CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO1.docx

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CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO

1. 1. Problema

Problema 16.3

16.3

El gancho se mueve desde el

El gancho se mueve desde el reposo con aceleración dereposo con aceleración de20 /20 /.. Si se Si se encuentraencuentra unido a una cuerda que esta enrollada alrededor del tambor, determine la unido a una cuerda que esta enrollada alrededor del tambor, determine la aceleración angular del tambor y su velocidad angular después que el tambor ha aceleración angular del tambor y su velocidad angular después que el tambor ha completado 10 revoluciones ¿Cuántas revoluciones más realizará el

completado 10 revoluciones ¿Cuántas revoluciones más realizará el tambor despuéstambor después que haya completado las primeras 1

que haya completado las primeras 10 0 y el gancho continúe su descy el gancho continúe su descenso durante 4enso durante 4 segundos?

segundos?

Solución Solución

Tenemos como datos: Tenemos como datos:

2 2 20 20 // 2 2 / / ss t t a a ppiiees s ss r r ppiieess     0 0 00revrev    1010 f f revrev      ₀₀ 00rad rad

Como la cuerda esta enrollada sobre el tambor, entonces la aceleración será: Como la cuerda esta enrollada sobre el tambor, entonces la aceleración será:

a a t t     r r 20 20 __  __22 2 2 10 10 rraad d s//s      Como

Como  es constante, entonces se tiene que: es constante, entonces se tiene que:

(

( )

d d

) (

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d d         integrando integrando



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0 0 00 2 2 2 2 22 0 0 00 2 2 22 0 0 00 2 2 2 2 2 2 / / // 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 110 0 1100 20 20 1100 2 20 0 110 0 22 2 20 0 110 0 22 3 355..445 5 // rev rev rev rev rad rad rad rad r raad d ss                                                                               

2. 2. Problema

Problema 16-14

16-14

Un disco de 6 pulg de

Un disco de 6 pulg de radio gira alrededor de un eje fijo radio gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angularcon una velocidad angular de

de ωω= (2t+3) rad/s, donde t = (2t+3) rad/s, donde t esta en segundos. Determine las componentesesta en segundos. Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración de un punto localizado en el

tangencial y normal de la aceleración de un punto localizado en el borde del borde del discodisco cuando el desplazamiento angular es

cuando el desplazamiento angular es θ=θ=40 rad.40 rad. Solución Solución Sabemos que: Sabemos que: d d     dt dt Integrando, se tiene Integrando, se tiene

 



 



0 0 00 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 / / 2 2 33 0 0 3 3 // 3 3 t t t t t t d d dt dt t t dt dt t t t t t t t t              

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

Cuando

Cuando θθ= 40 rad= 40 rad



 

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2 2 2 2 40 40 33 3 3 440 00 0 8 8 5 5 00 5 5 t t t t t t t t t t t t t t ss                Además Además

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Ahora los valores de los componentes tangencial y normal de la

Ahora los valores de los componentes tangencial y normal de la aceleración de unaceleración de un punto en el borde del disco

punto en el borde del disco serán:serán: 2 2 2 2 2 2 22 6 6 2 2 1 1 // 12 12 6 6 1 13 3 8844..5 5 // 12 12 t t n n a a rr rraadd s s a a rr rraadd ss    

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3. 3. Problema

Problema 16-38

16-38

El bloque se mueve hacia la

El bloque se mueve hacia la izquierda con una velocidad constanteizquierda con una velocidad constante vv00. determine. determine

la velocidad y

la velocidad y aceleración angular aceleración angular de la barra en función de la barra en función dede θθ..

Solución Solución

De la gráfica, la posición de

De la gráfica, la posición de la barra en función del ángulola barra en función del ángulo θθ será: será:

a a aa ttg g x x x x aaccttg g x x tg tg            

Derivando respecto al tiempo, se tiene: Derivando respecto al tiempo, se tiene:

 

22



csc csc x x a a   d d        La velocidad de la barra La velocidad de la barra v v oo xx    

  

2 2 2 2 2 2 2 2 csc csc csc csc csc csc s seen n 11 o o o o o o o o d d v v aa dt dt v v aa v v a a v v a a                

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Ahora calculando la aceleración

Ahora calculando la aceleración angularangular         Derivando respecto al tiempo la

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4. 4. Problema 16-41Problema 16-41

La manivela AB gira a una velocidad angular constante de 5 rad/s. determine La manivela AB gira a una velocidad angular constante de 5 rad/s. determine lala velocidad del bloque C y l

velocidad del bloque C y la velocidad angular del eslabón BC cuandoa velocidad angular del eslabón BC cuando θθ=30°=30°

Solución Solución

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De la figura anterior se obtiene que: De la figura anterior se obtiene que:

  

0 0..66 ccoos s 00..33ccoos s 11 0 0..6 6 00..3 3 00..115 5 22 x x sen

sen sensen                   Desarrollando la ecuación (1) Desarrollando la ecuación (1)

 



 



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0..3 3 00..6 6 00..1155 0 0..6 c6 coos s 00..33 0.3 0.3 0 0..66 ccoos s 00..3 3 00..6 6 00..1155 0 0..66 ccoos s 00..009 9 00..336 6 00..3 3 00..00222255 0 0..66 ccoos s 00..3 3 0..30 36 6 00..11112255 sen sen x x x x sensen x

x sen sen sensen

x

x sen sen sensen

                                          Derivando Derivando



22



2 2 2 2 0 0..66 ccoos s 00..3 3 0..30 36 6 00..11112255 0 0..33ccoos s 00..772 2 ccooss 0.6 0.6 0 0..3 3 00..336 6 00..11112255 0 0..33ccoos s 00..772 2 ccooss 0 0..66 ;;ddoonnddee 0 0..3 3 00..336 6 00..11112255 0 0..6 6 3300 C C AB AB C C AABB AABB C C dx dx d d sen

sen sensen

d dt t ddt t d d sen sen d d _dt_dt v v sseenn dt dt _s_se_en_n _s_se_en_n sen sen d d v v sseenn dt dt sen

sen sensen

v v sseenn                                                                             2 2 0 0..3 c3 coos 3s 30 0 00..772 2 330 0 ccoos 3s 30 0 55 5 5 ;; ddoonnddee 3300 0 0..3 3 330 0 00..336 6 330 0 00..11112255 3 3 3.708 3.708 2 2 5 5..22008 8 // C C C C sen sen sen

sen sensen

v v v v m m ss                             Derivando la ecuación (2) Derivando la ecuación (2)



00..6 6





00..3 3 00..1155



0 0..6 c6 coos s 00..33ccooss 0 0..66 ccoos s 00..33ccoos s ; ; ,, 0

0..6co6cos30 s30 5 5 00..3c3coos30s30 10 10 // AB AB BC BC AB AB BC BC BC BC BC BC d d d d sen

sen sensen

d dtt ddtt d d d d d dtt ddtt d d d d donde donde d dt t ddt t r raad d ss                                          

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5.

5. Problema 16-43Problema 16-43

El extremo A de la barra se

El extremo A de la barra se mueve a la izquierda a mueve a la izquierda a una velocidad constanteuna velocidad constante vv A A..

Determine la velocidad angular

Determine la velocidad angular   y la y la aceleración angularaceleración angular   en función de su en función de su

posición posición x x..

Solución Solución

De la figura se tiene

De la figura se tiene que la posición x de lque la posición x de l a barra en función del ánguloa barra en función del ángulo θθ es: es: csc csc r r r r sen sen x x x x r r x x sensen            

Derivando respecto al tiempo Derivando respecto al tiempo



csccsc



csc csc c csscc ;; d d r r dx dx d dt t ddt t dx dx d d r r ccttg g d dtt ddtt dx dx d d r r ccttg g d dtt ddtt                

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Como la velocidad V esta hacia la izquierda, entonces Como la velocidad V esta hacia la izquierda, entonces

  

csc csc v v r r ccttg g v v ttaag g sseenn r r                    Ahora de

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Cancel Anytime. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 sseec c ccooss sseec c ccoos s ;; sseecc ccooss sec sec d d d d vv ttaag g sseenn d dt t dx dx r r v v d d d d sen

sen tag tag r

r ddtt ddtt

v

v d d

sen

sen tag tag r

r dt dt

v

v v v vv

sen

sen tag tag sen sen tag tag tag tag sensen r r r r r r vv ttg g sseen n ttaag g r r                                             

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2 2 ₂₂ ₂₂ ₂₂ ₂₂ ₂₂ 2 2 ₂₂ ₂₂ 22 22 2 2 22 22 22 3 3 2 2 22 2 2 ₂_{2 3}₃ 3 3 33 2 2 2 2 22 22 22 22 2 2 ₂_{2 3}₃ ₃_{3 2}₂ ₅₅ 3 3 2 2 2 2 22 2 2 ₃_{3 2}₂ ₅₅ 3 3 2 2 2 2 22 cos cos 2 2 sen sen v v xx rr rr rr xx rr r r r r _x_x _r_r _x_x _r_r xx _x_x _r_r xx xx r r x x r r v v x x r r r r _x_x _x_x _r_r _x_x _x_x _r_r v v x x r r r r x x r r r r _x_x _x_x _r_r v v r r x x r r r r _x_x _x_x _r_r            

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3 3 2 2 22 2 2 _r_r ₂₂_x_x _r_r vv



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

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6.

6. Problema 16-46Problema 16-46 Cuando

Cuando θθ=30°, la manivela AB gira =30°, la manivela AB gira a una velocidad y aceleración angulares dea una velocidad y aceleración angulares de

10

10 rraad d s//s



 __ y y   2 2 rraad d s//s22, respectivamente. Determine la velocidad y, respectivamente. Determine la velocidad y aceleración angulares de la barra de

aceleración angulares de la barra de conexión BC en este conexión BC en este instante. Considereinstante. Considere

0.3 0.3 a a  mm y y b b 0.50.5mm.. Solución Solución

Por ley de senos Por ley de senos

  

0 0..5 5 00..3 3 00..33 0.5 0.5 0 0..6 6 11 sen

sen sensen

sen

sen sensen sen

sen sensen

                   Cuando Cuando θθ=30°=30°

  

0 0..6 6 3300 0 0..6 6 00..5 5 00..33 arc arcsin sin 0.30.3 17.46 17.46 sen

sen sensen sen sen                     

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Cancel Anytime. 30 30 17.46 17.46 10 10 // AB AB rraad d ss               0.6cos30 0.6cos30 10 10 cos17.46 cos17.46 5 5..445 5 // BC BC BC BC rraad d ss            Derivando la ecuación (2) Derivando la ecuación (2) 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22

sseen n ccoos s 00..6 6 00..66 ccooss ccoos s 00..6 6 0..606 ccooss

ccoos s 0..6 06 00..66 ccooss ccoos s 00..6 6 00..66ccooss

0 0..6 6 00..66 ccooss cos cos BC BC BC BC AB AB ABAB BC BC AB AB AB AB BC BC AB AB AB AB BC BC BC BC sen sen sen

sen sensen

sen

sen sensen

sen

sen sensen

sen

sen sensen

                                                                                   2 2 22 2 2 0 0..6 6 330 0 ((1100) ) 00..6c6coos3s30 0 (2(2) ) 1177..446 6 ((55..4455)) cos17.46 cos17.46 2 211..001 1 // BC BC BC BC sen

sen sensen

r raad d ss                     7. 7. Problema 16-48Problema 16-48 El hombre tira de la

El hombre tira de la cuerda a una razón constante de 0.5 m/s. determine lacuerda a una razón constante de 0.5 m/s. determine la velocidad y aceleración angulares de la viga AB cuando

velocidad y aceleración angulares de la viga AB cuando θθ= 60°. La viga gira en = 60°. La viga gira en tornotorno a A. ignore el espesor de

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Cancel Anytime. 2 2 2 2 772 2 ( ( )) ssi i 6600 7 72 72 722 ccoos 6s 60 0 s s 6 m6 m reemplazando reemplazando 2 2((66) ) 772 2 6600 0 0..00996 6 // AB AB s s s s sensen s s s s sensen r raad d ss                                         Derivando (*) Derivando (*) 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 36 cocoss 36 36 ccosos 0 0 36 36 cocoss 0.5 0.5 cos cos 36 36 1 1 00..55 cos cos 36 36 60 60 1 1 00..55 cos cos 6 60 0 3366 s s s s ss s s sensen s s ss s s sensen s s s s sensen sen sen sen sen si si sen sen                                          

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2 2 60 60 // d d    





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





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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

Solucion Solucion

Determinaremos su posición, de la grafica anterior Determinaremos su posición, de la grafica anterior

3 3 B B

y

y  sensen 

Derivando respecto al tiempo Derivando respecto al tiempo

3 3ccoos s ( ( )) 3cos 3cos : : 330 0 ; ; 110 0 // B B B B y y vv si

si rad rad ss

             





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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

9.

9. Problema 16-52Problema 16-52 Si la cuña se mueve

Si la cuña se mueve hacia la izquierda a una velocidad constante v, determine lahacia la izquierda a una velocidad constante v, determine la velocidad angular de la barra en función de

velocidad angular de la barra en función de θθ..

Solución Solución

Pide la velocidad angular Pide la velocidad angular ωω

De la figura anterior, aplicando la ley de senos, se tiene De la figura anterior, aplicando la ley de senos, se tiene

x

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

10.

10. Problema 16-53Problema 16-53

En el instante que se muestra, el

En el instante que se muestra, el disco gira a una velocidad angulardisco gira a una velocidad angular ωω y una y una aceleración angular

aceleración angular αα. Determine la velocidad y aceleración del cilindro B . Determine la velocidad y aceleración del cilindro B en esteen este instante. Ignore el tamaño de la polea

instante. Ignore el tamaño de la polea C.C.

Solucion Solucion

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

 



 

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 

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2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 1 1 3030 c coos s 334 4 3300 ccooss 2 2 334 4 330co0coss 15 15 3 34 4 330co0coss 15 15 c coos s 334 34 30 c0 cooss 3 34 4 330co0coss 15 15 3 34 4 330co0coss c coos s 334 4 3300 ccoos s 1155 15 15 B B B B BB B B sen sen sen

sen sensen

v v sen sen sen sen v v aa sen

sen sensen

a a                                         

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2 2 2 2 22 3 3 2 2 3 34 34 30 c0 coos s 334 34 30 c0 cooss c coos s 334 4 3300 ccoos s 1515 15 15 3 34 4 330co0coss B B sen

sen sensen

a a               



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

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

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

11. 11. Problema 16-68Problema 16-68 Si la velocidad angular

Si la velocidad angular de la barra AB de la barra AB 4rad/s. determ4rad/s. determine la velocidad del bloqueine la velocidad del bloque corredizo C en el instante que se

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

Cancel Anytime. 4(0.15) 4(0.15) 0 0..6 6 // B B AB AB ABAB B B B B v v r r v v v v m m ss          En el eslabón BC En el eslabón BC

 



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

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// C C// B B CC// BB C/B C/B _CB_CB C/B C/B _CB_CB C/B C/B _C_CB_B _C_CB_B C/B C/B _C_CB_B _C_CB_B C C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 0..66 ccooss 330 0 00..6 6 330 0 00..22 ccooss 660 0 00..6 6 6600 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 0..552 2 00..3 3 00..1 1 00..1177 ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 0 0..552 2 00..3 3 00..1 1 00..1177 ˆ ˆ ˆˆ 0 0..552 2 00..117 7 00..3 3 00..11 ˆ ˆ C C BB B B v v v v r r v v ii sseenn jj kk ii sseenn jj v v ii jj kk ii jj v v ii jj jj ii v v i i jj v v ii              

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  

C CBB CCBB C C CBCB C C// BB CCBB C C C C ˆ ˆ ˆˆ 0 0..552 2 00..117 7 00..3 3 00..11 0. 0.52 52 0.0.1717 0 0..3 3 00..1 1 0 0 3 3 // 0 0..552 2 00..117 7 33 1 1..004 4 // i i jj vv rraad d ss vv v v m m ss          

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12. problema 16-73

Si la velocidad angular del eslabón AB es

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

  

 

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BD BD D/ D/ D/ D/ D D// B B DD// BB D D// BB BBDD D/B D/B _BD_BD B BDD BBDD ˆ ˆ ˆˆ 8 8 ccooss 660 0 8 8 6600 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 8 8 ccooss 660 0 8 8 660 0 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 4 4 66..9933 ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ 66..9933 ˆˆ 4 4 4 4 // 6 6..993 3 0 0 66..993 3 // B B D D DD BD BD B B B B B B D D BDBD D D DD v v i i sseen n jj v v v v ii k k r r ii v v v v r r v v ii sseenn jj kk ii v v ii jj jj v v ii ii jj v v vv mm ss rraad d ss                

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 

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

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Por último en la barra DE Por último en la barra DE

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

13.

13. problema 16-81problema 16-81

si el bloque corredizo A se mueve a la derecha a

si el bloque corredizo A se mueve a la derecha a 8 8 // A

A

v

v  ppiiees s ss, determine la velocidad de, determine la velocidad de los bloques B y C en

los bloques B y C en el instante que se muestra. El elemento CD el instante que se muestra. El elemento CD esta conectado por medioesta conectado por medio de un pasador al elemento ADB.

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

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



 

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 



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 

 

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D D// DD// AA D D 2 2 22 D D D D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 8 8 22..883 3 11..441 1 11..4411 ˆ ˆ ˆˆ 8 8 ˆˆ 33..999 9 ˆˆ 33..9999ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 44..001 1 ˆˆ 33..9999ˆˆ 4 4..001 1 // 3 3..999 9 // 4 4..001 1 33..9999 5 5..666 6 // A

A A A ADBADB

D D _x_x DD _yy D D _x_x DD _yy D D _xx D D _yy v v v v r r v v ii kk ii jj v v i i v v j j i i j j ii v v i i v v j j i i jj v v ppiiees s ss v v ppiiees s ss vv v v ppiiees s ss                                En la barra CD En la barra CD

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

Cancel Anytime. De la gráfica anterior De la gráfica anterior



 

 

 

/ / 00..6 6 330 0 // 00..3355 6 6 00..66 3 3..6 6 // C C IICC CC IICC C C CCD D CCDD C C C C r r ttaagg rr mm v v r r vv v v m m ss                También También // // A/ A/ 3.6 3.6 1 100..339 9 // 0.35 0.35 C C C C BBC C C C IIC C BBC C C C IC IC BC BC B B AB AB IC IC vv v v r r r r rraad d ss v v r r                       

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Cancel Anytime.

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Cancel Anytime.

Cancel Anytime. (0.4) (0.4) B B BC BC BC BC B B BC BC v v r r v v         

De la siguiente gráfica: aplicando el Centro Instantáneo (CI) De la siguiente gráfica: aplicando el Centro Instantáneo (CI)

(40)

Cancel Anytime.

(41)

Cancel Anytime.

Solucion Solucion

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Cancel Anytime.

(43)

Cancel Anytime.



 

 

 

 

 

2 2 2 2 22 D/ D/ 2 2 22 D/ D/ D/ D/ 0 0..3 3 00..115 5 2 2 00..3 3 00..115 5 ccoos 3s 300 0 0..3 3 00..115 5 2 2 00..3 3 00..115 5 ccoos 3s 300 0.186 0.186 IC IC IC IC IC IC r r r r r r mm

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Cancel Anytime.

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// 5 5 22 10 10 // ˆ ˆ ˆ ˆ 1010 45 45 ˆˆ 110 0 45 45 ˆˆ 22 5 5 330 0 ˆˆ 22 55 3300 ˆˆ B B B B C B C B CC BB v v r r v v m m ss v v v v r r i i i i j j k k i i jj                       

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Cancel Anytime.

En el instante dado el elemento AB tiene el movimiento angular que se muestra. En el instante dado el elemento AB tiene el movimiento angular que se muestra. Determine la velocidad y la aceleración del bloque corredizo

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Cancel Anytime.

 

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// 3 3 77 21 21 // ˆ ˆ ˆ ˆ 221 1 ˆˆ 5 5 1ˆˆ 122ˆˆ B B AB AB ABAB B B C B C B CC BB v v r r v v ppuul l ss v v v v r r i i i i k k i i jj    

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(50)

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Cancel Anytime.

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2 2 2 2 22 2 2 3 7 3 7 663 3 // 2 2 7 7 114 4 // ˆ ˆ ˆˆ 1 14 4 6633 B B nn B B t t B B a a rr iinn ss a a r r iin n ss a a i i jj    