COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO

COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO

Consideremos dos rectas orientadas (ejes) perpendiculares entre sí, con un origen común y un punto P cualquiera del plano. Si por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos, dos puntos P´y P´´ que llamaremos proyecciones ortogonales sobre los ejes.

Cada uno de estos puntos determinara dos números reales x e y sobre los respectivos ejes.

El modelo usado para representar pares ordenados se llama sistema de coordenadas rectangular o sistema cartesiano, en honor al matemático francés René Descartes.

Actividades:

1) Representa gráficamente los puntos A(2;1), B(-3;5) y C(7;-3) en un sistema de ejes cartesianos. A continuación, cambia el signo de la abscisa de dichos puntos y grafica los tres nuevos puntos en el mismo sistema de coordenadas. ¿Qué conjetura se puede hacer sobre el efecto de cambiar el signo de la abscisa de un punto? Realiza el mismo ejercicio para el caso en que se cambia el signo de la ordenada del punto.

2) a) Considera los puntos P(2;5) y Q(10;3) y represéntalos en el plano.

b) Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordenadas. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?

c) Haz lo mismo con los segmentos de extremos: - P´(5;1) y Q´(9;7) - P´´(0;1) y Q´´(10;5)

d) Basándote en los resultados anteriores intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos.

3) Determina la región del plano en que debe estar situado

(

x; y

)

para que satisfagan, en cada caso, las siguientes condiciones dadas:

a) x = -3 e y > 0. b) x < 3 e y > -2. c) x >1 y x < 9.

d) xy > 0 . e)

(

x;-y

)

está en el segundo cuadrante.

Los números reales x e y se llaman coordenadas cartesianas del punto.

Llamaremos

x: abscisa del punto P.

y: ordenada del punto P.

A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, y recíprocamente.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean P y Q dos puntos del plano dados por sus coordenadas P

(

^{x1; y1}

)

^, Q⁽x2^;y2⁾. Se construye un triángulo PQA como indica la figura adjunta. Al ser rectángulo en A, se cumple la relación de Pitágoras:

( ) ( ) ( )

^{PQ 2 = QA2 + AP 2}.Además se tiene

1

2 x

x

AP= - y QA= y₂ -y₁ de donde queda que:

2 1 2 2 1

2 ) ( )

( )

;

(P Q PQ y y x x

d = = - + -

siPQ //Ox,PQ //Oy

Si PQ// Ox Þ y₂ = y₁ ÞPQ= x₂ -x₁

Si PQ// Oy Þx₂ = x₁ ÞPQ= y₂ -y₁

Actividades:

1) a) Halla el valor de x para que la distancia entre

(

x;3

)

y

(

2;-1

)

sea 5.

b) Halla la distancia entre los puntos P

(

a + b;a

)

y Q

(

a -b;a

)

.

2) Verifica que los puntos A

(

2;1

)

, B

(

4;0

)

y C

(

5;7

)

son los vértices de un triángulo rectángulo.

3) Uno de los extremos de un segmento es el punto (7;8) y su punto medio es (4;3). Halla el otro extremo.

4) El centro de un cuadrado cuyo lado mide 10, coincide con el origen. Halla las coordenadas de sus vértices cuando: a) sus lados son respectivamente paralelos a los ejes.

b) sus diagonales están incluidas en los ejes.

Recuerda: En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.

ECUACIÓN DE LA RECTA

Trabajaremos con una recta r. Consideremos

2

,P1 y P

P tres puntos de dicha recta. Las proyecciones ortogonales sobre el eje de abscisa de los puntos P,P₁ y P₂ son respectivamente P¢,P₁¢ y P₂¢ y las proyecciones ortogonales sobre el eje de ordenadas son P¢¢,P₁¢¢y P₂¢¢. Cada una de las proyecciones tiene asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.

Como las rectas PP¢, P₁P₁¢ y P₂P₂¢ son paralelas, aplicando el teorema de Tales obtenemos:

2 1 2

1

P P

P P PP PP

¢

¢

¢

= ¢ .

De igual manera, las rectas PP¢¢, P₁P₁¢¢y P₂P₂¢¢son paralelas, aplicando Tales obtenemos:

2 1 2

1

P P

P P PP PP

¢¢

¢¢

¢¢

= ¢¢

En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad, obtenemos:

2 1 2

1

P P

P P P P

P P

¢¢

¢¢

¢¢

= ¢¢

¢

¢

¢

¢ .

Considerando el orden de los puntos de la recta r, se cumple que la proporción anterior es igual a:

y y

y y x x

x x

-

= - - -

2 1 2

1 . Esta relación obtenida es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta r. Y recíprocamente, si los puntos P,P₁ y P₂ tienen coordenadas que verifican la ecuación

y y

y y x x

x x

-

= - - -

2 1 2

1 , tal que x¹x₂ e y¹ y₂ , podremos decir que los puntos P,P₁ y P₂ están alineados.

Observemos que la expresión

y y

y y x x

x x

-

= - - -

2 1 2

1 es equivalente a:

(

y₂ -y

)(

x₁ -x

) (

= y₁ -y

)(

x₂ -x

)

Ecuación general de la recta:

Consideremos la recta r determinada por los puntos )

; ( _{1 1}

1 x y

P ,P₂(x₂;y₂) y tomemos el punto P

(

x; y

)

perteneciente a dicha recta y genérico; es decir, representante de todos los puntos de dicha recta.

Como los puntos mencionados están alineados cumplen con la ecuación:

(

y₂ - y

)(

x₁ -x

) (

= y₁-y

)(

x₂ -x

)

Operando en la ecuación anterior y resulta: y₂x₁ -y₂x-yx₁+xy=y₁x₂ -y₁x-yx₂+xy Transponiendo y factorizando, obtenemos: (y₁ -y₂)x+(x₂ -x₁)y+(y₂x₁ -y₁x₂)=0 Si llamamos: ( ₁- ₂) +( ₂ - ₁) +( _{2 1}- _{1 2})=0

4 4 3 4

4 2 1 43 42 1 43 42 1

C B

A

x y x y y x x x y

y resulta Ax + By +C = 0 , llamada ecuación

general de la recta.

ejemplo: Escribe la ecuación de la recta que determinan los puntos A (2 ; -1) y B (-4 ; 8)

Ecuación explícita de la recta:

Si en la ecuación general Ax + By +C = 0 es B ¹ 0, podemos despejar la y

obteniendo: By =-Ax-CÞ ïï î ïïí ì

=

¾®

¾ -

=

¾®

¾

= +

¾®

¾

=

+

=

¾®

¾ - -

=

¾®

¾

¹

k A x

x C C

Ax B

Si

n mx B y

x C B y A B

Si

0 0

0

En resumen,

ejemplo: Escribe la ecuación de la recta que determinan los puntos A (2 ; -1) y B (-4 ; 8)

Observaciones: - m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

- Recordemos que m=tga, por lo tanto, la pendiente es una forma de regular la dirección de una recta.

Obtención de la pendiente de una recta a partir de sus puntos:

Considera la recta r / m = coef. angular de r.

Sean P(x₁;y₁) y Q(x₂;y₂)dos puntos distintos cualesquiera de r.

Como _{1 2}

1 2

1

2 ,

// ˆ con x x

x x

y y PA A QA P Q tg tg Ox

PA ¹

-

= -

=

=

Þ a

Entonces: con x₁¹x₂

Observación: x₁ =x₂ Þr//OyÞ$/ mÎR

1 2

1 2

x x

y m y

-

= -

y1

y= La ecuación explícita de la recta:

îí ì

= +

= k x

n mx y

Ecuación de la recta paralela al eje Ox y que pasa por el punto P(x₁;y₁)

:

Ecuación de la recta paralela al eje Oy y que pasa por el punto P(x₁;y₁)

:

Obtención de la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto que pertenece a ella:

Si de una recta conocemos un punto P(x₀;y₀) y su pendiente es m, su ecuación es:

Ejemplos:

· Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-5;7) y tiene pendiente m = 4 -3

· Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2;1) y B(5;4) Actividades:

1) Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas, halla el corte con los ejes y represéntalas gráficamente.

a) Tiene pendiente -4 y ordenada en el origen 2. b) Corta al eje Oy en (0;-1) y su pendiente es 0.

c) Carece de coeficiente angular y pasa por (5;1). d) P(-2;0) es un punto de ella y es paralela el eje Oy . e) P(3;-4) es un punto de ella y es paralela el eje Ox. e) O(0;0) pertenece a ella y su pendiente es -1/2.

2) Halla la ecuación de la recta que pasa por M(2;-3) y N(4;2), y represéntala gráficamente.

3) Investiga en cada caso si A, B y C están alineados:

a) A(3;2), B(1;4) y C(-2;-3).

b) ÷

ø ç ö èæ -1;

5

A 1 , B(1;3) y C(-2;-12).

c) A(5;-4), B(3;0) y C(0;3).

4) Calcula el coeficiente angular de las rectas r, s y t, del gráfico adjunto, y escribe sus ecuaciones respectivas.

x1

x=

)

( ₀

0 m x x

y

y- = -

5) Considere los puntos M( 3;4), _÷ ø ç ö è æ ;1

2

N 1 y P( a;3) Halla el número a real para que M, N y P estén en una misma recta.

6) Encuentra el punto de intersección de las rectas AB y CD en los siguientes casos:

a) A(1;0) B(1;5) C(0;1) D(-1;3) b) A(1;0) B(-1;5) C(1;1) D(-1;3) 7) Escribir la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Contiene a cada uno de los lados del cuadrilátero de vértices:

A(2,5) B(-8,5) C(-8,-3) D(2,-3).

b) pasa por: i) (3,0) y es paralela a Oy. ii) (0,-4) y es paralela a Ox. iii) (4,0) y es paralela a Ox 8) En la recta que determina los puntos (1,2) y (-3,-10) hallar:

a) un punto de abscisa = 6 b) un punto de ordenada =10 c) el punto de corte con Ox

d) el punto de corte con Oy e) abscisa igual a su ordenada f) ordenada igual al doble de la abscisa.

9) Una recta pasa por el origen y por el punto de intersección de las rectas x + 6y + 2=0 y 3x + 4y - 6 =0.

Halla su ecuación

Ángulo entre dos rectas

Sean r) ax + by + c =0 y r’) a’x + b’y + c =0 no siendo las dos simultáneamente paralelas al eje Oy

Entonces:

Observación: Ahora si tenemos las ecuaciones explícitas r) y = mx + n y r’) y = m’x + n’

tg β =

' . ' .

' . '.

a a b b

b a b a

+ -

-

Actividades:

1) Dado un triángulo determinado por las rectas: r) 3x + 4y – 1= 0; s) x – 7y –17= 0 y; t) 7x + y + 31 = 0 2) Demostrar que el triángulo es isósceles. 3) Hallar los ángulos del triángulo.

Paralelismo entre rectas

Consideramos la recta r) y = mx + n entonces r’ ) ___________

Actividades:

1) Escribe en cada caso la ecuación de la recta t, paralela a la recta r y que pasa por el punto B:

a) 1

: = 2x- y

r y B(-1;1) b) r:4x- y8 -5=0 y B(-1;-3).

2) a) Demostrar que la recta que pasa por los puntos (-1,0) y (1,3) es paralela a la que pasa por (2,1) y (3,5/2).

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2,1) y es paralela a la que pasa por (0,1) y (1,5).

3) Dados A(-3,5) B(1,7) y C(-4,2); los vértices de un paralelogramo ABCD. Hallar las coordenadas del punto C y las del punto de intersección de sus diagonales.

Perpendicularidad entre rectas

Introducción:

a) Representa gráficamente las rectas a) 2x – y – 3= 0 y b) – x – 2y +2 = 0 ¿qué observas?

b) Escribe la ecuación explícita de cada una, ¿qué observas con respecto a sus coeficientes angulares?

Si dos rectas son paralelas y tienen coeficiente angular, entonces, éstos son iguales y recíprocamente.

Siendo r) y = mx + n y r’) y = m’x + n’ . Tenemos que:

' ' 1

m m r

r ^ Û =-

1) Dado el triángulo ABC siendo A(-2;1), B(4;7) y C(6;-3):

a) Hallar las ecuaciones de sus lados.

b) Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas y las coordenadas del baricentro.

c) Hallar las ecuaciones de las mediatrices y las coordenadas del circuncentro.

d) Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a sus alturas y las coordenadas del ortocentro.

Distancia de un punto a una recta

Introducción:

Sea P(-2 ; 3) y la recta r: 4x -3y + 2 = 0.

a) Halla r’ recta perpendicular al la recta r por el punto P.

b) Encuentra el punto Q punto intersección de r y r’.

c) Calcula la distancia de P a la recta r : d (P , r)

Fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta:

Comprueba que utilizando la fórmula obtienes el mismo resultado que en la introducción.

2

) 2

, (

b a

c by r ax

P

d ^{P P}

+ +

= +