Semana 4- Sesiones 7 y 8 - Pruebas de Hipotesis Para Dos Poblaciones

Plan de clase

Inicio • Competencias • Motivación. • Saberes previos. Contenido de sesión

• Prueba de hipótesis para el cociente de dos varianzas poblacionales. • Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con

varianzas conocidas. • Ejercicios resueltos.

Cierre

• Retroalimentación. • Autoevaluación

Un estudio estadístico sobre el uso de cajeros automáticos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para varones y mujeres tienen distribución normal con la misma media y con varianza respectivas de 64 y 49 dólares2_.

Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para investigar más al respecto, se

seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respectivas de 200 y 205 dólares. Al nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?

Competencias

Al termino de la sesión, el

estudiante

estará

en

capacidad de:

 Realiza pruebas de hipótesis

para el cociente de dos

varianzas poblacionales en

problemas contextualizados.

 Realiza pruebas de hipótesis

para la diferencia de medias

poblacionales con varianzas

conocidas en problemas.

Pruebas de hipótesis para la igualdad

de varianzas poblacionales

Supuestos para realizar la prueba

• Poblaciones normales

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA 1. Hipótesis 2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba 4. Valor crítico 5. Decisión Rechazar H₀ si: 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 : :       H H 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 : :       H H 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 : :       H H 1 2 , 1 1 2 2 2 1     _{n n} c F S S F     1 , , , , 1 : n m m n F F También   ; 1 , 1 1 ; 1 , 1 2 1 2 1        n n cal n n cal F F o F F      _{1, 1;1} 2 1 n n cal F F Fcal  Fn₁1,n₂1;_

Ejemplo 1

Oswaldo Clark acaba de adquirir dos fábricas de papel y está preocupado porque cree que tiene una variabilidad significativamente diferente en sus producciones, aún cuando las dos plantas producen aproximadamente la misma cantidad promedio de papel cada día. La siguiente información se obtuvo para determinar si las preocupaciones del señor Clark son justificadas. Al nivel de significación del 5%, ¿las dos plantas revelan la misma variabilidad en su producción?

Planta

Tamaño muestra

Varianza

A

31

984 toneladas cuadrado

B

26

1136 toneladas cuadrado

“LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO ENTIENDO.”

1.- Hipótesis nula: Hipótesis alterna

Preocupación Sr. Clark no justificada Preocupación Sr. Clark justificada

2.-  = 0.05

3.- Estadístico de prueba

La variable de estudio producción (X), y se distribuye como una normal.

4.- Valor crítico

5.- Decisión

Decisión: A un nivel de significación del 5%, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar que la variabilidad de la producción en ambas plantas son iguales; por lo tanto, la preocupación del Sr. Clark no está justificada. 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 :







H :







H 87 . 0 2 2 2 1   S S F_C 472 . 0 12 . 2 1 1 18 . 2 025 . 0 ; 30 ; 25 975 . 0 ; 25 ; 30 025 . 0 ; 25 ; 30     F F F 0.87 . H rechaza se no , 18 . 2 , 472 . 0 87 . 0 c Como 0     F

Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos tiendas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la tienda B cree que sus ventas son más consistentes. A continuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las últimas 10 semanas en la tienda A y durante las últimas 11 semanas en la tienda B.

Ejemplo 2

Tienda A 32 35 34 35 32 30 33 31 31 33

Tienda B 39 38 40 42 45 44 35 32 36 38 37

Al nivel de significancia de α =0.05, ¿son homogéneas las varianzas de las ventas semanales.

Suponga que las ventas en cada tienda se distribuye como una normal y que las muestras son independientes.

Pruebas de hipótesis para la

diferencia de medias poblacionales

Supuestos para realizar la prueba

• Poblaciones normales

Caso A: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas



₁2 y ₂2 son conocidas



PASOS UNILATERAL A LA

IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA 1. Planteamiento de hipótesis 0 2 1 1 0 2 1 0 : μ μ μ : H        H 1 1 2 0 0 2 1 0 : :           H H 0 2 1 1 0 2 1 0 : :           H H 2. Nivel de significación: α 3. Estadístico de Prueba ( ) (0,1) 2 2 2 1 2 1 0 2 1 N n n x x Z_cal         4. Valor crítico 5. Decisión Rechazar H₀ si: Z_cal < Z_ Rechazar H₀ si: Z_cal < Z_/2 o Z_cal > Z_1-/2 Rechazar H₀ si: Z_cal > Z_1-

Un estudio estadístico sobre el uso de cajeros automáticos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para varones y mujeres tienen distribución normal con la misma media y con varianza respectivas de 64 y 49 dólares2_.

Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para investigar más al respecto, se

seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respectivas de 200 y 205 dólares. Al nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?

0 : 0 : 2 1 1 2 1 0         H H 2. α = 0.01 51 . 2 25 19 20 64 0 ) 205 200 ( ) ( 2 2 2 1 2 1 0 2 1           cal cal Z n n x x Z    1. Planteamiento de hipótesis 3. Estadístico de prueba 4. Valores críticos Z₀ = Z_1/2 = 2.58 - Z₀ = Z_/2 = -2.58 5. Decisión

Como Z_cal = -2.51 se encuentra en

la región de rechazo, entonces no se rechaza H₀. Con un nivel de

significancia del 1%, existe

evidencia estadística para concluir que las medias en ambos grupos

son diferentes. Es decir, el

movimiento diario en los cajeros automáticos es el mismo tanto para varones como mujeres.

PASOS UNILATERAL A LA

IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA 1. Planteamiento de hipótesis 0 2 1 1 0 2 1 0 : μ μ μ : H        H 0 2 1 1 0 2 1 0 : :           H H 0 2 1 1 0 2 1 0 : :           H H 2. Nivel de significación: α 3. Estadístico de Prueba 4. Valor crítico 5. Decisión

Rechazar H₀ si: Rechazar H₀ si: Rechazar H₀ si: Caso B: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales

) ,

(₁2 y ₂2 no se conocen pero son estadísticamente iguales

1 2 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 2 c x x t n S n S n n n n          _     _{ }  ; 2 2 1   _{n n} cal t t 2 / 1 ; 2 2 1 2 / ; 2 2 1          n n ca l n n ca l t t o t t      n1 n2 2;1 ca l t t

Ejemplo 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 1.77 1.69 1.9 1.87 1.4 1.4 2 2.9 2.5 1.9 B 1 1.3 1.47 1.6 0.96 1.14 1.65 1.76 1.69 1.65

El dueño de una panadería tradicional, está preocupado porque sospecha que uno de sus hornos está produciendo panes con mayor cantidad de ceniza. Con la finalidad de comparar la calidad de pan francés producido por dos hornos A y B, se han medido mediante análisis en laboratorio el porcentaje de ceniza en 10 unidades de pan provenientes de cada uno de los hornos, si se demuestra que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%, entonces tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno afectado, deteniéndose su producción. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Al nivel de significancia del 5%, ¿Hay suficiente evidencia para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%?

Solución

Prueba de igualdad de varianzas utilizando Minitab

Test

Method DF1 DF2 Statistic P-Value F Test (normal) 9 9 2.37 0.214

Ho: La cantidad de ceniza producida por ambos hornos son homogéneos. H1: La cantidad de ceniza producida por ambos hornos NO son homogéneos.

Como p-valor = 0.214 > α = 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, la cantidad de ceniza en ambos hornos son homogéneas.

Paso 1: H₀: μ₁-μ₂ ≤0.2 H₁: μ₁-μ₂ >0.2   79 . 1 n 1 n 1 2 n n S 1) (n S 1) (n μ x x T 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1                       Cal Paso 5:

Como el Tcal = 1.79 > T₀ = 1.734, se rechaza H₀. Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%. Por lo tanto, se tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno A.

Paso 2:

α = 0.05

Pasos UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA 1. Planteamiento de hipótesis 0 2 1 1 0 2 1 0 : μ μ μ : H        H 0 2 1 1 0 2 1 0 : :           H H 0 2 1 1 0 2 1 0 : :           H H 2. Nivel de significación: α 3. Estadístico de Prueba 4. Valor crítico

5. Decisión Rechazar H0 si:

T_cal < t_{g, } Rechazar H₀ si: T_cal < t_{g, /2} o T_cal > t_{g, 1-/2} Rechazar H₀ si: 2 2 2 1 2 1 0 2 1 ) ( n S n S x x T_{ca l}      2 1 ) / ( 1 ) / ( 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1             n n S n n S n S n S g T_cal > t_{g, 1-}

Caso C: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes

) ,

Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos tiendas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la tienda B cree que sus ventas son más consistentes. A continuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las últimas 10 semanas en la tienda A y durante las últimas 11 semanas en la tienda B.

Problema 5

Tienda A 32 35 34 35 32 30 33 31 31 33

Tienda B 39 38 40 42 45 44 35 32 36 38 37

¿Está usted de acuerdo con el gerente de la tienda B?

Suponga que las ventas en cada tienda se distribuye como una normal. Al nivel de significancia de α =0.05

Prueba de Hipótesis para la igualdad de proporciones:



1

-



2

=



0 PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA 1. Hipótesis 2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba 4. Valor crítico 5. Decisión 0 2 1 1 0 2 1 0 : H : H













    0 2 1 1 0 2 1 0 : H : H           0 2 1 1 0 2 1 0 : H : H           1 2 0 1 1 2 2 1 2 ( ) (1 ) (1 ) C p p p Z p p p p n n      _       2 / 1 2 /      Z o Z Z Z_{cal cal}    1 Z Z_cal  Z Z_cal 

El jefe de calidad afirma que la proporción de unidades defectuosas del proveedor A es mayor que la del proveedor B en más de 3%. Si dos muestras aleatorias independientes de 200 unidades del producto de cada proveedor han dado 30 y 17 unidades defectuosas respectivamente para A y B ,

¿Esta usted de acuerdo con la afirmación del jefe de calidad? Use un nivel de significancia del 5%.

1.- Hipótesis nula: Hipótesis alterna

El jefe de calidad tiene la razón

2.-  = 0.05

3.- Estadístico de prueba

4.- Valor crítico 5.- Decisión

03 . 0 : H 03 . 0 : H₀



₁ 



₂  ₁



₁ 



₂ 

El jefe de calidad no tiene la razón

1.09 200 0.085) 0.085( 1 200 0.15) 0.15( 1 0.03 0.085) ( 0.15 B n ) B P ( 1 B P A n ) A P ( 1 A P 0 π ) B P A ( P cal Z              64 . 1 1  Z

Como z_cal = 1.09 < z₀ = 1.64, no se rechaza H₀. Con un nivel de significancia del 5%, no existe evidencia estadística que apoye la afirmación del jefe de calidad.

SÍNTESIS

 Pruebas de hipótesis para

igualdad de varianzas poblacionales.

 Prueba para la diferencia de

medias poblacionales.

• Caso A: Cuando las

varianzas poblacionales son conocidas.

• Caso B: Cuando las

varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

• Caso C: Cuando las

varianzas poblacionales son desconocidas pero

diferentes.

 Prueba de hipótesis ara la

METACOGNICIÓN

 ¿Qué aspectos te han parecido interesantes?

 ¿Qué contenido consideras más importantes del tema trabajado?

PARA REFORZAR LO APRENDIDO

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

1. Anderson, D. (2012) Estadística para Negocios y Economía. México: CENGAGE Learning

2. Chue, J. (2012) Estadística Aplicada. Lima: Universidad de Lima

3. Lind, D. (2012) Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: Mc Graw Hill

4. Pérez, C. (2013) Diseño de experimentos: técnicas y herramientas. Madrid: Garceta