Series Sumatorias

(1)

SERIES y SUMATORIAS

CAPITULO II

OJO

E

El l ssíímmbboollo o sse e llllaamma a SSiiggmmaa e indica la sumatoria desde k = 1 : e indica la sumatoria desde k = 1 : hasta para k =

hasta para k = n. donde:n. donde: k

k = 1 = 1 : : lílímimite te ininfeferiorior r k

k = n = n : : lílímimite te susuperperioior r "k

"k" " : tér: térmimino no gegenérnéricicoo

Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución: Método Práctico: Método Práctico: Calc Calcular : ular : 1 + 2 + 3 + ...1 + 2 + 3 + ... + 10... + 10 C

Calalcculular ar : : 1 1 + + 2 2 + + 3 3 + + ... . + + 10 10 = = = = 5555

• Calcular • Calcular A = A = 1x2 + 1x2 + 2x3 + 2x3 + 3x4 + 3x4 + ... + 7... + 7x8x8 B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11 B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11 10 • 11 10 • 11 22 Consecutivo Consecutivo de "10" de "10" Último término Último término kk (7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66 (7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66 k = 1 k = 1 Para Para k =

k = 11 k = k = 22ParaPara k = k = 33ParaPara 33

Par

Paraa podpoderer desdesarrarrollollarar unauna sumsumatoatoriaria,, tenetenemosmos queque emp

empezaezar asigr asignannando pardo para k = 1; k = a k = 1; k = 2; 2; k = 3; y asík = 3; y así sucesivamente hasta k = n, al término genérico, sucesivamente hasta k = n, al término genérico, par

paraa lueluegogo sumsumarar todtodosos loslos resresultultadoados.s.

"L

"Laa susumama esestátá daddadaa poporr lala mimitatadd dede lala mumultltipiplilicacaciciónón del

del últúltimoimo sumsumandoandoconcon susu conconsecsecutiutivo"vo"..

Solución: Solución: Método Práctico: Método Práctico: A = 1x2 A = 1x2 + 2x3 + 2x3 + 3x4 + 3x4 + ... + + ... + 7x8 =7x8 = B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11 B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11 B = B = En general : En general : n : Número de términos n : Número de términos 7 x 8 x 9 7 x 8 x 9 33 9 x 10 x 11 x 12 9 x 10 x 11 x 12 44 "3 factores" "3 factores" Consecutivo Consecutivo del "8" del "8" Último término Último término

"La suma está dada por la multiplicación entre el "La suma está dada por la multiplicación entre el último término y el consecutivo al último factor del último término y el consecutivo al último factor del último término y todo sobre la cantidad de factores último término y todo sobre la cantidad de factores quesevaaformar.

quesevaaformar.

k = 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n + 1) n(n + 1)₂₂

Para la suma de los

Para la suma de los 1ros. Núme

1ros. Números N:

ros N:

kk

k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1) k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1) k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2) k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) 33 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 44 = = = = k(k + 1)(k + 2) … (k + P) = k(k + 1)(k + 2) … (k + P) = donde : donde : Factorial de un número Factorial de un número n! = 1 x 2 x 3 x … x n n! = 1 x 2 x 3 x … x n (n + p + (n + p + 1)!1)! (P + 2)(n - 1)! (P + 2)(n - 1)!

(2)

Suma de los 1ros. Números Pares:

Suma de los 1ros. Números Impares:

•

• CaCalclculaular : r : 2 + 4 + 2 + 4 + 6 + … + 46 + … + 400

•

• CaCalclculaular : r : 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + … + 15 + … + 199 2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 1 + 3 1 + 3 + 5 + + 5 + ... + . + 19 19 == 1 + 3 + 5 + ... 1 + 3 + 5 + ... 1 + 3 1 + 3 + 5 + + 5 + ... . = = 2525² = 6² = 62525 •

• CaCalclculular ar ::

Solución: Solución: En general: En general: Solución: Solución: Ejemplo 1: Ejemplo 1: A) 26 A) 26 Total de bolas: Total de bolas: n(n +1)n(n +1) 22 n(n n(n +1) +1) = 15= 1566 n (n n (n +1) +1) = 12 • = 12 • 1313 n = 12 n = 12 Rpta. C Rpta. C ∴ ∴ = 78 = 78 sea "n" el número de

sea "n" el número de filasfilas B B) ) 223 3 CC) ) 112 2 DD) ) 113 3 EE) ) 226633 = 100 = 100

((

1 + 191 + 19

₍

22 22 En general : En general : Solución: Solución: Solución: Solución: Consecuti Consecutivo vo de de la mitad de 40. la mitad de 40. Últ Últ imim o o ttéérrmm inin o o Últ Últ imim o o ttéérrmm iinno o

Cuadrado de Cuadrado de la semisuma la semisuma 25 t 25 t éérmrm inin oos s 25 t 25 t éérmrm inin oos s Primer Primer ttéérrmm inin o o

Pero cuando nos muestren la cantidad de Pero cuando nos muestren la cantidad de términ

términos, la os, la suma será igual al suma será igual al cuadradcuadrado deo de dicha cantidad de términos o

dicha cantidad de términos o sumandosumandos.s.

Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico:

2k

(2k - 1) = 1 + 3 + (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²… + (2n - 1) = n²

(2k-1)

"La

"La susumama esestata daddadaa poporr lala mumultltipiplilicacaciciónón dede lala mimitatadd delúlti

delúltimomo yy elel coconsnsececututivivoo dede esestata mimitatad"d"

"Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del

del priprimermer yy últúltimoimo tértérminmino"o"

÷ ÷22

2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1)

÷ ÷22

OJO

En una industria de productos para "Taco" produce En una industria de productos para "Taco" produce 78

78 bobollas as popor r ccadada a mmininututo, o, lalas s ccuaualles es llasas ac

aconondidiciciononanan enen foformrmaa dede trtriáiángnguloulo dede momododo queque enen la 1ª fila haya una, en la 2ª

la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera trdos, en la tercera tres yes y así

así sucsucesiesivamvamentente.e. ¿Cu¿Cuántántasas filafilass sese forformarmarán?án? Así por

(3)

Suma de los 1ros. Números Pares:

Suma de los 1ros. Números Impares:

•

• CaCalclculaular : r : 2 + 4 + 2 + 4 + 6 + … + 46 + … + 400

•

• CaCalclculaular : r : 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + … + 15 + … + 199 2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 1 + 3 1 + 3 + 5 + + 5 + ... + . + 19 19 == 1 + 3 + 5 + ... 1 + 3 + 5 + ... 1 + 3 1 + 3 + 5 + + 5 + ... . = = 2525² = 6² = 62525 •

• CaCalclculular ar ::

Solución: Solución: En general: En general: Solución: Solución: Ejemplo 1: Ejemplo 1: A) 26 A) 26 Total de bolas: Total de bolas: n(n +1)n(n +1) 22 n(n n(n +1) +1) = 15= 1566 n (n n (n +1) +1) = 12 • = 12 • 1313 n = 12 n = 12 Rpta. C Rpta. C ∴ ∴ = 78 = 78 sea "n" el número de

sea "n" el número de filasfilas B B) ) 223 3 CC) ) 112 2 DD) ) 113 3 EE) ) 226633 = 100 = 100

((

1 + 191 + 19

₍

22 22 En general : En general : Solución: Solución: Solución: Solución: Consecuti Consecutivo vo de de la mitad de 40. la mitad de 40. Últ Últ imim o o ttéérrmm inin o o Últ Últ imim o o ttéérrmm iinno o

Cuadrado de Cuadrado de la semisuma la semisuma 25 t 25 t éérmrm inin oos s 25 t 25 t éérmrm inin oos s Primer Primer ttéérrmm inin o o

Pero cuando nos muestren la cantidad de Pero cuando nos muestren la cantidad de términ

términos, la os, la suma será igual al suma será igual al cuadradcuadrado deo de dicha cantidad de términos o

dicha cantidad de términos o sumandosumandos.s.

Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico:

2k

(2k - 1) = 1 + 3 + (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²… + (2n - 1) = n²

(2k-1)

"La

"La susumama esestata daddadaa poporr lala mumultltipiplilicacaciciónón dede lala mimitatadd delúlti

delúltimomo yy elel coconsnsececututivivoo dede esestata mimitatad"d"

"Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del

del priprimermer yy últúltimoimo tértérminmino"o"

÷ ÷22

2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1)

÷ ÷22

OJO

En una industria de productos para "Taco" produce En una industria de productos para "Taco" produce 78

78 bobollas as popor r ccadada a mmininututo, o, lalas s ccuaualles es llasas ac

aconondidiciciononanan enen foformrmaa dede trtriáiángnguloulo dede momododo queque enen la 1ª fila haya una, en la 2ª

la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera trdos, en la tercera tres yes y así

así sucsucesiesivamvamentente.e. ¿Cu¿Cuántántasas filafilass sese forformarmarán?án? Así por

(4)

Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: E

Ejjeemmppllo o 22: : EEjjeemmppllo o 44::

Ejemplo 5 Ejemplo 5 Ejemplo 3: Ejemplo 3: A) 1240 A) 1240 A) 1 A) 1 A) 35 A) 35 A) 69 A) 69 D) 400 D) 400 D) 99 D) 99 D) 38 D) 38 D) 40 D) 40 S Si i : : S S = _nn = 1 1 + + 2 2 + + 3 3 + + … … + + nn Calcular Calcular :: Calcular : "x" Calcular : "x" 1 + 2 + 3 + ... + x = aaa 1 + 2 + 3 + ... + x = aaa 1 + 2 + 3 + ... + x = aaa 1 + 2 + 3 + ... + x = aaa Calcular "x + y" si : Calcular "x + y" si : C Caallccuullaar r : : S S + ₁₁ + S ₂S + ₂+ S ₃S + ₃ + … … + + SS₂₂₀₀ E E = = 0,00,01 1 + + 0,00,03 3 + + 0,00,05 5 + + ... ... + + 19,19,9999 E = E = E = E = E E = = = = = = 110000 1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 196 1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + ... + y = 420 2 + 4 + 6 + 8 + ... + y = 420 Se tiene que : Se tiene que :

Transformando los decimales : Transformando los decimales :

(suma de los primeros impares) (suma de los primeros impares)

Aplicando métodos

Aplicando métodos prácticos :prácticos :

Aplicando métodos

Aplicando métodos prácticos :prácticos :

Luego: Luego: Luego piden : Luego piden : S S =_nn = + + + + + + ... . ++ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 196 1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + ... + y = 420 2 + 4 + 6 + 8 + ... + y = 420 x + y = x + y = 27 + 40 = 6727 + 40 = 67 + + = = = = = = 11661100 + + [1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21] [1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21]

[[

_[[

+ + ……... +. + n (n + 1) n (n + 1) 22 11 100 100 1 + 3 + 5 + ... + 1999 1 + 3 + 5 + ... + 1999 100 100 1999 + 1 1999 + 1 22 10001000 10 10 10 10 22

((

₍

33 100 100 55 100 100 1999 1999 100 100 1 x 1 x 22 22 2 x 2 x 33 22 20 x 21 x 22 20 x 21 x 22 33 11 22 11 22 3 x 3 x 44 22 20 x 21 20 x 21 22 B) 1610 B) 1610 B) 0,123 B) 0,123 B) 36 B) 36 B) 68 B) 68 E) 210 E) 210 E) 100 E) 100 E) 111 E) 111 E) 27 E) 27 C) 2000 C) 2000 C) 80 C) 80 C) 37 C) 37 C) 67 C) 67 1 + x 1 + x 22 = = 191966 22

((

₍

x (x + 1) x (x + 1) 22 x x ((x x + + 11) ) = = a a • • 2 2 • • 3 3 • • 3377 x = 36 x = 36 = = a • 1a • 11111 (tanteando) (tanteando) 336 6 →→ sse e ddeedduuccee yy 22 yy 22 yy 22 + 1+ 1 = = 20 20 • • 2121 = = 220 0 y y = = 4400

((

₍

Rpta. B Rpta. B Rpta. E Rpta. E Rpta. B Rpta. B Rpta. C Rpta. C ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴

(5)

Solución: Solución: Solución: Solución: Ejemplo 6: Ejemplo 6: Ejemplo 1: Ejemplo 1: A) 4525 A) 4525 A) S/.750.50 A) S/.750.50 D) 1580 D) 1580 D) S/.717.50 D) S/.717.50 Determinar el valor de : Determinar el valor de : S = 20 1 + 19 2 + 18 3 + ... + 1 20 S = 20 1 + 19 2 + 18 3 + ... + 1 20

.

..

S S == 2211..11 ++ 2211..22 ++ ... +. + 2211..2200 - (- (

Podemos resolver, dándole forma de la siguiente Podemos resolver, dándole forma de la siguiente manera :

manera :

Sea "S" la suma a pagar, luego: Sea "S" la suma a pagar, luego:

S = 0.25 + 1 + 2.25 + … S = 0.25 + 1 + 2.25 + … S = S = S = S = S = 717.5 S = 717.5 S = S = S = S = + + 1 1 + + + + 4 4 + + …… B) 1245 B) 1245 B) S/.700.50 B) S/.700.50 E) 1540 E) 1540 E) S/.400.50 E) S/.400.50 C) 3870 C) 3870 C) S/.350.50 C) S/.350.50 Rpta. E Rpta. E Rpta. D Rpta. D ∴ ∴ ∴ ∴

Suma de los cuadrados de los 1ros.

. Calcular :

Suma de los cubos de los 1ros.

1²+2²+3²+....+20²) 1²+2²+3²+....+20²)

•

• CalCalculcular : ar : 1³ + 2³ + 31³ + 2³ + 3³ + ..³ + .... + n.. + n³³

1² + 2² + 3² + 1² + 2² + 3² + ... + 10² =. + 10² = 1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ = 1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ = = 385 = 385 = 3025 = 3025 10 • 11 • 21 10 • 11 • 21 66 11 44 11 44 1 + 4 + 9 + 16 + … 1 + 4 + 9 + 16 + … 44 1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)² 1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)² 44 99 44 20(21)(41) 20(21)(41) 66 10 • 11 10 • 11 22 (10 + 11) (10 + 11) 10 términos 10 términos 20 sumandos 20 sumandos 20 sumandos 20 sumandos 10 términos 10 términos Cuadrado de la Cuadrado de la mitad de la mitad de la multiplicación multiplicación Solución: Solución: Solución: Solución: Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico: Método Práctico: En general : En general : En general : En general : do

donde nde : : n n : : núnúmemero ro de de tétérmrmininosos

do

dondnde e : : n n : : NúNúmemero ro de de tétérmrminoinoss

k²

)

))

k³

)

))

"La suma está dada por la multiplicación, entre el "La suma está dada por la multiplicación, entre el número de términos, con su consecutivo y la suma número de términos, con su consecutivo y la suma del número de términos y su consecutivo, para del número de términos y su consecutivo, para lue

luegogo divdividiidirr todotodosobsobrere 6".6".

Juan conviene en pagar un artículo cada fin de Juan conviene en pagar un artículo cada fin de semana de la siguiente forma: la primera semana semana de la siguiente forma: la primera semana paga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la tercera paga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la tercera S/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante S/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante ve

veinintete sesemamananas.s. ElElpreprecicioo dedell arartítícuculolo eses ::

"La suma está dada por el cuadrado de la mitad de "La suma está dada por el cuadrado de la mitad de la multiplicación entre el número de términos y su la multiplicación entre el número de términos y su consecutivo". consecutivo". S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +...+ (21-20).20 S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +...+ (21-20).20 :: 1² + 2² + 1² + 2² + 3² + .... + 10²3² + .... + 10² S S = = 221 1 . . 220 0 ((2211) ) - - 220 0 ((2211) ) ((4411)) 2 2 66 S = 1540 S = 1540











 

(6)

. 1 . 2 2 . 3 3 3 Solución: Solución: Ejemplo 2: Ejemplo 4: Ejemplo 3: Efectuar: A) 16 A) 5525 S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ... + 625 A) 16 C₁ C₂ C₃ C₄ ... ... ... ... ... 4 4 4 4 D) 15 D) 3600 D) 15 Piden : el artificio será : - (1² + 2² + ...+ 5² + 6² + 7²) S = 1² + 2² + 3² + ....+25² n = 25 _{n = 7} 1(1) + 2(2) + 3(3) + … + 20(20) = 1² + 2² + 3² + .... + 20² = Luego : S S = = 5385 -Pero se requiere : 2 + 8 + 7 + 0 = 17 = 2870 B) 17 B) 5665 B) 17 E) 19 E) 5388 E) 19 C) 18 C) 5385 C) 18 Rpta. B Rpta. C Rpta. B ∴ ∴ ∴ 20 x 21 x41 6 (25 • 26 • 51) 6 (7 • 8 • 15) 6 n (n + 1)(2n +1) 6 En el triángulo numérico hallar la suma de las veinte

primeras columnas (dar como respuesta la suma de cifras del resultado).

Es importante considerar que la fórmula de los cuadrados, específicamente está referida a la suma de los cuadrados de los primeros enteros positivos, es decir que si la suma no empieza en 1² + 2²; será necesario un artificio previo, que consiste en suponer que efectivamente empieza en 1², para luego restarle los primeros términos que no correspondan a la suma planteada inicialmente; es decir que siendo la suma original :

S=64+81+100+121+144+...+625, quesepuedeexpresar:

S=[8²+9²+10²+11²+12²+...+25²]

Este procedimiento conocido, como el QUITA y PON nos permite aplicar la fórmula dos veces, primero para los 25 primeros términos y luego en el sustraendo a los siete primeros términos, apliquemos pues : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ... + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + ... + 10² 3² + 4² + 5² + ... + 10² 10² 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ... + 10² 1(1²) + 2(2²) + 3(3²) + ... + 10(10²) 1³ + 2³ + 3³ + ... + 10³ = = 3025 10•11 2 2

(

₍

2² + 3² + 4² + 5² + ... + 10² 3² + 4² + 5² + ... + 10² 10²

(7)

Solución:

Ejemplo 5:

A) 194736

Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4, se tendrá que falta :

Luego : 2² + 4² + 6² + 8² + … + (2n) ² = (n+1)(2n+1) 2³ + 4³ + 6³ + 8³ + … + (2n)³ = 2[n(n + 1)]² 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + (2n - 1)³ = n² (2n² - 1) 1² + 3² + 5² + 7² + … + (2n - 1)² = (4n² - 1) 1³ + 2³ + 3³ + .... + 11³ = S = - = 39744 11 • 12 2 20 • 21 2 2n 3 2n 3 11 • 12 2 ² ²

(

Calcular: S = 12³ + 13³ + 14³ + .... + 20³ D) 8910 B) 36191 E) 11197 C) 39744 Rpta. C ∴

I) Suma de los cuadrados de los "n" primeros números pares naturales.

II) Suma de los cuadrados de los "n" primeros números impares naturales.

III) Suma de los cubos de los "n" primeros números pares naturales.

IV) Suma de los cubos de los "n" primeros números impares naturales.

Suma de los términos de una Progresión

Aritmética

• Calcular : 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 37

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión aritmética.

Donde: en el problema : n a S n n a r a 1 n : número de términos : término enésimo

: suma de los "n" primeros términos

= 4 = 3 = 37 S =

(

_{de extremos}Semisuma

(

Número de términos 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 37 1er término a = 4₁ a = a + (n - 1) r _n ₁ último término a = 37_n Razón aritmética r = 3 = 7 - 4 +3 +3 +3 n = a - a + 1 r n r S =_n n = n = 12 S =₁₂ n + 1 12 = 246 a + a 2 n 1 37 - 4 3 37 + 4 2

OJO



(8)

CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

Suma de los "n" primeros términos de una

progresión geométrica finita

I) En toda P.A. cada término comprendido entre el primero y el último, es igual a la semisuma de susdostérminos adyacentes.

II) En toda P.A. de número impar de términos, siempre se cumple que existe un único término central cuyo valor es la semisuma de dos términos equidistantes.

III) En toda serie aritmética de número impar de términos se cumple:

I) En toda P.G. cada término comprendido entre el primero y el último es igual a la raíz cuadrada del producto de susdostérminos adyacentes. II) En toda P.G. de número impar de términos se

cumple siempre que existe un único término central, cuyo valor es la raíz cuadrada del producto de dostérminos equidistantes.

t _central= 2

S

términos equidistantes _T ₌ central Ejemplo 1: Ejemplo 2: Solución: Solución:

Estamos frente a una progresión geométrica finita:

donde :

multiplicando por 3

podemos expresar como : Observamos "n" sumandos :

aplicando "S" de progresión geométrica

⇒

T = 1 ; q = 2 ; n = 2002₁

Calcular : Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + 22001

Si n es un entero positivo, el valor de la suma : 3 + 33 + 333 + ... + 3 ... 3 S = 3 + 33 + ... + 3 ... 3 3S = 9 + 99 + ... + 99... 9 3S = - n S = 3S = (10 - 1) + (10² - 1) + … + (10 - 1)n 3S = (10+10² + … + 10 ) - (1 + 1 + ..."n" sumandos)n n cifras n cifras n cifras A) A) 2 2001 - 1 D) D) 42001 B) B) 22001 E) E) 1616 C) C) 22003 PRODUCTO DE 2 TÉRMINOS EQUIDISTANTES t t _central= IV) Calcular : 3 + 6 + 12 + 24 + ... 3 + 6 + 12 + 24 + ... "8 términos" x 2 x 2 x 2

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión geométrica.

Donde :

• Sn : suma de los "n" primeros números • q > 1 En el problema : S = T_n ₁ S = T_n ₁ Q = 1 = 2 - 12002 q - 1 q - 1 n q - 1 q - 1 n 10 - 9n - 10 27 n _{10 - 9n - 10} 27 n+1 _{10 + 9n - 10} 27 n+1 10 (10 -1) 10 - 1 n _{10 + 9n - 10} 27 n+1 10 - 9n + 10 27 n+1 _{10 - 9n + 10} 27 n 2 - 1 2 - 1 2002 2 - 1 2 - 1 8 T q n 1 T q n 1 S = 3 ₈ = 3 • 127 = 381 = = = = = = 3 (primer término) 2 (razón geométrica) 8 (número de términos) 3 2 8 Solución:

S

T

S =

S

—

x

términos de lugar impar central términos de lugar par Número de términos

(

₍

Rpta. A ∴ Rpta. C ∴

(9)

Suma de los Infinitos términos de una

progresión geométrica decreciente :

Suma límite :

En el problema :

Hallar "S" :

Si los radios de una sucesión de circunferencias son:

Calcular:

A)

La suma de sus correspondientes longitudes es igual a:

Aplicando suma infinita, donde la razón geométrica será :

Se debe saber que la longitud de una circunferen-cia se calcula como se indica :

Luego la suma de longitudes será :

2 (1) + 2 ( ) + 2 ( ) + 2 ( ) + …π π π π = 2π = 2π = 4π 1 -1 1 + + + +...

(

₍

(

D) D) D) B) B) B) E) E) E) C) C) C) 2 π 1/49 1/4 8π 1/3 1 2π 7/36 0 16π 13/37 1/3 4π 1/2 Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Solución : Solución : Solución : Donde : 0 < | q | < 1 S =_∞ S =_∞ ⇒ q = S = 1m ; S = S = 7S = 6S = 6S = ⇒ S = Como: Multiplicando a "S" por 7 : = = = = a =₁ -+ + + + -+ + + + + -m ; … + + + + + …∞ + …∞ + …∞ + … + - … = 2

Es decreciente ya que los términos van disminuyendo su valor, donde el término enésimo tiendeacero,cuando"n"esmuygrande. • Calcular : Solución: 1 + + + + … 1 + + + + … a = 1₁ q = por eso es decreciente < 1 x x x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 7 1 7 1 1 1 1 7 36 Suma límite 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 4 1 4 2 49 2 7² 2 7 1 7 1 7 1 8 1 8 3 343 3 7³ 3 7² 1 7² 4 2301 4 74 4 7³ 1 7³ 1 16 1 32 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 S =_∞ a1 1 - q 1- ₂1 1 2 1 4 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1- -

(

1₂

₍

1 2 Rpta. C Rpta. C ∴ ∴ Rpta. B ∴ L = 2 Rπ  



(10)

A) A) D) D) B) B) E) E) Donde :

Luego la suma de todas las áreas será :

S + S ₌ ₌ _•

=

+ + ... ∞ S 4 1 4 4 3 4 3 1 4 X S X S 16 S = C) C) Ejemplo 4: Ejemplo 5: Solución : Solución : a² 3 πR² πR² πR² πR² πR² 2 ²πR suma infinita πR² πR² 2 2 π

(

π

(

πR²/2 R , Los cuales se obtienen a partir de :

Luego la suma de las áreas será : , + + + + + = = = = , + .... + .... + .... , ... 2 ²πR 3 ²/4πR 4πR² a² 3 a² 3 a² 3 a² 3 a² 3 a² 3 3 2 6 4 4 3 Rp t a.A Rp t a. B ∴ ∴

Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide "a". Se toman los puntos medios de sus lados y al unírseles se forma otro triángulo equilátero, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro triángulo equilátero y repetimos la operación infinitas veces. Calcular la suma de las áreas de todos estos triángulos formados, incluyendo el mayor.

En un círculo de Radio R se inscribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe un círculo; en éste, otro cuadrado y así sucesivamente (indefinidamen-te). Se quiere saber la suma de las áreas de los círculos.

Sea "S" el área del triángulo del lado "a", luego según la figura se formará un triángulo cuya área es la cuarta parte de "S" y así sucesivamente.

Se puede determinar que los radios de cada círculo son respectivamente : a² 3 R R R 2 2 R R 1 1 1 1 + 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 1 1 -2 2

S/4

1 4 1 -R R o 2 2

(11)

A) A) D) _D) B) B) E) _E) Distancia de bajada : Distancia de subida :

Distancia total = dist. bajada + dis. subida

Distancia total =

Observamos una progresión geométrica ilimitada de razón 2/3 Dist. total = Dist. total = 5h Dist. total = 500 m = +

(

₍

(

₍

(

h + 2 h h h + + + + … + … C) C) Ejemplo 6: Ejemplo 7: Solución : Solución : Considerando de 2 en 2 Calcular: 7/5 3/25 S = S = S = S = = + + + + + + + + + + ...∞ ...∞ x 1/5 19/24 19/24 200m 300m 400m 500m 600m 2h 2h 4 4 3 3 9 9 h + 2h + 4 h + … 3 9 h + 2 2 h + 4 h + … 3 9 h + + … 2h 4 3 9 Rpta. D Rpta. E ∴ ∴

Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de la altura desde la que cayó por última vez. ¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resistencia delaire?

3 5 3 5 19 25 19 24 1 25 4 52 4 52 3 53 3 53 19 625 4 54 4 54 3 55 1 - ₂₅1 19 25 2 3 1 -2 3 h h = 100

...

h x h 2/3 4/9 + + + +r xq xq xq +r +r + ....∞ = 1 q 1 + r q² 1 + 2r q³ 1 + 3r q4 r + q - 1 (q - 1)² + + +3 x 7 x 7 +3 + ...∞ = = 1 7 4 49 7 343 3 + 7 - 1 (7 - 1)² 1 4 OB SER VACIÓN:

(12)

A) A) A) D) D) D) B) B) B) E) E) E) + + + -+ + + - + - + … + + ... + = = -- + .... + -+ + + + + + + + .... + + .... + + .... + + .... + 3 + C) C) C)

Suma de las Inversas de los Productos

Consecutivos

Calcular : Calcular : Factorizando el "3" Calcular : Ejercicio 1: Ejercicio 3: Ejercicio 2: S = S = S = 3 S = 3 S = S = S = En general : Por ejemplo : S = S = S = S = = = 1 1 1 -- -

-( -( -( -(

(

₍

(

Solución : Solución : Solución : 1 124/175 136/225 128/245 108/205 129/295 1 1 • 2 3 5 • 6 1 5 • 6 1 1 1 5 1 41 108 205 1 1•2•3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2 1 3 1 n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n 1 3 1 4 1 n + 1 1 1 • 2 • 3 3 - 1 1 • 2 • 3 1 1 • 2 1 1 • 2 1 2 1 156 77 312 1 2 • 3 1 2 • 3 1 3 • 4 1 12•13 1 11•12 1 2 • 3 1 n + 1 1 n + 1 n n + 1 1 n 71 120 n - 1 n 77 147 n - 1 n + 1 73 97 77 71 n n + 1 77 312 1 2 • 3 3 6 • 7 1 6 • 7 1 2•3•4 1 3 • 4 3 7 • 8 1 7 • 8 1 3•4•5 1 4 • 5 3 8 • 9 1 n(n + 1) 3 40 • 41 1 40 • 41 1 11•12•13 + + + … + = 1 1 • 2 1 2 • 3 1 3 • 4 1 n(n + 1) n (n + 1) + + + … + = 1 1•2•3 1 2•3•4 1 3•4•5 1 n(n+1)(n+2) n(n + 3) 4(n+1)(n+2) + + + … + = - = 1 2 • 5 +3 +1 +1

(

₍

1 5 • 8 1 8 • 11 1 35 • 38 1 3 3 19 1 2 1 38 P -= 1 k(k + 1)(k + 2)...(k + P) n k = 1

Σ

n! (n + P!) 1 P

En este tipo de situaciones se trata de descompo-nercadatérminoenladiferenciade2fracciones

Expresando todos los sumandos tal como :

Rpta. C

Rp t a. C Rp t a. E

∴

(13)

Propiedades de las Sumatorias

Suma de los "n" primeros términos de una

sucesión polinomial

01) 02) 03) Ejemplo: Calcular : Calcular : Solución: MÉTODO PRÁCTICO En el problema : reemplazando en "S "_n S = 10 • 5 +₁₀ S = 1175₁₀ + • 6 n = 10 ; T = 5 ; a = 9 m = 6 ; r = 0 1 (2k³ - 5k² + 7k + 4) 5 + 14 + 29 + 50 + 77 + ... 5 + 14 + 29 + 50 + 77 + ... T + T + T + T + T + ... + T₁ ₂ ₃ ₄ ₅ _n a m r r n p b c d 10 términos 2 k³ - 5 k² + 7 k + 4

Σ

Σ Σ

12 12 12 12 12 k = 1 k = 1 k = 1 k = 1 k = 1 A) D) B) E) C)

Aplicando las propiedades de la sumatoria, resultará : Solución : 8727 9192 7912 N.A. 9512 - 5 + 7 + 48

(

₍

(

₍

= 2 = 9512 2 12 • 13 2 12 • 13 • 25 6 12 • 13 2 Rpta. C ∴ +9 +6 +6 +6 +15 +21 +27 Diferencias Sucesivas + S = T C + aC + mC + rC_n ₁ ₁ ₂ ₃ ₄ S = nT +_n ₁ n(n - 1)a + 1 • 2 n(n - 1)(n - 2)m 1 • 2 • 3 n(n - 1)(n - 2)(n - 3)r 1 • 2 • 3 • 4 10 • 9 • 9 2 10 • 9 • 8 6 n n n n

(14)

Ejercicio 1 : Calcular :

S = 1 • 20 +₂₀

S = 2680₂₀

Si : T = 7n + 2_n

Calcular "S " e indicar su valor para n = 50._n

Suma de términos de una sucesión

polinomial conociendo su término

enésimo (T ).

_n Solución: Solución: 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + .... "20 términos" 1 + 3 + 7 + 1 3 + . . . . . +2 +2 +2 +4 +6 A) D) B) E) C) 4260 4440

Aplicando el método de las diferencias sucesivas

Se coloca "T " como término genérico de una sumatoria n S =_n S₅₀ Luego para n = 50. = = = 9025 + 2n + 2(50) 7n (n + 1) 2 7 • 50 • 51 2 n n n n T =_k (7k + 2) = 7 k + 2 k

Σ

= 1 k = 1

Σ

k

Σ Σ

= 1 k = 1 5440 8980 2680 Rpta. C ∴ + 20 • 19 • 2 1• 2 20 • 19 • 18 • 2 1 • 2 • 3

(15)

1.-

3.-

2.-La suma de 20 enteros consecutivos es "S".

¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? En el siguiente triángulo numérico, hallar lasuma de las diez primeras filas. F₁ = F ₁ + F ₂ + F ₃ + ... + F₁₀ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … F₂ = F₃ = F₄ = = = 105 = 5565 1 1 2 3 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 10 7 8 9 10 Lucha y Pili leen una novela de Vargas Llosa;

Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 pági-na el 1er. día, 2 el 2do día, 3 el 3er. día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo?

Solución: Solución: Solución: A) A) A) D) D) D) B) B) B) E) E) E) C) C) C) S + 210 13250 10 S + 20 11350 21 Sea:

Redistribuyendo en forma horizontal :

Luego nos piden :

Ot ro Mét o d o :

Luego piden :

1 + 2 + 3 + … + 105 = Sea "n" : número de días

Según enunciado se planteará : lo que piden es : Separando adecuadamente : S = (x + 20 + 1) + (x + 20 + 2) + (x + 20 + 3)₁ S = (x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+ … +(x + 20)+₁ ⇒ + (x + 20 + 4) + … + (x + 20 + 20) + 20 + 20 + … + 20 S = S + 20 • 20 = S + 400₁ S = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 20) 10 + 10 + 10 + … + 10 = 1 + 2 + 3 + … + n 20 enteros consecutivos "n" días

(páginas leídas por Lucha) Coinciden

"n" días

(páginas leídas por Pili)

Número Triangulares S 20 sumandos Número de términos : 1 + 2 + 3 + … 1 + 2 + 3 + … + 105 = = 105 = 5565 S + 200 13255 20 S + 400 5565 42 S + 190 22155 19 Rpta. E Rpta. E ∴ ∴ ⇒ 10n = n(n + 1) n = 19 2 10 x 11 2 105 x 106 2 1 x 2 2 2 x 3 2 3 x 4 2 4 x 5 2 10 x 11 2 105 x 106 2 Rpta. D ∴

(16)

4.-

5.- 6.-Se disponen los números naturales, según el

arreglo adjunto : Hallar la suma de la fila 10 en el siguientearreglo :

En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los términos de F :₂₀

Solución: Solución: Solución: A) A) A)

E indicar la suma de cifras del resultado. Calcular las suma de los números de la

fila 30 Fila 10 = Fila 10 = (1 + 6 + 11 ...) - (1 + 6 + 11 ...) Fila 10 = Fila 10 = Pero : Luego : ⇒ T = 1 r = 5 T = a + (n - 1) r ₁ _n ₁ T = 1 + (46 - 1) 5 = 226 T = 1 + (55 - 1) 5 = 27146₅₅ x 10 x 10 = 2485 10 x 11 2 T + T 2 46 55 226 + 271 2 9 x 10 2 = 55 términos = 45 términos D) D) D) B) B) B) E) E) E) C) C) C) 12742 2185 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ... 1 6 16 11 21 26 31 36 41 46 1 4 16 9 25 36 F₁ F₂ F₃ F₂₀ 18645 2435 19 Hasta la Fila 29 Fila 30 Del esquema : Hasta la fila 29 Hasta la fila 29 Hasta la fila 9 Hasta la fila 30 Hasta la fila 30 Hasta la fila 10

(

+ Fila 30 = Fila 30 = Fila 30 = ( ( 1 +2 + 3 + … + 465) -1 +2 + 3 + … + 435) Fila 30 = = 13515 465 x 466 2 435 x 436 2 — — — 13892 3140 15 13515 2485 21 18734 2355 17 Rpta. E Rpta. E ∴ ∴ = 435 términos = 465 términos = = 29 x 30 2 30 x 31 2

(17)

7.- 8.- 9.-Piden: Piden : 1 + 0 + 4 + 5 + 2 + 4 + 0 = 16 1² + 2² + 3² + .... — 1² + 2² + 3² + .... = = 1045240 20 x 21 2 210 x 211 x 421 6 190 x 191 x 381 6 19 x 20 2 = 210 Términos — = 190 Términos

Hallar la suma de las diez primera filas del siguiente arreglo numérico :

Hallar la suma de los 50 primeros términos de la sucesión :

Calcular el valor de : "a + b" sabiendo que :

Rpta. A Rpta. D Rp t a. D Rp ta. B ∴ ∴ ∴ ∴ 1 3 7 5 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 1 1 x 4 1 1 • 3 1 2 1 42 48 44 36 24 151 150 50 151 1 (3n - 2)(...) 1 1 x 4 1 3 Método Práctico 50 151 1 1 1 151 1 4 x 7 1 148 x 151 + 3 + 3 + 3 1 148 x 151 150 151 151 50 1 4 x 7 1 3 • 5 1 1 1 b 11 23 b = 23 a = 21 1 7 x 10 1 5 • 7 1 a • b 11 23 ; + ; + - = ⇒ = ; … + …+ F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ Solución: Solución: Solución: A) A) A) Se requiere :

Hallando el término 50, para lo cual hay que deducir que :

Se deduce que a + 2 = b; y aplicando el método práctico tendremos :

Luego : a + b = 44 F + F + F + … + F₁ ₂ ₃ ₁₀ T =_n + -+ … -+ = = ⇒ T =₅₀ 1 + 8 + 27 + … 1³ + 2³ + 3³ + … + 10³ = = = 3025 10 x 11 2 D) D) D) B) B) B) E) E) E) C) C) C) 2530 3025 100 4238 1000

(18)

10. 11. Calcular Calcular Rpta. C Rpta. D ∴ ∴ 1 2 x 6 1 2 x 3 1 2 x 3 1 1 24 43 307 428 7 20 17 237 17 29 465 934 1 6 1 6 1 6 1 2 1 2 30 x 31 2 1 3 1 5 1 U - 30 1 3 1 U 1 467 465 934 1 5 1 8 1 U 10 63 20 Sumandos 30 Sumandos 1 1 x 2 20 21 1 2 x 3 1 3 x 4 1 20 x 21 1 … x U +30 10 63 401 948 1 4 x 9 1 3 x 5 1 3 x 5 1 6 x 12 1 5 x 8 1 5 x 8 1 8 x 12 1 8 x 12 + + + + + + + + + + + ... . + + … + … + …+ Solución: Solución: A) A)

Dando una forma conocida :

Piden :

Cálculo de "U" para lo cual consideramos : 3 ; 5 ; 8 ; 12 ...U

Luego, la expresión a calcular será :

+ 2 + 3 + 4 + .... + 30 ⇒ U = 3 + 2 + 3 + 4 + … + 30 U = 2+1 + 2 + 3 + 4 + … + 30 U = 2 + = 467 Término 30 +2 x x x x +3 +4 + = = =

=

= -- - -+ + … + D) D) B) B) E) E) C) C) 12. Calcular: E = E = 9E = 3 8E = 3 E = 8E = 3 Rpta. A ∴ 1 3 1 3 3 33 3 33 3 3 2 3 15 32 2 3 1 9 5 35 5 35 5 33 2 33 7 37 7 37 7 35 2 35 15/32 1 15/16 12/25 15/64 Se deduce Suma infinita X 9 + + + + + 1 -+ + + + + + + + + … ∞ + … ∞ + … ∞ + … ∞ Solución: A)

Multiplicando por la razón geométrica de los denominadores, para luego restar :

D) B) E) C) 13. Calcular el valor de : R = R = R = R =

(

R= + = Rpta. C ∴ 2 12 1 + 1 12 1 + 1 12 1 12 1 12 6 + 1 12² 6 + 1 12² 6 12² 1 12² 6² + 1 12³ 6² + 1 12³ 6² 12³ 1 12³ 7 144 17 66 1 2 1 12 1 2 1 12 1 2 1 12 1 2 1 12 37 1728 1 13/77 1/3 1/9 17/66 + + + + + + + + + + 1 - 1 -+ + … ∞ + … ∞ + … ∞ +… +…∞ Solución: A)

Dando una forma conocida : D)

B) E)

(19)

14. 16.

15.

17.

Calcular el valor de : Si AB = BC = 1,

calcular : BD + DE + EF + FG + ....∞

Determinar la suma de los perímetros de los infinitos triángulos equiláteros como muestra la figura (los vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior).

En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 400 bolas de billar, ¿cuántas bolas se han usado en total?

1 7 3a 2 20 x 21 x 41 6 4 72 9 73 16 74 S = + + + + … ∞ 1 1 + 2 2 2 - 2 3 - 2 1 - 2 1 + 2 6a 2 12a 18a 9a 16a 7 27 13 49 37 71 Solución: Solución: Solución: Solución: A) A) B) C) D) E) A) 6a + 3a + 1 2 1 2 x x + .... ∞

Multiplicando por 7 ambos miembros, para luego restar :

Se deduce que :

Luego lo que se pide será :

AB = BD 2 BD = DE 2 1 BD = DE = + + + …∞ = = = 1 1 1 1 1 1 x 1 1 -1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D) D) B) B) E) E) C) C) 8270 3450 2870 2780 2370 A) D) B) E) C) S = 7S = 1 42S = 7 + 3 + 36S = 9 + 6S = 1 E = 36E = 9 = = 12a Rpta. D Rpta. E Rpta. B _{Rpta. B} ∴ ∴ ∴ _∴ 1 7 4 72 4 7 3 7 7 27 2 7 1 7 1 2 9 73 9 7² 5 7 2 7 5 7² 16 74 16 7³ 7 7² 2 7² 2 7³ 7 7³ x 7 x 7 + + + + 1 1 -6a + + + + + + + + + + … ∞ + … ∞ + … ∞ + … ∞ + … ∞ 2a 2a 2a - 1 2 + 1 2 A D F H I G E C B 45º 45º k k k 2

Las bases serán cuadradas, como:

; Total de Bolas : 1 + 4 + 9 + … + 400 : 1² + 2² + 3² + … + 20² = = = 2870 ; ; … 400 Bolas

(20)

18. 20.

21. 19.

Rosell está apilando las canicas que tiene formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántas canicas tiene Rosell como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 20 niveles?

Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión :

Calcular "x" : Calcular la suma total del siguiente arreglo:

20 x 21 x 22 3 19 x 20 x 21 3 Solución: Solución: Solución: Solución: 1460 11700 25 2650 1650 4225 20 2760 1540 11050 24 2460 1645 8150 18 +4 +3 +3 +3 +7 +10 +13 2860 1560 8250 23 2660 A) A) A) 2 ; 6 ; 1 3 ; 2 3 ; 3 6 ; 5 2 ; … x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (3x) = 1640 2 + 6 + 13 + 23 + 36 + … "25 términos" = 2C + 4C + 3C₁ ₂ ₃ Número de Términos Suma : ⇒ x = 20

(

₍

= + 1 = 2x + 1 . (2x + 1) = 1640 = 2 x 25₁ + 4x + 3x = 8150 3x - x 1 x + 3x 2 25x24 1x2 25x24x23 1x2x3 25 25 25 A) D) D) D) D) B) B) B) B) E) E) E) E) C) C) C) C)

Rpta. B Rpta. E

Rpta. E Rpta. C

∴ ∴

Se deduce que las bases serán triángulos, como:

La suma equivalente será : 1(2) + 2(3) + 3(4) + … + 19(20) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 19x20 = = 2660 , , , … 1 x 2 2 Números Triangulares 2 x 3 2 3 x 4 2 20 x 21 2 Número de Canicas: = (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21) = = 1540 2 3 + 3 4 + 4 + 4 5 + 5 + 5 + 5 20 + 20 + 20 + ... + 20 , … 20 Bases + + + … + 1 x 2 2 1 2 1 2

(

₍

2 x 3 2 3 x 4 2 20 x 21 2 20 x 21 2 Canicas

(21)

22. 24.

25.

26. 23.

Fanny debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día; tres el segundo, cinco el tercero y así

sucesivamen-1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 + … + 20 x 24

Sea "S" la siguiente serie finita:

S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99 S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99 2S = 2x1+ 2x2² + 3x2³ +…+ 100x2100 -S = 1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2 - 100x299 100 -S=-99x 2 - 1100 S = 99 x 2 + 1100 -S = - 100x2100 entonces "S" es igual a : Calcular: + + - -+ -+…∞ …∞

Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm. consiste de 500 vueltas de papel fuertemente enrollado en un cilindro de 10 cm. de diáme-tro. ¿Qué longitud tiene el papel?.

te, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: 144 9280 90x2 -1100 _{98x2 +1}100 _{99x2 +1}101 2 π cm 156 1710 99x2 +1100 1/4 1000π 142 484 1 10π 124 1000 99x2 -1100 7/13 1000 165 2142 1/3 10000π A) A) A) A) A)

Sea "n" el número de días, luego :

Expresando como sumatoria:

Descomponiendo adecuadamente los términos:

Σ

K(K + 4) =

Σ

= 20 x 21 x 41 + 4 = 1710 6 2 - 1 2 - 1 99-1 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 1 1 x 2 x 3 1 1 x 2 x 3 1 1 x 2 x 3 x 4 1 1 x 2 x 3 x 4 1 1 x 2 x 3 x 4 20 x 21 3 (K² + 4K) = K² + 4 K 20 20 20 20 K = 1 K = 1 K = 1 K = 1 Considerando : L = 2 R = Dπ π 13 + 13 + 13 + … + 13 = 1 + 3 + 5 + … + 12 Luego : 13n = n² + 12 1ª vuelta + … + 10 + ... + 30π π última

vuelta LongitudTotal

10 + 30 2 π π ⇒ = = = 1000π x 500

Lo que falta por leer

Longitud de una circunferencia "n" términos 500 términos 500 términos en progresión aritmética "n" términos "n" términos Número de páginas = 13n = 13(12) = 156 D) D) D) D) D) B) B) B) B) B) E) E) E) E) E) C) C) C) C) C) Rpta. D Rpta. D Rpta. D Rpta. B Rpta. C ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ + 1 1 x 2 x 3 1 1 x 2 x 3   n = 12

(22)

(23)

25. Si:

26. Hallar "n" si:

27. Hallar "x"

11³ + 12³ + 13³ + 14³ + … + x³ = 102600

49; 64; 81; ...; n

Lasuma de los términos de la sucesiónes433.

Hallar: A - B + C

A = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 77

B = 13 + 15 + 17 + 19 + … + 27

C = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + 21³

20. Hallar:

21. Hallar:

22. Efectuar:

23. Hallar:

S = 1.(20) + 2.(19) + 3.(18) + … + 20.(1) S = S = S = A) D) E) B) C) + + + +...+ + +...+ + + +...+ 1 1 1 1 1 1 17 19 19 17 15 1 1 1 17 15 16 15 1.2 2.4 6.9 9.12 12.15 30.33 57 71 61 63 62 3.8 4.12 31.124 18 24 17 23 2.3 3.4 16.17 1 1 1

19. Hallar:

S = 1.(3) + 2.(4) + 3.(5) + … + 20.(22) A) 3200 B) 3160 C) 3194 D) 3198 E) 9431

24. Hallar "x"

29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525 A) 123 B) 119 C) 117 D) 121 E) 125 A) 53621 B) 54722 C) 53924 D) 54921 E) 54371 A) 529 B) 400 C) 576 D) 676 E) 900 A) 23 B) 24 C) 26 D) 27 E) 25 A) 1560 B) 1540 C) 1610 D) 1570 E) 1624 A) D) E) A) 1 C) 1 5 5 3 3 22 37 31 43 41 A) D) D) B) C) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 26) 27) 21) 22) 23) 24) 25) 16) 17) 18) 19) 20) 11) 12) 13) 14) 15) A C E A C C D A E B A E E C A D B B C B A B B E A D C

RESPUESTAS

(24)

1. Hallar x + y si: 6. Hallar "n" 7. Calcular: 8. Hallar "n" 9. Calcular: 10. La sucesión: 11. Hallar : 2. Hallar "x"

3. Calcular la suma de los números de la fila 20 en el triángulo numérico:

4. A los términos de la serie:

5. Hallar: (x + y + z)², sabiendo que:

x2y + x3y + x4y + … + x8y = 4599 21 + 23 + 25 + 27 + … + n = 800

S = 4 + 18 + 48 + … + 900 n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + … + (3n) = 1640 S = S + S + S + … + S₁ ₂ ₃ ₃₀ 1: (2 + 3); (4 + 5 + 6); (7 + 8 + 9 +10); … S = S + S + S + … + S Siendo : S = 1 + 2 + 3 + … + n 1 2 3 n k 2² + 3² + 5² + 7² + … + x² = 67626 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Fila: 1 2 3 4 5 S = 2 + 5 + 8 +11 + 14 + ...; se le agrega 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie inicial?

9² + 99² + 999² + … = ...xyz 49 términos A) A) A) A) A) A) A) A) A) A) A) 11 5 2760 18 33015 13009 n(n + 1) 2 n 6 (n+1)(n+1) n 3 (n+1)(n+2) n + 1 2 2 53 4020 28 400 B) B) B) B) B) B) B) B) B) B) B) 12 59 2785 19 31018 12915 51 4110 29 169 C) C) C) C) C) C) C) C) C) C) C) 13 57 2890 20 33025 12975 49 4010 31 196 D) D) D) D) D) D) D) D) D) D) D) 14 47 2960 21 34015 12615 57 4220 32 900 E) E) E) E) E) E) E) n² E) E) E) E) 15 71 2972 22 34215 13019 47 4015 30 729

 

(25)

12. Hallar la suma de los elementos de la fila 20: 16. Hallar :

17. Hallar el valor de:

18. Hallar a + b; si: S - S = 4₁ ₂

19. Hallar: x + a + b + c

20. Si: 13. Hallar el total de palitos de fósforo de:

14. Calcular S30; sabiendo que:

15. Hallar el resultado de efectuar la serie: S = 1 S = 3 + 5 S = 7 + 9 + 11 S = 13 + 15 + 17 + 19 1 2 3 4 S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + … sabiendo que tiene 100 sumandos

1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 4 6 6 6 4 5 10 10 10 10 5 6 15 15 15 15 15 6 S = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - … S = a + (a + 2) + (a + 4) + … + (a + 20) S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + a S = 40 + 38 + 36 + … + b 1 2 x1x x2x x3x + + + … + x9x = abc3

a + + ba aba baba ababa+ + + ... = 92 Si: a = 93 - 33 n 1 2 3 28 29 30 A) A) A) A) A) A) A) A) A) 2 46 — 930 240 49 20 8 900 24000 6675 B) B) B) B) B) B) B) B) B) 3 12 — 740 263 48 21 9 920 27000 6645 C) C) C) C) C) C) C) C) C) 3 15 — 820 242 46 24 10 930 25000 6895 D) D) D) D) D) D) D) D) D) 3 16 — 910 361 47 25 11 891 24600 6915 E) E) E) E) E) E) E) E) E) 3 16 — 790 351 52 22 12 895 24900 6924 13 sumandos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 16) 17) 18) 19) 20) 11) 12) 13) 14) 15) C B C E A B C C A E C C A E B D D D B A

RESPUESTAS

(26)

1. 5. 6. 7. 8. 9. 2. 3. 4.

Se tiene 85 naranjas; si con ellas se forma una pirámide tetraédrica, la más grande posible. ¿Cuántas naranjas sobrarán?

Se tiene 3 números en progresión aritmética, al aumentarlo en 4, 5 y 9 respectivamente se obtiene números proporcionales a 3, 7, 14. Determine la suma de los 20 primeros

térmi-Los números: n - 2 ; n + 2 ; n + 14 ;... son los tres términos de una progresión geométri-ca, halle la suma de los 20 primeros términos.

Calcule la suma de los 41 términos de la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 3, 6, 4, 10, 5, 15, 6, … Calcule S Calcule S S = S = + + + + + … + … 1 5 x 10 1 4 x 5 8 420 205 824 7 410 210 821 6 400 215 824 8 205 204 825 9 430 211 824 1 10x15 1 5 x 7 1 15x20 1 7 x 10 1 200 x 205 nos de la progresión aritmética.

Rlta con todas las monedas que tiene, forma un arreglo triangular de la siguiente manera: en la primera fila 1 moneda, en la segunda fila 2 monedas y sobre cada una de ellas una más, en la tercera fila tres monedas y sobre cada una de ellas 2 monedas más y así sucesivamente. Si pudo formar 20 filas en total ¿cuántas monedas tenía?

Un comerciante advierte que la demanda de su producto va en aumento por lo que decide comprar cada día 5 unidades más respecto al día anterior y de esa manera satisfacer a los clientes, si empezó comprando 19 unida-des y el penúltimo día compró 169 unidaunida-des, ¿cuántas unidades compró en total?

En la fábrica “Nuevo Amanecer” existe 2 máquinas; una produce diariamente 100 unidades de un producto, mientras que la segunda el 1º día 10, el segundo día 20, el tercer día 30 y así sucesivamente, comienzan un 22 de febrero del año 2002. ¿En qué fecha el total producido por ambas será lo mismo? A) A) A) A) A) A) A) A) A) 13 de marzo B) 12 de marzo C) 13 de abril D) 11 de marzo E) 14 de marzo 1 560 3 - 121 1770 2970 3005 B) B) B) B) B) B) B) B) 2 550 3 - 240 1771 2870 3088 C) C) C) C) C) C) C) C) 3 450 3 - 115 1760 2360 3006 D) D) D) D) D) D) D) D) 0 460 3 - 120 1870 3620 3107 E) E) E) E) E) E) E) E) 4 500 2 - 130 1880 5205 3012

 

(27)

10. 11. 12. 13. 15. 17. 18. 19. 14. 16. Halle la suma de los 50 términos de la

si-guiente serie; dar como respuesta la suma de cifras

En una progresión aritmética el primer térmi-no con el décimo térmi-novetérmi-no térmitérmi-no con el déci-mo noveno término suman 462, y el segundo término con el duodécimo término suman 468. Halle la suma de los 20 primeros

térmi-Calcule la suma de los 20 primeros términos de una progresión cuyos términos son de la forma: t = 2n² + 10n_n

Halle el valor de S

Halle la suma de los 78 términos que tiene la serie aritmética: 1 xy + 1 yx + … +yx 1

Halle el valor de la suma de los 20 primeros términos de la serie:

La masa de un péndulo recorre 32 cm. en la primera oscilación. En cada una de las si-guientes, la masa recorre 3/4 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Calcule el recorrido total de la masa hasta que se detenga.

Calcule la suma de los 20 primeros términos de la serie: S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + … Halle S Calcule S = 14 + 20 + 36 + 62 + ... S = S = + + + + + + + + + + … + … 1 3 1 3 5 8 5 4 13 9 3 5 3 8 3 4 13 8 4 5 11 8 5 3 1 32 2 32 1 33 3 33 1 34 4 34 1 35 5 35 1 36 30 sumandos

nos de dicha progresión

S = 11 + 101 + 101 + 10001 + … A) A) A) A) A) A) A) A) A) A) 90 6450 7840 43630 40900 3120 230 cm 2 + 121 B) B) B) B) B) B) B) B) B) B) 55 4650 8740 43530 40911 2510 250 cm 2 - 121 C) C) C) C) C) C) C) C) C) C) 80 4560 8470 43650 40192 4510 124 cm 2 - 2120 D) D) D) D) D) D) D) D) D) D) 60 4659 7480 43560 41920 3150 224 cm 20 - 2120 E) E) E) E) E) E) E) E) E) E) 70 4640 9480 43470 40920 3510 120 cm 2 - 2121

(28)

20. 21. 22. 23. 24. 26. 27. 28. 25. Edith con todas las fichas que tiene hace el

siguiente arreglo:

Calcule el valor de S

Calcule

Si el tercer término de una progresión aritmé-tica es 11 y el décimo 32, ¿cuál es la suma de los 20 primeros términos de dicha progresión?

Halle el valor de S

S = 2x5 + 3x6 + 4x7 + 5x8 + … + 100x103

Un agricultor posee 20 troncos de árbol que los planta en línea recta, separado 2m y 7m alternadamente. Halle el recorrido total a partir del instante que muestra la figura hasta que termina de plantar todos los árboles (sólo

Un ciclista sale de una ciudad A y recorre 1km el primer día, 4km el segundo día, 7km el tercer día; es decir, cada día 3km más que el día anterior. Después de 3 días de su parti-da, un motociclista sale a darle alcance y recorre 17 km el primer día, 18 km el segundo día, 19 km el tercero, ..., encontrándose por primera vez en un pueblo B y por segunda vez en C. Halle la distancia entre estas dos ciudades.

La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Halle la suma de las cifras del término central. Halle n en : + + + + … = ; 0 < < 1 4 n 1 n² 4 n³3 1 n4 5 7 1 n S = 1 + (1+5) + (1+5+9) + (1+5+9+13) + … (1 +3 + 5 + 7 + … + 19)0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 1 11

¿Cuántas fichas tiene? A) A) A) A) A) A) A) A) A) 5 5107 4430 10 670 338350 1760 m 82 km 8 B) B) B) B) B) B) B) B) B) 6 3048 5210 11 675 338351 1750 m 120 km 12 C) C) C) C) C) C) C) C) C) 4 3050 3150 9 676 353496 1875 m 76 km 14 D) D) D) D) D) D) D) D) D) 2 3051 5530 16 750 353498 1567 m 64 km 10 E) E) E) E) E) E) E) E) E) 3 3049 6479 25 576 353435 1630 m 90 km 16 F1 F2 F3 F4 F₁₀ F16 F₁₇ F18 F19 20 sumandos

carga uno cada vez).

(29)

29.

30.

31.

32.

Sabiendo que:

Se tiene un triángulo cualquiera cuya área es l ². Se toman los puntos medios de sus lados y al unirlos se forma un triángulo, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se unen, y así repeti-mos la operación infinitas veces. Calcule la suma de todas las áreas así formadas.

µ

Dada la sucesión aritmética creciente

Halle la suma de los 10 primeros términos de D a partir del siguiente arreglo triangular.₃ aaa aa7 ac1; ; ; …

halle S = a + c + 5 + … S = 20² + 19² + 18² + 17² + …_n Calcule S = S + S + S + … + S₁ ₂ ₃ ₂₀ A) A) A) A) 44100 4/3 88 917 D₃ (2c + a) términos 3 6 3 9 9 3 12 18 12 3 15 30 30 15 3 B) B) B) B) 38000 1/2 75 823 C) C) C) C) 45600 5/6 66 800 D) D) D) D) 44000 3/4 99 863 E) E) E) E) 44450 8/5 78 857 "n" sumandos

(30)

1. 6. 7. 8. 9. 10. 2. 3. 4. 5.

De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas arrancadas) se ha usado 365 ti-pos. Hallar la cantidad total de hojas de dicho libro.

Cuando la suma de los 10 primeros términos de una P.A. es igual a cuatro veces la suma de los cinco primeros. ¿Cuál es la razón geo-métrica entre el primer término y la diferencia común?

Calcular el valor de "S" :

Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primer lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. ¿Cuántos

En el siguiente arreglo numérico hallar la suma de los términos de la fila veinte.

Calcular la suma de:

S = 7x31 + 9x29 + 11x27 + 13x25 + … + 31x7 F : 1 F : 3 5 F : 7 1 2 3 9 11 F : 13 15 17 19 F : 21 23 25 27 29 4 5

lechos pueden formarse?

S = 9 + 12 + 17 + 24 + .... + 177 Hallar el valor de "S" :

Hallar la suma de los 15 primeros términos de la serie :

Calcular S en:

La suma de los terceros términos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Ha-llar la suma de los 10 primeros términos de una nueva P.A., que se forma al sumar térmi-nos correspondientes de las dos P.A. antes mencionadas sabiendo además que la suma de los términos anteriores al primero de las primeras P.A. es -3. S = S = 1 + 7 + 17 + 31 + … S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + .... (20 sumandos) A) A) A) A) A) A) A) A) A) A) 120 2/3 814 81 7000 3955 1 1250 15400 550 B) B) B) B) B) B) B) B) B) B) 110 1/5 910 27 8000 3965 1/2 940 24350 620 C) C) C) C) C) C) C) C) C) C) 210 1/2 873 35 1250 3945 1/3 3500 17200 580 D) D) D) D) D) D) D) D) D) D) 240 2/7 913 44 4320 3975 1/5 2360 3540 630 E) E) E) E) E) E) E) E) E) E) 180 5/9 923 20 3560 3985 1/6 435 44320 610 + + + + … ∞ 1 9 1 27 1 81 1 243

 

(31)

11. 15. 16. 17. 18. 12. 13. 14.

Hallar la suma de:

S = 1x3 - 3x5 + 5x7 - 7x9 + …

Calcular el valor de S:

S = 3 + 10 + 29 + 66 + … + 1730

Ana va al cine durante tres días alternada-mente en una semana, y lo hace al mes en tres semanas consecutivas. Si el segundo día de un cierto mes es jueves y la suma de las fechas de los días que fue al cine ese es 198. ¿Qué fecha y día será la sétima vez que fue al cine en dicho mes, si asiste siempre los mismos días?

En un torneo de fútbol de dos ruedas partici-paron 14 equipos. Al final del mismo se obser-vó que cada equipo tenía un punto de menos que el que le antecedía en la tabla de pun-tuaciones, excepto con el último que hizo cero puntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, si la puntuación por partido ganado es de 2 puntos?

En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn los va colocando por fila de la siguiente manera: en la primera fila pone un durazno; luego toma 2 duraznos de la canasta y les pone en la segunda fila y así sucesivamente hasta donde le sea posible. ¿Cuántos duraznos sobrarán en la canasta?

En la siguiente sucesión :

Si:

Calcular la suma de todos los términos unidos por línea demarcada hasta la fila 20.

Hallar:

a. El término de número ordinal 20 b. La suma de los 20 primeros términos

1ab 2ab 3ab 4cd7 n1n n2n n3n n9n + + + … + = ; a b + + + … + = xyz4 Calcular: c + d + a + b + x + y + z 9ab ≠ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 f f f f f f f 1 2 3 4 5 6 7 . . . . . . 1, 5, 15, 34, 65, 111, … A) A) A) A) A) A) A) A) 3280 29 1320 3215 lunes 27 72 5 4010; 22155 B) B) B) B) B) B) B) B) 1570 73 3150 6108 martes 12 28 7 2050; 21215 C) C) C) C) C) C) C) 1250 45 5985 4320 jueves 7 34 9 D) D) D) D) D) D) D) C) E) 3500 38 4270 8250 sábado 15 57 1 315; 1510 3290; 35710 E) E) E) E) E) E) E) D) -3280 41 7250 1308 lunes 8 43 3 7050; 180 40 sumandos

(32)

19. 24. 25. 26. 20. 21. 23. 27. 22.

Anita llega al colegio con cierto retraso diaria-mente. El primer día llegó 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3 minutos tarde y así sucesivamente; al cabo de 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las tardanzas?

Si: A = 4 + 7 + 10 + 13 + .... B = 2 + 4 + 7 + 11 + … C = 3 + 6 + 12 + 24 + …

Encontrar un número de 3 cifras divisible por 11 y tal que permutando la cifra de las dece-nas con la de unidades se obtiene un número cuyas tres cifras están en progresión aritméti-ca. Indicar la suma de las cifras de dicho número.

Halle

S = 3 + 33 + 333 + 3333 + … + 333 … 3 La suma de los "n" primeros términos de una

serie geométrica en donde los términos son números enteros es 31. Luego de calcular el primer término y "n" dar el número de soluciones.

La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Hallar la suma de las cifras del término central.

Halle el valor de "x":

He repartido un total de 1900 caramelos entre los 25 sobrinos que tengo, dándole a cada uno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuán-tos caramelos les di a los 10 primeros?

S = 69 + 67 + 65 + 63 + … + x = 1000 Halle "S" S = 9 + + + + ....∞ 20 18 80 36 320 72 1280 A) A) A) A) A) A) A)

cada serie posee 10 sumandos. Halle A + B + C A) A) 2,5 h 1 5 -29 815 1/19 1250 6; 12; 18 10 - 1 9 n 10 - 9n 27 n+1 10 - 9n - 10 27 n+1 10 + 9n - 10 9 n+1 10 - 9n 27 n B) B) B) B) B) B) B) B) B) 8 h 2 4 39 420 5/19 2578 3; 14; 15 C) C) C) C) C) C) C) C) C) E) D) 5 h 3 9 47 720 3/19 3474 7; 11; 15 D) D) D) D) D) D) D) D) 1 h 4 7 29 535 7/19 4512 9; 13; 17 E) E) E) E) E) E) E) E) 3,5 h 5 8 -19 180 9/19 5218 7; 12; 17 "n" sumandos

(33)

28. 32. 33. 29. 30. 34. 31.

La suma de los cuadrados de los "n" primeros números enteros positivos, es igual a la suma de los primeros "2n" números enteros positivos. Halle "n".

Augusto y Celia leen una novel de 3000 pági-nas. Augusto lee 100 páginas diarias y Celia lee 10 páginas el 1er día, 20 el 2do. día, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambos co-mienzan el 22 de febrero de un año bisiesto. ¿En qué fecha coincidirán en leer la misma página por primera vez, y cuántas páginas habrán leído hasta ese día?

Calcule "S + S " siendo:₁ ₂

S : la suma de términos de D

1 3

2 4

Se contrata a un obrero para cavar en busca de dos fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil encontrado.

Si encuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles ¿cuánto le pagaron por el octavo fósil hallado que encontró? Dados: S = 10x11 + 11x12 + 12x13 + … + 20x21 S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21 Hallar S ÷ S 1 2 2 1

Calcule la suma de los 20 primeros términos de: -2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 8 ; ...

La suma en el límite de los términos de una progresión geométrica decreciente de infinitos términos es "m" veces la suma de sus "n" primeros términos. Hallar la razón de la P.G. A) A) A) A) B) C) D) E) A) 5 380 28/33 m-1 m m-1 m-1 2m m+1 m m-1 m+1 n n n n n 7730 A) B) C) D) E) 10 de febrero; 1800 12 de febrero; 1600 11 de febrero; 1600 10 de febrero; 1900 11 de febrero; 1900 B) B) B) B) 9 384 25/24 7570 C) C) C) C) 6 360 25/27 7700 D) D) D) D) 9 400 28/25 7750 E) E) E) E) 8 420 28/27 7755 A) 5985 B) 5855 C) 5900 D) 6985 E) 5585 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 19 D₄ D₃ 19 1

(34)

35. 36. 37. 38. Calcule: S = 1 + 5 + + + … (20 sumandos) 6 3 x 2 - 43 3 x 2 21 20 3 x 2 - 53 3 x 2 20 19 3 x 2 - 53 3 x 2 21 20 3 x 2 - 53 3 x 2 20 18 3 x 2 - 50 3 x 2 21 20 7 12 9 24

La suma de los términos de la última fila del arreglo triangular mostrado es 9520 ¿cuántas filas tiene el arreglo?

Calcular al suma de los "n" términos de la sucesión: Calcular A en: 0 ; 8 ; 52 ; 156 ; 344 ; 640 ; .... A = 10 10 J = 1 K = 1 [n(3n - 1)]

Σ Σ

A) E) B) n - n + 2n4 2 D) C) n + n + 2n4 2 n + 3n4 2 n - 3n + 2n4 2 n - 3n + n4 2 A) C) E) B) D) A) 40 B) 38 C) 35 D) 42 E) 50 Fila Fila 2 Fila 3 Fila 4 1 4 8 12 12 16 20 16 20 24 28 A) 3040 B) 3140 C) 3400 D) 3420 E) 3410 39. 40.

Una persona debe vaciar un balde de agua a cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8 m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10 m. del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber

Rebeca al ganarse el premio mayor lo reparte entre sus sobrinos de la siguiente manera: "al 1º S/.100, al 2º S/.200, al 3º S/.300 y así sucesivamente en P.A. teniendo en cuenta que cuando ya no se pueda continuar con los que siguen, se continuará repartiendo de la manera descrita anteriormente y así sucesiva-mente, hasta agotar todo el premio cuyo valor asciende a S/. 22,900. ¿Cuántos sobrinos se beneficiaron?

devuelto el balde al pozo?

A) A) 3420 24 B) B) 3500 26 C) C) 3440 28 D) D) 3400 27 E) E) 3600 30

     

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B E D C D C E E B B E A D C B A C A E A D E A C A C D A B D A E A D E A D E C C

(35)

1.

2.

3.

4.

En una especie marina con "2n" miembros se observa lo siguiente: los nacimiento son pro-ductos del azar y lo curioso fue que la primera pareja tuvo una cría, la segunda pareja tuvo dos crías la tercera tuvo tres crías, y así sucesivamente, resultando con una población total de "40n" miembros. Si abortó una hem-bra muriendo todas sus crías y disminuye así la pobación en 1/150. ¿Cuántas crías

murie-La suma de los "n" primeros números natura-les consecutivos, pares consecutivos, impares consecutivos es 6(5n + 1) + n. Hallar "n"

Sabiendo que la suma de 30 números enteros consecutivos es 1665, hallar la suma de los 30 números enteros consecutivos siguientes:

Las dos últimas cifras de la suma de 53 núme-ros entenúme-ros consecutivos es 58. Entonces la última cifra del cuarto número consecutivo es? ron? (Considerar n parejas).

A) A) A) A) 12 6 2500 3 B) B) B) B) 18 8 2550 6 C) C) C) C) 30 10 2565 8 D) D) D) D) 24 12 2650 9 E) E) E) E) 20 15 2700 0 5. Hallar "n", sí: Además: B + C = A A = 3 + 12 + 27 + … + n B = 2 + 4 + 6 + … + 112 C = 1 + 3 + 5 + … + 7 A) 764 B) 768 C) 469 D) 361 E) 969 7. 8. 9.

Hallar "n", si la suma de los términos de la sucesión:

Hallar "x", sí:

La suma de la última fila del arreglo es 2380, ¿cuántas filas se tienen?

M = 5 + 10 + 15 + … + x N = 1 + 4 + 9 + … + 1600 P = 1 + 8 + 27 + … + 3375 Q = 2 + 4 + 6 + … + (x + 10) Además: N = M + P + Q + 1950 1 2 + 3 3 + 4 + 5 4 + 5 + 6 + 7 es igual a 79,600 4 ; 10 ; 13 ; 28 ; ...; n A) A) A) 3940 10 39 B) B) B) 3120 25 42 C) C) C) 3195 28 40 D) D) D) 3910 30 46 E) E) E) 3780 20 48 6. Efectuar: S = 1 1 + 2 + 3 + … + 20 2 1 6 1 12 1 420 A) 208,7 B) 207,8 C) 209,4 D) 210,9 E) 207,4

 

(36)

10. 11. 12. 13. 14. 15. Si: S = 1 + 2 + 3 + … + (x + 1) calcular: S = S + S + S + … + S x 1 2 3 20 Hallar a + b; si:

La suma de 23 números impares consecutivos es un número que está comprendido entre 760 y 850. Entonces el término central es un número:

Timo debe recorrer 3275 m, y lo hace de la siguiente manera, en el primer minuto recorre "a" m, en el 2º minuto "2a" m, y retrocede 10 m en el 3er. minuto recorre "3a" m, y retrocede 10 m, y así sucesivamente. Llegando a la meta en 21 min. exactamente. Hallar "a".

Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su casa; lleva la 1ª vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladri-llos. Si desea llevar 3150 ladrillos ¿cuántos

Hallar x + y, si: viajes debe hacer?

1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + … + x (y) = 3710 1b 2b 3b + + + … + abb= 12631

A)

A) Mayor que 50 B) Menor que 30 C) Primo D) Múltiplo de 5 E) Múltiplo de 3 12 10 B) B) 18 11 C) C) 30 12 D) D) 24 13 E) E) 20 14 A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 16 A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 A) 44 B) 46 C) 42 D) 45 E) 48 17. 18. 19. 20. 21.

Calcular la suma de cifras de "n" Si: 4 +10 + 18 + 28 + … + n = 3500

Si:

La suma de los "n" primeros números conse-tivos es igual a MMM. Hallar "M".

Si se agrega al número 42 la suma de 25 nú-meros impares consecutivos es igual a . Hallar "M".

MMM

Si: a1a a2a a3a a9a xyz4 19bc 18bc wmn77 + + + … + = + + … + = 1² + 3² + 5² + … + m² = 5456 hallar: x + y + b + w + z + m 1bc 1a 2a 3a + + + … + =7a bb6 1 + 4 + 9 + … + c = 42925 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + … + d = 42 hallar a + b + c + d 16. Hallar "M" M = [1.3 + 3.5 + 5.7 + ...n términos] + n 1² + 2² + 3² + 4² + ...n términos A) A) A) A) A) A) 4 12 2518 1 2 57 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) E D C A B D E E C A C D B C A A B D D E E B) B) B) B) B) B) 3 10 2513 2 6 58 C) C) C) C) C) C) 2 11 2314 3 8 59 D) D) D) D) D) D) 1 13 2514 6 9 61 E) E) E) E) E) E) 0 14 2128 7 7 55

(37)

1. 2. 3. 4. 5. 6. C B C C C C 1. 2. 3. 4. Calcular Calcular

Sea a el último dígito del número:_n

Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo y dar como respuesta la suma de cifras del resultado.

1 + 2 + 3 + ... + n ; n∀ ∈ 5. 6. Calcular: Calcular: 1 + 2 6 12 1 + 1 + + + + + + … ∞ + … + + + + … + 110 + + + + +... 1 1x4 1 2 1 2 2005 21001 2001 x 4003 7270 2001 x 4007 4850 3720 9007 4001 13 4006 11 11 701 2003 21001 2003 21001 12 13 11 18 1 2x5 3 2² 1 3x6 5 2³ 2001 21001 1 2² 1 2 1 6 1 12 1 110 1 3² 1 4² 1 3² 1 4² 1 5² A) A) 2001 2258 784 B) B) C) C) E) E) 2003 D) D) A) A) A) A) 1 2 x 32002 2000 8 1 3 5 7 21 3 5 7 9 23 5 7 9 11 … … … .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . 21 23 … ... … 3 + 22001 7000 12 3 -4000 10 3 -9000 13 3 -5050 9 2 B) B) B) B) C) C) C) C) D) D) D) D) E) E) E) E)



(38)

07. Calcular: a) 1410 b) 1510 c) 1328 d) 1420 e) 5250 08. Calcular: a) 9512 b) 9731 c) 9615 d) 9475 e) 9820

09. Hallar:P +A+T +A+S

Si: a) 29 b) 31 c) 28 d) 30 e) 31 10. Hallar: a) 2(n !) - 1 b) (n -1)! -1 c) (n - 1)! + 1 d) (n + 1)! - 1 e)(n-2)!-2 11. Calcular: a) 7,35 b) 9,45 c) 8,05 d) 8,50 e) 8,25 ( 2a² + a - 1 = PATAS ) a=14 50

∑

x . x! x=1 n

∑

01. Hallarelvalor de: a) 728 b) 764 c) 777 d) 782 e) N.A. 02. Hallar “n” en: a) 62 b) 60 c) 68 d) 64 e) 61 03. Calcular: a) 518 b) 513 c) 418 d) 712 e) 716 04. Calcular: a) 460 b) 525 c) 843 d) 715 e) 462 05. Calcular: a) 4960 b) 4230 c) 4980 d) 4970 e) 4860 06. Hallar: a) 1938 b) 1921 c) 1916 d) 1871 e) 1891

 

k

(

2 + 2k + 1

)

k = 5 12

∑

x² + ( 2y + 1) x=12 y=8 22 44

∑

( 2n³ - 5n² + 7n + 4) n=1 12

∑

2 = 128

a = 3 n + 4 n 3n + 5 n - 5 2 2

∑

3x

x = 1 18

∑

x +

x

x=1 x=1 30 27

∑ ∑

x

a=1 x=1 30 a

∑ ∑

x.y

x=1 y=2 x=18 y=17

∑

12 + 4 + — + … 24 + 12 + 6 + … 4 3 x+17 38

∑

(39)

12. Si: Calcularelvalornuméricode: a) 6 b) 10 c) 4 d) 14 e) 6 13. Sabiendo que: Calcular:

14.Determinarel valor de:

a) b) c) d) e) 15. Simplificar: a) a + a b) a a c) a + a d) a - a 06 0 5 e) N.A.5 0 6 0 16. Hallar: a) 67 b) 69 c) 77 d) 87 e) 97 17. Hallar: a) 35 b) 30 c) 35 d) 63 e) 71 18. Hallarelvalor de: a) 319 b) 310 c) 300 d) 320 e) N.A. 19. Calcular: a) 62409 b) 67782 c) 63784 d) 64009 e) N.A. 20. Calcular: a) 2460 b) 4260 c) 2640 d) 2767 e)3420 x = - 4 _i y x² = 10_i i=1 i=1 6 6

∑

x = (x - 1)_i _i i=1 6

∑

7 k=17 27

∑

2i - 1 i=10 20

∑

k³

k=6 22

∑

k³ - k²

k=1 10

∑

(2k - 1) Ra = k=1 a

∑

Ra a=1 a=n

∑

a)

n (n + 1) (2 n + 1)

6 b)

n (n + 1)

4 c) n

d) n (n + 1) e)

2 2 2

_n(n-2)

E = i=1 k=1 k 1 —— i n

∑

k=1 a -_k a_k-1

(

)

6

∑

n ——— n + 1 n(n + 1) ———— 2(n + 2) n(n - 1) ———— 2(n + 2) n - 1 ——— n + 1 2n ——— n + 1 k² - (k + 1)² k=1 7

∑