fisica3ero.doc

INDICE



Potencia – Eficiencia ……….. 03



Energía Mecánica …..……….. 12



Cantidad de Movimiento ………. 25



Gravitación Universal ………. 40



M.A.S. ………. 53



Ondas ………. 66



Miscelánea …..………77

TEMA: POTENCIA - EFICIENCIA

Desde el punto de vista físico llamaremos potencia a la relación o razón que existe entre el trabajo o energía desarrollada o consumida por un móvil o cuerpo cualquiera al intervalo de tiempo correspondiente a la duración de dicho trabajo. Entonces el trabajo por unidad de tiempo realizado por un agente se denomina potencia desarrollada por dicho agente. Por definición matemática su expresión será:

) 1 ( ... Tiempo Trabajo t W P  

Potencia es la rapidez con la cual se hace trabajo. Pero: F d d W = ( F C o s ) d_F x Reemplazando en (1): t θ cos Fd P Luego: θ cos FV P θ cos ) t / d ( F P   Ahora:

 Si la fuerza es colineal con el movimiento ( = 0), y si v es constante

F d

 Con la ecuación (2) calcularemos ahora la potencia media, usando velocidad media (Vm)

m

m FV

P 

 Con la ecuación (2) podremos calcular también la potencia instantánea, usando velocidad instantánea. (Vi)

i i FV P   La vm no es constante  2 V V V_m  o  F

Por consiguiente la potencia:

) V V ( F 2 1 P  _O  _F Donde: VO = velocidad inicial

VF = Velocidad Lineal.

Unidades de la Potencia.- De acuerdo a la ecuación.

t w P  En sistema watt(w) segundo Joule : MKS  _{o vatio.} Observaciones:

i) Se usara P = FV si la fuerza aplicada esta en la misma dirección que el movimiento.

ii) La potencia neta o resultante (PR) será la suma de todas potencias provocadas por cada fuerza.

b) Si PR > 0  el cuerpo se mueve aceleradamente

c) Si PR < 0  el cuerpo se mueve retardadamente, es decir desaceleradamente

iv) La fuerza normal no desarrolla potencia. v) La potencia de la fricción cinética es negativa.

vi) La potencia instantánea es también llamada potencia puntual.

vii) Usando maquina simple (palanca, plano inclinado, poleas móviles, prensa hidráulica, etc.…) la potencia externa será igual a la potencia interna.

 Eficiencia:

Las maquinas antes descritas eran consideradas ideales; entonces todo el trabajo desarrollado sobre ellas se transformara en trabajo útil, las maquinas ideales tienen un 100% de eficiencia, la cual no ocurre en la practica, debido a que una parte se convierte en energía útil y la otra se disipa en forma de calor, por lo que definimos a la eficiencia como un valor fraccional o porcentual que mide la calidad de la maquina y relaciona el trabajo o potencia útil con el trabajo o potencia consumida (entregada)

 Wu =Trabajo útil.  Pu = Potencia útil

 We =Trabajo entregado o consumido  Pe =Potencia entregada o consumida.  e u e u P P W W n  En donde: “n” es la eficiencia. Siempre que: We > Wu  Pe > Pu  n > 0

 Toda maquina debido a las fricciones internas se calienta y disipa calor generalmente no aprovechable, esta constituye el trabajo perdido (Wp) o potencia perdida (PP)

Luego: Wp = We - Wu PP = Pe - Pu

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Calcular la potencia media (en w) que desarrolla el peso del bloque B al descender los primeros 60cm. El sistema parte del reposo y mA =

2mB = 4 Kg.

Rpta.:

2) Mediante una fuerza F se hace deslizar una plataforma de 37.5 Kg. sobre una superficie horizontal rugosa, con una rapidez constante de 4m/s. si la potencia desarrollada por F es 720 w. determine el coeficiente K de fricción. 3 7 ° k F Rpta.:

3) Se lanza un proyectil de 1 Kg. bajo un ángulo de 60° en el campo gravitacional terrestre. Halle aproximadamente, la magnitud de la potencia (en w) desarrollada por la gravedad terrestre desde el instante del disparo hasta el instante en que el proyectil adquiere su mínima energía cinética de 5 Kj. (g = 10 m/s2₎ 6 0 ° y X g Rpta.:

4) Se lanza verticalmente hacia arriba una esfera de 1 Kg. con una rapidez inicial de 1 m/s. La potencia (en w) desarrollada por la fuerza gravitacional desde que se lanza la esferita hasta que esta retorna a su posición de lanzamiento es.

Rpta.:

5) ¿Qué potencia tiene el motor de una bomba que eleva 18 000 litros de agua por hora de un pozo que tiene 30m de profundidad? (Considere g = 10 m/s2_{) ( 1 HP=}

746 watts). Dar la respuesta en Hp.

Rpta.:

6) Cuando un auto de simple tracción sube por una pendiente al2% con rapidez de 10 m/s la fricción por rodadura en las ruedas delanteras es de 100 Kg. si la masa del carro es de 3 toneladas. Halle la potencia que disipa el

motor del auto si su rendimiento es del 80%

Rpta.:

7) Cierto dispositivo elevador trabaja con un combustible que desarrolla 50K cal por cada litro de combustión interna; con 100 litros de combustible, ¿Cuántos sacos de 100 Kg. se podrá levantar, usando esta elevadora, hasta una altura de 5m, conociendo que el rendimiento del elevador es del 80%. Usar (g = 10m/ s2_{) (1Cal = 4.18 j)}

Rpta.:

8) Encontrar la potencia desarrollada por “n” gotas idénticas de agua que caen desde una altura “H” cada gota tiene una masa “m” 9) Una locomotora a carbón consume

150 Kg. por cada hora, si el equivalente calorífico del carbón es de 20K cal/ Kg., halle la fricción en las ruedas dentadas de la locomotora cuando marcha a razón constante de 70 Km./h. La eficiencia de conversión de energía calorífica a energía mecánica es de 40%

Rpta.:

10) Las potencias de 2 autos son de 3 y 4 Cv y sus máximas velocidades respectivas son de 40 y 60 Km. /h ¿Qué velocidad máxima tendrán si estos autos se enganchan? Rpta.:

11) Las potencias de dos motores son de 10 y 8 HP y tienen un rendimiento de 60 y 80% respectivamente, si estos se conectan en serie y accionan un elevador, ¿a que velocidad máxima podrán levantar una carga de 100 Kg.

Rpta.:

12) En una pista rugosa horizontal (uK

= 0.5) un tractor debe arrastrar una carga de 500 Kg. con una rapidez constante de 4m/s, usando un cabo alineado horizontalmente ¿Qué potencia debe desarrollar el motor del tractor si su eficiencia es de 80%?

Rpta.:

13) Si cada Kw – H costara 30 dólares

¿Cuántos dólares serán

necesarios para hacer funcionar un potente motor de 60% de eficiencia cuando es necesario utilizar.19.6 HP durante 10 segundos? (1 Kw – H = 3,6 x 106J₎ (1 HP = 745 w). Rpta.: 14) Un bloque de 4 Kg. se encuentra en reposo, se levanta verticalmente con una fuerza (F = 48 N) hasta una altura de 36 m ¿Qué potencia desarrolló la fuerza F?

F

Rpta.:

15) Una bomba hidráulica eleva el agua a una altura, de 30m a razón de 2m3_{/s. Si el agua en la parte}

alta sale con una rapidez de 10 m/s ¿Qué potencia absorbe la bomba hidráulica de 70% de eficiencia (g = 10m/s2₎

Rpta.:

16) Par calentar una cierta cantidad de agua, un caldero (n = 40%) requiere 10 kJ. ¿Qué cantidad de carbón gastara en este calentamiento si el poder calorífico del carbón que se usa en el caldero es de 20 Kcal por cada Kg? (1 cal = 4,185)

Rpta.:

17) El aparejo de poleas de una agua reduce la potencia recibida en un 10%, si el sistema mecánico de la grúa es impulsada por un motor cuya eficiencia es del 70% ¿Qué volumen de combustible se gastara para levantar una carga de 6300 N hasta una altura de 12,54m. El poder calorífico del combustible es de 40 K cal por cada litro.

Rpta.:

18) ¿Qué potencia desarrolla la fuerza de rozamiento para detener el

bloque de 4Kg. que se movía con una rapidez de 8m/s sobre la superficie horizontal rugosa uk=

0.2? (g = 10m/s2₎

o V

Rpta.:

19) Se dispone de 1 hora para bombear 3,6 m3 _{de agua hasta una}

plataforma ubicada a 20m de alto, halle la potencia nominal mínima de un motor (n = 80%), tal que al impulsar una bomba hidráulica que pierde el 40% de la potencia recibida debido a la fricción, pueda efectuar esta operación .

Rpta.:

20) Halle el régimen de combustible de un auto cuando se mueve con una rapidez de 8.36 m/s si la fricción en las ruedas delanteras es de 600 N. El motor del auto tiene un rendimiento del 80% y consume un combustible cuyo poder calorífico es de 30Kcal por cada litro.

V

Rpta.:

1) Un hombre levanta una carga de 12N hasta una altura de 10m empleando para ello 30s. ¿Encuentre la potencia que desarrolla el hombre?

a) 1w b) 2w

c) 3w d) 4w

e) 5w

2) Un ascensor con su carga pesa 1200 Kg., el ascensor parte del reposo en el primer piso, y al cabo de 5 segundos pasa al quinto, situado 18 metros por encima del primero, con una velocidad de 9m/seg. Calcular: a) El trabajo realizado para

mover el ascensor durante los 5 segundos de intervalo. b) La potencia media desarrollada. Desprecie el rozamiento en el movimiento del ascensor. a) 26560 Kgm. y 70.9 c.v b) 25560 Kgm. y 70.9 c.v c) 30000 Kgm. y 70 c.v d) 20000 Kgm. y 70.0 c.v e) 2650 Kgm. y 80 c.v 3) Para llenar un tanque hay que

levantar el agua hasta una altura de 10 metros. El tanque es cilíndrico y tiene 2 metros de altura y 1 metro de radio. La bomba utilizada para tal efecto tiene una potencia de 1 C.V. Calcular el tiempo que tardara en llenarse el tanque de agua. a) 13 min. b) 13min. y 57seg. c) 14 min. d) 13min. y 37seg. e) 12 min.

4) Calcular la fuerza entre la pista horizontal y los neumáticos de un auto de simple tracción, si el motor que dispone tiene una

eficiencia del 60% y una potencia nominal de 50HP. El auto marcha con una rapidez constante de 10m/s.

F F

a) 200 Kg. b) 250 Kg.

c) 228 Kg. d) 230 Kg.

e) 225 Kg.

5) Una locomotora diesel consume 400 Kg./h de cierto combustible cuyo poder calorífico es de 40 MJ/ Kg. Encuentre el rendimiento del motor de la locomotora si en 2h efectúa un trabajo de 8000 MJ.

a) 20% b) 25%

c) 30% d) 50%

e) 15%

6) ¿Qué potencia tiene el motor de una bomba que eleva 18000 litros de agua por hora de un pozo que tiene 30m de profundidad’ considere: g = 10m/s2 _{y 1 HP = 746 w.}

a) 1 HP b) 1.5 HP

c) 2 HP d) 3 HP

e) 4 HP

7) El torno mecánico permite enrollar la cuerda a una rapidez constante de 3m/s y de este modo poder levantar la carga de 30 Kg. ¿Cuántos watts disipa el hombre que opera el torno?

a) 3000w b) 2000w

c) 2900w d) 2904w

e) 2940w

8) Qué potencia disipa el obrero cuando, empleando la manija, enrolla el cable con una rapidez constante de 0.5 m/s’ El bloque que resbala sobre el piso rugoso (u = 0,4) tiene una masa de 50 Kg.

a) 1 Kg. m/s b) 2 Kg m/s c) 3 Kg. m/s d) 4 Kg m/s e) 5 Kg. m/s

9) Una persona eleva

verticalmente un pistón de 1 KN, 90 veces en un minuto hasta 1m de alto ¿Qué potencia consume dicha maquina, si su eficiencia es del 75%’ (g = 10m/s2₎

a) 1 Kw. b) 2 Kw.

c) 0.5 Kw. d) 2.5 Kw.

e) 3 Kw.

10) Que potencia consume el motor de un bote de eficiencia 80%? Si se mueve con una rapidez constante de 4m/s venciendo la fuerza de resistencia del agua de 2 Kw. M o t o r V = 4 m / s a) 12 Kw. b) 5 Kw. c) 10 Kw. d) 8 Kw. e) 1 Kw.

11) La potencia nominal del motor de un deslizador es de 5 cv y tiene un rendimiento del 60% ¿Qué fricción aparece entre el agua y el deslizador cuanto este viaja a la velocidad máxima de 36 Km./h.

a) 20Kg. b) 22.5 Kg.

c) 22 Kg. d) 23 Kg.

12) Cuando un hombre eleva un saco de 50 Kg. hasta una altura de 4,18m., su organismo pierde 600 calorías. Halle la eficiencia de conversión de energía de este cuerpo humano.

a) 80% b) 81%

c) 81.6% d) 81.8%

e) 82%

13) Desde lo alto de una represa desborda un caudal de agua a razón de 10m3_{/s. En la parte}

inferior de la represa se ubica una turbina (n = 40%) que gira por el golpeteo del agua sobre sus paletas convirtiéndose así la energía hidráulica en mecánica ¿Qué potencia mecánica se obtiene en la turbina si la represa tiene 20m de alto (g = 10m/s2₎

a) 800 Kw. b) 600 Kw.

c) 700 Kw. d) 400 K

e) 100 Kw.

14) Encuentre el rendimiento de un motor que consume 180Lt/ h de combustible cuyo poder calorífico es de 35 Kcal. /Lt, si cuando impulsa un elevador (n = 50%) en 10 segundos levanta 10 sacos de 30Kg. hasta una altura de 8.36m. (usar g = 10m/s2_).

a) 20% b) 40

c) 60% d) 80%

e) 100%

15) Al bloque de 10Kg. se le eleva de “A” hasta “B” sobre la superficie rugosa lentamente

ejerciendo una fuerza.

Determínese la potencia desarrollada por la fuerza de gravedad. Si demora 5 min. (g = 10m/s2₎ A F B 1 5 m . a) 2 w. b) 3 w c) 4 w d) 5 w e) 6 w.

2 RotacC Iw 2 1 E 

TEMA: ENERGÍA MECÁNICA

1) Energía Cinética (EC)

Para ello consideramos el análisis de los siguientes casos:

v _{v = 0}

Luego:

Podemos notar un cuerpo debido a su movimiento es capaz de transferirle movimiento es decir posee energía a la cual denominamos energía cinética,. Entonces definimos la energía asociada a un cuerpo en virtud de su movimiento mecánico (que puede ser translación y/o rotación)

v m

Unidad : Joule (J)

En donde : m : masa del cuerpo (en Kg.) v : rapidez del cuerpo (en m/s)

w

En donde:

W = rapidez angular (con rad/s)

I = momento de inercia (su valor depende de la geometría del cuerpo y del eje alrededor del cual rota)

2 TranslC mv 2 1 E 

2) Energía Potencial (EPg)

N . R H

N . R N i v e l d e R e f e r e n c i a .

Luego:

Un cuerpo debido a su posición (altura) respecto de un nivel de referencia posee energía denominada energía potencial gravitatoria (EPg) Entonces definimos la EPg aquella forma de energía asociada a la interacción de un cuerpo con la tierra. Es decir es la energía asociada al sistema (cuerpo tierra) debido a su interacción, aunque en forma práctica se le atribuye la energía al cuerpo que interactúa con la tierra.

Entonces, la energía potencial gravitatoria es:

h

S u p e r f i c i e T e r r e s t r e E_{P g} = 0 E_{P g = m g h}

3) Energía Potencial Elástica.

Es aquella forma de energía asociada a los cuerpos elásticos en virtud de la deformación que estos adquieren. El caso más común es de un resorte. Entonces para un resorte ideal de rigidez “K”, la energía potencial elástica que almacena, se determina de la siguiente manera.

x

E_{P E = 12 k x}2

Donde: K = constante de rigidez del resorte en 

     m N X = deformación lineal (m)

 En función de lo planteado, para el sistema mostrado (esfera y resorte ideal), determine la energía mecánica en la posición “B”.

m H _{N . R} resorte E esfera E esfera E EM  C  Pg  PE … Para un sistema.

Relación Trabajo (W) y energía

v

v = 0 v = 0

Veremos que la persona desarrolla trabajo sobre el bloque, logran de éste energía (energía cinética)

Ahora si se tiene una fuerza de rozamiento:

f

v _{v = 0}

El bloque reduce su energía, debido al trabajo (-) de la fuerza de rozamiento (f)

Entonces vemos que hay formas de aumentar y disminuir la energía mecánica, por lo que.

 Una forma de hacer de cambiar la energía mecánica de un cuerpo es mediante el desarrollo de trabajo.

Observación 1:

Podemos afirmar que el trabajo que desarrolla la fuerza de gravedad sobre un cuerpo o sistema no logra hacer variar la EM del cuerpo o sistema.

 Casos donde la energía mecánica se conserva: o Para un bloque que desliza sobre la superficie lisa.

o Para un sistema esfera – resorte dado que la única fuerza que desarrolla trabajo es la gravedad.

o La esfera quizá gira de un hilo dado que la fuerza de tensión es perpendicular a la trayectoria en todo instante.

Observación 2:

¿La “EM siempre se conserva”?

¡No! Se conserva solo cuando en el sistema se desarrolla trabajo mediante la fg( fuerza de gravedad) y fe (fuerza elástica) es decir el trabajo de estas fuerzas no alteran la EM.

Ahora consideremos lo siguiente:

B

A

B l o q u e l i s o N . R

 La energía del bloque varía de A hacia B. ¡No se conserva!

Es decir: “WAB” la persona ocasiona una variación de la energía mecánica.

O M f M M pers

_E

_E

_E

W









Donde: w* = trabajo de las fuerzas diferentes de “mg” y Kx”

Observación 3:

Neto cinetica W

E 



“El cambio en la energía mecánica de un cuerpo o sistema es numéricamente igual al trabajo desarrollado por aquellas fuerzas diferentes de la fuerza de gravedad”

Observación 4:

Una propiedad de la energía es que es transformable entre ellas. Es decir la EK (Energía Cinética) se puede transformar en EP (energía Potencial y viceversa).

Propiedad:

1)

w







E

(

AB

)

Donde:



w



E_{Pg Variación de la energía potencial gravitatoria.}

2) Neto _{k KB KA} B A

E

(

AB

)

E

E

w











PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Una esfera de 10Kg. oscila bajo la acción de una fuerza recuperadora F = -kx, con un periodo de 2s y amplitud de 50 cm. Determine la rapidez (en m/s) de la partícula cuando la energía cinética es igual a la potencial.

Rpta.:

2) Un carrito se esta moviendo con velocidad V sobre una pista horizontal lisa y debe recorrer el rizo de Radio R, que se muestra en la figura. La mínima velocidad con la que el carrito debe pasar por el punto mas alto del rizo es:

v R

Rpta.:

3) El bloque de 2 Kg. se suelta en la posición mostrada. Si la rampa es lisa y la constante del resorte es de 24 N/m, halle la máxima energía elástica (en J) “acumulada” en el resorte.

3 7 °

Rpta.:

4) El cuerpo esta sujeto a dos resortes idénticos de constante elasticidad 100 N/m que inicialmente están sin deformar. Cuando el cuerpo se desplaza lateralmente 1 cm. Del cuerpo central ¿Cuál será la energía (en J) almacenada por los resortes? (no hay fricción)

Rpta.:

5) Un cuerpo de masa “m” esta suspendido de un hilo de longitud “L”. El cuerpo se suelta a partir del reposo cuando el hilo forma un ángulo de 90° con la vertical. ¿Cuál es su energía cinética con el instante en que el hilo forma un ángulo de 37°?

3 7 ° 

Rpta.:

6) Se deja una piedra de 2 Kg., bajo la acción de la gravedad (g = 10m/s2_{), desde una altura de}

20m. Si debido a la resistencia del aire se disipan 10J por cada metro que recorre la piedra. Hallar la energía cinética es igual a 0.5 veces su energía potencial. Rpta.:

7) ¿Desde que altura (en m.) debe dejarse caer libremente una piedra de 0.1 Kg. para que al encontrarse a 20m. del piso su energía mecánica sea de 140J. Rpta.:

8) Un bloque de 2 Kg. es lanzado de A hacia B con VA = 12 m/s. Si

en B. VB = 8m/s ¿Cuál es la

energía (en J) disipada por la fricción? vA VB A B Rpta.:

9) Se tiene un resorte de constante K = 100 N/m suspendido en posición vertical. Se coloca una masa de 1Kg. en el extremo libre del resorte y luego se suelta. ¿Cuál es la rapidez en (m/s) de la masa cuando pasa por su posición de equilibrio?

Rpta.:

10) Se suspende un bloque de 2 Kg. del extremo de un resorte y mediante una fuerza. F = 100N

se jala al conjunto hasta que el resorte se estira una longitud x = 0.20 m. En estas condiciones se deja de aplicar F y el sistema masa - resorte oscila armónicamente. ¿Cuál es la energía cinética (en J) del sistema oscilante?

x

F

Rpta.:

11) Sobre un piso muy liso un bloque de 1Kg. tiene una velocidad de 1m/s e incide colinealmente sobre el extremo libre de un resorte fijado por el otro extremo a la pared, halle la máxima deformación del muelle.

(K = 100 N/m) Rpta.:

12) Un bloque de 4 Kg. es dejado sobre un plano inclinado liso (30°), en la parte inferior del plano se ubica fijo un muelle de constante elástica de 2000 N/m. Si el bloque se detiene luego de recorrer 2m. halle la máxima

deformación del muelle

3 0 °

Rpta.:

13) Una esferita de masa “m” que cuelga de un hilo de longitud “L” se lleva a una posición horizontal “A” y se suelta. Abajo a una distancia R = 2L /3, bajo el punto “O” se ha colocado un clavo “C” ¿Que fuerza de tensión tendrá el hilo en el momento en que la esferita ocupe la posición horizontal BC? B A / 3 h C O Rpta.: 14) Un cuerpo de 1Kg. que se muestra es lanzado con una velocidad de 5m/s hacia la izquierda para luego impactar en B si durante su movimiento existe una fuerza constante dirigida hacia arriba, determinar la cantidad de trabajo que habrá desarrollado dicha fuerza. Despreciar efectos del aire. (g = 10m/s2₎

B 5 m

Rpta.:

15) El aro que se encuentra resbalando sobre un alambre liso, tal como se muestra en la figura pasa por las posiciones A y B con las rapideces de VA y VB

respectivamente. Calcular VA / VB

considere que el aro fue soltado en “P” B A P 5 h 6 h 2 h Rpta.:

16) Una esfera es lanzada en “A” con una rapidez de 10 m/s. Determinar la máxima altura que alcanza respecto al punto mas bajo. Despreciar la fricción (g = 10m/s2₎

A

1 m

Rpta.:

17) Una pequeña esfera se suelta desde una altura h sobre la superficie de una arena movediza, observándose que la

pequeña esfera de 10 N de peso penetra en la arena una profundidad de h/4 ¿Qué fuerza, supuesta uniforme, ejerce la arena sobre la esfera?

Rpta.:

18) En la figura la esfera de 1 Kg. comprime al resorte de rigidez K = 400 N/m por acción de la fuerza F = 200 N ¿al dejar de actuar F con que fuerza presiona la esfera al rizo de 1m de radio al pasar por el punto mas alto? Desprecie la fricción.

K m _F

Rpta.:

19) El bloque de 2 Kg. es soltado en la posición que se indica. ¿Qué

máxima deformaron

experimentara el resorte cuya constate es K = 1600 N/m? Desprecie la fricción (g = 10m/s2₎

3 0 °

Rpta.:

20) Sobre un cuerpo de 10 Kg. se aplica una fuerza de 50N la cual siempre es colineal a su velocidad. Calcular la rapidez del cuerpo cuando pase por “B” considere que “A” estaba en reposo y que la longitud de AB es igual a 40m. B A 5 h 5 m L i s o g = 1 0 m / s2 Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Un bloque de 100 Kg. se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Calcular con que fuerza constante (en N) hay que empujarlo durante 2s para que su energía cinética se incremente en 50J.

a) 60 b) 40 c) 50

d) 45 e) 70

2) Un móvil acelera de 5m/s a 10m/s en 2s ¿Cuánto tiempo (en s) tardara en acelerar desde 5 m/s hasta 25 m/s si se tiene la misma potencia.

a) 8 b) 10 c) 12

d) 6 e) 11

3) Dos cañones que proporcionan un mismo impulso disparan proyectiles directamente hacia arriba. El proyectil de (1) alcanza una altura H. entonces el proyectil de (2) alcanzara una altura:

a) H/2 b) H/4 c) H/3

d) H/5 e) H/8

4) Dos masas iguales se cuelgan de dos resortes distintos: el resorte (1) se estira 5 cm. mientras que el resorte (2) se estira 8 cm. Si se

pone a oscilar a los dos sistemas por separado con una amplitud de 4 cm. ¿Cuál es la relación de E1: E2 entre las energías de los

dos sistemas?

a) 10:8 b) 5:4 c) 8:5

d) 5:8 e) 4:5

5) Se suelta la masa M cuando forma un ángulo de 60° con la vertical. El cuerpo de masa 2M que estaba en reposo, después del impacto adquiere el 80% de la velocidad que tenia M antes del impacto, ¿Cuál es la rapidez (en m/s) de M después del impacto.

6 0 ° 1 0 m _{1 0 m} 2 M M a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

6) Una esferita oscila verticalmente suspendida de un resorte. Hallar la relación entre las energías potencial y total del sistema cuando la velocidad de la esferita sea la mitad de la velocidad máxima.

a) 0.04 b) 0.25 c) 0.75

d) 0.96 e) 1.00

7) Un cajón de masa “m” se acerca, sobre un piso liso, a un resorte de constante K con una velocidad V. Hallar la máxima comprensión del muelle por efecto del movimiento del cajón.

v K m a) k v m2 2 b) k mv c) ₂ k mv d) k mv2 e) _mkv2 8) Un bloque de 4Kg. aumenta su velocidad de 10m /s a 20m/s. mediante la aplicación de una fuerza externa. ¿Qué trabajo realiza dicha fuerza?

a) 500 b) 600

c) 550 d) 700

e) 400

9) En la figura el bloque de 5 Kg. es soltado en el punto A. Calcular la velocidad que alcance cuando pasa por el punto B.

B A H = 3 5 m h = 1 5 m a) 10m/s b) 20m/s c) 30m/s d) 40m/s e) 60m/s

10) Un cuerpo de 1Kg. reposa sobre un horizonte estando en contacto con el extremo libre de un resorte también horizontal cuya constante elástica es 1000 N/m, el otro extremo del resorte esta

fijo a una pared vertical. El cuerpo es empujado en 10cm. Hacia la pared y luego soltado por lo cual el cuerpo es lanzado horizontalmente por el resorte. Si la fuerza de fricción entre el piso y el cuerpo es de 5 N. Calcular la velocidad del cuerpo en el instante en que el resorte recupere su longitud original.

a) 0 m/s b) 1 m/s

c) 3 m/s d) 6 m/s

e) 9 m/s

11) Una partícula debe deslizarse desde el reposo sobre una pendiente rugosa tal que la distancia que resbale sobre la pendiente sea igual a la resbalada sobre el horizonte rugoso. Determine el coeficiente del rozamiento cinético entre la partícula y las superficies suponiéndolas iguales. a) u _1Sen_Cosθ_θ b) θ Cos 1 θ Cos  c) ₁Sen_Cosθ_θ  d) θ Sen 1 θ Cos  e) _1Sen_Senθ_θ

12) Si una esfera es impulsada con una velocidad de 10m/s y la resistencia que ofrece el agua es el triple del peso de la esfera ¿A que profundidad respecto al nivel del liquido se encuentra la esfera cuando se detiene? (g = 10m/s2₎

A 5 m a) 5m. b) 10m. c) 15m. d) 20m. e) 25m. 13) Un cajón de 2 Kg. de masa es abandonando en “A” y empieza su restablecimiento por la pendiente rugosa hasta ir a pasar a “C” sobre el horizonte BC rugoso, si el coeficiente de rozamiento cinético para el tramo BC es 0.25, halle el trabajo de la fricción en el tramo AB (g = 10m/s2₎ B C A 1 m 3 0 c m a) -1J b) 1J c) 2J d) -2J e) 3J

14) Una pequeña esfera es lanzada tal como se muestra. Determine el módulo de la componente horizontal de la velocidad que tendrá la esfera cuando pase por B. Desprecie los efectos del aire (g = 10m/s2₎ 2 . 4 m 8 m / s g A B a) 1m/s b) 2m/s c) 3m/s d) 4m/s e) 5m/s 15) El cuerpo es soltado en la posición mostrada para luego resbalar sobre la superficie

horizontal rugosa y

experimentando por parte de este una fuerza de rozamiento de 10 N. Determinar la energía cinética del cuerpo en el instante en que el resorte esta deformado 10 cm. Por segunda vez, si inicialmente el resorte esta estirado 30cm., K = 200 N/m.

k

a) 16J b) 30J

c) 2J d) 4J

TEMA: CANTIDAD DE MOVIMIENTO

 Cantidad de Movimiento: (P)

Hay que considerar una esfera de 1 Kg. que impacta en una pared.

E n e l I m p a c t o A n t e s d e l I m p a c t o D e s p u é s d e l I m p a c t o R e c t a L1 R e c t a L2 VF= 4 m / s VO= 4 m / s  En el impacto:

Observar que antes del impacto balón se desplaza en la recta “L1” y debido a la fuerza F , que gira la pared del balón, este modifica su velocidad.

 En este caso solo se modifica la dirección, no un módulo.

m g

R F

¿Qué es la cantidad de Movimiento?

Es una magnitud vectorial nos caracteriza el movimiento; es decir es la medida vectorial del movimiento se evalúa así:

m

v P mv

Donde: m: masa (Kg.) V: Velocidad (m/s)

P: Cantidad de movimiento (Kg. m/s)

La velocidad y la cantidad de movimiento tienen la misma dirección: V// P

Obs.: Recuerde que el signo (+) o (-) asociados a la velocidad indican su

dirección. En general: 2 V _{V 3} 1 V 1 m 2 m 3 m m n n V . . . . .

La cantidad de movimiento del sistema P(s) es:

 PS P1P2 ...Pn

Sabemos que cuando un cuerpo se encuentra en movimiento tiende a conservar su movimiento, veamos:

2 m / s 2 0 0 m / s

m = 1 K g . m = 1 K g .

En el caso (a) la pelota impacta contra la pared delgada de triplay y luego rebota, mientras la otra a través la pared debido a su mayor tendencia de conservar el movimiento. Esto quiere decir que la tendencia; que un cuerpo conserve movimiento depende de la velocidad de un cuerpo, y de su masa. ¡La tendencia a que un cuerpo conserve su movimiento depende tanto de la masa como de su velocidad!; en otros términos, depende de su cantidad de movimiento.

: Impulso_ I _

Cuando los vehículos comunes, como los automóviles, barcos, etc., tienen que desplazarse necesitan ser impulsados, lo mismo ocurre con un balón de fútbol, una pelota de tenis o un proyectil disparado por una escopeta. Por ello para entender que es el impulso consideremos una persona frente a un balón que reposa sobre el piso se observa:

F V 0 o V  F ( I ) ( I I ) ( I I I ) En (I)

F g V = 0 FN

Como Fg FN 0, la fuerza resultante es nula, por tanto el balón no experimenta movimiento mecánico. (Po 0).

En (II)

F g

V = 0 FN

F

Al ejercer una fuerza “F” durante un cierto intervalo de tiempo (pequeña), le causaremos a la pelota una variación en su velocidad.

F g

FN VF

El balón experimenta movimiento mecánico (PF 0)

Al proceso que se efectúa sobre el balón se le denomina impulso. Es decir hemos impulsado el balón.

Entonces:

¿Qué es el impulso?

Es la medida vectorial de la transferencia del movimiento mecánico. El impulso se calcula así:

F F t ) t ( F   I Donde: t  : Intervalo de tiempo. F : Fuerza resultante en (N) I  : Impulso en (N x S)

La fuerza (F)y el impulso (I)tienen la misma dirección.

 Esta última ecuación es valida solo si la fuerza F es constante.  Notar que F es la fuerza resultante.

De lo anterior en forma practica el comportamiento de la fuerza que ejerce la persona al balón con respecto al tiempo, se muestra en la grafica siguiente:

1

t = Intervalo de tiempo que dura la interacción de la grafica se cumple:

X

F

a)

b) El seguimiento por medio de un golpe largo incrementa el tiempo del contacto para tener mayor impulso y cantidad de movimiento, y también mejora el control de la dirección. Nótese que el palo para dar el golpe esta en contacto con la pelota por un tiempo equivalente aproximadamente a 4 intervalos relámpago.

 Relación matemática entre el impulso y la cantidad de movimiento. En el caso anterior donde la persona impulsa al balón (por la 2da _{la segunda} Ley de Newton.) O F O F R O F R P P I V m V m t F t V V m F a m F                       Conclusión: IPFPO

“El impulso de la fuerza resultante causa un cambio en la cantidad de movimiento”

 Conservación de la cantidad de movimiento.

Los automóviles, barcos, locomotoras, son impulsadas (propulsados por una fuerza, en el caso de los automóviles la fuerza de rozamiento debido al contacto de las llantas con el piso es la que la impulsa y en consecuencia le causa una aceleración.

Sin embargo, un cohete en el espacio no tiene vías por la cual podría impulsarse, entonces la propulsión del cohete debe ser diferente a la del auto. Esto último puede ser explicado con la ley de la conservación de la

cantidad de movimiento para el sistema conformado por el cohete más el combustible de la siguiente manera:

Considerar el cohete de masa “M” suspendido en el espacio y el combustible de masa “m” Vc = 0 M m C o m b u s t i b le I n i c i o F m Vc F i n a l Vn VN= 0

Se nota que al liberar el combustible en forma de gases recibe un impulso hacia la izquierda como a la vez la nave recibe un impulso a la derecha, ambos impulsos son de igual valor pero de dirección contrarias, entonces el cambio de la cantidad de movimiento de ambos son de igual valor pero de direcciones contrarias, al calcular P del sistema:

0 P P P PN  C  N C 



Todo choque se caracteriza por un parámetro denominado: ¡Coeficiente de Restitución (e)

Se evalúa como: deformador I r recuperado I e 

e: Se caracteriza por el grado de recuperación de los cuerpos cuando

chocan. 0  e  1

Casos:

 “e” = 1: Choque Elástico.

Los cuerpos luego del choque no presentan deformación y además la energía cinética se conserva.

 “0  e  1: Choque Inelástico.

Los cuerpos se recuperan pero no totalmente por lo que en una medida quedan deformados, además se disipa energía en forma de color por lo que la energía cinética no se conserva.

 E = 0: Choque perfectamente inelástico o plástico

No existe grado de recuperación alguno.  En nuestro caso: O F def c Re F F O F c Re O O O F def V V I I e mV ) V ( m P P P I cuperadora Re Fase mV ) V ( m P P P I a deformador Fase O O                  

PROBLEMAS PARA LA CLASE

colisionan frontal y elásticamente. Hallar el impulso (en N.S) que recibe m2 durante el impacto.

2 m / s iˆ 5 m / s 1 m m 2 Rpta.: 2) La esferita de (m = 2 Kg.) de la

figura, que esta cayendo libre y verticalmente, impactada sobre la balanza con 10m/s y rebota con la misma rapidez. Suponiendo que el contacto esferita – balanza demora 0.1s ¿Cuál será el registro promedio (en N) de la balanza? (g = 10m/s2₎

Rpta.:

3) En el instante t = 0s las

partículas de masa m1 = 2m2

comienza a moverse desde el origen de coordenadas con aceleraciones a1 = 2 m/s2 y a2 =

4 m/s2_{, a la largo de los ejes X e}

Y, como muestra la figura ¿Cuál es aproximadamente la distancia en (m) del origen de coordenadas al centro de masa, en t = 4s? ) 2 . 2 5 ; 1 . 4 7 ; , 4 . 1 2 (    Y ( m ) X ( m ) a2 2 m 1 m a1 Rpta.:

4) Dos esferitas idénticas, una de

ellas inicialmente en reposo, colisionan frontalmente. Después del choque la bolita que estuvo en reposo adquiere una energía cinética igual al 25% de la energía cinética total antes del

choque. ¿Cuál es

aproximadamente el coeficiente de restitución entre las esferas? Rpta.:

5) El futbolista de la figura recibe

horizontalmente la pelota y la desvía con la misma rapidez v, bajo un ángulo de 37°. Si  es el ángulo respecto de la horizontal con que debe aplicar la fuerza F sobre la pelota, entonces Tan() debe ser igual a:

3 7 ° v

v F

Rpta.:

6) Una partícula choca

elásticamente con una pared lisa que se encuentra inclinada un

ángulo de 45°. Si la cantidad de movimiento de la partícula antes de la colisión es 2ˆ Kg. – m/s.i halle el tiempo (en M/s) que duró la colisión si la magnitud de la

fuerza media fue de 200 2N

jˆ

iˆ

4 5 °

Rpta.:

7) Una pelota de tenis es lanzada

con una velocidad y es devuelta por un golpe de raqueta con una velocidad v2=  20iˆ m/s.

Determinar la magnitud (en Kg. – m/s) de la variación en la cantidad de movimiento que experimenta pelota.

Rpta.:

8) Un bloque m1 = 1Kg. y V = 5 m/s

choca frontalmente con otro de m2 = 2 Kg. en reposo, si m1, luego

del choque, rebota con 1 m/s ¿Cuánta energía (en J) recibe m2

Rpta.:

9) Un proyectil de rifle pesa 10

gramos y se dispara con una velocidad de 750 m/s sobre un péndulo balístico. El péndulo pesa 5 Kg. y esta suspendido de una cuerda de 90 cm. De longitud. Calcular:

a) La altura a que se eleva el péndulo.

b) La energía cinética inicial de la bala.

c) La energía cinética del sistema una vez que la bala

ha sido empotrada en el péndulo.

Rpta.:

10) Un hombre y un muchacho

cuyas masa son de 80y 50 Kg. se ubican en un lago congelado liso estando en descanso se toman de las manos y se impulsan mutuamente de manera que el hombre sale impulsado con una velocidad de 2,5 m/s ¿Con que velocidad se impulso el muchacho?

Rpta.:

11) Desde un cañón de 1 tonelada

se dispara una bala de 1 Kg. de modo que inicia el vuelo horizontalmente con una rapidez de 750 m/s. encuentre la máxima

deformación del resorte

amortiguador de 250N/m de constante elástica que se ubica dentro del cañón.

Rpta.:

12) En la proa y en la popa de un bote de

70 Kg. están sentados a una distancia de 8m dos personas A (80 Kg.) y B (50 Kg.), tal como se indica. Si no existe rozamiento el bote y el agua. Determinar que distancia se desplaza el bote cuando las personas cambian de asiento.

( A ) _{( B )}

Rpta.:

13) Una bola de billar de 0.5 Kg. al

moverse a la izquierda con una

rapidez de 2 m/s,

perpendicularmente a la banda de la mesa, impacta con ella y retorna con rapidez igual a la de impacto. Indique lo falso o verdadero: a) El módulo de la cantidad de

movimiento de la esfera antes del impacto es de 1 Kg. m/s b) La cantidad del movimiento

después del choque es +1 Kg. m/s

c) El módulo del impulso que recibió la bola es de 2 N.s Rpta.:

14) Sobre un cuerpo actúa una

fuerza resultante cuyo módulo es 4N durante 6s. Si el módulo de la cantidad de movimiento inicial es 16 Kg. m/s ¿Cuál es el módulo de la cantidad de movimiento final del cuerpo?

Rpta.:

15) Determine después de cuantos

segundos de haber terminado el contacto entre la pared y la esfera, esta pasa por “A”, además se muestra en la grafica el comportamiento de la fuerza que ejerce la pared sobre la esfera durante el choque (desprecie el rozamiento) ) N ( F 2 6 , 5 ° 5 3 ° _{t ( m / s )} 6 0 c m . 0 . 8 m / s A Rpta.:

16) Se muestra la trayectoria que

describe la pelota después de chocar con una pared, si la velocidad que presentaba un instante antes de dicho choque es 39.2i m/s, determine el coeficiente de restitución de dicho choque (g = 9.8 m/s2₎ 2 8 m . 1 0 m Rpta.:

17) En el gráfico se muestra dos

esferas antes y después del choque. Hallar la rapidez de la esfera de masa “2m” después del choque, así como el coeficiente de restitución.

m _{2 m} s / m 4 V1  V2 6m/s A . c h m _{2 m} s / m 6 V1 V 2  ? D . c h Rpta.:

18) Se lanza una esfera maciza de

200 g. con una rapidez de 2 m/s tal como se indica, si rebota con la misma rapidez. Determine el módulo del impulso que experimenta por parte de la pared (desprecie efectos gravitatorios)

K g . 4 5 ° 4 5 °

Rpta.:

19) Una esfera que se lanza impacta

con la esfera B en reposo, luego del impacto la esfera que fue lanzada tiene una rapidez de 4 m/s, determine la rapidez de lanzamiento, si la otra esfera B impacta en M (considere esferas de igual tamaño y g = 10m/ s2_). L i s o m 3 m M m a n o 5 m 1 m . g Rpta.:

20) El grafico muestra el instante

que se lanza una pequeña esfera de 100 g. y luego de 0.91s su velocidad es nula. Determine el módulo en el contacto con la masa (duración del contacto de la esfera con la mesa 0.01s., mientras disminuye su rapidez)

7 m 3 m / s

g = 1 0 m / s2

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Una esferita colisiona frontal y elásticamente con otra esferita de masa 0.6 Kg. inicialmente en reposo ¿Cuál debe ser la masa (en Kg.) de la esferita incidente para que luego de la colisión continué moviéndose en el mismo sentido original con una rapidez igual al 25% de su rapidez inicial.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2) Una esfera de 1 Kg. de masa se suelta de la parte superior de una rampa circular con una rapidez de 2 m/s. Determine el impulso (en N.s) de la rampa sobre la esfera, desde que se suelta en A hasta que la abandona en B. A B Y X R = 7 m . R = 7 m . a) 12ˆi  2ˆj b) j ˆ 4 iˆ 24  c) 24ˆi  24ˆj d) j ˆ 24 i ˆ 4  e) 12iˆ  2ˆj

3) Las esferitas de la figura se mueven a lo largo de una recta, acercándose con que rapidez en (m/s) se mueve el centro de masa del sistema después que las esferitas chocan elásticamente. 4 m / s 2 m / s 1 K g . 2 K g . a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5

4) Las esferitas que se muestran en la figura impactan elásticamente. Halle la posición (en m) del centro de masa 2s después del impacto.

m 2 m 9 m / s + X 0 _iˆ v = 0 a) 4i b) -4i c) 6i d) -6i e) 9i 5) Una partícula de 0.5 Kg. en

movimiento esta localizada

mediante el vector posición

jˆ ) t 16 3 ( i ) 4 t 8 ( r     ,

donde r se mide en metros y t en segundos. ¿Cuál es la cantidad de movimiento lineal (en Kg. – m/s) de la partícula en el instante (t = 2s)

a) 8i + 4j b) 4i + 8j c) 6i – 2j d) 2i – 6j e) 4i + 2j

6) Un bloque de masa m1 choca

frontalmente con otro bloque de mas m2 = 3m1, en una colisión

completamente inelástica ¿Qué fracción (en %) de energía cinética se disipa en forma de calor?

a) 15 b) 25 c) 50

d) 75 e) 90

7) Dos masas idénticas chocan elásticamente y frontalmente sobre una masa lisa, teniendo inicialmente una de ellas una velocidad de 1.2 m/s y estando la otra en reposo. Las

velocidades en m/s de la masa después del choque será:

a) 0 y 1.5 b) 1 y 1.2

c) 0 y 1.2 d) 1.2 y 0

e) 1.2 y 1

8) Un péndulo balistico de 2.50 metros de longitud y que tiene un bloque de 5 Kg. es desviado un ángulo de 30° respecto a la vertical al dispararle una bala de 0.03 Kg. calcular con estos datos la velocidad de penetración ce la bala contra el péndulo en m/seg.

a) 400 b) 460

c) 410 d) 430

e) 490

9) Una pelotita de 100gr. tiene una velocidad de 1 m/s y cambia repentinamente, solamente en dirección, a otra perpendicular a la inicial como consecuencia de un impulso recibido de un bate que duro 0.1s. Halle la fuerza del impulso.

a) 3 b) 2

c) 2 d) 8

e) 1

10) Una piedra de 100 gr. choca frontal e inelástica mente (e = 0.5) con otra piedra de 1 Kg. inicialmente estática ¿Con que velocidad rebota la primera piedra cuya velocidad de llegada era de 50 m/s)

a) 18 b) 18.2

c) 18.1 d) 18.4

e) 19

11) Una persona de 70 Kg. se halla en el extremo de un bote de 35 Kg. en reposo, no existiendo fricción entre el agua y el bote. Si la persona corre con una rapidez constante de 2 m/s respecto del bote a fin de alcanzar la orilla ¿A que distancia del muelle se encuentra del muelle, cuando llega al otro extremo?

3 m .

a) 1 m b) 2 m

c) 3 m d) 0 m

e) 1.5 m

12) Una esfera de 0.2 Kg. es lanzada horizontalmente con una pared tal como se muestra; si rebota en dirección contraria. Determine el impulso que recibe la esfera por parte de la pared durante el impacto. 1 0 m / s L i s o 5 m / s ( )I ( )I I a) +3N. s b) +4N.s c) -4N.s d) +2N.s e) 3N.s

13) Tres esferas de igual peso reposan sobre una mesa lisa, si

la esfera “A” se lanza con una velocidad de 12 m/s dada la colisión se observa que la esfera “B” sale, como se señal con una rapidez de 5m /s y que la esfera “A” queda quieta. Encuentre “” se muestra el trayecto de “C” después del choque.

A B C 3 7 °  a) 53° b) 45° c) 37° d) arctg (3/8) e) 90° 14) La esfera de 2 x 10-2 _{Kg. impacta}

sobre una pared con una rapidez de 2 m/s tal como se indica, Si recibe en la pared una fuerza horizontal que varia como muestra la grafica ¿Con que rapidez sale la esfera de la pared? 3 0 0 4 0 F( N ) t ( 1 0- 45 )S 2 m / s L i s o a) 0.5 m/s b) 1 m/s c) 1.5 m/s d) 2 m/s e) 2.5 m/s

15) Calcular el ángulo  que como máximo se desvía a “2m” respecto de la vertical, luego de la colisión frontal (e = 0.5) si “m” es soltado en “A” (considere superficies lisas y las esfera de igual tamaño) A 2 m m S u p e r f ic i e C il í n d r i c a a) 37° b) 45° c) Cos-1_{(3/4) d) Cos}-1_(7/5) e) 16°

TEMA: GRAVITACIÓN UNIVERSAL

I) Newton y la Ley Universal de la Gravitación:

T ie r r a

L u n a

T i e r r a

Todos estos fenómenos se rigen por una misma Ley. De acuerdo con Newton, el evento que lo llevo a establecer la Ley de la Gravitación Universal fue la caída de una manzana.

“Todos los cuerpos se atraen entre si como una fuerza cuyo módulo es razón directa del producto de sus masa y razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa.

FG m1 m 2 FG d G: Constante de gravitación ) Kg Mm 10 x 67 , 6 ( 2 2 11 

Luego para el caso de atracción entre un cuerpo y la tierra la fuerza de gravitación se denomina fuerza de gravedad: (Fg)

2 T T 2 T T ) h R ( m GM g m ) h R ( m GM Fg         ) 1 ( ... ... ) h R ( M G g ₂ T T    Donde:

g  valor de la aceleración de la gravedad a una altura “h” respecto de la superficie

MT Masa de la tierra (6 x 1024 Kg.) RT Radio terrestre (6.4 x 106m)

Nota: Si el cuerpo esta cerca de la superficie: h







R

...(

2

)

GM

h

R

M

.

G

gs

_







 Se le considera en la superficie terrestre:

Obs.: En las condiciones de la superficie terrestre: h <<RT

2 s m 2 T T s

10

R

GM

g







Veamos a continuación las Leyes de Kepler:

1) Primera Ley (Ley de Orbitas) R T

h M

Fg P

Todos los planetas se trasladan alrededor del sol, describiendo trayectorias elípticas, donde el sol ocupa uno de los dos pocos de la elipse.

S o l

P l a n e t a A f e l i o P e r i h e l i o

2) Segunda Ley (Ley de áreas)

Durante el movimiento que desarrolla un planeta, el radio vector que une al sol con el planeta “barre “áreas iguales cuando los intervalos de tiempo son iguales. B C D A2 A₁ C D t tA B A CD 2 AB 1 t A t A 

3) Tercera Ley ( Ley de los Periodos)

El periodo (T) de un planeta (tiempo que emplea en dar una vuelta alrededor del sol) elevado al cuadrado es proporcional al cubo del semieje mayor de la orbita elíptica que describe.

S o l

R

R: Semieje mayor de la elipse

, etc R T 3 2 

Para el caso de dos planetas A y B

3 B 2 B 3 A 2 A

R

T

R

T



 La Energía Potencial: Gravitatoria (EP)

Es el trabajo necesario para mover una masa “m” desde el infinito hasta el campo de acción de una masa M.

F m e F e F F m d r r GMm EP  

 Energía Total (E)

Para hallar la energía Total, a la energía Potencial debe sumarse la energía cinética. m M r Mm G mv 2 1 E  2 

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) El satélite de comunicaciones alfa – sat se encuentra geoestacionario en un punto sobre el Ecuador y a una distancia R del centro de la tierra. ¿Cuál es, aproximadamente, la distancia tierra – Luna? (recuerde, que la luna demora 27 días en circundar la tierra)

Rpta.:

2) Un planeta A tiene dos satélites B y C se sabe que cuando B efectúa 2 vueltas alrededor de A el satélite C efectúa 2 vueltas alrededor de B. Hallar la relación (RB + RC)3 entre los radios de sus trayectorias circulares.

A B

C

Rpta.:

3) El periodo de rotación de la tierra alrededor del sol es 13 veces el periodo de rotación de la luna

alrededor de la tierra, y el radio de giro tierra – sol es aproximadamente 390 veces mayor que el radio de giro luna – tierra. Estime el cociente de la masa del sol la masa terrestre. (en unidades de 104 _Kg.)

Rpta.:

4) Un planeta orbita alrededor del sol con trayectoria circular de radio R. siendo el año de éste planeta igual a 0.5 veces el año terrestre si su radio orbital se incrementa a 4R. el año de dicho planeta (en años terrestres) debe ser:

Rpta.:

5) En la figura se muestra el planeta R x 2 y su Luna Z1 si la Luna tiene un periodo de rotación en torno al planeta de 12h. ¿Con que rapidez angular (en rad/ h) deberá girar la luna con respecto a su propio eje, para que desde cualquier punto del planeta solo se ve a la misma cara de esta.

R X 2 Z1

Rpta.:

6) La figura muestra a los satélites A y B en orbita circulares del planeta P. Si se denota con w la rapidez angular, V la rapidez Lineal y T el periodo, señale la verdad (V) o Falsedad (F) de las siguientes proposiciones. A P R 2 R Rpta.:

7) Dos satélites de masa m1 y m2 giran alrededor de un planeta con radio R1 y R2 tal que R2 = 4R. Determine el periodo

del satélite de masa m2 en días si el periodo del satélite de masa m1 es de 20 días.

Rpta.:

8) La tercera Ley de Kepler establece que 2 2 r3

GM π 4

T  

donde T es el periodo del movimiento circular uniforme de radio r de un planeta alrededor del sol de masa M y G es constante de gravitación universal. La relación que vincula al periodo de un planeta con su velocidad V es: Rpta.:

9) Un satélite intelsat se mantiene estacionario sobre Belén (en el Brasil); esto es rota con la misma velocidad angular que la tierra y sirve así para transmitir comunicaciones

electromagnéticas entre América del sur y Europa. (Radio terrestre: R = 64000km.; G: constante de gravitación; M: masa terrestre; w: velocidad de ángulos terrestre; m: masa del satélite; g: aceleración de la gravedad ) Teniendo presente que una fuerza siempre proviene de algo y se aplica sobre algo.

a) Indique que fuerza actúa sobre el satélite.

b) ¿Cuál es la aceleración del satélite?

c) ¿A que distancia esta el satélite del centro de la tierra? Rpta.:

10) Un cuerpo de masa “m” se mueve por el Ecuador a una velocidad “V” con respecto a la tierra: hallar la fuerza con la que el cuerpo ejerce presión sobre la superficie terrestre estudiense los casos del movimiento del cuerpo del oeste al este y del este al oeste. W: velocidad angular de la tierra alrededor de su eje terrestre R: radio terrestre. Rpta.:

11) Un planeta de masa “M” tiene un radio “R” halle la mínima velocidad de lanzamiento, desde la superficie del planeta, de un cohete tal que pueda abandonar el planeta (velocidad de escape) R m M V Rpta.:

12) El año del planeta mostrado en la figura que gira alrededor del sol dura 700 días, mientras que cuando el planeta va de “A” hacia “B” emplea 200 días, conociendo el área sombreada “S”, determine el área que envuelve el trabajo elíptico “O” centro de la elipse. S B O A Rpta.: 13) Calcular el módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Marte sabiendo que su radio es aproximadamente 3200 Km y su masa 0.1 veces la masa de la tierra (g = 10 m/s2 _{y R}

T = 6400 Km.)

Rpta.:

14) El diagrama muestra el instante en que dos satélites se alinean con su respectivo planeta ¿Cuántas vueltas dará cada satélite a partir de ese instante para nuevamente, se muestra la alineación en el mismo lugar? (usar 2 1.41)

A

B r r

Rpta.:

15) Un saltador de altura alcanza como limite 20001 m en la superficie terrestre, en un planeta de 1000 Km. de radio su limite de altura se reduce 0.98 m. determine la masa de ese planeta. Independice la velocidad inicial del atleta de la aceleración de la gravedad. Rpta.:

16) Con una velocidad de translación “v” un satélite gira con un alejamiento “r” del centro de un planeta. Búsquese la velocidad de traslación de otro de los satélites cuyo alejamiento con respecto al centro del planeta sea “nr”.

Rpta.:

17) Un satélite artificial se desplaza en un orbita circular con un radio equivalente a la novena parte del radio orbital lunar. Encuentre el periodo orbital del

satélite considere que la Luna es aproximadamente 28 días da vueltas a la tierra.

Rpta.:

18) Un satélite alrededor de un planeta describiendo una trayectoria elíptica. Si demora 30 días en barrer la cuarta parte del área total de la elipse, determinar cual es su periodo de revolución respecto del planeta.

Rpta.:

19) Un planeta tiene dos satélites que orbitan concéntricamente en trayectorias circunferenciales respecto del planeta. Uno de ellos tiene un periodo de 27 días, el otro demora 6 días en barrer el 75% del área total encerrada por su trayectoria. Hallar la relación de sus radios vectores.

Rpta.:

20) Dos satélites orbitan alrededor de un planeta describiendo trayectorias circunferenciales con periodos de 10 y 80 días respectivamente. Si el satélite más cercano se encuentra a 15000 Km. del centro del planeta, ¿A que distancia del centro del planeta se encuentra el otro satélite?

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Asumamos que la masa de la tierra sea 80 veces mayor que la masa de la luna y que la luna sea atraída por la tierra mediante la fuerza gravitacional “F”. Si la tierra hubiera tenido otro satélite de igual masa que la luna pero alejado del centro de la tierra en 7 veces el alejamiento de la luna ¿Cuál será la fuerza gravitacional neto sobre la luna en la situación que presenta el diagrama? 1 2 0 º a)

F

320

102181

F



F

160

202081

F



2) Una esfera sólida atrae una partícula mediante una fuerza gravitacional “F” ¿Cuál será la nueva fuerza gravitacional si la esfera fuera hueca con un vació concéntrico cuyo radio sea la mitad del radio de la esfera? a)

F

7

8

F

8

7

F

4

7

F

7

4

3) La altura máxima q un hombre pueda saltar en la tierra es “H”. ¿Qué altura máxima podrá saltar el hombre en un planeta de igual densidad media que la tierra pero de doble radio? a) H b) 2H c) 3H d) 1.5H e) 2.5H

4) Cuando una nave vuela horizontalmente muy cerca de la superficie terrestre, un cuerpo desprendido del techo de la nave cae al piso de la nave en 4s. Pero cuando la nave vuela paralelamente a la superficie terrestre a una altura “H”, el cuerpo desprendido cae al piso de la nave en 8s. Halle “H” (Radio terrestre R1 = 64000 Km.) a) 12800 Km. b) 11800 Km. c) 13000 Km. d) 12000 Km. e) 1000 Km.

5) En la superficie de un planeta un cuerpo pesa 80Kg. Halle el peso de este cuerpo cuando en el interior del planeta se ubica a la mitad del radio del planeta cuya densidad es uniforme. a) 30 Kg. b) 40 Kg. c) 50 Kg. d) 60Kg. e) 20 Kg.

6) Los alejamientos de dos planetas con respecto al sol “a” y “4a”, si la velocidad de translación del planeta más

cercano al sol es “V”, halle la velocidad del otro planeta. a) 2 V b) V c) 2 V 3 d) 4 V 3 e) 4 V

7) Halle el periodo de rotación de un planeta alrededor de su eje geográfico, si el radio del planeta es “R”, la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 42 _m/s2 _{y que} cualquier cuerpo “pesa” el doble en el polo geográfico en el Ecuador. a) 3 2 R b) R 2 c) 1 R d) R 2 2 e) 2 R

8) Calcular la densidad media de un planeta de forma esférica, si un satélite gira a su alrededor en una orbita circular con un periodo “T” y a una distancia de la superficie del planeta igual a la mitad de su radio, (considere la

densidad media y donde se cumple que = M = ) R 3 4 (  3 a) ₂ GT 8 π 80 P b) GT 8 π 81 c) ₂ T 8 G π 81 d) ₂ GT 8 π 81 e) π 81 GT 8 2

9) El alejamiento entre los centros de un planeta de masa “16 m” y un satélite de masa “m” es “r” halle la distancia del punto de ingravidez entre el planeta y su satélite medida desde el centro del planeta. a) r 4 5 b) r 2 10 c) r 5 4 d) r 5 2 e) r 5 8 10) La trayectoria de un planeta, cuyo año consta de 200 días, en cierra un área total “P”, halle

“S” si en la translación de “A” hasta “B” se emplea 40 días y de “B” hasta “C” se emplean 20 días (o: centro elíptico).

a) S P b) 10 P c) S P 2 d) S P 3 e) 10P.

11) Desde uno de los polos de un planeta de radio “R” es lanzado verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad equivalente a la mitad de la primera velocidad cósmica ¿Qué altura máxima alcanzara el proyectil sobre dicho polo? a) 4 R b) 3 R c) 5 R d) 6 R e) 7 R

12) Dos satélites S1 y S2 orbitan circularmente alrededor de un

mismo planeta. El primero barre en 144 horas, los 2/3 partes de la área total de su orbita. El segundo tiene un periodo de 27 horas. Entonces la razón de los radios de sus orbitas R1/ R2 es:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

13) Dos satélites A y B orbitan circularmente alrededor de un planeta de masa “M”. Determine la relación entre sus energías cinéticas EKA /EKB, (ver grafico) si: mA = mB y RB = 1.5 RA A B R a P l a n e t a a) 2/3 b) 3/2 c) 1/2 d) 1/3 e) 4/3

14) Desde la superficie de la tierra se lanza un proyectil en forma radical ¿Con que rapidez debe alcanzarse para que llegue al infinito con las justas?

a) 2gR b) gRT 2 c) 2 gRT d) 2 gRT e) 2 gRT

15) A una distancia “r” del centro terrestre un satélite orbita con una velocidad “V”, mientras que una distancia “r” del centro del otro planeta los satélites orbitan con una velocidad “0.25 v”, halle el radio de este planeta en cuya superficie la aceleración de la gravedad es 2.45 m/s2_. Radio terrestre = 64000 Km. a) 600 Km. b) 700 Km. c) 800 Km. d) 900 Km. e) 1000 Km.

TEMA: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

 Definiciones introductorias:

1. Movimiento Oscilatorio: Es aquel movimiento de vaivén (ida y

vuelta) en torno de una determinada posición de referencia. Ejemplo: Un reloj de péndulo.

2. Movimiento Periódico: Es aquel movimiento que se repite a

intervalos de tiempo iguales, es decir se repiten con regularidad. Ejemplo: Movimiento de las agujas de un reloj.

Obs.: Un movimiento oscilatorio no es necesariamente periódico y

viceversa.

 Movimiento Armónico Simple: Es aquel movimiento que es oscilatorio y

periódico simultáneamente.

Nota: Consideremos el siguiente sistema: (en equilibrio)

K m L i s o F = 0 J a l e m o s e l b l o q u e : K m ( - ) ( + ) P . E . M

Ahora soltémoslo

Con respecto a este movimiento podemos decir que:

- Es un movimiento oscilatorio respecto a la posición de equilibrio, en donde se completa una oscilación cuando se desarrolla una trayectoria de ida y vuelta…. (1)

- El movimiento periódico y además por ser oscilatorio el tiempo para que se repita el movimiento (periodo) coincide con el tiempo para completar una oscilación…… (2)

- Podemos notar que en todo instante sobre el bloque actúa una fuerza que está dirigida hacia la posición de equilibrio, la cual se denomina fuerza recuperadora (Frec).

Nota:

i. P(P.E.)  (P.E.)Q

ii. VM  P.E. : aumenta VP  P.E. : disminuye Obs.: P . E . X P . E . A F X F_{R E C} R E C a ) b )

Para el caso expuesto FREC = (Fza elástica) que genera el resorte: FREC FR K  X

En donde:

FR = Fuerza elástica.

K = Constante elástica del resorte.

X = Deformación del resorte y posición con respecto al P.E.  De (1) y (2) podemos decir que se trata de MAS.

 Para poder obtener una descripción matemática del MAS; podemos asemejar este con el MCU, proyectando el movimiento del cuerpo que gira sobre un plano perpendicular al plano del MCU.

Obs.:

Elongación (X): Posición del cuerpo oscilante. Amplitud (A): Elongación máxima. (V = 0)

Periodo (T): Tiempo que se tardara en dar una oscilación completa. Frecuencia (f): Número de oscilaciones completas en 1 segundos.

X 0 M C U ) t w (   W



 del triángulo OFG: x = A Sen ( +  ) ;  = wt  x  A Sen(θ wt) ... (I)

En donde:

 : Fase inicial correspondiente a posición inicial XO w : Frecuencia cíclica f π 2 T π 2 w    De manera análoga: ) III ( .... ) wt ( Sen w A a ) II ( ... ) wt ( Cos Aw v 2 _{ }       Obs.: i. _{V w A}2 _X2 ii. a  w2X

 Tener en cuenta para los siguientes elementos:  Posición (X) :





0

x

...

O

a

Aw

...

x

{

A

,

A

}

a













PENDULO SIMPLE

Es aquel dispositivo mecánico constituido por un pequeño cuerpo de dimensiones despreciables unido a una cuerda inexistente y de masa despreciable. Veamos:

V = 0 V = 0

Para ( < 10°): F_REC mgSenα Pero: αθ 10   x Sen  

_e

X

...

i

es

un

MAS

mg

x

mg

F

K

REC



















!

=

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) El oscilador que se muestra en la figura, realiza 10 oscilaciones en 20 seg. Determine su amplitud, frecuencia, periodo y frecuencia cíclica.

2) Del problema anterior, si la amplitud se duplica; determine la ecuación del movimiento, considerando que se le empieza analizar desde la P.E; y se mueve hacia la derecha. Rpta.:

3) Encuentre la fase inicial y defina la ecuación del movimiento. Si K = 80 M/m y masa = 5 Kg.

4 0 c m . 2 0 c m .

Rpta.:

4) Si la ecuación del movimiento de una partícula viene expresado porx 0.2. Sen (10t + /4), donde “t” en segundos y “x” en metros. Determine la ecuación de la velocidad y su máxima rapidez. Rpta.:

5) Un oscilador armónico se mueve sobre un plano horizontal liso. Si la energía mecánica del sistema es 40J. Calcular la energía cinética del bloque cuando la deformación sea la mitad de la amplitud. Rpta.:

6) Un resorte de rigidez K = 20 N/ cm. Sostiene un bloque de 5 Kg. tal como se muestra, se le comprime +10 cm. Y luego se le suelta. Si empezamos a medir el tiempo cuando el bloque pasa por su posición de equilibrio. Hallar la expresión que describe la posición “y” en función del tiempo.

K

m