+9)=

(x2 +1)

es irreducible

⇒

  

= = = ± = ± = − ± = ⋅

⋅ ⋅ − − ± =

⇒

= + −

1 5 2

4 6 2

16 6 2

20 36 6 1

2

5 1 4 ) 6 ( 6 0

5 6

2 2

x x x

x x

) 5 )( 1 ( 5 6

2 − + = − −

⇒_{x x x x}

2 2

) 3 ( 9

6 + = −

− x x

x

Por tanto,

2 2

2 2

2 _{1) ( 6 5) ( 6 9) ( 1)( 1)( 5)( 3)}

(x + ⋅ x − x+ ⋅ x − x+ = x + x− x− x−

f) (−3x5 +75x3)⋅(x4 −49)=

−3x5 +75x3 =−3x3(x2 −25)=−3x3(x−5)(x+5)

x4 −49=(x2 −7)(x2 +7)=(x− 7)(x+ 7)(x2 +7) Por tanto,

) 7 )( 7 )( 7 )( 5 )( 5 ( 3 ) 49 )(

75 3

(− x5 + x3 x4 − =− x3 x− x+ x− x+ x2 +

g) (−4x+8)⋅(x2 +x+1)⋅(25−x2)=

−4x+8=−4(x−2)

x2 +x+1

Es irreducible

real solución tiene

no 2

3 1 2

4 1 1 1

2

1 1 4 ) 1 ( 1 0

1

2

2 ₌ − ± − ₌ − ± − _⇒

⋅

⋅ ⋅ − ±

− =

⇒

= +

+x x

x

⇒25−x2 =(5−x)(5+x)=−(x−5)(x+5) Por tanto,

) 5 )( 5 )( 1 )(

2 ( 4 )] 5 )( 5 ( )[ 1 )(

2 ( 4 ) 25 ( ) 1 (

) 8 4

(− x+ ⋅ x2 +x+ ⋅ −x2 =− x− x2 +x+ − x− x+ = x− x2 +x+ x− x+

h) (16−x2)⋅(x4 −16)⋅(5−x2)=

16−x2 =(5−x)(4+x)=−(x−4)(x+4)

x4 −16=(x2 −4)(x2 +4)=(x−2)(x+2)(x2 +4)

5−x2 =( 5−x)( 5+x)=−(x− 5)(x+ 5)

Por tanto,

) 5 )( 5 )( 4 )( 2 )( 2 )( 4 )( 4 (

)] 5 )( 5 ( )[ 4 )( 2 )( 2 )( 4 )( 4 ( ) 5 ( ) 16 (

) 16 (

2

2 2

4 2

+ −

+ +

− + − =

= +

− − + +

− + − − = − ⋅ − ⋅ −

x x

x x x x x

x x

x x x x x x

x x

i) (x2 −14x+49)⋅(−3x2 +6x−3)=

2 2

) 7 ( 49

14 + = −

− x x

x

−_3x2 +_6x−₃=−_3(x2 −_2x+₁₎=−_3(x−₁₎2 Por tanto,

2 2

2 2

2 2

) 1 ( ) 7 ( 3 ) 1 )( 3 ( ) 7 ( ) 3 6 3 ( ) 49 14

j) (x2 −5)⋅(x2 +13x+12)⋅(6x+6)=

x2 −5=(x− 5)(x+ 5)

⇒

    

− − = ± − = − ±

− = ⋅

⋅ ⋅ − ±

− =

⇒

= + +

12 1

2 11 13 2

48 169 13

1 2

12 1 4 ) 13 ( 13 0

12 13

2 2

x x

x

) 12 )( 1 ( 12 13

2 _{+ + = + +}

⇒x x x x

6x+6=6(x+1)

Por tanto,

) 12 ( ) 1 )( 5 )( 5 ( 6 ) 1 ( 6 ) 12 )( 1 )( 5 )( 5 ( ) 6 6 ( ) 12 13 (

) 5

6. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de: a) P(x)=(x−1)2(x+2)

y Q(x)=(x−1)(x+2)(x−3) )

2 )( 1 ( . .

.cd = x− x+ m

) 3 )( 2 ( ) 1 ( . .

.cm = x− 2 x+ x− m

b) P(x)=(x−1)(x+2)

y Q(x)=(x−1)(x−2)2 )

1 ( . .

.cd = x− m

2 ) 2 )( 2 )( 1 ( . .

.cm = x− x+ x− m

c) _P(_x)=6(_x+3)2(_x2 +1)

y _Q(_x)=10(_x+3)2(_x−1) 2

) 3 ( 2 . .

.cd = x+ m

) 1 )( 1 ( ) 3 ( 30 . .

.cm = x+ 2 x2 + x− m

d) P(x)=−2(x+5)2(x+3) Q(x)=8(x+5)3(x+3)2

y R(x)=12(x+5)2(x+3)(x−2) )

3 ( ) 5 ( 2 . .

.cd = x+ 2 x+ m

) 2 ( ) 3 ( ) 5 ( 24 . .

.cm = x+ 3 x+ 2 x− m

e) P(x)=(x+2)(x−3) Q(x)=(x+2)(x+3)

y R(x)=(x−2)(x+3) 1

. . .cd = m

) 3 )( 3 )( 2 )( 2 ( . .

.cm = x+ x− x− x+ m

f) P(x)=x2 −1

y Q(x)=x2 +5x−6

Factorizamos los polinomios: ) 1 )( 1 ( 1 )

(_x =_x2 − = _x− _x+ P

) 6 )( 1 ( 6 5 )

(x =x2 + x− = x− x+ Q

) 6 )( 1 ( 6 5 6

1

2 7 5 2

24 25 5 0

6

5 2

2 _⇒ + − = − +

    

− = ± − = + ± − =

⇒

= −

+ x x x x x x

x

Por tanto, ) 1 ( . .

.cd = x− m

) 6 )( 1 )( 1 ( . .

1

1 −

g) P(x)= x2 +7x−8

y Q(x)=x3 −1

Factorizamos los polinomios: • P(x)= x2 +7x−8=(x−1)(x+8)

) 8 )( 1 ( 8 7 8

1

2 9 7 2

32 49 7 0

8

7 2

2 _⇒ + − = − +

    

− = ± − = + ± − =

⇒

= −

+ x x x x x x

x

• Q(x)=x3 −1=(x−1)(x2 +x+1) 1 0 0 −1

1 1 1

+ + +

1 +1 +1 0 ⇒1esraíz⇒(x−1)esfactor

43 42 1

grado 2º de polinomio 2

) 1 (

) 1 ( ) (

y Q x = x− ⋅ x +x+

e irreducibl es

x x x

x

x no tienesolución real 1

2 3 1 2

4 1 1 0

1 2

2 + + = _⇒ = − ± − = − ± − _{⇒ ⇒} + +

Por tanto, ) 1 ( . .

.cd = x− m

) 1 )(

8 )( 1 ( . .

.cm = x− x+ x2 +x+ m

h) P(x)= x4 −16

y Q(x)=x2 −4x+4

Factorizamos los polinomios:

) 4 )( 2 )( 2 ( ) 4 )( 4 ( 16 )

(x = x4 − = x2 − x2 + = x− x+ x2 + P

2 2

) 2 ( 4 4 )

(x = x − x+ = x− Q

Por tanto, ) 2 ( . .

.cd = x− m

) 4 )( 2 ( ) 2 ( . .

.cm = x− 2 x+ x2 + m

i) P(x)= x3 +1

y Q(x)=x3 +4x2 −4x+5

Factorizamos los polinomios: • P(x)= x3 +1=(x+1)(x2 −x+1) 1 0 0 +1

1 1 1

− + −

1 −1 +1 0 ⇒−1esraíz⇒(x+1)esfactor

43 42 1

grado 2º de polinomio 2

) 1 (

) 1 ( ) (

5 −

e irreducibl es

x x x

x

x no tienesolución real 1

2 3 1 2

4 1 1 0

1 2

2 − + = _⇒ = ± − = ± − _{⇒ ⇒} − +

• P(x)= x3 +4x2 −4x+5=(x+5)(x2 −x+1) 1 +4 −4 +5

5 5 5

− + −

1 −1 +1 0 ⇒−5esraíz⇒(x+5)esfactor

43 42 1

grado 2º de polinomio 2

) 1 (

) 5 ( ) (

y Q x = x+ ⋅ x −x+

e irreducibl es

x x x

x

x no tienesolución real 1

2 3 1 2

4 1 1 0

1 2

2 − + = _⇒ = ± − = ± − _{⇒ ⇒} − +

Por tanto, 1 .

.

.cd = x2 −x+ m

) 1 )(

1 )( 5 ( . .