1
TEMA 7. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINIDAD.
1. Concepto de límite. 2. Cálculo de límites.
3. Continuidad de una función. 4. Asíntotas.
1. Concepto de límite.
1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos.
En matemáticas: sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función y dos números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ lim → 𝑓(𝑥) = 𝑏 se lee: “límite cuando x tiende al número a de la
función 𝑓(𝑥) es igual al valor b”
El límite de una función en un punto, tiene sentido de “lugar” hacia el que se dirige el valor de la función 𝑓(𝑥) cuando la variable independiente (𝑥) se aproxima a un valor determinado.
2 Ejemplo 2.
1.2 LÍMITES LATERALES.
lim → 𝑓(𝑥) Límite lateral por la izquierda (tomamos valores próximos al números a pero menores).
3 Ejemplo 1.
lim → 𝑓(𝑥) = 1
Definición:
Cuando los límites laterales existen y son iguales, existe el límite de la función cuando 𝑥 → 𝑎.
Ejemplo 2.
lim
→ 𝑓(𝑥) = lim→ 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇔ lim→ 𝑓(𝑥) = 𝑏
4 Ejemplo 3.
1.3 LÍMITES INFINITOS.
x y
-0,1 100
-0,01 10000
-0,001 1000000
… …
↓ ↓
0 ∞
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
5 1000000
x y
0,1 100
0,01 10000
0,001 1000000
… …
↓ ↓
6 1.4 LÍMITES EN EL INFINITO.
En este caso estudiamos: lim →∞𝑓(𝑥)
Ejemplo 1. Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
lim → 𝑥 = ∞ lim → 𝑥 = ∞
Ejemplo 2. Sea la función 𝑓(𝑥) =
lim → = 1 lim → = 1
x y
-10 100
-1000 1000000
… …
↓ ↓
- ∞ ∞
x y
10 100
1000 1000000
… …
↓ ↓
7 2. Cálculo de límites.
El primer paso para calcular el límite de una función en un punto es sustituir la variable por el valor al que tiende. Se obtienen dos resultados posibles: límites determinados y límites indeterminados:
2.1 LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS.
Ejemplo 1. 2
4 8 1 3 1 3 1 1 lim 2 2
3
x x x
El límite está determinado, puede calcularse directamente.
Más ejemplos:
Ejemplo 2. ?
0 0 1 1 1 1 1 1 lim 2 2
1
x x x
El límite está indeterminado. No significa que no exista, si no que no puede calcularse directamente.
2.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
8 2.3 OPERACIONES CON ∞ Y 0.
a
POTENCIAS.
Hay ocasiones en las que no sabemos de forma inmediata el resultado, decimos que es “indeterminado”.
Indeterminado no significa que no pueda existir el límite, sino que será necesario realizar algunas operaciones previas para poder determinar si existe, y su valor.
𝐾 = 1
0 = 0
0 = 0 𝑠𝑖 𝑘 > 0 ∞ 𝑠𝑖 𝑘 < 0 También:
Ejemplos:
1 70
; 011 0
;
0 1 0
9 RESUMEN DE INDETERMINACIONES:
2.4 CÁLCULO DE DISTINTOS TIPOS DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES.
2.4.1. Límite de una función definida “a trozos”.
a) En el punto de ruptura:
3 7 3 5 2 ) ( x x x x x f
Para calcular el lim f(x) en x = 3, se calculan los límites laterales:
4 7 3 7 lim 1 5 6 5 2 lim 3 3 x x x x
10 b) En otro punto del dominio de la función:
3 5 2 5 2 lim ) ( lim 1
1
f x x x
x 0 7 7 7 lim ) ( lim 7
7
f x x x
x
2.4.2. Límite de funciones racionales ) ( ) ( x Q x P
a) Si el denominador se anula: Indeterminación
0 k
( k ≠ 0)
( ) 0
) ( lim k x Q x P c
x hay que estudiar los límites laterales
(se estudia el signo de ) ( ) ( x Q x P
en valores próximos a c)
Ejemplo:
b) Si el numerador y el denominador se anulan: Indeterminación
0 0
Se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifica.
11
2.4.3. Cálculo de límites cuando x→+∞ y cuando x →−∞.
a) Límites de funciones polinómicas:
Depende del signo del coeficiente de mayor grado: 4 3
4 5 lim3
3
lim x x x
x x 3 2
3 7 9 lim 5
5
lim x x x
x x
Cuando x→−∞ hay que tener en cuenta si el exponente es par o impar 3 2
3 5 7 lim3
3
lim x x x
x x 3 4
3 7 3 lim 2
2
lim x x x
x x 2
2 8 lim
lim x x
x x 4
4 5 lim
lim x x
x x
b) Funciones inversas polinómicas: 0 ) (
lim
P x
k x Ejemplo: 4 4 lim x
x ; expresión no real pero que tiende a 0.
c) Funciones racionales ) ( ) ( x Q x P . Indeterminación
12 En resumen:
Observa que:
d) Funciones racionales ) (
) (
x Q
x P
. Indeterminación ∞ − ∞.
13
2.4.4. Cálculo de límites de funciones irracionales.
a) Indeterminación
0 0
e : Se multiplica y se divide por el radical conjugado.
Ejemplo:
Ejemplo:
b) Indeterminación
. Se divide numerador y denominador por la potencia máxima de la variable.
Ejemplo: 2 13 4 13 2 3 4 2 13 lim 2 3 4 2 13 lim 2 3 4 2 13 lim 2 2 2 2 2
2
x x x x x x x x x x x x x x x x x
14
2.4.5. Resolución de indeterminaciones del tipo 1∞.
Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de la
16 3. Continuidad de una función.
Idea intuitiva de la continuidad “una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel”.
La continuidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en todo su dominio.
Definición de continuidad en un punto:
Es decir, una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función en ese punto.
Propiedades de las funciones continuas:
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio.
Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no estén definidas y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio.
17 Algunos tipos de discontinuidades:
A) Discontinuidad evitable, se produce cuando:
B) Discontinuidad inevitable: se produce cuando existen los límites laterales en el punto pero son distintos.
lim
→ 𝑓(𝑥) ≠ lim→ 𝑓(𝑥) Ejemplo: 1 3 1 1 1 ) ( 2 x x x x x f 2 1 lim ) 1 ( ) 1 )( 1 ( lim 1 1 lim 1 1 2
1
x x
x x x x x x
x pero f(1) = 3
La función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 1
18
El valor |lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)−lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)| se llama salto de la función en ese punto. El salto de la función puede ser finito o infinito.
Continuidad lateral:
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor de la función en ese punto.
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor de la función en ese punto.
Continuidad en un intervalo:
- Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos.
- Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos sus puntos y además es continua por la derecha de a y por la izquierda de b.
)
(
)
(
lim
f
x
f
c
c
x
)
(
)
(
lim
f
x
f
c
c
20 4. Asíntotas.
Las asíntotas de una función (en caso de existir) son rectas del plano a las que la función se aproxima tanto como queramos.
4.1 ASÍNTOTA VERTICAL (A.V.): la función 𝑓(𝑥) tiene una asíntota vertical en la recta 𝑥 = 𝑎 cuando existe al menos uno de los siguientes límites:
Las posibles asíntotas verticales de una función estarán en los puntos de la función que no pertenezcan a su dominio.
4.2 ASÍNTOTAS HORIZONTALES (A.H.): la función 𝑓(𝑥) tiene una asíntota horizontal en la recta 𝑦 = 𝑏 cuando existe al menos uno de los siguientes límites:
Para las funciones del tipo 𝑓(𝑥) = ( )
21
4.3 ASÍNTOTA OBLICUA (A.O.): la función 𝑓(𝑥) tiene una asíntota oblicua en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 cuando existen los límites:
Para las funciones del tipo 𝑓(𝑥) = ( )
( ) existe A.O. si el grado del numerador supera en una unidad al grado del denominador.
NOTA: Si una función racional 𝑓(𝑥) = ( )
( ) tiene asíntota horizontal, no las tiene oblicuas.
