lim LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS.

TEMA 6: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS. 6.1 Concepto de límite lateral. Límite de una función en un punto.

6.2 Cálculo de límites en un punto. 6.3 Continuidad de una función. 6.4 Cálculo de límites cuando x->.

6.5 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.

6.1 Concepto de límite lateral. Límite de una función en un punto. Observa las siguientes gráficas:

f(x) = x2 _{- 3 g(x) =}         2 x si 1 2x x 2 x si 1 x 2

Calcula f(2) y g(2), ¿qué observas en los dibujos? Formalicemos el concepto de acercamiento:

Se dice que un número real L es el límite de una función en el punto a por la derecha, si al tomar valores de x cada vez más próximos a “a”, con x > a, sus imágenes correspondientes, f(x), están más próximos a L. Y se escribe

lim

f(x) L

a n







Análogamente se dice que un número real L es el límite de una función en el punto a por la izquierda, si al tomar valores de x cada vez más próximos a “a”, con x < a, sus imágenes correspondientes, f(x), están más próximos a L. Y se denota por

lim

f(x) L

a n







Una función f tiene por límite L cuando x tiende a “a” si se verifican las tres condiciones siguientes, existe el límite por la derecha de f en x=a, existe el límite por la izquierda de f en x=a y ambos límites coinciden y valen L.

Y se denota por

lim

f(x) L a

n





. Si existe, el límite es único.

6.2 Cálculo del límite de una función en un punto.

Sean f y g dos funciones convergentes en x=a con limf(x) a

n = l y limnag(x)= m entonces podemos afirmar que:

1. lim(f(x) g(x)) a x  = l + m 2. limxa(kf(x)) k l. 3. lim(f(x) g(x)) a x  = l . m 4. g(x) ) x ( f lim a x =

m

l

, si m



0 5. lim f(x) l conl 0 a x   6. ) x ( g a x

f

(

x

)

lim

 = lm con l > 0

Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites de funciones en el punto indicado: a)     (x x 1) lim 3 2 0 x b) limx24  c)    (x 3) lim 1 x d)    x 1 x lim 3 5 x e)         x x x 1 3 x 5 x x lim 3₃ 2₂ 2 x f)    x 1 x lim 1 x g)      2x 1 3 x 5 x lim 2 1 x h) _          x 2 x x 1 3 x 5 lim i)    (x 1) lim 2 3 x j)    1 x 1 x e lim k)  0 3 x x 1 lim l)  0 2 x x 1 lim m)     2 x 1 x lim 2 x n)     x 1 1 x lim 1 x ñ)    1 2 2 x (x 1) x lim o)    x 1 x lim 1 x p)     x 2 x 3 lim 2 x q)       x 2x 1 4 x 2 x 2 lim ₂2 1 x r)      3 2 2 2 x x 2x 2 x x lim s)         x x x 1 2 x x 2 x lim 3_{3 2}2 1 x t)         0 2 x x 3x 1 x 1 lim u)      x x 6 x 4 lim ₂ 2 2 x v)      x 2x x x lim ₂2 0 x w)



_



    2 3 1 x x 1 1 x lim x)      x 1 2 3 x lim 6 x y)       x 2 2 x 2 lim 1 x z)   x 3 x 2 lim aa)   log x lim ₂ 4 x bb)   x 3 x e lim cc)      2x 1 3 16 x lim 2 4 x dd)     x 2 x 4 x 2 lim 2 2 x ee)       x x 2 2 x lim ₂ 2 x ff) x ,1x 0,x 2,x 1 1 x si x 1 x si 1 x ) x ( f ₂            gg) _{six 0} x ,1x 0,x 2,x 1 x 1 3 six 0 x ) x ( f             Página 172, ejercicios 38, 39, 40, 43, 47, 48, 49, 50, 51, 56.

6.3 Continuidad de una función.

Una función f es continua en un punto x=a si existe el límite de f cuando x tiende a x = a, existe la imagen de a mediante f y ambos coinciden, es decir,

lim

f

(

x

)

f

(

a

)

a x





Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en su dominio ya que si f y g son continuas entonces podemos afirmar que f+g, f-g, kf, f.g y f/g (con g(a) distinto de 0) son continuas.

Si una función no es continua en x=a se dice que es discontinua. Podemos hablar de tres tipos de discontinuidades:

1. La función f tiene una discontinuidad de tipo evitable en x=a si existe el límite de f cuando x tiende a x = a, existe la imagen de a mediante f pero no coinciden o no existe la imagen de a. 2. La función f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = a si existe el límite de f cuando x tiende a x=a por la derecha y por la izquierda pero no coinciden.

3. La función f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = a si el límite de f cuando x tiende a x = a por la derecha y/o por la izquierda vale infinito.

Ejercicio 2: Estudia la continuidad de la función f en el punto o puntos indicados:

a) f(x) = x2 _{+ 1 en x=2. b)}

_en

_x

₂

_y

_en

_x

₁

1

x

1

x

)

x

(

f

2











c) f(x) x3 para x=2, x=1 y x=-4. d) f(x) = _ex3 _{en x = 5} e) f(x) = Ln x en x = 5, x = 0, x = -1 en x 1,x 2 2 x si 3 x 2 x 1 si 2 x 1 x si 1 x 1 x ) x ( f )i 2 2                                   en x2,x2 2 x si 4 / 1 2 x si 4 x 2 x ) x ( f ) f 2               en x 2 2 x si 0 2 x si 6 x x 8 x 2 x ) x ( f ) j 2 2 0 x , 2 x en 2 x si 1 x 2 x si 2 1 x ) x ( f ) g 2                        enx 1 1 x si x 2 1 1 x si 1 x ) x ( f ) h 2

Ejercicio 3: Estudia la continuidad de las siguientes funciones, para ello debes tener en cuenta:

1) Estudiar el dominio

2) Estudiar la continuidad en los puntos problemáticos (los que no están en el dominio o los extremos de los intervalos de definición)

3) Decir en qué conjunto la función es continua, como consecuencia de su construcción.

a) f(x)_x2_1 _b) 6 x x 9 x ) x ( f ₂ 2     c) f(x) = ex + 5 _{d) f(x) = Ln (x + 3)} e) f(x) = x3 f) f(x) = 2 x 4 x2   g) f(x) = 4 x x 2 _ h) f(x) =          1 six x 1 1 x si x 2 i) f(x) =             4 x si 5 4 x 2 si 2 x 2 x si 4 x ) x ( j 2 j) f(x) =          _{si x 0} 2 0 x si x 1 1 x 2

Ejercicio 4: ¿Podrías definir una función, g(x), cuyas imágenes coincidan con las de la función f(x) =

6

x

2

9

x

2





pero que además esté definida en x = 3 y sea continua en dicho punto?

Página 172, ejercicios: 57, 58, 59, 60 c, 61, 62, 63, prof 64

Ejercicio 5: (87) En un aparcamiento se cobran 3 € por la primera hora o fracción y 2 € por cada hora o fracción siguiente, hasta llegar a un máximo de 12 € por un día. Dibuja una gráfica que refleje el precio en función del tiempo que permanece en el aparcamiento y estudia los puntos de discontinuidad de esta función (relacionado con su significado real).

6.4 Cálculo de límites cuando x->.

En algunas gráficas hemos visto las rectas horizontales y verticales (líneas discontinuas) a las que le hemos llamado asíntotas. Las asíntotas verticales las hemos visto al estudiar la continuidad, cuando las discontinuidades son de salto infinito obtenemos una

Ejercicio 6: Calcula los siguientes límites de funciones cuando x : a) f(x)_x2_3x_1 _{b) f(x)5x}3_{7x c) f(x)x3x}4 d) f(x) = 5 3 x 2  e) f(x) = 2x3 f) f(x) = 3_2x3 g) f(x) = x4 _x _{h) f(x) =} 3 x 2 1  i) f(x) = _{2x 3} 1  j) f(x) = x 3 1 _{k) f(x) =} 2 x 1  _{l) f(x) =} 5 1 x3   4 x x x 2 ) x ( f ) ñ 1 x 1 x 2 x ) x ( f ) n 2 x 3 3 x 4 ) x ( f ) m 2 _{2 3}3           o) f(x) = ₂ x 3 1 x p) f(x) = ₅3 ₃ x x 1 x   q) f(x) = 3₄ x 1 x  r) f(x) = 1 x 3 x2  s) f(x) = 2 5 x 1 x 2  t) f(x) = 5 x 1 x3   1 x 3 x ) x ( f ) w ) 5 x )( 1 x 2 ( 1 x 2 x ) x ( f ) v 1 x 3 x ) x ( f ) u ₂ 2 ₂            x) f(x) = 2₂ x 3 x  y) f(x) = 3 x 2 x 3 5  

z) f(x) = 1 x x 3 4 2   aa) f(x) = 3 ₃5 x 2 x 3 x   bb) f(x) = 2 ₃ 3 x 4 x 3 x 2  cc) f(x) = 5 x 4 2 _ dd) f(x) = ₂ x 1 3 x   ee) f(x) = 3 5 2 x x 3 x   ff) f(x) = 4_x4 _x 3 x 2   ojo, 2 gg) f(x) = 6 ₃ x 1 x 3 x 4   _{hh) f(x) = e}x

_{ii) f(x) = Ln x}

jj) f(x) = _ex

_{kk) f(x) = Ln x}

2 _{ll) f(x) =} x 2 1       mm) f(x) =            1 si 3 x 1 x si x 3 1 x 2

nn) f(x) =

         0 si 3 x 0 x si x 1 Página 172, ejercicios: 52, 53

Observaciones: Regla de los grados: j) f(x) =              Q grado P grado si Q grado P grado si b a sigradoP gradoQ 0 ) x ( Q ) x ( P lim x

Siendo a y b los coeficientes principales de P y Q, respectivamente.

8.5 Asíntotas.

Si en un punto x = a la función f tiene uno o ambos límites laterales infinito se dice que f tiene una asíntota vertical en x = a, es decir, si 



) x ( f

lim

_{x a} entonces x = a es una asíntota vertical. Por tanto, tendremos asíntotas verticales en los puntos que no están en el dominio, dónde se divide por 0 ó logaritmo de cero.

Ejercicio 7: Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones, si es posible:

a) f(x) = x2 _{+ 1 b)} 1 x 1 x ) x ( f 2    c) 1 x 1 x ) x ( f ₂    d) f(x) = _ex3 e) f(x) = Ln (x-1)              1 x si 1 x 2 1 x si 1 x x ) x ( f ) f

Si el límite cuando x tiende a





de f es k, con k un número real, se dice que f tiene una asíntota horizontal en y = k, es decir, si

lim

f(x) k

x



 

entonces y = k es una asíntota horizontal. Si hay asíntota horizontal, no puede existir asíntota oblicua.

Ejercicio 8: Calcula las asíntotas horizontales de las siguientes funciones, si es posible:

a) f(x) = x2 _{+ 1 b)} 1 x 1 x ) x ( f    c) f(x) x3 d) f(x) = _ex3

e) f(x) = 5 x 3 1 x 2 2                1 x si 1 x 2 1 x si 1 x x ) x ( f ) f

Si no hay asíntota horizontal, tendremos





 

)

x

(

f

lim

_x . Si







f(x) mx n



0

lim

_x     

, se dice que la recta y = m x + n es una asíntota oblicua de f. Para calcular m y n tendremos en cuenta que:

1) Primero calculamos m x ) x ( f

lim

_x   

, m . Si m = 0 ó  no hay asíntota oblicua.

2) Una vez calculado m, lo utilizamos para calcular

lim



f

(

x

)

mx



n

x





  , n. En este caso si podemos tener n = 0.

Ejercicio 9: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

2 x 1 x ) x ( f ) a  

b)

x 2 5 3 x ) x ( f   

c)

1 x x ) x ( g ₂3  

d)

x 2 x 2 x ) x ( h ₂2   

e)

3 ₂ 2 x 7 x 3 x 2 ) x (i    f) x 1 x ) x ( g  3 

g)

x x 2 x ) x ( g  2 

Ejercicio 10: (89) Las conclusiones de un estudio demográfico establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, en los próximos años, por la siguiente función: f(x) =

2 t 2 10000 t 15000  

siendo t el número de años transcurridos. ¿Cuál es el tamaño actual de la población? Si esta función fuera siempre válida, ¿se estabilizaría el tamaño de la población?

Ejercicio 11: (92) Se ha investigado el tiempo T, en minutos, que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento x, en días, obteniéndose:

               30 x si 2 ) 5 x )( 15 x ( 1125 30 x 0 si 30 x 300 ) x ( T

Demuestra que la función es continua. ¿Se puede afirmar que cuánto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la prueba? ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en realizar la prueba? ¿Y menos de 3? ¿Y menos de 2?

Ejercicio 12: En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento y sigue la siguiente función M(t) =

4 t

t 30

 , siendo t el número de días de entrenamiento. ¿Cuántos montajes realiza

el primer día? ¿Y el décimo? Representa la función correspondiente al primer mes. ¿Qué ocurriría si el número de días de entrenamiento aumentara constantemente?

Ejercicio 13: El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así

            1000 x si 250 x x 1000 1000 x 0 si 200 x 6 ´ 0 ) x (

g donde los ingresos y los gastos en alimentación vienen

dados en euros. Representa g(x) y estudia su continuidad. Calcula

lim

g(x) x

e interprétalo.

Página 172, ejercicios: 65, 66, 67, 69, 70 (curioso el apartado d), 71, 72, 73, 90.

Ejercicio 14: Estudia el dominio, continuidad y asíntotas de las siguientes funciones, esboza sus gráficas: 4 x 2 x ) x ( f ) a ₂   

b)

2 x 3 x ) x ( f                 1 x si 2 x 4 x 1 x si x 1 x ) x ( f ) c 2              1 x si 2 x x 4 x 1 x si 3 x 2 ) x ( f ) d 2 2

Ejercicio 15: Dibuja la gráfica de una función sabiendo que verifica las siguientes condiciones (hay muchas soluciones):

a) Domf = IR Imf = (- 2, +) f(2) = 5

lim

f

(

x

)

2

2 x





 b) Imf = (-,4]

lim

f

(

x

)

4

1 x



 y es estrictamente creciente en (-, 1)

c) Domf = [0,3] f(2) = 3

lim

f(x) 3 y

lim

f(x) 5 2 x 2 x     _ 