Límites y continuidad Límites
Límites y continuidad
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6.1 Límites 111 6.2 Sucesiones 113 6.3 Continuidad 115 6.4 Ejerci-cios 117
Uno de los primeros conceptos que se presentan en un curso de Cálculo es el de continuidad. Este concepto está íntimamente ligado al concepto de límite. En clase hemos utilizado sucesiones para definir límite funcional. En este capítulo veremos cómo usarMaximapara resolver algunos problemas relacionados con todos esto.
6.1 Límites
El cálculo de límites se realiza con la ordenlimit. Con ella podemos calcular límites de funciones o de sucesiones en un número, en+∞o en−∞. También podemos usar el
me-núAnálisis→Calcular límite. Ahí podemos escoger, además
de a qué función le estamos calculando el límite, a qué tiende la variable incluyendo los valores “especiales” comoπ,eo in-finito. Además de esto, también podemos marcar si queremos calcular únicamente el límite por la derecha o por la izquierda en lugar de la opción por defecto que es por ambos lados.
limit (expr,x,a) limx→aexpr
limit (expr,x,a,plus) limx→a+expr
limit (expr,x,a,minus) limx→a−expr inf +∞
minf −∞
und indefinido
ind indefinido pero acotado
El cálculo de límites conMaxima, como puedes ver, es sencillo. Sabe calcular límites de cocientes de polinomios en infinito
(%i1) limit(n/(n+1),n,inf);
(%o1) 1
Límites Límites y continuidad
(%i2) limit((xˆ2+3∗x+1)/(2∗x+3),x,minf);
(%o2) -∞
aplicar las reglas de L’Hôpital,
(%i3) limit(sin(x)/x,x,0);
(%o3) 1
Incluso es capaz de dar alguna información en el caso de que no exista el límite. Por ejemplo, sabemos que las funciones periódicas, salvo las constantes, no tienen límite en∞. La respuesta de Maximacuando calculamos el límite de la función coseno en∞es
(%i4) limit(cos(x),x,inf);
(%o4) ind
Indeterminado. Este límite es equivalente a
(%i5) limit(cos(1/x),x,0);
(%o5) ind
La función cos1xoscila cada vez más rápidamente cuando nos acercamos al origen. Observa su gráfica. (%i6) plot2d([cos(1/x)], [x,-2,2]); (%o6) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 cos(1/x) x
Maximatiene dos formas de indicar indeterminación. Una es ind, para indicar que está acotado,
ind
y la otra es und, para indicar indeterminación a secas. Ahora bien, mucho cuidado con pensar que
und
si la respuesta esundentonces la función es no acotada. Esto puede ser cierto o no
(%i7) limit(abs(x)/x,x,0);
Límites y continuidad Sucesiones
Observación 6.1. La acotación que incluyeindes una información adicional que daMaxima.
Si no sabe si es cierta la acotación o, directamente, no es cierta, entonces respondeundpero esto no quiere decir que la función a la que le estamos calculando el límite no esté acotada: solamente quiere decir que no sabe si lo está o no.
En este último límite lo que ocurre es que tenemos que estudiar los límites laterales
(%i8) limit(abs(x)/x,x,0,plus);
(%o8) 1
(%i9) limit(abs(x)/x,x,0,minus);
(%o9) -1
Por tanto, no existe el límite puesto que los límites laterales no coinciden. Si recuerdas la definición de función derivable, acabamos de comprobar que la función valor absoluto no es derivable en el origen.
¿Infinito o infinitos?
Maximadiferencia entre “infinitos reales” e “infinitos complejos”. ¿Qué quiere decir esto? Vea-mos un ejemplo. Si calculaVea-mos el límite de la función 1/xen 0 inmediatamente pensamos que el resultado depende de si calculamos el límite por la izquierda o por la derecha. En efecto,
(%i10) limit(1/x,x,0,plus);
(%o10) ∞
(%i11) limit(1/x,x,0,minus);
(%o11) −∞
Pero, ¿qué ocurre si no estudiamos límites laterales?
(%i12) limit(1/x,x,0);
(%o12) infinity
La constante infinity representa “infinito complejo”. Esto quiere decir que en módulo el infinity
límite es infinito.
6.2 Sucesiones
En clase hemos visto cómo calcular límites de sucesiones, pero ¿cómo podemos calcular esos límites conMaxima? Bueno, en la práctica hemos visto dos tipos de sucesiones dependiendo de cómo estaba definidas. Por un lado tenemos aquellas definidas mediante una fórmula que nos vale para todos los términos. Por ejemplo, la sucesión que tiene como término general xn =
1+ 1nn. En este caso no hay ningún problema en definir
Sucesiones Límites y continuidad (%i13) f(n):=(1+1/n)ˆn; (%o13) f(n):= 1+1 n n
y se puede calcular el límite en+∞sin ninguna dificultad
(%i14) limit(f(n), n, inf);
(%o14) %e
La situación es diferente cuando no tenemos una fórmula para el término general como, por ejemplo, cuando la sucesión está definida por recurrencia. Veamos un ejemplo. Consideremos la sucesión que tiene como término generalc1 =1 ycn+1 = 1+cncn para cualquier naturaln. Podemos
definirla utilizando una lista definida, como no, por recurrencia:
(%i15) c[1]:1; (%o15) 1 (%i16) c[n]:=c[n-1]/(1+c[n-1]); (%o16) cn:= cn-1 1+cn-1
Si somos capaces de encontrar una fórmula para el término general, podemos calcular el límite. Con lo que tenemos hasta ahora no vamos muy lejos:
(%i17) limit(c[n],n,inf);
Maxima encountered a Lisp error:
Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow. Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
Podemos demostrar por inducción que la sucesión es, en este caso, decreciente y acotada infe-riormente. Una vez hecho, la sucesión es convergente y el límiteLdebe verificar queL= 1+LL. Esta ecuación sí nos la resuelveMaxima
(%i18) solve(L/(1+L)=L,L);
(%o18) [L=0]
con lo que tendríamos demostrado que el límite es 0.
Observación 6.2. Para esta sucesión en concreto, sí se puede encontrar una fórmula para el
tér-mino general. De hecho existe un módulo,solve_rec, que resuelve justo este tipo de problemas.
Límites y continuidad Continuidad (%o0) done (%i1) load(solve_rec)$ (%i2) solve_rec(c[n]=c[n-1]/(1+c[n-1]),c[n]); (%o2) cn= n+%k1+1 n+%k1 -1
que, simplificando, nos queda
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) cn=
1 n+%k1
si a esto le añadimos quec1= 1 obtenemos quecn= 1+1n.
De todas formas no hay que ilusionarse demasiado. Encontrar una fórmula para el término general es difícil y lo normal es no poder hacerlo. Es por ello que no vamos a entrar en más detalles
con solve_rec. Lo único que podemos hacer con Maximaes calcular términos. Por ejemplo, solve_rec
solve_recno es capaz de encontrar el término general de la sucesión x1 = 1, xn = √
1+xn−1,
∀n∈N. En cambio, no tiene ninguna dificultad en calcular tanto términos como se quiera,
(%i4) x[1]:1; (%o4) 1 (%i5) x[n]:=sqrt(1+x[n-1]); (%o5) xn= √ 1+xn−1 (%i6) x[10]; (%o6) v u u u u t v u u u t v u u t v u tvts r q√ 2+1+1+1+1+1+1+1+1 (%i7) %,numer; (%o7) 1.618016542231488
pero seremos nosotros los que tendremos que demostrar la convergencia estudiando la monotonía y la acotación de la sucesión.
6.3 Continuidad
El estudio de la continuidad de una función es inmediato una vez que sabemos calcular límites. Una función f :A⊂R→Res continua ena∈ Asi limx→a f(x) = f(a). Conocido el valor de la
función en el punto, la única dificultad es, por tanto, saber si coincide o no con el valor del límite. Con respecto a las funciones discontinuas, la gráfica puede darnos una idea del tipo de dis-continuidad. Si la discontinuidad es evitable, es difícil apreciar un único pixel en la gráfica. Una discontinuidad de salto es fácilmente apreciable. Por ejemplo, la función signo, esto es, |xx|, tiene un salto en el origen queMaximaune con una línea vertical.
Continuidad Límites y continuidad (%i8) load(draw)$ (%i9) draw2d(color=blue, explicit(abs(x)/x,x,-3,3), yrange=[-2,2], grid=true); (%o9) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3
Cuando el salto es infinito o, lo que es lo mismo, cuando la función tiene una asíntota vertical, la primera dificultad que se encuentraMaximaes escoger un rango adecuado para representarla:
(%i10) plot2d(tan(x),[x,-5,5]); (%o10) -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 -4 -2 0 2 4 tan(x) x
En estos casos tenemos que ayudar nosotros aMaximarestringiendo el rango donde representamos la función (%i11) plot2d(tan(x),[x,-5,5],[y,-15,15]); (%o11) -15 -10 -5 0 5 10 15 -4 -2 0 2 4 tan(x) x
Límites y continuidad Ejercicios
6.4 Ejercicios
Ejercicio 6.1. Estudia la continuidad de la función f :R→Rdefinida como f(x)= x∗ln|x|
six6=0 y f(0)=0.
Ejercicio 6.2. Seanaybdos números reales verificandob<0<a; estudia el comportamiento
en cero de la función f(x)=arctan a x −arctan b x ! , ∀x∈R∗.
Ejercicio 6.3. Estudia la continuidad de la función f(x) = arctan11−+xxconx 6=1, así como su
comportamiento en 1,+∞y−∞.
Ejercicio 6.4.
a) Dibuja una función continua cuya imagen no sea un intervalo.
b) Dibuja una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua. c) Dibuja una función continua en todoR, no constante y cuya imagen sea un conjunto
(obligato-riamente un intervalo) acotado.
d) Dibuja una función continua en [0,1[ tal que f([0,1[) no sea acotado.
e) Dibuja una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.
Ejercicio 6.5. Consideremos la función f : [0,1]→Rdefinida comof(x)= 12(cos(x)+sen(x)).
a) Utiliza que f([0,1]) ⊂ [0,1] para probar que existe x ∈ [0,1] tal que f(x) = x (sin utilizar Maxima). A dicho punto se le suele llamar unpunto fijode la función f.
b) Se puede demostrar que la sucesiónx1 =1, xn+1= f(xn), para cualquier naturalntiende a un
