Teorema de convergencia dominada de Lebesgue
Objetivos. Demostrar el teorema de convergencia dominada.
Requisitos. Integral de Lebesgue de funciones complejas, lema de Fatou, l´ımite inferior y l´ımite superior de una sucesi´on.
1. Observaci´on. Ya sabemos que la convergencia puntual fn → g no garantiza que R fn → R g (¡recuerde alg´un contraejemplo!). El siguiente teorema dice que bajo cierta condici´on adicional la convergencia puntual implica la convergencia de integrales. A saber, el teorema pide que las funciones fn sean dominadas por alguna funci´on integrable.
2. Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea una (fn)n∈N una sucesi´on en M(X, F, C) tal que:
(i) fn converge puntualmente a una funci´on g : X → C.
(ii) Existe una funci´on h ∈ L1(X, µ, R+) tal que |fn(x)| ≤ h(x) para todo x ∈ X.
Entonces fn ∈ L1(X, µ, C) para cada n ∈ N, g ∈ L1(X, µ, C),
n→∞lim Z
X
|fn− g| dµ = 0 (1)
y
n→∞lim Z
X
fndµ = Z
X
g dµ. (2)
Repaso de las herramientas que usaremos para la demostraci´ on
3. Lema de Fatou (repaso). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea (fn)n∈N una sucesi´on en M(X, F, R+). Entonces
Z
X
lim inf
n→∞ fn
dµ ≤ lim inf
n→∞
Z
X
fndµ.
4. Dos propiedades elementales del l´ımite inferior (repaso).
Sea (an)n∈N una sucesi´on de n´umeros reales y sea b ∈ R. Entonces lim inf
n→∞ (−an) = − lim sup
n→∞
an, lim inf
n→∞ (b + an) = b + lim inf
n→∞ an.
5. Relaci´on entre el valor absoluto de una integral y la integral del valor absoluto (repaso). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L1(X, µ, C). Entonces
Z
X
f dµ
≤ Z
X
|f | dµ.
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, p´agina 1 de 3
Demostraci´ on del teorema de la convergencia dominada
Demostraci´on. Idea principal: aplicar el Lema de Fatou a la sucesi´on 2h − |fn− g|.
1. Por la segunda suposici´on del teorema, para cada punto x en X y cada ´ındice n en N es v´alida la desigualdad |fn(x)| ≤ h(x). Pasando al l´ımite cuando n → ∞, obtenemos la desigualdad |g(x)| ≤ h(x). Luego
|fn− g| ≤ |fn| + |g| ≤ 2h.
En particular, de estas desigualdades se sigue que fn, g, |fn− g| ∈ L1(X, µ, C).
2. La sucesi´on de funciones 2h − |fn− g| es positiva. Apliquemos el lema de Fatou a esta sucesi´on, luego utilicemos propiedades del l´ımite inferior:
Z
X
2h dµ = Z
X
lim inf
n→∞ (2h − |fn− g|)
dµ ≤ lim inf
n→∞
Z
X
(2h − |fn− g|) dµ
= Z
X
2h dµ − lim sup
n→∞
Z
X
|fn− g| dµ.
Notemos que la integralR
X2h dµ es finita. La restamos de ambos lados de la desigualdad:
lim sup
n→∞
Z
X
|fn− g| dµ ≤ 0.
Como la sucesi´on de estas integrales es no negativa, su l´ımite inferior es ≥ 0. Por lo tanto, lim sup = lim inf = 0, y obtenemos (1):
n→∞lim Z
X
|fn− g| dµ = 0.
3. Sabemos que el valor absoluto de la integral de una funci´on integrable es menor o igual a la integral del valor absoluto de la funci´on. Aplicamos este resultado a la funci´on fn− g:
Z
X
(fn− g) dµ
≤ Z
X
|fn− g| dµ, o sea
Z
X
fndµ − Z
X
g dµ
≤ Z
X
|fn− g| dµ.
La sucesi´on de integrales en el lado derecho tiende a 0. Por lo tanto, la sucesi´on en el lado izquierdo tambi´en tiende a 0. Pero esto significa que se cumple (2).
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, p´agina 2 de 3
Ejemplos
Sugerencia: para resolver los siguientes ejercicios calcule la funci´on ψ, ψ(x) := sup
n∈N
|fn(x)|.
6. Sea X = R, sea µ la medida de Lebesgue y sean fn:= χ[n,n+1). Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de convergencia dominada.
7. Sea X = (0, 1], sea µ la medida de Lebesgue en (0, 1] y sean fn := nχ(0,1/n]. Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de convergencia dominada.
Corolarios y an´ alogos
8. Teorema de la convergencia uniformemente acotada. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita, sea (fn)n∈N ∈ M(X, F, C)N una sucesi´on de funciones puntualmente convergente a una funci´on g : X → C y sea C > 0 tal que |fn(x)| ≤ C para todo x ∈ X y todo n ∈ N. Entonces fn∈ L1(X,F, µ, C) para cada n ∈ N, g ∈ L1(X,F, µ, C) y
n→∞lim Z
X
fndµ = Z
X
g dµ.
9. Teorema de la convergencia uniforme. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita y sea (fn)n∈N∈M(X, F, C)N una sucesi´on de funciones uniformemente convergente a una funci´on integrable g ∈ L1(X,F, µ, C), esto es,
fn
=X
=⇒ g ∧
Z
X
|g| dµ < +∞.
Entonces
n→∞lim Z
X
fndµ = Z
X
g dµ.
10. Ejercicio. Muestre con un ejemplo que la condici´on “µ(X) < +∞” en el teorema anterior no se puede omitir.
11. Ejercicio. Deduzca el Teorema de Convergencia Decreciente del Teorema de Con- vergencia Dominada.
12. Ejercicio (un an´alogo del TCD). Sea (fn)n∈Nuna sucesi´on de funciones integrables tal que fn−−−−→ g yµ-c.t.p. R
X|fn| dµ →R |g| dµ. Demuestre que RX|fn−g| dµ → 0. Sugerencia:
revise la demostraci´on del TCD y aplique el lema de Fatou a otra sucesi´on de funciones.
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, p´agina 3 de 3