UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO
Sinodales: M.I. Rocío Ávila Núñez Ing. S. Carlos Crail Corzas
25 de abril de 2011 Semestre 2011-2
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.
1. Calcular el valor medio de la función
f x ( ) = + 2 ( x + 1 )
3 en el intervalo[
−2, 0]
y calcular el valor dec
tal que cumpla con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.15 Puntos
2. Calcular, si existe, el límite.
lim (4 ) 1
2
x
x sen
→∞
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
10 Puntos
2 EE 11-2
3. Efectuar:
2 2 2
a) b) c)
2
1 1
x dx x
dx dx
x x
x − x x − + −
∫ ∫ ∫
30 Puntos
4. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de las funciones
2
8
y = − x +
yy = x 2
10 Puntos
5. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación
2 2
9
z = − x − y +
en el punto(
1, 1, 7)
20 Puntos
6. Si
f ( x , y ) = 2 y se n x + 2 x c o s y
calcular:
,
f
y x
⎛ π π ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
∂
∂ ∂
3 2
4 4
15 Puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO
25 de abril de 2011 Semestre 2011-2
5. Sea
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
3 2
4 0
2
3
3
2 1
0 2
1 1 1
2 4 4 4 4 4
2 2 2 2
2 1 2
2 1 2 1
x dx
f c
x x
f c
si f c c y f c
c c
−
−
⎡ + + ⎤
⎣ ⎦
= − −
+ ⎤ ⎡ ⎤
+ ⎥⎥⎦ − − +⎢⎣ ⎥⎦
⇒ = = = =
= + + =
⇒ + + = ⇒ = −
∫
15 Puntos
6.
1 2 0
lim 1 0
4
x
sen x
x
→∞
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
al aplicar L’Hôpital
S2EE11-2
2
2
1 1
cos 2 4 1
lim 2 lim cos 2
1 2 2
4
x x
x x
x x
→∞ →∞
⎡ − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎤
⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎡− ⎛ ⎞ ⎤
⎢ ⎥ = ⎢ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ =
⎢ − ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
10 Punto
7. a) Por partes
( )
( )
1 2
3
1
2 1
2 1 2 1
2 1 4 1
3
u x d v x d x
d u d x v x d x
I x x x d x
I x x x C
= = − −
= = −
= − − −
= − − − +
∫
b) Por sustitución trigonométrica
2
2
2
2
2
sec 1
1 tan sec tan
sec tan
sec cos sec tan
1 1
1
si x x
x
dx d
d d
I d
I sen C x C I C
x x
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ
= ⇒ −
− =
=
⇒ = = =
⇒ = + = − + = − +
∫ ∫ ∫
S2EE11-2 c) Por fracciones parciales
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2
3 2
1 2 1 2 1 2
2 1
2 1
2 3 1 3
2 1
3 3
2
3 1 3 2
1 2
1 2
x x A B
dx si
x x x x x x
x A x B x
si x si x
B A
B A
I dx dx
x x
I ln x l n x C
I ln x x C
= +
− + − + − +
⇒ = + + −
= − =
⇒ − = − ⇒ =
= =
= +
− +
= − + + +
= − + +
∫
∫ ∫
30 Puntos
S2EE11-2 8. Sea la gráfica
( )
( )
( )
2 2
1 2 2
2 2
2 0
2 2
2 2
2 3
0 0
2
8 2
2 8
2 2 8
2 2 8 2 2 8
3
16 32 32 96
2 16 32
3 3 3 3
64 3
si x x x
x
A x x dx
A x dx
A x dx x x
A
A u
−
−
− + = ⇒ = −
=
= − + −
= − +
⎡ ⎤
= − + = ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦ = − + = − +
=
∫
∫
∫
10 Puntos
S2EE11-2
7. Sea
( )
( )
( )
[ ]
( )
2 2
1 1 7
1 1 7
1 1 7
0 9 0
2 2
2 2 2 2 1
1
, ,
, ,
, ,
F x , y , z z x y
F x
x
F y F , ,
y F z
= + + − =
⇒ ∂ = =
∂
⇒ ∂ = = ⇒ ∇ =
∂
⇒ ∂ =
∂
La ecuación del plano es
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 7 0
2 2 2 2 7 0
2 2 11 0
x y z
x y z
x y z
− + − + − =
− + − + − =
+ + − =
20 Puntos
8. Sea
4
2
3 2
3 2
2 c o s 2 c o s 2 c o s 2
2 c o s
4
2 c o s 2 2
4 2
y
f y x y
x
f x s e n y
y x
f x s i y
y x f
y x
π
π
π
=
∂ = +
∂
∂ = −
∂ ∂
∂ = − =
∂ ∂
∂ = − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = − = −
∂ ∂ ⎝ ⎠
15 Puntos
