TEMA 4. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Decimos que una partícula tiene un movimiento periódico si tras intervalos iguales de tiempo, el movimiento se repite, es decir, la partícula vuelve a ocupar la posición anterior, con la velocidad y aceleración anteriores. Es decir, si
Al menor intervalo de tiempo para el cual el movimiento se repite se le denomina periodo T.
Entre los movimientos periódicos, uno de los más importantes es el movimiento armónico simple: es el movimiento de una partícula sobre una recta oscilando en torno a una posición de equilibrio estable.
El ejemplo típico del m.a.s. es el movimiento de un cuerpo unido a un muelle sobre una mesa sin rozamiento. Cuando el cuerpo está sobre su posición de equilibrio, que tomamos como origen de coordenadas, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo; si lo desplazamos una distancia x de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza sobre el cuerpo, y si lo soltamos, éste comienza a oscilar a un lado y a otro de su posición de equilibrio estable, realizando un m.a.s. Al tiempo que tarda en realizar una oscilación completa se le llama periodo.
Estudio cinemático
Es el estudio del movimiento en sí mismo sin tener en cuenta las causas que lo produce, o sea, la fuerza. Desde este punto de vista, el m.a.s. se define como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre uno cualquiera de los diámetros de la circunferencia.
Equilibrio
x
P
N
0
M Q
Supongamos un punto material P que realiza un movimiento circular uniforme, cuya trayectoria es una circunferencia de radio R y centro el origen de coordenadas. Su velocidad angular es , se expresa en rad/s. En un instante cualquiera el punto va a ocupar la posición P, y llamamos al ángulo formado por el radio vector y el eje OX.
;
Donde es el ángulo para t=0, ángulo inicial, tnto como se expresan en radianes.
Si en cada instante proyectamos P sobre el eje OX (un diámetro de la circunferencia), la proyección Q va a realizar lo que por definición se llama un m.a.s. Posición de Q en cada instante:
El máximo valor de x será xmáx=R=A, amplitud del m.a.s.
Donde x es la elongación del m.a.s.; es la fase y es la fase inicial; es la pulsación o frecuencia propia del m.a.s.; que es la velocidad angular del movimiento circular que origina el m.a.s.
Supongamos que en el instante inicial t=0, , es decir, que el punto P se encuentra en la posición M, , de donde .
Mientras P describe el primero y segundo cuadrantes, Q se mueve desde M hasta N, y durante el tiempo que tarda P en describir el tercero y cuarto cuadrantes, Q va desde N hasta M.
El tiempo que tarda P en realizar una vuelta completa es el mismo que tarda Q en realizar una oscilación completa; este tiempo es el periodo T del m.a.s., expresado en segundos, y por tanto será:
A la inversa del periodo se le denomina frecuencia:
que da el número de oscilaciones realizadas en la unidad de tiempo. Su unidad es ciclo/s; rev/s; herzio o .
Velocidad y aceleración del m.a.s.:
, elongación, posición de la partícula en cada instante medida en metros;
, velocidad (m/s);
, aceleración (m/s2);
La aceleración del m.a.s. es proporcional a la elongación y de signo contrario a ésta, es decir, dirigida siempre hacia O.
La tabla siguiente muestra los valores de la elongación, velocidad y aceleración en función del tiempo y periodo, cuyas representaciones se muestran en la figura.
t x x’ x’’
0 0 1 0 A 0
T/4 0 1 0 0
T/2 -1 0 -A 0
3T/4 0 -1 0 0
T 1 0 A 0
Estudio dinámico
Es el estudio del movimiento, teniendo en cuenta las causas que lo producen, las fuerzas. Desde el punto de vista dinámico, el m.a.s. es el movimiento de un punto material sometido a la acción de una fuerza elástica o recuperadora dirigida siempre hacia la posición de equilibrio estable. Esta fuerza es proporcional a la distancia al punto de equilibrio estable y de signo contrario.
Considerando la masa suspendida del muelle, sobre la posición de equilibrio, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo; si lo desplazamos una distancia x de esa posición, el muelle ejerce una fuerza sobre el cuerpo, que está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y experimentalmente se comprueba que esta fuerza es proporcional al desplazamiento x:
k es una constante positiva, llamada constante recuperadora que depende de la naturaleza del muelle; el signo menos indica que F está dirigida hacia la posición de equilibrio estable.
Otros ejemplos: al golpear con un palillo en un tambor o al pulsar una cuerda de una guitarra, cada uno de los puntos del parche o de la cuerda realiza un m.a.s.
En general, diremos que siempre que se desplace un punto material de su posición de equilibrio estable, se pondrá en marcha un m.a.s., siempre que exista una fuerza recuperadora proporcional a la longitud del desplazamiento.
Ecuación diferencial del movimiento de un punto material sometido a una fuerza recuperadora del tipo .
Aplicando la segunda Ley de Newton:
; o bien:
que es la ecuación diferencial del m.a.s., cuya solución general es
en donde A y son dos constantes arbitrarias, que se podrán determinar en cada caso particular, por ejemplo, por las condiciones iniciales. Llamando , tendremos:
en donde A, , , tienen el mismo nombre y significado que en el estudio cinemático.
Podemos decir que todo movimiento en el cual la posición del punto varía con el tiempo según una expresión como es un movimiento armónico simple.
El periodo es: , tiempo que tarda en dar una oscilación completa.
La frecuencia es , número de oscilaciones en la unidad de tiempo.
También será un m.a.s. siempre que responda a una ecuación diferencial como px’’+qx=0, si p y q tienen ambos el mismo signo.
También, si en lugar de fuese así: , puesto que = ,
Energía del movimiento armónico simple.
La fuerza que causa el m.a.s. es . Es una fuerza conservativa, que deriva del potencial U, se cumple:
Como la fuerza es conservativa se cumple el teorema de la conservación de la energía mecánica, Emec=Ec+U=cte;
En efecto:
Y y como , entonces
La energía mecánica del m.a.s. se mantiene constante e igual a .
Cuando x=0, el potencial se anula U=0, toda la energía mecánica corresponde a la energía cinética .
Cuando , , .
Gráficamente, podemos expresarlo como una parábola, la energía cinética y la potencial como funciones de x, Ec=Ec(x), U=U(x).
Ec
