08/09/2020 Departamento de Física y Química 1
UNIDAD 1 : TRABAJO Y ENERGÍA MECÁNICA.
1.. La energía: formas y fuentes
2.. Trabajo
3.. Conservación y degradación de la energía
2.1.Interpretación gráfica del trabajo
2.2.Trabajo de la fuerza resultante
3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas
3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas
4.. Potencia
2.3.Trabajo de una fuerza variable
2.4.Energía cinética
2.5.Energía potencial
1.. La energía: formas y fuentes
La energía es una magnitud física escalar que mide la capacidad que tienen los cuerpos o sistemas para realizar transformaciones en ellos mismos o en otros cuerpos o sistemas. Como existen distintos tipos de transformaciones, existirán distintos tipos o formas de energía
Energía cinética Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica
La poseen los cuerpos por el hecho de estar en movimiento
La poseen los cuerpos por el hecho de estar a cierta altura sobre la superficie de la Tierra
La poseen los cuerpos elásticos a causa de la deformación que han experimentado
Energía mecánica
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Energía eléctrica Energía nuclear
La poseen las cargas eléctricas en reposo
Energía térmica Energía química Energía radiante
Es la forma de energía que fluye de un cuerpo a otro a causa de la diferencia de temperatura que existe entre ellos.
La poseen todas los sustancias de la naturaleza debido a la energía de sus enlaces.
Se pone de manifiesto en las reacciones químicas
Es la que poseen las
08/09/2020 Departamento de Física y Química 5
Las fuentes de energía son los distintos recursos que existen en la naturaleza de los que el ser humano puede obtener energía utilizable en sus actividades.
1.2. Fuentes de energía
Son los sistemas materiales que por sus características o situación proporcionan a las personas energía utilizable.
No confundir las formas de la energía con las fuentes de la energía.
Así cuando hablamos de energía hidraúlica no nos estamos refiriendo a una nueva forma de energía sino a la energía potencial gravitatoria que tiene el agua embalsada en una presa. El agua embalsada es una fuente de energía y la energía potencial gravitatoria es una forma de energía.
La energía eólica no es una forma de energía diferente de la energía cinética del viento: el viento es una fuente de energía y la energía cinética es una forma de energía.
El carbón, el petróleo, el gas, el viento, el agua embalsada, … son fuentes de energías. Las fuentes de energía pueden ser renovables y no renovables.
El viento, el agua embalsada, el Sol, las mareas, el calor interno de la Tierra… son fuentes de energías renovables.
Las Fuentes de energía renovables son aquellas que, tras ser utilizadas, se pueden regenerar de manera natural o artificial. Algunas de estas fuentes renovables están sometidas a ciclos que se mantienen de forma más o menos constante en la naturaleza.
Las Fuentes de energía no renovables son aquellas que se encuentran de forma limitada en el planeta y cuya velocidad de consumo es mayor que la de su regeneración.
Una de las características fundamentales de la energía es su capacidad de transformación de unas formas en otras.
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2.. Trabajo
En el lenguaje común empleamos frecuentemente la palabra trabajo asociando su significado con alguna forma de esfuerzo, ya sea mental o físico.
En Física, sin embargo, la palabra trabajo se emplea para denominar una magnitud física escalar, cuyo significado no coincide siempre con el del lenguaje común.
En Física, realizar un trabajo significa ejercer una fuerza sobre un cuerpo con desplazamiento de su punto de aplicación. Como consecuencia de esta acción, el trabajo resulta un modo de transferir alguna cantidad de energía de un cuerpo a otro.
Cuando levantamos verticalmente una caja hasta cierta altura, realizamos un trabajo. Comunicamos energía potencial
08/09/2020 Departamento de Física y Química 9
Cuando hacemos fuerza con nuestras manos contra la pared de un edificio, no
logramos moverlo. Por tanto,
no realizamos un trabajo, ya que no le comunicamos
Cuando desplazamos la caja anterior con velocidad constante por un plano horizontal, tampoco
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El trabajo W realizado por una fuerza constante cuyo punto de aplicación se desplaza es igual al producto escalar:
φ
El trabajo W se mide en el S.I. en Julios (J)
Un julio es el trabajo que se realiza cuando la fuerza de 1 N desplaza su punto de aplicación 1 m en la misma dirección y sentido que la fuerza.
1 J = 1 N · 1 m
DEFINICIÓN DE TRABAJO EN FÍSICA (de una fuerza constante):
F
Δr
W F Δr
W F Δr cos φ
F
Δr
F Δr cosφ
φ
El trabajo de una fuerza es igual al trabajo que realiza la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, la componente tangencial de la fuerza.
Otro modo de ver el trabajo realizado por una fuerza
F
Δr
t
F
W F Δr cos φ
tF
Fcosφ
t
F Δr
t
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φ
φ
90°
180°
El trabajo realizado por una fuerza puede ser: positivo ( trabajo motor: favorece el movimiento del cuerpo), nulo o negativo (trabajo resistente: se opone al movimiento del cuerpo)
Trabajo motor
Trabajo nulo Trabajo resistente
F
Δr
W F Δr
F
Δr
φ 0
cos0
1
W F Δr cos φ 0
0
φ 90
cos φ 0
F
Δr
W 0
F
Δr
φ 90
cos 90
0
W F Δr cos φ 0
90
φ 180
cosφ 0
F
Δr
W
F Δr
φ 180
2.1.Interpretación gráfica del trabajo
El trabajo realizado por una fuerza constante puede representarse gráficamente.
Representaremos la componente tangencial de la fuerza en el eje de ordenadas y el desplazamiento en el eje de abscisas:
F
tx
0x
∆x = x – x
0W
El área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente a la posición y el eje
abscisas, desde la posición inicial a la final, coincide numéricamente con el valor del trabajo
En este caso, W = Área del rectángulo rayado de la figura
t t 0
15 A partir de la gráfica siguiente, determinar el valor del trabajo realizado por la fuerza F si el cuerpo sobre el que actúa la fuerza se desplaza desde la posición x = 2 m hasta x = 9 m.
x
0= 2 m
x = 9 m
El trabajo W que nos piden coincide
numéricamente con el área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final:
Actividad 1:
F
(N)
x
(m)
20
40
2
4
6
8
10
En este caso :
W
= Área del rectángulo rayado de la figura
W
= base x altura = 7 x 40 = 280 J
16
2.2.Trabajo de la fuerza resultante
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo de la fuerza resultante es igual a la suma algebraíca de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas
Para calcular el trabajo de la fuerza resultante WR podemos proceder de dos formas:
▪ Calculamos el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y finalmente, obtenemos la suma de todos ellos.
▪ Calculamos primero la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y a continuación calculamos el trabajo realizado por ella.
W
F1= F
1· Δr · cos φ
1W
R=
W
F1+
W
F2+
W
F3+
W
F4W
F2= F
2· Δr · cos φ
2W
F3= F
3· Δr · cos φ
3W
F4= F
4· Δr · cos φ
4W
R= R · Δr · cosφ
φ = ángulo ( R y Δr )
1
F
2
F
3
F
4
F
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Ejercicio: En el suelo se encuentra un mueble de 10 kg de masa, sobre el que
se realiza una fuerza de 60 N formando un ángulo de 30º con la horizontal.
Debido a ello el mueble se desplaza 2 m. Dato: entre el suelo y el mueble
existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,3.
Datos: F = 60 N; m = 10 kg ; μ = 0,3 ; α = 30° ; ∆x = 2 m ; g = 9,8 m/s2 ;
30°
Dibujamos el mueble y las fuerzas que actúan sobre él
Sus valores y el ángulo que forma con el desplazamiento ∆x son:
▪ F = 60 N ; φ = ángulo (F, ∆x) = 30°
▪ P = m · g = 10 · 9,8 = 98 N ; φ = ángulo (P, ∆x) = 90°
▪ N = P – Fy = P – F · sen 30° = 98 – 60 · 0,5 = 68 N ; φ = ángulo (N, ∆x) = 90° ▪ Fr = μ · N = 0,3 · 68 = 20,4 N ; φ = ángulo(Fr , ∆x) = 180°
Para calcular el trabajo de cada una de estas fuerzas aplicamos su fórmula en cada caso:
▪
▪
▪
▪
P
N
rF
F
Δx
xF
yF
FW
F Δx cos 30
p
W
P Δx cos 90
N
W
N Δx cos90
Fr r
W
F Δx cos180
60 2 0,866 103, 9 J
98 2 0 0 J
68 2 0 0 J
20, 4 2 ( 1)
40,8 J
08/09/2020 19 Para calcular el trabajo de la fuerza resultante R tenemos dos opciones:
a) El trabajo de la fuerza resultante WR es igual a la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas que actúan sobre el mueble:
W
R= W
F+ W
p+ W
N+ W
Fr= 103,9 + 0 + 0 + (– 40,8) = 63,1 J
b) Calculamos primero el valor de la fuerza resultante y el ángulo que forma con el desplazamiento y después el trabajo que realiza.
La fuerza resultante:
R = F
x– F
r= F · cos 30° – F
r= 60 · cos 30° – 20,4 = 31,56 N
ya que p se anula con N + Fy.
La fuerza resultante forma un ángulo de 0° con el desplazamiento.
El trabajo de esta fuerza es: Lógicamente el resultado
tiene que ser el mismo tanto si seguimos un procedimiento como el otro.
Departamento de Física y Química
R
R
W
R Δx cos 0
31,56 2 1 63,1 J
2.3.Trabajo de una fuerza variable
Hasta ahora hemos calculado el trabajo de una fuerza constante:
F = k ·
x
Representamos la fuerza (eje de ordenadas) frente a la deformación (eje de abscisas):
F (N)
x (m)
x
0= 0
x
El trabajo W realizado por la fuerza variable de un muelle cuando éste pasa de estar sin deformar x0= 0 a tener una deformación x coincide con el área
rayada de la figura.
W
En este caso la figura es un triángulo de base x y de altura F= k·x :En estos casos, no podemos aplicar la expresión anterior para calcular el trabajo.
Sin embargo en muchas ocasiones el valor de la fuerza varía, como cuando se trata de la fuerza de un resorte, que según vimos en la ley de Hooke, varía con la deformación x:
¿Cómo calcular el trabajo en estos casos?
Utilizando la interpretación gráfica del trabajo, que vimos en la diapositiva 14.
1
W Área del triángulo
base altura
2
W F Δr cos φ
1
x (K x)
2
1
K x
22
08/09/2020 Departamento de Física y Química 21
2.3.Trabajo de una fuerza variable (Cont.)
F (N)
x (m)
x
0x
El trabajo W realizado por la fuerza variable de un muelle cuando éste pasa de tener una deformación x0 a otra x coincide con el área rayada de la figura
En este caso la figura es un trapecio, cuya área la podemos obtener restando al área del
triángulo grande, el área del triángulo pequeño:
W
Actividad 4:
Disponemos de un resorte de 1200 N/m de constante elástica. Calcular el trabajo que debemos hacer para estirarlo 8 cm , desde su posición de equilibrio.8 cm = 0,08 m
Detalle de las unidades:
2 2
0
1
1
W Área del trapecio
K x
K x
2
2
2
1
W
K x
2
1
1200 0,08
22
3,84 J
2
N
m
Actividad 2:
La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en función de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde el punto x0 = 0 cm hasta x= 12 cm
El área de la figura que determinan la gráfica de la fuerza frente a la posición y el eje abscisas, desde la posición inicial a la final, coincide numéricamente con el valor del trabajo
En este caso:
W
=
Área del rectángulorayado de la figura
+
Área del triángulo rayado de la figuraW
=
También: Recordando el área de un trapecio de bases B y b, y altura h:
W
=
Área del trapeciorayado de la figura
4 8 12
F (N)
2 4 6 8
0 x (cm)
2 0,12
5 0,12
2
0,54 J
7 2
0,12
2
0,54 J
B b
A
·h
08/09/2020 Departamento de Física y Química 23
Actividad 3:
12 24 36 48
50 100 150 F (N)
x (m)
La gráfica de la figura representa el módulo de la fuerza que actúa sobre un cuerpo en función de su posición. Calcular el trabajo de esta fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde el punto x0 = 27 m hasta x= 39 m
x 0 =27 m x = 39 m
W
=
Área del trapecio rayado de la figuraTambién:
W
=
Área del triángulogrande
–
Área del triángulo pequeño
W
=
W
130 90
12
2
1320 J
39 130
2
27 90
2
2.4.Trabajo de una fuerza variable (Cont.)
F (N)
r (m)
r
0r
El trabajo
W realizado por una fuerza variable
cualquiera entre los puntos r
0y r, se define
como la integral curvilínea
siguiente:
Por supuesto coincide con el área encerrada bajo la curva.
W
Existe un grupo importante de fuerzas (llamadas FUERZAS CONSERVATIVAS) que tienen la característica principal de que el trabajo que realizan NO depende del camino que sigan, sino sólo de los valores que toma una función matemática en la posición inicial y en la posición final (función de estado). A esa función se la denomina ENERGÍA POTENCIAL. Es decir:
es conservativa, si existe una función matemática Ep, tal que:
Por lo general, dicha integral depende del camino seguido por la fuerza para llegar desde el punto inicial hasta el punto final
FUERZAS CONSERVATIVAS
0
r
r
W
F dr
F
0
r
0
r
08/09/2020 Departamento de Física y Química 25
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la
energía potencial, cambiada de signo:
Teorema de la
energía
potencial
CONCLUSIÓN:
Definición de Fuerza conservativa:
Una fuerza es conservativa cuando al
realizar, sobre un cuerpo, un trabajo entre dos puntos cualesquiera, dicho
trabajo es independiente del camino seguido para llegar del punto inicial al
final.
F conservativa p
W
ΔE
W
F conservativa
(E
pfinal
E
pinicial)
inicial final
F conservativa p p
CONSECUENCIA:
De la definición anterior y de las propiedades de las integrales se puede
inferir que, una
F es conservativa cuando al realizar un trabajo a través de
una trayectoria cerrada, dicho trabajo es nulo.
A
B
Como la fuerza es conservativa, los trabajos son independientes de los caminos seguidos :
Demostración:
Por tanto:
ACLARACIÓN:
De otra forma podemos llamar
fuerza conservativa
a la fuerza que
es
capaz de devolver íntegramente el trabajo realizado por una fuerza exterior
para vencerla
A A
A B
B A
W
W
W
B A
A B
W
W
cons.
F
tray.cerrada
A A
A B
A B
08/09/2020 Departamento de Física y Química 27
El peso (la fuerza gravitatoria), la fuerza elástica y la fuerza eléctrica son fuerzas conservativas. Cada fuerza conservativa, y sólo ellas, lleva asociada una energía potencial:
▪ El peso lleva asociada la energía potencial gravitatoria:
▪ La fuerza elástica lleva asociada la energía potencial elástica:
▪ La fuerza eléctrica lleva asociada la energía potencial electrostática:
En contraposición a las fuerzas conservativas, están las fuerzas no conservativas o disipativas, que son incapaces de devolver el trabajo realizado por una fuerza exterior para vencerlas. Este trabajo se disipa («se pierde») en forma de calor.
Ejemplo: Las fuerzas de rozamiento son fuerzas no conservativas o disipativas.
Las fuerzas de rozamiento
siempre realizan un trabajo resistente.
El
W
que realizan las
F disipativas SÍ
depende del camino seguido desde el pto
inicial al final. Por tanto el
W
que realizan a través de una trayectoria cerrada
NO es
nulo
.
EJEMPLOS DE FUERZAS CONSERVATIVAS:
2 p
1
E
K x
2
p
E
m g h
p
Q q
E
k
d
Fr r
08/09/2020 Departamento de Física y Química 29
Camino1 (AC):
(A C) AC
P
W
P Δx
P Δx
ACcos(130º )
AC
mg Δx
cos(130º ) 5 9,8 10 cos(130º )
Camino2 (ABC):
(A B C) (A B) (B C) AB BC
P P P
W
W
W
P Δx
P Δx
0 mgh cos(180º )
135 J
AB BC
P Δx
cos(90º ) P Δx
cos(180º )
AC AC
h
sen(40º )
h Δx sen(40º )
Δx
AC
mgΔx sen(40º ) cos(180º )
5 9,8 10 0,643 ( 1)
08/09/2020 Departamento de Física y Química 31
EJERCICIO (No entra): Dada la fuerza plana , calcular el trabajo de dicha fuerza entre los puntos P1(0, 0) y P2(2, 8) a lo largo de los siguientes caminos:
⃗
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
)=(
2
𝑥
2+
𝑦
) ⃗
𝑖
+(
3
𝑥
+
𝑦
) ⃗
𝑗
a) La gráfica tipo “escalera” paralela al eje X por P2 y al eje Y por ese mismo punto.
b) La recta que une los puntos P1 y P2. c) La parábola de ecuación y = x2.
2.5.Energía potencial gravitatoria
Cuando el trabajo de una fuerza se invierte en elevar un cuerpo hasta cierta altura, decimos que el cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria. Gracias a esta energía el cuerpo puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello, basta con dejarlo caer.
Llamamos energía potencial gravitatoria a la energía que poseen los cuerpos por el hecho de hallarse a cierta altura sobre la superficie de la Tierra.
Su valor nos viene dado por la expresión:
m
h
Epg = Energía potencial gravitatoria
m = Masa del cuerpo
g = Aceleración de la gravedad
h = Altura respecto del suelo
La unidad de energía, potencial gravitatoria o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).
Ver
g
p
08/09/2020 Departamento de Física y Química 33
(Cont.) Energía potencial gravitatoria
NOTA: Es importante tener en cuenta que el origen de energía potencial es totalmente arbitrario, es decir, hemos dicho que la Epg es la energía que posee un cuerpo por el hecho de encontrarse a cierta altura, pero, ¿desde donde se mide esa altura?.
En realidad nunca se puede conocer la Epg de un cuerpo, sino lo que podemos conocer es la diferencia de Epg entre dos posiciones de un cuerpo (que se encuentran a distinta altura). En cada problema lo que hay que hacer es elegir un origen de Epg (una altura 0), que normalmente coincidirá con el punto más bajo de las posiciones que adquiera el móvil que estamos estudiando.
¿Qué energía potencial gravitatoria respecto de Tierra tiene un helicóptero de 600 kg de masa si se encuentra a 40 m de altura?
Aplicamos la fórmula de la energía potencial gravitatoria y sustituimos :
Actividad 7
:
g
p
Del mismo modo que al elevar un cuerpo hasta cierta altura, el cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria, cuando estiramos o comprimimos un muelle, un cuerpo elástico, el cuerpo adquiere energía potencial elástica, que coincide con el trabajo que hicimos para deformarlo.
x
K = constante elástica característica del muelle
x = deformación del resorte =
ℓ
final– ℓ
inicialGracias a esta energía el cuerpo puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos; para ello, basta con dejarlo en libertad.
2.5.Energía potencial elástica
Ver
e
2 p
1
E
K x
2
08/09/2020 Departamento de Física y Química 35
Energía cinética
Realizar un trabajo sobre un cuerpo es un modo de transferirle energía a ese cuerpo. Si el trabajo realizado pone en movimiento al cuerpo, que estaba en reposo, decimos que el cuerpo adquiere energía cinética.
De igual modo, un cuerpo con energía cinética puede realizar un trabajo sobre otros cuerpos.
Podemos pues concluir, que la energía cinética es la capacidad que posee un cuerpo para realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento.
Energía cinética
del cuerpo
Masa del cuerpo
velocidad del cuerpo
al cuadrado
El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su energía
cinética.
Teorema de la
energía cinética.
Teorema de las
Fuerzas Vivas
La unidad de energía, cinética o de cualquier otro tipo, en el S.I. es el Julio (J).
Ver
2 c
1
E
m v
2
2 2
R c 0
1
1
W
ΔE
m v
m v
2
2
final inicial
R c c c
Actividad 5:
Un automóvil de 1200 kg circula a la velocidad de 54 km/h y acelera para efectuar un adelantamiento hasta alcanzar la velocidad de 72 km/h. Determinar el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el coche.Datos: m = 1200 kg; v0 = 54 km/h = 15 m/s ; v = 72 km/h = 20 m/s ;
Aplicamos el teorema de la energía cinética para calcular el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el coche:
Actividad 6:
Un coche de 1000 kg circula a la velocidad de 72 km/h y acelera para efectuar un adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de 112 500 J, calcula la velocidad final del automóvil en m/s y en km/h, suponiendo despreciable el rozamiento.Datos: m = 1000 kg; v0 = 72 km/h = 20 m/s ; WR = 112 500 J ;
Si no hay rozamiento, la resultante es la fuerza que hace el motor y su trabajo es igual a la variación de la energía cinética:
Despejamos la velocidad final y sustituimos:
R c
W
ΔE
2 20
1
1
m v
m v
2
2
1
1200 20
22
1
1200 15
22
105 000 J
2 2
R 0
1
1
W
m v
m v
2
2
2 R 02W
v
v
m
20
22 112 500
1000
25
m
s
90
km
08/09/2020 Departamento de Física y Química 37
3.. Conservación y degradación de la energía. Teorema de Conservación de la Em.
3.1. Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas conservativas
Hemos visto anteriormente que al realizar trabajo sobre un cuerpo este adquiere alguna forma de energía, como energía cinética o energía potencial, cuya suma es la energía mecánica:Energía mecánica
Energía cinética
Suma de las energías potenciales de todas las fuerzas conservativas que actúan sobre el cuerpo
Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía cinética que pierda el cuerpo se transforma íntegramente en energía potencial y viceversa. Por tanto
se conserva la energía mecánica
Energía mecánica
en el punto A
Energía mecánica en
cualquier otro punto B
Demostración
m c p
E
E
E
A B
m m
E
E
A A B B
c p c p
E
E
E
E
2 2
A A B B
1
1
m v
m g h
m v
m g h
Actividad 8:
Un objeto de 200 g cae al suelo desde 90 cm de altura. Calcula: a) su energía mecánica en el instante inicial b) su velocidad a una altura de 45 cm del suelo c) su velocidad al llegar al sueloDatos: m = 200 g = 0,2 kg; hA = 90 cm = 0,9 m ; hB = 45 cm = 0,45 m; g = 9,8 m/s2
Consideramos despreciable el rozamiento con el aire.
b) Como sólo actúa el peso (fuerza conservativa) la energía mecánica permanece constante: a) La energía cinética en el instante inicial es cero, ya que se deja caer (v0 = 0) y por tanto la energía mecánica en ese instante es igual a la energía potencial gravitatoria:
Despejamos la velocidad y sustituimos:
c) Al llegar al suelo su energía potencial es nula:
Despejamos la velocidad y sustituimos:
m A
E
0 m g h
0, 2 9,8 0,9 1,76 J
c A p A c B p B
E
E
E
E
2
A B B
1
m g h
m v
m g h
2
1
B A B
v
2 g (h
h )
2 9,8 (0,9 0, 45)
2,97 m s
c A p A c C p C
E
E
E
E
2A C
1
m g h
m v
2
1
C A
08/09/2020 Departamento de Física y Química 39
3.2. Variación de la energía mecánica en presencia de fuerzas no conservativas.
Teorema de generalizado de la energía mecánica.
Si durante el movimiento del cuerpo intervienen además fuerzas no conservativas
(disipativas), como la fuerza de rozamiento, la energía mecánica ya no se mantiene constante, sino que varía (disminuye) en una cantidad igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.
Esto es:
Energía mecánica final
Energía
mecánica inicial
Trabajo de la fuerza de
rozamiento
Demostración
No conservativas
F
m
W
ΔE
No conservativas
F
m B
m A
W
E
E
No conservativas B B A A
F
c
p
c
p
W
(E
E ) (E
E )
r B B A A
F
c
p
c
p
Ejercicio :
El cuerpo que aparece en la figura cae desde una altura h
1con
una velocidad v
1.
A) Calcula la velocidad que tendrá cuando se encuentre en los puntos
B y C. Explica el principio físico que aplicas.
B) Haz los mismos cálculos si en el trayecto AB se disipan 10000 J por
el rozamiento con los rieles.
08/09/2020 Departamento de Física y Química – FyQ1BTO 41
Solución Ej
:
A) En este apartado se supone que no hay rozamiento, luego debe cumplirse
el
teorema de conservación de la energía mecánica
.
1º entre los puntos A y B:
0
2º entre los puntos B y C:
0
A B
m m
E
E
A A B B
c p c p
E
E
E
E
2 2
1 1 B B
1
1
mv
mgh
mv
mgh
2
2
2
B 1 1
v
v
2gh
2 B
v
5
2 9,8 50
31,7 m/s
B C
m m
E
E
B B C C
c p c p
E
E
E
E
2 2
B B C 3
1
1
mv
mgh
mv
mgh
2
2
2
C B 3
v
v
2gh
2 B
(Cont. Solución Ej)
:
B) 1º entre los puntos A y B: En este apartado parte de la energía mecánica se
disipa en forma de calor a causa del rozamiento entre los puntos A y B, luego en
este caso debe cumplirse el
teorema generalizado de la energía mecánica
.
0
2º entre B y C no hay rozamiento:
0
Como
B B A A r
c p c p F
(E
E ) (E
E )
W
r
2 2
B B 1 1 F
1
1
( mv
mgh ) ( mv
mgh )
W
2
2
r
F 2
B 1 1
2W
v
v
2gh
m
B
v
28,37 m/s
B C
m m
E
E
E
cB
E
pB
E
cC
E
pC2 2
B B C 3
1
1
mv
mgh
mv
mgh
2
2
2
C B 3
v
v
2gh
2 C
v
(28,37)
2 9,8 20
20,32 m/s
r
m F
ΔE
W
r
F
W
10000 J
2 B
2 ( 10000)
v
5
2 9,8 50
100
08/09/2020 Departamento de Física y Química - FyQ1BTO 43
Ejercicio: Un objeto de masa 5 kg resbala, desde una
altura vertical de 50 m, por un plano inclinado 45º.
Calcula:
a) La velocidad con que llega al final del plano.
b) La energía mecánica perdida a causa del rozamiento
durante el descenso.
Solución
:
Datos: m = 5 Kg; h = 50 m; μ = 0,05 ; g = 9,8 m/s2 ;45 °
m = 5 kg A
B
μ = 0,05
h A = 50 m
h B = 0 m
∆r
a) Como existe rozamiento, la variación de energía mecánica que experimenta el cuerpo es:
W
F r= ∆E
m= E
m B– E
m APara calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, tenemos que
calcular la distancia Δr que sobre el plano recorre el cuerpo. Para ello vemos en la figura que como hB = 0 m :
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es:
W
F r= – μ · m · g · cos 45 · ∆r
Sustituyendo en la ecuación inicial (1):
Despejamos la velocidad final:
Sustituimos:
(1)
(Ver detalle) Ah
sen 45
Δr
Δr
h
A50
70,7 m
sen 45
sen 45
2 B A1
μ m g cos 45 Δr
m v
0
0 m g h
2
B Av
2 g (h
μ cos 45 Δr)
B
v
2 9,8 (50 0,05 cos 45 70,7)
r B B A A
F c p c p
W
(E
E ) (E
E )
1
30,5 m s
08/09/2020 Departamento de Física y Química - FyQ1BTO 45
(Cont.) Solución
:
b) La energía perdida a causa del rozamiento es igual al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
W
F r= – μ · m · g · cos 45 · ∆r = – 0,05 · 5 · 9,8 · cos 45 · 70,7 = – 122,5 J
45 °
A
B
h A = 50 m
h B = 0 m
∆r
N= P
y= m · g · cos 45°
F
r= μ · N
Detalle de la fuerza y el trabajo de rozamiento:Vemos en la figura que:
Por definición:
Sustituyendo N:
F
r= μ · m · g · cos 45°
El trabajo realizado por esta fuerza es:
W
F r= F
r· ∆r · cos 180°
W
F r= – μ · m · g · cos 45 · ∆r
VOLVER
rF
N
p
y
p
xLos intercambios de energía entre los cuerpos duran cierto tiempo.
Un operario con un pico y una pala abre una zanja en una calle y tarda 40 horas. La misma zanja se hace en 45 minutos con la ayuda de una pala excavadora.
El trabajo realizado W ha sido el mismo, abrir la zanja, pero hay una diferencia entre ambos trabajos, el tiempo empleado: el hombre emplea 40 horas ( más de una semana de trabajo) y la excavadora sólo 45 minutos.
La magnitud física que relaciona el trabajo realizado (la energía transferida) con el tiempo que se ha tardado es la potencia.
La potencia se define como el trabajo realizado por un sistema en la unidad de tiempo, lo que podemos expresar matemáticamente así:
La unidad de potencia en el S.I. es el Watio (W) : Un Watio es la potencia de un sistema que realiza el trabajo de 1 Julio en el tiempo de 1 segundo.
Otras unidades de potencia:
▪ el kiloWatio (kW), cuya equivalencia es: 1 kW = 1000 W
▪ el Caballo de vapor (CV), cuya equivalencia es: 1 CV = 735 W
4.. Potencia
▪Nota:
El
kiloWatio-hora
(kWh),
es una unidad
de energía:
1 kWh = 3,6·10
6J
W
P
t
08/09/2020 Departamento de Física y Química 47
Actividad 9:
Un motor realiza un trabajo de 11907000 J en un tiempo de 2 minutos. Calcula su potencia en Watios, en kiloWatios y en Caballos de vapor.Datos : W = 11907000 J ; t = 2 minutos = 120 s
Aplicamos la expresión que nos permite calcular la potencia:
Como 1 kW son 1000 W:
Como 1CV son 735 W:
W
P
t
11907000 J
99225
120 s
W
99225 W
1 kW
1000 W
99225 1
99, 225 kW
1000
99225 W
1 CV
735 W
99225 1
135 CV
735
Actividad 10:
Un motor-bomba sube 25 000 L de agua a 30 m de altura en 10 horas. Calcula su potencia en kW.Datos : m = 25 000 L = 30 000 kg ;h = 30 m ; t =10 h = 36 000 s
El trabajo que hace el motor, es igual a la energía potencial gravitatoria que adquiere el agua cuando se encuentra a 40 m de altura:
Como 1 kW son 1000 W:
W
P
t
Ep
t
m g h
t
25000 10 30
36000
204 W
204 W
1 kW
1000 W
08/09/2020 49
4.1. Potencia a velocidad constante
La potencia mecánica de un móvil que se desplaza con MRU se puede relacionar con su velocidad y con la fuerza aplicada:
Un automóvil de 750 kg necesita una potencia de 20 CV para mantener una velocidad constante de 60 km/h por una carretera horizontal. Calcular:
Actividad 11:
a) La fuerza de rozamiento
Como se desplaza a velocidad constante, el motor “hace una fuerza” igual a la de rozamiento Fr.
Por tanto:
b) La potencia que necesita el coche para subir, con la misma velocidad, una pendiente que forma un ángulo de 6° con la horizontal, suponiendo que la fuerza de rozamiento vale lo mismo que en el tramo horizontal.
6°
En este caso, además de la fuerza de rozamiento Fr, el motor debe vencer la componente tangencial del peso, px:
Ya podemos calcular la potencia:
Departamento de Física y Química
W
P
t
F Δx
t
F v t
t
km m v 60 16,7
h s
P 20 CV 735 W
1 CV
14700 W
P F v
P F v
rF
rP
v
14700
16,7
880 N
r
F
rF
xp
xp
m g sen α
750 9,8 sen 6
768,28 N
P F v
(768,28 880) 16,7
27526,3 W
27526,3 W
1 CV
735 W
37, 45 CV
F
F
x r
F p
F
P F v
08/09/2020 Departamento de Física y Química 51
Energía potencial gravitatoria.
Vamos a calcular el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria (peso) sobre un cuerpo que se desplaza entre dos posiciones (a diferentes altura del suelo, y0 e y)
Teorema de la energía
potencial gravitatoria
Volver
El trabajo de la fuerza peso será:
En coordenadas cartesianas:
Si llamamos Energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m que se encuentra a una altura y, al producto:
Nos queda:
pg
E
mgy
final inicial
pg
pg
W
[E
E
]
dr
dxi dyj dzk
pg
ΔE
0 r rW
P dr
0
r
r
W
P( j) (dxi dyj dzk)
0
y
y
W
Pdy
0
W
[mgy mgy ]
0 y y
mgdy
0 y ymg
dy
Energía potencial elástica.
Vamos a calcular el trabajo que realiza la fuerza elástica (ley de Hooke) sobre un cuerpo elástico que se estira o comprime desde una longitud inicial x0 a otra final x.
Teorema de la energía
potencial elástica
Volver
El trabajo que realiza la fuerza elástica será:
En coordenadas cartesianas:
Si llamamos Energía potencial elástica de un cuerpo elástico de constante K que se estirado o comprimido una longitud x, al producto:
Nos queda:
2 pe1
E
Kx
2
final inicialpe
pe
W
[E
E
]
dr
dxi
pe
ΔE
0 r rW
F dr
0
x
x
W
Kxi dxi
0
x
x
W
Kxdx
0 x x
K xdx
0 x 2 xx
K
2
2 2 01
1
Kx
Kx
2
2
08/09/2020 Departamento de Física y Química 53
Teorema de las fuerzas vivas, o de la energía cinética.
El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su energía cinética.
Teorema de la
energía
cinética.
Teorema de las
Fuerzas Vivas
Volver
Veamos: supongamos un cuerpo de masa
m
que se mueve con velocidad inicial
v
0, y que
por acción de una fuerza resultante constante pasa a llevar una velocidad diferente
v
.
El trabajo resultante que realiza dicha fuerza será:
Además sabemos:
Si llamamos Energía cinética de un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad v al producto:
Nos queda:
21
m v
2
final inicialc
c
W
E
E
t
dv
a
dt
c
ΔE
0 r rW
F dr
0
r t r
F dr
0
r
t r
m a dr
0
r
r
dv
W
m
dr
dt
0 v vdr
W
m
dv
dt
0
v
v
m v dv
0
v
v
m
v dv
m
v
2v
202
2
2 2 01
1
W
mv
mv
2
2
Demostración: Conservación de la energía mecánica en presencia de fuerzas
conservativas. (Teorema de conservación de la energía mecánica).
Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía cinética que pierda el cuerpo se transforma íntegramente en energía potencial y viceversa. Por tanto
se conserva la energía mecánica
Volver
Veamos:
Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo resultante de dichas fuerzas conservativas será:
Por definición de fuerza conservativa, el trabajo resultante de dichas fuerzas será:
Igualando ambas:
Teorema de conservación de la
energía mecánica
m
E
cte
Fcons. cW
ΔE
Fcons. p
W
ΔE
c p
ΔE
ΔE
ΔE
c
ΔE
p
0
Δ E
c
E
p
0
m
08/09/2020 Departamento de Física y Química 55
Demostración: Teorema generalizado de la energía mecánica.
Volver
Veamos: el trabajo resultante de las fuerzas conservativas y no conservativas será:
Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo resultante es:
Teorema generalizado de la
energía mecánica
Si durante el movimiento del cuerpo intervienen además fuerzas no conservativas
(disipativas), como la fuerza de rozamiento, la energía mecánica ya no se mantiene constante, sino que varía (disminuye) en una cantidad igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.
Como por definición:
R c
W
ΔE
cons. nocons.
R F F
W
W
W
nocons.
c p F
ΔE
ΔE
W
nocons.
m
F
ΔE
W
cons.
F p
W
ΔE
nocons.
c p F
ΔE
ΔE
W
nocons.
c p F
