21fxx=++ en el intervalo

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: M.I. Rocío Ávila Núñez Ing. S. Carlos Crail Corzas

25 de abril de 2011 Semestre 2011-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Calcular el valor medio de la función

f x ( ) = + 2 ( x + 1 )

3 en el intervalo

[

2, 0

]

y calcular el valor de

c

tal que cumpla con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

15 Puntos

2. Calcular, si existe, el límite.

lim (4 ) 1

2

x

x sen

→∞

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

10 Puntos

(2)

2 EE 11-2

3. Efectuar:

2 2 2

a) b) c)

2

1 1

x dx x

dx dx

x x

xx x − + −

∫ ∫ ∫

30 Puntos

4. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de las funciones

2

8

y = − x +

y

y = x 2

10 Puntos

5. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación

2 2

9

z = − xy +

en el punto

(

1, 1, 7

)

20 Puntos

6. Si

f ( x , y ) = 2 y se n x + 2 x c o s y

calcular:

,

f

y x

π π

∂ ∂

3 2

4 4

15 Puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

25 de abril de 2011 Semestre 2011-2

5. Sea

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

0

3 2

4 0

2

3

3

2 1

0 2

1 1 1

2 4 4 4 4 4

2 2 2 2

2 1 2

2 1 2 1

x dx

f c

x x

f c

si f c c y f c

c c

⎡ + + ⎤

⎣ ⎦

= − −

+ ⎤ ⎡ ⎤

+ ⎥⎥⎦ − − +⎢⎣ ⎥⎦

⇒ = = = =

= + + =

⇒ + + = ⇒ = −

15 Puntos

6.

1 2 0

lim 1 0

4

x

sen x

x

→∞

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

al aplicar L’Hôpital

(4)

S2EE11-2

2

2

1 1

cos 2 4 1

lim 2 lim cos 2

1 2 2

4

x x

x x

x x

→∞ →∞

⎡ − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎤

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎡− ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎥ = ⎢ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ =

⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

10 Punto

7. a) Por partes

( )

( )

1 2

3

1

2 1

2 1 2 1

2 1 4 1

3

u x d v x d x

d u d x v x d x

I x x x d x

I x x x C

= =

= =

=

= +

b) Por sustitución trigonométrica

2

2

2

2

2

sec 1

1 tan sec tan

sec tan

sec cos sec tan

1 1

1

si x x

x

dx d

d d

I d

I sen C x C I C

x x

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

θ

= ⇒ −

− =

=

⇒ = = =

⇒ = + = − + = − +

∫ ∫ ∫

(5)

S2EE11-2 c) Por fracciones parciales

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

3 3 2

3 2

1 2 1 2 1 2

2 1

2 1

2 3 1 3

2 1

3 3

2

3 1 3 2

1 2

1 2

x x A B

dx si

x x x x x x

x A x B x

si x si x

B A

B A

I dx dx

x x

I ln x l n x C

I ln x x C

= +

− + − + − +

⇒ = + + −

= − =

⇒ − = − ⇒ =

= =

= +

− +

= − + + +

= − + +

∫ ∫

30 Puntos

(6)

S2EE11-2 8. Sea la gráfica

( )

( )

( )

2 2

1 2 2

2 2

2 0

2 2

2 2

2 3

0 0

2

8 2

2 8

2 2 8

2 2 8 2 2 8

3

16 32 32 96

2 16 32

3 3 3 3

64 3

si x x x

x

A x x dx

A x dx

A x dx x x

A

A u

− + = ⇒ = −

=

= − + −

= − +

⎡ ⎤

= − + = ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦ = − + = − +

=

10 Puntos

S2EE11-2

(7)

7. Sea

( )

( )

( )

[ ]

( )

2 2

1 1 7

1 1 7

1 1 7

0 9 0

2 2

2 2 2 2 1

1

, ,

, ,

, ,

F x , y , z z x y

F x

x

F y F , ,

y F z

= + + − =

⇒ ∂ = =

⇒ ∂ = = ⇒ ∇ =

⇒ ∂ =

La ecuación del plano es

( ) ( ) ( )

2 1 2 1 7 0

2 2 2 2 7 0

2 2 11 0

x y z

x y z

x y z

− + − + − =

− + − + − =

+ + − =

20 Puntos

8. Sea

4

2

3 2

3 2

2 c o s 2 c o s 2 c o s 2

2 c o s

4

2 c o s 2 2

4 2

y

f y x y

x

f x s e n y

y x

f x s i y

y x f

y x

π

π

π

=

∂ = +

∂ = −

∂ ∂

∂ = − =

∂ ∂

∂ = − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = − = −

∂ ∂ ⎝ ⎠

15 Puntos

Figure

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