GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS Y TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centroO y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O.
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OA ).
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (DE).
DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia, mide 2 radios, es decir d = 2r en la figura, (BC ).
SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.
ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella, por ejemplo arco CE (CE).
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia (EOD).
r O 1
0: Centro r: Radio
C(O,r) = (O,r)
E D
O r
r
cuerda
diámetro
secante
tangente
radio
arco C A Q
M P
B
D E
T O
C u r s o :
Matemática
1. En una circunferencia, ¿cuál de las siguientes opciones es siempreverdadera?
A) Una cuerda y una secante forman un ángulo del centro. B) El radio de una circunferencia mide el doble del diámetro. C) La mayor secante es el diámetro.
D) Por tres puntos en el plano siempre pasa una circunferencia.
E) Dos cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes.
2. Dos circunferencias son concéntricas si
A) Sus diámetros son congruentes.
B) La misma secante contiene a los centros de ambas circunferencias. C) Tienen el mismo centro.
D) Sus radios son congruentes. E) Comparten una tangente.
3. En la circunferencia de centro O de la figura 1, AC y BD son diámetros. Si AO = 2x + 4 y 2BO = 6x - 8, entonces AC =
A) 6 B) 8 C) 16 D) 28 E) 40
4. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempreverdadera(s)?
I) = II) = + III) 180 – = +
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
D A
O
fig. 1 C
B
C
O
fig. 2
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
ÁNGULO INSCRITO
Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (FHG).
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
TEOREMA
Dos cuerdas paralelas en una circunferencia, determinan entre ellas arcos congruentes.
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, ¿cuánto mide ?
DE =EOD =
AB // CD AC DB
O centro de la circunferencia E
D
O
G
H
F
O: centro de la circunferencia
= 1
2
O
A B
D
O
A B
E
O C
A B
A
B
D O
C
O
A B
2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, el arco AB mide 110°, entonces la diferencia entre los ángulos BOA y BPA es
A) 55º B) 65º C) 75º D) 160º E) 165º
3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, 3– = 60º, entonces la medida dees
A) 12º B) 30º C) 60º D) 75º E) 90º
4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, POQ = 120°, entonces la medida de + + es
A) 60º B) 90º C) 120º D) 180º E) 360º
5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, el ABC mide 80º, luego la medida de es
A) 10º B) 15° C) 20º D) 70º E) 80º
6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, BC // AD y CAD = 40º, entonces
DA + BC =
A) 80º B) 160º C) 200º D) 280º E) 300º
O
fig. 3
O P
B
O fig. 2
A
fig. 4
P Q
O
A
B C
fig. 5
fig. 6
A D
B C
TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (subtiende un arco de 180º).
TEOREMA
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
TEOREMA
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, + 2 + 3 + 4 + 5 = 150 , entonces
AB =
A) 5°
QP tangente en P QP OP
+ = 180º
+ = 180º
A
C
B D
BCA = 90º
O
A B
C
O: centro de la circunferencia
=
O
P Q r
2. En la figura 2, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. La medida del ángulo x es
A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
3. En la figura 3, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. La medida del QPT es
A) 10º B) 20º C) 40º D) 50º E) 80°
4. En la circunferencia (fig. 4), TQ es diámetro, TQR = 20º. La medida delRPQ es
A) 35º B) 40º C) 55º D) 70º
E) Falta información.
5. En la figura 5, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si = 2 y – = 50°, entonces+ =
A) 175° B) 145° C) 135° D) 125° E) 95°
fig. 3 T
P
O 40° Q
P Q
R T
fig. 4
D
fig. 5
C
B
A
fig. 2
x B
O
ANGULO SEMI - INSCRITO
Es aquel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un lado es una cuerda ( AB ) y el otro es una tangente (CB).
La medida de todo ángulo semi - inscrito en una circunferencia es igual al ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.
ANGULO INTERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al cortarse dos cuerdas al interior de la circunferencia, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende.
ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo exterior, está formado por dos rectas secantes o tangentes, o una recta secante y una tangente, que se intersectan en un punto exterior a la circunferencia, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, AD es tangente en A y DAB = 50°, entonces la medida de BCA + ABO es
A) 70º B) 90º C) 100º D) 110º E) 150°
2. En la circunferencia de centro O (fig. 2), CT es tangente y AB es diámetro, entonces la
= BA + CD 2
= DC AB 2
= AB 2
O
B
A
C
2
B A
C
D
B
P
A
B
C
D
O
A C
B
fig. 1 50°
3. En la circunferencia (fig. 3), AB = 100° y CD = 30°, entonces la medida delx es
A) 65º B) 85º C) 105º D) 115º E) 145º
4. En la circunferencia de la figura 4, DP y PA son secantes, DA= 150°, entonces la medida de BC es
A) 55° B) 70° C) 95° D) 115° E) 120°
5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, las medidas de los arcos x e y respectivamente son
A) 30° y 50° B) 20° y 80° C) 30° y 130° D) 60° y 100° E) 40° y 120°
RESPUESTAS
DMCAMA18 Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
2 E C E D
3 y 4 D A C D A C
5 y 6 C C A D D
7 y 8 B C D B C
fig. 3
A C
B
B D x
fig. 5
x 50°
80° y
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A
P C
40°
B D
