Análisis Matemático I -límites y continuidad

(1)

RESPONSABLES:

DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH.

RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

12 ANÁLISIS

(2)

INDICE

I. INTRODUCCIÓN 4

II. OBJETIVOS 5

II.1. OBJETIVOS GENERALES: 5 II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 5

III. MARCO TEÓRICO 6

LÍMITES Y CONTINUIDAD

III.1 LÍMITES 6

III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: 6 III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: 7 III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: 7

III.1.4 OBSERVACIONES: 10

III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: 10

TEOREMA 1: 10

TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: 9

TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: 9

III.1.6. LÍMITES LATERALES: 10 a) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: 10 a) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: 10 III.1.7 LÍMITES INDETERMINADOS: 11 III.1.10LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y

SIGNO DE x: 12

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: 12 DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: 12 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X: 12 III.1.9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: 12 III.1.10. LÍMITES FINITOS: 13 III.1.11. LÍMITES AL INFINITOS: 13

III.1.12. ASÍNTOTAS: 13

1) ASÍNTOTA VERTICAL: 13

2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: 13

3) ASÍNTOTA OBLICUA: 13

III.2. CONTINUIDAD 14

III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: 14 III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: 18 III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: 18

III.2.6. DISCONTINUIDAD: 18

III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: 18 III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 19

(3)

3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE: 20

 Discontinuidad finita. 20

 Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: 24

 DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: 24

III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: 24

III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: 25 III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: 25 III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: 29 III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: 29

III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: 31

III.2.11.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: 31 III.2.11.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: 34 III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: 34 III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: 34 III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): 35 III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: 35 III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: 35

III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl

Weierstrass): 35

III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: 35

III.2.5. OBSERVACIONES: 35

IV. Anexos: 36

(4)

I. INTRODUCCIÓN

La noción de límite de una función es el tema central del cálculo matemático, es tal vez el más importante, pues esta íntimamente ligada a los conceptos de continuidad, derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definición formal del concepto de límite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulación y una serie de ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarán la comprensión de diversos términos que intervienen en la definición rigurosa.

Es preciso recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya mencionados debido a su estrecha relación con el cálculo matemático la misma que repercute e influye mucho en la realización y ejecución de los proyectos de ingeniería civil.

A continuación trataremos los temas propuestos en este presente trabajo monográfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimiento con la ayuda de los conceptos obtenidos a través de esta recopilación de información.

En esta monografía hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos puntos característicos relacionados con los temas: límites y continuidad, cuyos conceptos nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la realidad.

(5)

II. OBJETIVOS

II.1. OBJETIVOS GENERALES:

 Conocer y manejar las nociones de Análisis Matemático que son básicas para el estudio de esta y otras asignaturas del área: Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales.

 Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométricamente diversos conceptos y resultados, y plantear problemas.

 Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.

II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

 Calcular el límite de una función real.

 Establecer la continuidad o discontinuidad de una función real dada, en cualquier punto de su dominio.

(6)

III. MARCO TEÓRICO

LÍMITES Y CONTINUIDAD

III.1 LÍMITES

III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: DEFINICIÓN 1:

Dado un subconjunto A de números reales ), diremos que un punto es un

punto de acumulación de A si cualquier vecindad contiene por lo menos un

punto x de A distinto de . DEFINICIÓN 2:

Sea , diremos que es punto de acumulación de A si:

Es decir:

| |

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.

Pág. DEFINICIÓN 1:

Sea el conjunto entonces se llama punto de acumulación de S, si solo si, todo intervalo abierto y cerrado en contiene por lo menos un punto distinto de sí.

Esto es es punto de acumulación de y se cumple:

{ }

Equivalentemente es es punto de acumulación de:

(7)

III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA:

Se dice que una función es acotada sobre un conjunto si el conjunto de imágenes f(s) está acotado, es decir, si existe un número real llamado cota, tal que:

| |

Equivalentemente:

Es acotada sobre

Donde m y M son las cotas inferiores y superiores respectivamente.

Autor: R. Figueroa G. Pág.143 III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL:

DEFINICIÓN 1:

Sea una función con valores reales definidos en : Sea un punto de acumulación de A.

Diremos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia y escribiremos

si para cada número real , dado arbitrariamente podemos

encontrar tal que si y | | entonces | | . Definición simbólica:

Sea es punto de acumulación de A.

| | | |

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

(8)

DEFINICIÓN 1:

Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en el numero mismo. Se dice que L es el límite de la función f en sin y sólo si para cada número existe un número tal que si

con la propiedad de que si:

Formalmente: | | | | | | | | ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pág.151 III.1.4 OBSERVACIONES:

III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1:

Sea puno de acumulación de , entonces:

Es decir, si alguno de estos límites existe entonces, el otro también existe. DEMOSTRACIÓN:

1) Si  ; tal que:

| |  | |

2) Hagamos que: ; donde si entonces

3) Sustituimos 2) en 1):

| | | |

Por tanto esto implica que:

(9)

Autor: Moisés Lázaro C. Pág. TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE:

Si existe este es único.

DEMOSTRCIÓN:

Sea punto de acumulación de

Si , entonces:

1) Debemos comprobar que: | | , lo cual implica:

2) Por hipótesis se tiene:

Luego dado cualquier existe tales que para:

| | | |

3) Obtenemos: { }. Como es punto de acumulación de A podemos

encontrar tal que | | . Entonces:

| | | | | | | |

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. TEOREMA 3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH:

Sea punto de acumulación de

Si para todo tenemos y además:

, entonces:

(10)

III.1.5. LÍMITES LATERALES: Los limites laterales de f, por la izquierda y por la derecha de , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la función f a los subconjuntos siguientes:

 .

b) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: Definición:

L es el límite por la derecha de si dado: tal que:

Se lee: “Límite lateral derecho de f en ” c) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA:

Definición:

El valor L es el límite de f por la izquierda de si:

 Dado , que depende de y del punto tal que:

| |

O equivalentemente:

| |

Denotación: Se lee: “Límite lateral izquierdo de f en ” III.1.5.1. TEOREMAS:

Si f está definida en un entorno reducido de a, y si entonces se cumple que:

(11)

III.1.6 LÍMITES INDETERMINADOS: Las formas indeterminadas más usadas son:

a) b) c)

Otras formas indeterminadas son:

a) b) c) d)

1. Cálculo de límites indeterminados de forma:

Si , entonces para evitar la indeterminación se harán ciertas operaciones en el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio . Casos que se presentan:

CASO I:

Si son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y ,

entonces la indeterminación se evita tan solo FACTORIZANDO el numerador y/o el denominador , de modo que el binomio se simplifique así:

.

CASO II:

Si son RADICALSE y , entonces la indeterminación se evita RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador.

CASO III:

Si son FUNCIÓNES TRIGONOMETRICAS, y , entonces la indeterminación se evita haciendo uso del teorema de y algunas

identidades trigonométricas.

ANALSIS MATEMATICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.7 LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x:

Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, máximo entero y signo de x, se deberá tener en cuenta las correspondientes definiciones:

(12)

1. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO:

| | . . 2. DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO:

⟦ ⟧ 3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X:

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.10. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS:

Para calcular límites trigonométricos, se hará uso del siguiente teorema:

De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes:

ANÁLSIS MATEMÁTICO I LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.9. LÍMITES FINITOS:

(13)

III.1.11. ASÍNTOTAS:

1) ASÍNTOTA VERTICAL: La recta se una asíntota vertical de la gráfica de la

funcion de si:

i. Si tal que

siempre que:

ii. Si tal que

siempre que:

iii. Si tal que

siempre que:

iv. Si tal que

siempre que:

2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: La recta se una asíntota horizontal de la

gráfica de la funcion de si:

i. Sea A es ilimitado superiormente.

Dada , escribamos: Sí y sólo si: Tal que: | | ii. Dada , A es ilimitado inferiormente.

Dado que existe un número ,

Tal que:

| |

3) ASÍNTOTA OBLICUA: la recta es asíntota oblicua de la gráfica de la

función si se cumple lo siguiente:

i. [ ]

(14)

III.2. CONTINUIDAD III.2.1. DEFINICIÓN:

La idea de continuidad de una continuidad de una función f en un punto de su

dominio[ ], es decir que la gráfica no tenga rupturas tipo salto vertical a lo largo de la recta vertical . La función f es continua en si par cada , existe un tal que:

| | | | GRÁFICA ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.307 III.2.2 DEFINICIÓN2: Sea

Si es punto que pertenece al dominio de en el cual no es continua, entonces

decimos que es discontinua en o que tiene una discontinuidad en

(15)

III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO:

Se dice que una función es continua en si y solo si:

Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son: Funciones polinómicas: Funciones racionales: Funciones trigonométricas:

 y es continua en todo punto de

 , en todo tal que .

 en todo tal que

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G.

pag.308

Para que valores de la función definida es continua:

Solución:

Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en Analicemos la

continuidad en cada caso. 1. Continuidad en

(16)

i) f está definida en pues en -3 = -2 ii) si está en la vecindad de 1 y , entonces los valores de f se acumulan

cerca de:

Si esta en la vecindad de 1 y , entonces los valores de f se acumulan cerca de:

Como

existe

iii) se cumple que:

, luego f es continua en

2. continuidad en

i) en [ , existe.

ii) Si está en la vecindad de 2 y , entonces los valores de f se acumulan cerca de:

Si está en la vecindad de 2 y , entonces los valores de f se acumulan cerca de:

Como

iii) No se cumple la condición:

Entonces la función f no es continua en

En consecuencia, la función es continua en todo su dominio, excepto en

(17)

Sea la función:

| |

Analizar la continuidad de f en los puntos

Solución:

Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos:

1. Continuidad en i) ii) Luego, existe iii) Como , la función es discontinua en

2. Análogamente se determina que también f es discontinua en

(18)

3. La grafica de f es:

III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES:

Una función es continua y solo si, para próximo a , es próximo a

[ ]

Pag.309 III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD:

Se dice que una función es continua en el punto si, y solo si, se satisfacen

las siguientes condiciones:

i. esta definida, es decir, existe .

ii. Existe . iii. ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.309 III.2.6. DISCONTINUIDAD:

III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD:

En términos de la gráfica de una función, la discontinuidad implica una interrupción, un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica, originadas por dos motivos:

a) Que el existe, pero debe ser diferente a

(19)

Pag.315

III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD:

1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidad

removible o evitable si se cumple lo siguiente:

i. . ii. Graficas: ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.315

2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidad

esencial o inevitable si se cumple que:

i.

ii.

(20)

Pag.315 Se puede distinguir dos clases de discontinuidad:

 DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:

 Discontinuidad finita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:



 Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: se cumple lo siguiente:



 DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en

Es decir:

Si esto ocurre también se denomina discontinuidad infinita.

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. Sea la función:

(21)

Analizar la continuidad de f en todo su dominio. Solución:

Teniendo en cuenta que: =

1, si √ √ 0, √ -1, √ √ Entonces:

Analicemos ahora las condiciones de continuidad en 1. Continuidad en i) ii) ( )

Dado que existe

iii) Se cumple que:

(22)

2. Continuidad en i) ii) ( ) Como no existe

iii) No se cumple que:

3. Continuidad en

Como no está definida, pues

Si existe, significa que Luego la extensión continua de la función f en es:

Sea la función:

√ , si 1

, si

Esbozar la gráfica mostrando todas las asíntotas existentes e indicar los puntos de discontinuidad.

Solución:

1. Intersección con los ejes coordenados. En ]

(23)

b) Eje y: ] No hay intersección. En

a) Eje y: La curva pasa por el origen. 2. Asíntotas verticales Para √ √ , ] _√ ; _√

Luego, es una asíntota vertical en ambos sentidos. Para

Es una asíntota vertical hacia abajo.

3. Asíntotas horizontales 6 | |√ 7=-1 (par | |

Entonces, es una asíntota horizontal

* += No existe asíntota horizontal.

4. asíntotas oblicuas

En : = No existe asíntota oblicua izquierda.

En : = =1 = [ ] =-2

Luego, es una asíntota oblicua derecha. 5. Puntos de continuidad

(24)

1)=

√ √ , existe

Además como 1), no existe pues y

Existe; entonces es un punto de discontinuidad evitable y podemos redefinir.

{ }

, si

III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL:

III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA:

Una función es continua por la derecha de , si y sólo si: i. existe.

ii.

[ | | ε

(25)

Una función f es continua por la derecha en si para cada existe un correspondiente tal que:

[ | | ε i) está definida. ii) ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: A. Venero B. Pag.348 III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA:

Una función es continua por la izquierda de si y sólo si:

i. existe. ii. ] | | ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.324

Una función f es continua por la izquierda en si para cada existe un correspondiente tal que:

| | ε i) está definida. ii) ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: A. Venero B. Pag.348

(26)

III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS:

III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: DEFINICIÓN1:

Una función es continua sobre un conjunto , si la función restringida, denotado por es continua en cada punto de

Según la forma de

a) Si 〈 〉 la función es continua sobre 〈 〉 , si es continua 〈 〉 se cumple:

b) Si [ ], la función es continua sobre [ ] , si se cumple:

i.

ii.

c) Si [ , la función es continua sobre [ , si se cumple:

d) Si ] la función es continua sobre ] , si se cumple: ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.329 DEFINICIÓN2:

La función f se dice que es continua sobre un conjunto si la función

restringida es continua en cada punto de De manera que:

 Si 〈 〉 la definición dada resulta equivalente a:

La función es continua sobre 〈 〉 si es continua cada punto de 〈 〉

 Si [ ] la definición dada resulta equivalente a: La función es continua sobre [ ] .

(27)

Determinar la continuidad de la función | |en el intervalo[ ] Solución: La función f es discontinua en

Sin embargo f es continua sobre el conjunto

[ . ]

En consecuencia, la función f es continua en [ ]

La función definida por:

Es continua sobre Solución:

Dado que f es continua en , lo será en [ ]

EJEMPLOS 1

(28)

i) ( ) ( ) = () = ii) Sea entonces Luego pero como [( ) ( ) ]=

Por lo tanto, f será continua en [ ], si definimos:

Sea la función:

, si

⟦ ⟧ , si [ ] { }

Hallar las asíntotas de la gráfica, analizar la continuidad de f en [

Solución:

a) Determinación de las asíntotas 1. Asíntotas horizontales:

En

asintotas horizontales.

2. Asíntotas verticales:

(29)

En

es una asíntota

vertical hacia arriba. En

( ⟦ ⟧)

Entonces es una asíntota vertical hacia arriba. 3. Asíntotas oblicuas: En * ₊ [ ]

Por lo tanto es una asíntota oblicua derecha

b) Continuidad de f en [ Continuidad en :

i) ⟦ ⟧

Luego, f es continua por la izquierda de ydiscontinua en Continuidad en [ ] { } ( ) ⟦ ⟧ Entonces [ ] ⟦ ⟧

(30)

III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS:

III.2.9.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE:

Una función está acotada superiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado superiormente, es decir, si existe un número real tal que

Pag.341

III.2.9.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE:

Una función está acotada inferiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado inferiormente, es decir, si existe un número real

tal que

(31)

Hallar el supremo e ínfimo de la función , si [ ] Solución: Sea = [ ] Si [ ] Invirtiendo se tiene: [ ] Luego: { [ ]} ,* +- { [ ]} {[ ]} Sea la función: | | Y S= { } Hallar si existen el y el . Solución:

Como la función seno es acotada, esto es: y | |

| | | | ]

EJEMPLOS 1

(32)

Por consiguiente:

, { }- ]

, { }- ] 0

Como Grafica

III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO:

Sea [ ] una función continua en [ ] Si y tiene signos opuestos, es decir, si:

Ó

Entonces existe un número c en el intervalo abierto 〈 〉

Pag.349

Usando el teorema del cero, demostrar que la parábola se intersecta con la curva

Solución:

1. Sean A: C √

NOTA: Este teorema tiene su aplicación en la solución de ecuación de la forma

𝒇 𝒙 𝟎.

(33)

2. Si P( A

√ √

P( C √

3. Sea la función √ que es continua en [ ]

4. Analicemos el signo que toma la función f en los extremos de los intervalos [ ] y [ ] Si √ a) Para [ ] Si √ Si √ b) Para [ ] Si √ 5. Por tanto la parábola A intercepta a la curva C en dos puntos:

] Y [

Sin resolver la ecuación hallar el número de

sus raíces reales. Solución:

Sea , continua

Por el teorema del cero sabemos que si y , entonces existe

(34)

Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con el antecedente de la condición dada, esto es:

1. 2. 3.

(35)

III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO):

Sea [ ] una función continua en [ ] y [ ] o [ ]. Entonces y existe un número c entre a y b tal que:

GRAFICA

Pag.351

III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL:

Si es continua en el punto , entonces existe un número , tal que está acotada superiormente en el intervalo abierto 〈 〉es decir, existe un número

real ; tal que:

| | 〈 〉

(36)

III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL:

Sea [ ] una función continua sobre [ ], se verifica que es acotada sobre [ ]

Pag352

III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass):

Si es una función continua sobre [ ], entonces existe [ ] en los cuales

la función toma su valor máximo y su mínimo

[ ] [ ]

[ ]

Pag.353 III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD:

Sea es una función univalente. Si es continua sobre el intervalo [ ], entonces la función inversa es continua sobre el intervalo con extremos en los

puntos .

Pag.354 III.2.5. OBSERVACIONES:

1. Debido a la definición dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de f en puntos del dominio de

2. No es necesario la restricción: | | , pues al pertenecer al

entonces para también se cumple que: | | ,

puesto que | | .

3. Si es además un punto de acumulación del entonces se tiene en forma equivalente que:

 F es continua en si se cumple las tres condiciones:

i. está definido.

ii.

(37)

4. Si no es apunto de acumulación del entonces f resulta

automáticamente continua en . En efecto:

Existe una vecindad de de radio donde no existe ningún otro punto

del que sea diferente de de esta manera la condición | | es satisfecha por un único punto y para el

cual:

(38)

(39)

MISCELÁNEA DE EJERCICIOS 1. Evaluar los siguientes límites:

a)

(

√ √

)

Solución:

i. Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .

ii. Factorizamos tratando de eliminar

,

que es el factor que da la forma indeterminada: . √ √ / . √ √ / . √ (√ ) / ( 0 √ [ √ (√ ) ] √ (√ ) 1 0 (√ )(√ ) (√ ) 1 ) ( 0 √ √ (√ ) 1 [ (√ ) (√ ) ] ) ( 0 √ (√ ) 1 0 (√ )1 ) ( 20 √ (√ ) 1 0(√ )1 3 ) ( ) 20_√ _(√₎ 1 0_(√₎1 3

(40)

0_√ _(√₎ 1 0_(√₎1

iii. Levantamos el límite:

0 √ (√ ) 1 0(√ )1 b)

(

√ √

)

. √ √ / Solución:

,

que es el factor que da la forma indeterminada: 4 ( √ ) (√ ) 5 ( ( √ ) (( √ ) √ ) ((√ ) √ ) (√ ) (√ ) (√ ) ) ( (( √ ) ) (( √ ) √ ) .√ / (√ ) ) ( (( √ ) √ ) (√ ) ) ((√ ) √ ) (√ )

(41)

( 6_((√₎ _√₎ _(√₎ 7 ) ( 6_((√₎ _√₎ _(√₎ 7 ) iii. Levantamos el límite:

((√ ) √ ) (√ ) c)

(

√ √

)

Solución:

i. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

ii. Factorizamos tratando de eliminar , factor que da la forma indeterminada: . √ √ / ( ( √ )( √ ) ( √ ) (√ )(√ ) (√ ) ₎ ( ( (√ ) ) ( √ ) ((√ ) ) (√ ) ) ( ( √ ) ( ) (√ ) ₎

(42)

( ( √ ) (√ ) ) ( ( √ ) (√ )) ( ( √ ) (√ )) ( ( √ ) (√ )) ( ( √ ) (√ ))

iv. Levantamos el límite:

( √ ) (√ ) d)

(

√ √ √ √ √ √

)

Solución:

v. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

vi. Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la forma indeterminada:

(43)

. √ √ √ √ √ √ / ( (√ )(√ ) (√ ) (√ )(√ ) (√ ) √ √ √ (√ )(√ ) (√ ) (√ )(√ ) (√ ) (√ )(√ ) (√ ) ₎ ( (√ ) (√ ) (√ ) √ √ √ (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) ) ( (√ ) √ √ (√ ) (√ ) (√ )) ( (√ ) √ √ (√ ) (√ ) (√ )) ( . (√ ) √ √ / . (√ ) (√ ) (√ )/₎ ( . (√ ) √ √ / . (√ ) (√ ) (√ )/₎ ( (√ ) √ √ (√ ) (√ ) _{(√ ))}

vii. Levantamos el límite:

(√ ) √ √ (√ ) (√ ) (√ )

(44)

e)

(

√ √

)

Solución:

viii. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

ix. Factorizamos tratando de eliminar

,

que es el factor que da la forma indeterminada: . √ √ / . √ (√ ) / ( (√ )(√ ) (√ ) (√ ) (√ √ ) (√ √ ) ) ( (√ ) (√ ) (√ ) (√ √ ) ) ( (√ ) (√ √ ) ) ( (√ ) (√ √ ) ) ( 4_{(√ )} (√ √ ) 5 ) 4_{(√ )} _(√ _√ ₎ 5

(45)

4 (√ ) _((√₎ _√ ₎ 5 ( ) f)

(

⟦ ⟧ ⟦ ⟧

)

Solución:

i. Determinamos el valor absoluto:

 ⟦ ⟧ ⟦ ⟧  ⟦ ⟧ ⟦ ⟧

ii. Evaluamos el límite:

. ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ / ( )

(46)

g)

(

√

)

Solución:

,

que es el factor que da la forma indeterminada: . √ / . √ / ( ) . √ / ( ) .( √ )( √ ) ( √ ) / ( ) ( (√ ) ( √ ) ) ( ) ( (√ ) ( √ ) ) ( ) . ( √ )/ ( ) ( ) ( √ )

( ) (

√ )

(47)

h) ((√ √ ) ) . (√ √ ) / Solución:

iv. Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .

v. Factorizamos tratando de eliminar

,

que es el factor que da la forma indeterminada: . (√ √ ) / . (√ √ )(√ √ ) (√ √ ) / 4 *(√ ) (√ ) + (√ √ ) 5 4 *(√ ) (√ ) + (√ √ ) 5 . [ ] (√ √ )/ . [ ] (√ √ )/ . [ ] (√ √ )/ . (√ √ )/

vi. Levantamos el límite:

(√ √ )

(48)

i)

(

)

Solución:

,

que es el factor que da la forma indeterminada: ( ) . / . / . / . / ( )

√ √

j)

(

)

Solución:

ii. Factorizamos tratando de eliminar que es el factor que da la forma

indeterminada: . / . /

(49)

4 ( ) ₅ 4 ( ) ₅ . ( ) / . ( ) / . ( ) / . ( ) ( ) / . ( ) ( ) /

iii. Levantamos el límite:

k)

(

)

Solución:

i. Podemos expresar el límite de la siguiente forma:

( )

ii. Al evaluar el límite del numerador, tenemos la forma indeterminada . iii. Pero cuando evaluamos el límite del denominador obtenemos:

iv. Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento:

(50)

ii.2. Donde: ii.3.

ii.4 evaluamos para

( ) ( )

Al levantar el límite obtenemos:

Como: v. Por último: l)

*

+

Solución:

(51)

0 1

ii. Al evaluar los límites, tenemos la forma indeterminada . iii. Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente

procedimiento: iii.1. iii.2. Donde: iii.3.

iii.4 evaluamos para

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Como:

(52)

iv. Para determinar el límite del denominador, seguiremos el siguiente procedimiento: iv.1. ( ) iv.2. Donde: iv.3.

iv.4 evaluamos para

( ) ( )

Como: v. Por último:

(53)

2. Dada la circunferencia de radio y centro , en donde se cumple que , calcular el límite cuando tiende hacia del cociente entre el área del triángulo

y el área del triángulo

Solución:

i. Reemplazamos y completamos datos:

ii. Calculamos el límite:

Cuando tiende a , entonces

iii. Determinamos el área del triángulo :

iv. Determinamos el área del triángulo :

v. Determinamos :

vi. Reemplazamos en el límite:

B C D O A B C D O A 𝑅 sen 𝜃 𝑅 cos 𝜃 𝑅 𝑅 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝑎

(54)

.( _{) /}

vii. Levantamos el límite:

3. Analizar la continuidad de la función en el punto , siendo:

Solución: i. Por definición: ( ) ii. Si 〈 〉 〈 〉 iii. Analizamos: iii.1.

Tratamos de eliminar , factor que le da la forma indeterminada

(55)

Levantamos límite: iii.1

Tratamos de eliminar , factor que le da la forma indeterminada Levantamos límite:

Nos podemos dar cuenta que:

4. Analizar la continuidad de la función dada por:

√ ⟦ ⟧

Solución:

a) Determinamos la continuidad en el punto : i.

ii. Como , analizamos el límite por la derecha de :

(56)

 Evaluamos el límite: b) Determinamos la continuidad en el punto :

i. √ ⟦ ⟧ Determinamos: ⟦ ⟧

√ √

⟦ ⟧

ii. Como , analizamos el límite por la izquierda de

 Evaluamos el límite: 5. Dada la función: ⟦ ⟧ √

Hallar los valores de y para que sea una función continua en Solución:

c) Determinamos la continuidad en el punto :

i. ii. √ ⟦ ⟧  Determinamos ⟦ ⟧ para ⟦ ⟧

(57)

 Evaluamos los límites:

√ ⟦ ⟧

6. Hallar los valores de las constantes y que posibilitan la continuidad, en todo su dominio, en las funciones dadas:

a) √ √

√ √

⟦ ⟧ Solución:

i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1.

i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales:

⟦ ⟧ √ _√ √ √  Evaluamos para: ⟦ ⟧ Determinamos ⟦ ⟧: ⟦ ⟧

Reemplazamos y levantamos el límite:

⟦ ⟧  Evaluamos para: √ √

(58)

√ √ √ √ √ _√ √ √ (√ )(√ ) (√ ) √ √ √ √ √ _√ (√ ) (√ √ ) (√ √ ) (√ ) (√ ) √ √ √ _√ ((√ ) ) (√ √ ) (√ ) √ _√ _(√ _√ ₎ (√ ) √ _√ _(√ _√ ₎ . (√ ) √ / 4 √ _(√ _√ ₎5 . (√ ) √ / 4 √ _(√ _√ ₎5 Levantamos el límite: . (√ ) √ / 4 √ _(√ _√ ₎5 ( ) ( ₎

(59)

ii. Por último: ⟦ ⟧ √ _√ √ √

b)

√ √

√

Solución:

i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1.

i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales:

√ √ √  Evaluamos para: _√ √ √ √ √ √ √ √. / Levantamos el límite: √

Basta decir que uno de los límites es indeterminado para decir que no existe continuidad en el punto