PPL Programacion Lineal - Metodo Grafico

Programación Lineal, Uso del

Método Gráfico

PROFESOR:

FELIPE CASELLI

INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL

MASTER EN INGENIERÍA DE NEGOCIOS

DOCTOR © GESTIÓN AVANZADA DE EMPRESAS EN UNA

Programación Lineal

• Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal,

sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Encontrar x_j para (con j=1, …, n) Maximizar o Minimizar f(x₁,….,x_n) s.a Restricciones g_i(x₁,….,x_n) ≤ r_i i=1,….,m Variables de Decisión Función Objetivo = ≥

Programación Lineal

• Lo anterior quiere decir que el modelo debe cumplir con dos propiedades:

– Proporcionalidad: La contribución de cada variable de

decisión a la Función Objetivo (FO) y sus requerimientos en las restricciones debe ser directamente proporcional al valor de la variable (ej. Con el descuentos por volumen no se cumple la proporcionalidad)

– Aditividad: La contribución total de todas las variables en la FO y sus requerimientos en las restricciones, debe ser la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable (si el aporte de una variable depende del valor de otra variable, la aditividad no se cumple)

Programación Lineal

• Como ya se ha definido, un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:

– Un conjunto de variables de decisión – Una función objetivo

– Un conjunto de restricciones

• Asimismo, la solución óptima del modelo de PL pertenecerá a un:

– Espacio factible: conjunto de soluciones posibles que cumplen con las restricciones dadas por el modelo

– Vértice factible: punto de intersección de las rectas que delimitan el espacio factible de soluciones

Programación Lineal

• Un problemas de programación lineal con 2 variables acepta el uso del método gráfico de solución, dado que el espacio factible estará contenido en el plano cartesiano.

Modelo simple de Producción: Caso Producción Sillas y Mesas

• El dueño de un taller de carpintería desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir la próxima semana. Para ello cuenta con dos insumos (los más

importantes): madera y fierro. Además, dispone de mano de obra especializada, en particular el proceso de barnizado lo puede realizar una persona solamente. La disponibilidad de madera es de 100 m2, la de fierro es de 60 m lineales y el operario que barniza puede trabajar hasta 50 horas por semana.

• Para fabricar cada silla se requiere 1m2 de madera, 1m de fierro y 1 hora para barnizado; y para cada mesa se necesita 4m2 de madera, 2m de fierro y 1 hora para barnizado. Se desea decidir la cantidad de muebles que se deben fabricar de modo que el beneficio total sea máximo.

• El beneficio es de M$1 para cada silla y de M$3 para cada mesa.

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

• Variables de decisión:

• x1 = cantidad de sillas que se fabricarán durante la semana • x2 = cantidad de mesas que se fabricarán durante la semana

• Parámetros:

– Disponibilidad de los recursos

– Requisito de recurso por unidad de producto – Beneficio por unidad de producto

• Restricciones:

– Disponibilidad de los recursos:

• Madera: x1 + 4x2 ≤ 100 • Fierro: x1 + 2x2 ≤ 60 • H-H Barnizado: x1 + x2 ≤ 50

– No-negatividad de las variables:

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

• En el plano cartesiano graficar cada una de las rectas de restricción

– Determinar espacio factible

• Calcular los puntos de intersección de las

rectas de restricción que se encuentran dentro del espacio factible

– Determinar los vértices factibles

• Determinar el vértice que entrega la mejor solución de la función objetivo

MÉTODO GRÁFICO: Caso Producción Mesas y Sillas

Área punteada

indica el espacio

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

Restricción Madera:

x₁ + 4x₂ ≤ 100

REGIÓN INFACTIBLE

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

Restricción Fierro: x₁ + 2x₂ ≤ 60 Restricción Madera: x₁ + 4x₂ ≤ 100 REGIÓN FACTIBLE

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

(2) Restricción Fierro: x₁ + 2x₂ ≤ 60 (1) Restricción Madera: x₁ + 4x₂ ≤ 100 REGIÓN FACTIBLE (3) Restricción Barnizado: x₁ + x₂ ≤ 50 E B A 5 VÉRTICES FACTIBLES Identificar dirección de crecimiento de z Max z = x1 + 3x2

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

REGIÓN FACTIBLE E B A Identificar dirección de crecimiento de z Max z = x1 + 3x2

14 E D C B A (2) Restricción Fierro: x₁ + 2x₂ ≤ 60 (1) Restricción Madera: x₁ + 4x₂ ≤ 100 REGIÓN FACTIBLE (3) Restricción Barnizado: x₁ + x₂ ≤ 50 RESTRICCIONES ACTIVAS DEL PROBLEMA

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

• Variables de Holgura del problema

permiten identificar la cantidad de recurso que quedará disponible o sin utilizar, la variable de holgura se obtiene de la diferencia entre el lado derecho y el izquierdo de las restricciones.

h1 = 100 – x1 – 4x2 h2 = 60 – x1 – 2x2 h3 = 50 – x1 – x2

MÉTODO GRÁFICO: Caso

Producción Mesas y Sillas

Punto x1 (sillas) x2 (mesas) Z (beneficio) x3 (madera) x4 (fierro) x5 (h-h) A 20 20 80 0 0 10 B 40 10 70 20 0 0 C 50 0 50 50 10 0 D 0 0 0 100 60 50 E 0 25 75 0 10 25

MÉTODO GRÁFICO, ejercicio

• Una compañía de automotores fabrica camiones y automóviles.

• Cada uno de los vehículos debe pasar por el taller de pintura y por el de ensamble.

• Si el taller de pintura pintara sólo camiones, entonces podría pintar 40 por día. Si pintara sólo automóviles, entonces podría pintar 60 vehículos diarios.

• Si el taller de ensamble se destinara sólo a ensamblar automóviles, entonces podría procesar 50 al día, y si sólo produjera camiones, procesaría 50 por día.

• Cada camión contribuye con 250 dólares a la utilidad, y cada automóvil contribuye con 200 dólares.

• El gerente de Producción le ha encargado a UD que decida la cantidad óptima a producir.

MÉTODO GRÁFICO, ejercicio:

Modelo

• Sean:

– X1: La cantidad, en unidades, de camiones a producir por día. – X2: La cantidad, en unidades, de automóviles a producir por

día.

• FO: Max Z = 2,5x1 + 2x2 S.a.

Limitación Taller Pintura:

Limitación Taller Ensamble: No negatividad 0 2 , 1 1 2 50 1 1 50 1 1 2 60 1 1 40 1 ≥ ≤ + ≤ + x x x x x x

Resultado ejercicio

MÉTODO GRÁFICO,

ejercicio Modificado

• ¿Qué sucedería si

cada camión aportara

con 300 dólares a la utilidad? (aumento

de 50 dólares respecto del enunciado

anterior)

Manteniendo el aporte que hace cada

automóvil (200 dólares)

MÉTODO GRÁFICO,

ejercicio modificado

• Sean:

– X1: La cantidad, en unidades, de camiones a producir por día. – X2: La cantidad, en unidades, de automóviles a producir por

día.

• FO: Max Z = 3x1 + 2x2 S.a.

Limitación Taller Pintura:

Limitación Taller Ensamble:

1 2 50 1 1 50 1 1 2 60 1 1 40 1 ≥ ≤ + ≤ + x x x x

Resultado

• Se mantiene el punto A como punto óptimo de solución

• Bajo la nueva

condición hay múltiples puntos de solución,

donde con todos se obtiene el mismo valor de FO

• Tanto el punto A como el B (y todos los

intermedios) dan como resultado $120.000

A: (20,30)

B: (40,0)

MÉTODO GRÁFICO, Análisis

de Sensibilidad

• Estudio de las condiciones de los parámetros

para mantener las características de la solución óptima.

• Se analiza el rango de variación de los valores de un solo parámetro a la vez, asumiendo que el resto no varía.

• Los parámetros que se acostumbra a estudiar en la práctica son los coeficientes de la función objetivo y del “vector lado derecho”

MÉTODO GRÁFICO, Análisis

de Sensibilidad

Sensibilidad coeficientes Función Objetivo

• ¿Cuál es el rango de variación del valor de un coeficiente de la función objetivo, de modo que el punto óptimo continúe siendo óptimo?

• Geometría: modificación de la pendiente de la recta (o hiperplano) que representa la función objetivo, en torno al punto óptimo.

• Por lo tanto, para que no varíe el punto óptimo las restricciones activas no deben dejar de

Caso mesas y sillas

MÉTODO GRÁFICO, Análisis

de Sensibilidad

• Sensibilidad coeficientes Función Objetivo: z = 1x₁ + 3x₂

z’ = c₁x₁ + c₂x₂

• Para que se mantenga el punto como solución Optima, la

variación de los coeficientes no debe cambiar las restricciones activas: 1) x₁ + 4x₂ ≤ 100 → 2) x₁ + 2x₂ ≤ 60 → – ¼ ≤ c₁/c₂ – c₁/c₂ ≤ ½ – c₁/c₂ [¼ ; ½] ó – c₂/c₁ [2 ; 4] – c₂/c₁ ≤ 4 – 2 ≤ c₂/c₁

MÉTODO GRÁFICO, Análisis

de Sensibilidad

Sensibilidad coeficientes vector lado derecho:

• ¿Cómo puede variar el valor de un coeficiente del lado derecho de manera que las

características del punto óptimo se mantengan? (Restricciones activas sigan siendo activas, lo mismo con las no activas)

• Geometría: desplazamiento paralelo de la recta (o hiperplano) asociada a la restricción

Caso mesas y sillas

MÉTODO GRÁFICO, Análisis de Sensibilidad Caso Producción

Mesas y Sillas

• Sensibilidad coeficientes vector lado derecho fierro:

– Recta restricción 2 se puede desplazar desde el punto E hasta el punto H para se mantenga activa.

x₁ + 2x₂ ≤ f E(0,25) → 0 + 2*25 ≤ f f ≥ 50 H(100/3 , 50/3) → 100/3 + 2*50/3 ≥ f f ≤ 200/3 f → [50,200/3]

Dado el siguiente problema de programación lineal que representa la producción de los productos X e Y, con el objeto de minimizar los

costos de producción: MIN Z = X + 5Y s.a: [R1] 30X + 120Y >= 380 [R2] - 30X + 90Y <= 200 [R3] 30X - 90Y <= 250 ¿Cuál es el rango en el que puede variar la relación de costos del producto Y respecto del producto X para

mantener el punto óptimo actual?

¿Cuál es el rango en el que puede variar la relación de costos del producto Y respecto del producto X

para mantener el punto óptimo actual?

• Siendo C1 y C2 las variables que representan el coeficiente de X e Y en la función objetivo respectivamente, para determinar el rango en el que puede variar la relación C2/C1 se determina con las restricciones activas del problema, en este caso R1 y R3:

• [R1] 30X + 120Y -> • [R3] 30X - 90Y ->

• Dado el punto en el que se encuentra el óptimo, si se quiere el rango permitido para la relación C2/C1, entonces:

4 30 120 1 2 = ≥ C C 3 30 90 1 2 _≤ − _{= −} C C

¿Cuál es el rango en el que puede variar la cantidad disponible del recurso 3 para que se mantengan las restricciones activas actuales?

• La restricción 3 (R3) podría disminuir hasta quedar paralela a R2-> R3=200

– Si disminuye más el problema no tendrá solución factible (conflicto con R2)

• R3 puede aumentar hasta la intersección de R1 con el origen.

– Si disminuye más, éstas pasan a ser las activas

Casos de Problemas de

Programación Lineal (PPL)

• Problema con una única Solución

• Problema con múltiples puntos de solución óptima (múltiples soluciones)

• Problema Sin Solución Factible

Casos de PPL: Problema con múltiples puntos de solución

Casos de PPL: Problema sin

solución (no factible)

Casos de PPL: Problema con

conjunto factible no acotado