CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA
FUERZA Y ACELERACIÓN
SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
CINÉTICA: Es una rama de la dinámica que se ocupa de la relación
entre el cambio de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan.
Segunda Ley de Newton: Cuando una fuerza desbalanceada actúa en
una partícula, ésta se acelerará en la dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a ésta.
Si la masa de la partícula es 𝑚, la segunda ley del movimiento de Newton se escribe en forma matemática como
LEY DE LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE
NEWTON
𝐹 = fuerza de atracción entre las dos partículas
𝐺 = constante de gravitación universal: 𝐺 = 66.73𝑥10−12 𝑚3 (𝑘𝑔. 𝑠2)
𝑚1, 𝑚2 = masa de cada una de las dos partículas 𝑟 = distancia entre los centros de las dos partículas
En el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie terrestre, la única fuerza gravitatoria de magnitud considerable es la que existe entre la Tierra y la partícula.
Esta fuerza se denomina “peso W” y para nuestro propósito será la única fuerza gravitatoria considerada.
𝑟 = distancia entre el centro de la
Tierra y la partícula
𝑚1 = 𝑚 𝑚2 = 𝑀𝑒
𝑔 = 𝐺𝑀𝑒 𝑟2 , aceleración de la gravedad
LEY DE LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE
NEWTON
Aquí se utilizarán los valores
𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 = 32.2 𝑝𝑖𝑒 𝑠2
Sistema Internacional SI:
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante se determina por medio de una suma vectorial de todas las fuerzas, es decir, 𝑭𝑅 = 𝑭.
En el caso general, la ecuación de movimiento se escribe como
Diagrama de cuerpo libre: muestra todas las fuerzas que actúan sobre
la partícula:
Diagrama cinético: se refiere al movimiento de la partícula provocado
por las fuerzas.
En particular, observe que si 𝑭𝑅 = 𝑭 = 𝟎, entonces la aceleración también es cero, de modo que la partícula bien puede permanecer en reposo o moverse a lo largo de una trayectoria de línea recta a velocidad constante.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS
En el instante considerado, la partícula i-ésima, de masa 𝑚𝑖, se somete a un sistema de fuerzas internas y a una fuerza externa resultante.
𝒇𝑖 es la resultante de todas las fuerzas internas que las demás partículas ejercen en la partícula i-ésima.
𝑭𝑖 es la fuerza externa resultante y representa por ejemplo, el efecto de las fuerzas gravitatoria, eléctrica, magnética o de contacto entre la partícula i-ésima y los cuerpos o partículas adyacentes no incluidas dentro del sistema.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Cuando se aplica la ecuación de movimiento a cada una de las demás partículas del sistema, se obtienen:
La suma de las fuerzas internas, si se realiza es igual a cero, ya que las fuerzas internas entre dos partículas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos:
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Si 𝒓𝐺 es un vector de posición que localiza el centro de masa G del sistema de partículas, entonces por definición del centro de masa
Al diferenciar esta ecuación dos veces con respecto al tiempo y suponer que ninguna masa entra o sale del sistema, se obtiene
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: COORDENADAS
RECTANGULARES
Cuando una partícula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial 𝑥, 𝑦 y 𝑧, las fuerzas que actúan en la partícula, lo mismo que su aceleración, pueden expresarse en función de sus componentes 𝐢, 𝐣, 𝐤.
ECUACIONES CINEMÁTICA
ACELERACIÓN CONSTANTE
Velocidad como función del tiempo Posición como función del tiempo
EJEMPLO 1
El embalaje de 50 kg mostrado en la figura descansa sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es 𝜇𝑘 = 0.3. Si el embalaje se somete a una fuerza de tracción de 400 N como se muestra, determine su velocidad en 3 segundos a partir del punto de reposo.
Ecuaciones de Movimiento:
Cinemática: Obsérvese que la aceleración es constante, ya que la fuerza
EJEMPLO 2
Si se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s. Determine la altura máxima a la que llegará si
(a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se
mide como 𝐹𝐷 = 0.01𝑣2 𝑁, donde 𝑣 es la rapidez del proyectil en cualquier
instante, medida en m/s.
PARTE a
Ecuaciones de Movimiento:
EJEMPLO 2
Si se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s. Determine la altura máxima a la que llegará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se mide como 𝐹𝐷 = 0.01𝑣2 𝑁 , donde 𝑣 es la rapidez del proyectil en cualquier instante,
medida en m/s.
PARTE b Ecuaciones de Movimiento:
Cinemática: La aceleración no es constante puesto que
EJERCICIO EN CLASES 1
El furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 lb y remolca un carro B que pesa 550 lb y un carro C de 325 lb. Durante un corto tiempo la fuerza de fricción desarrollada en las ruedas del furgón es 𝐹𝐴 = 40𝑡 𝑙𝑏, donde 𝑡 está en segundos. Si el furgón arranca del punto de reposo, determine su rapidez en 2 segundos. También, ¿cuál es la fuerza horizontal que actúan en el acoplamiento entre el furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño de furgón y de los carros.
EJERCICIO 1 - TAREA
El camión de masa 2 kg viaja a 15 km/s, cuando se aplican los frenos en todas las ruedas, lo que hace que patine una distancia de 10 m antes de detenerse. Determine la fuerza horizontal constante desarrollada en el acoplamiento C y la fuerza de fricción desarrollada entre las llantas del camión y la carretera durante este tiempo. La masa total del bote y el remolque es de 1 kg. Respuesta: 𝑇 = 11.25 𝑘𝑁 y 𝐹𝑅 = 33.75 𝑘𝑁
EJERCICIO 2 - TAREA
Si los bloques A y B de 10 kg y 6 kg de masa, respectivamente, se colocan sobre el plano inclinado y se sueltan, determine la fuerza desarrollada en el eslabón. Los coeficientes de fricción cinética entre los bloques y el plano inclinado son 𝜇𝐴 = 0.1 y 𝜇𝐵 = 0.3. Ignore la masa del eslabón (barra de unión).
ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DEPENDIENTE
ABSOLUTO DE DOS PARTÍCULAS
EJEMPLO 1
El bloque A de 100 kg en la figura se suelta del punto de reposo. Si no se toman en cuenta las masas de las poleas y la cuerda, determine la rapidez del bloque B de 20 kg en 2s.
EJEMPLO 2
El hombre de 75 kg sube por la cuerda con una aceleración de 0.25 𝑚 𝑠 , 2 medida con respecto a la cuerda. Determine la tensión en la cuerda y la aceleración del bloque de 80 kg.
EJERCICIO - TAREA
EL bloque A de 10 lb se desplaza hacia la derecha a 𝑣𝐴 = 2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 en el instante mostrado. Si el coeficiente de fricción cinética es 𝜇𝑘 = 0.2 entre la superficie y el bloque A, determine la velocidad de A cuando se ha desplazado 4 𝑝𝑖𝑒𝑠. El bloque B pesa 20 lb. Respuesta: 𝑣 = 11.9 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠
ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS
NORMALES Y TANGENCIALES
Si la trayectoria se define como 𝑦 = 𝑓 𝑥 , el radio de curvatura 𝜌 en el punto donde la partícula está localizada se obtiene con:
EJEMPLO 1
Determine el ángulo de inclinación 𝜃 de la pista para que las llantas de los autos de carreras mostrados en la figura no dependan de la fricción para que no se deslicen hacia arriba o hacia debajo de la pista. Suponga que el tamaño de los automóviles es insignificante, que su masa es 𝑚 y que se desplazan alrededor de la curva de radio 𝜌 a una rapidez constante 𝑣.
EJEMPLO 2
El diseño de la rampa de salto de esquís que se muestra en la foto requiere conocer el tipo de fuerzas que se ejercerán en la esquiadora y su trayectoria aproximada. Si en este caso el salto se puede representar de forma aproximada por la parábola de la figura, determine la fuerza normal en la esquiadora de 150 lb de masa en el momento que llega al extremo de la rampa, punto A, donde su velocidad es de 65 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠. Además, ¿cuál es su relación en este punto?
EJEMPLO 3
El patinador de 60 kg que aparece en la figura se desliza cuesta debajo de la pista circular movido sólo por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de reposo cuando 𝜃 = 0°, determine la magnitud de la reacción normal que la pista ejerce en él cuando 𝜃 = 60°. Ignore su estatura en el cálculo.
EJERCICIO - TAREA
Un hombre de 75 kg de masa se sienta en la silla conectada por medio de un pasador al brazo BC. Si el hombre siempre está sentado en posición recta, determine las reacciones horizontal y vertical de la silla en el hombre en el instante 𝜃 = 45°. En este instante su rapidez es de 6 𝑚/𝑠, la cual se incrementa la aceleración a 0.5 𝑚/𝑠2. . Respuesta: 𝑅
