Teorema de la convergencia mon´ otona

Teorema de la convergencia mon´ otona

Objetivos. Demostrar el teorema de la convergencia mon´otona.

Requisitos. Funciones medibles, la integral de Lebesgue de funciones positivas medibles, la medida definida como la integral de Lebesgue sobre un conjunto de integraci´on variable, la continuidad de medida por abajo.

Aplicaciones. Lema de Fatou, la integral de la suma de dos funciones positivas, la integral de una serie de funciones positivas, la completez del espacio L^p.

1 Definici´on (sucesi´on creciente de n´umeros). Una sucesi´on (a_n)_n∈N en R se llama cre- ciente si a_n ≤ a_n+1 para todo n en N.

2 Definici´on (sucesi´on estrictamente creciente de n´umeros). Una sucesi´on (a_n)_n∈N en R se llama estrictamente creciente si a_n < a_n+1 para todo n en N.

El concepto de sucesi´on creciente de funciones se define punto a punto.

3 Definici´on (sucesi´on creciente de funciones). Sea (f_n)_n∈N una sucesi´on de funciones X → R. Decimos que esta sucesi´on de funciones es creciente si para cada punto x en X la sucesi´on num´erica (f_n(x))_n∈N es creciente.

4 Teorema (teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea (f_n)_n∈N una sucesi´on creciente en M(X, F, [0, +∞]). Denotemos por g : X → [0, +∞] a la funci´on l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x).

Entonces g ∈M(X, F, [0, +∞]) y Z

X

g dµ = lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

A continuaci´on est´a escrita una demostraci´on de este teorema. Para comprender mejor esta demostraci´on necesitamos recordar algunos hechos y hacer algunas observaciones preparatorias.

5 Proposici´on (la medibilidad del supremo de una sucesi´on de funciones medibles, re- paso). Sea (f_n)_n∈N una sucesi´on en M(X, F, R). Definimos g : X → R como

g(x) := sup

n∈N

f_n(x).

Entonces g ∈M(X, F, R). Notemos que si (fn)_n∈N es una sucesi´on creciente de funciones, entonces su supremo puntual (la funci´on g) coincide con el l´ımite puntual.

Teorema de la convergencia mon´otona, p´agina 1 de 4

6 Observaci´on. Sea y ∈ [0, +∞) y sea (xn)_n∈N ∈ [0, +∞)^N una sucesi´on que tiene un l´ımite mayor o igual a y:

n→∞lim x_n≥ y.

¿Podemos afirmar que existe un n ∈ N tal que xn≥ y?

Necesitaremos dos lemas elementales.

7 Lema. Sean y ∈ [0, +∞), c ∈ (0, 1) y sea (x_n)_n∈N ∈ [0, +∞]^N una sucesi´on que tiene un l´ımite mayor o igual a y:

n→∞lim xn≥ y.

Entonces existe un m en N tal que xm ≥ cy.

Demostraci´on. Si y = 0, entonces la desigualdad x_n ≥ y se cumple para cada n, y es suficiente poner m = 1. Consideremos el caso principal, cuando y > 0. Denotemos lim_n→∞x_n por L. Entonces cy < y ≤ L. Pongamos ε := L − cy. Como ε > 0, por la definici´on del l´ımite existe un k en N tal que para cada n ≥ k

L − ε < x_n < L + ε.

Pongamos m := k. Entonces

x_m = x_k > L − ε = cy.

8 Lema. Sean a, b ∈ [0, +∞] tales que a ≥ cb para todo c ∈ (0, 1). Demuestre que a ≥ b.

Demostraci´on. Si b = +∞, entonces a = +∞, y la desigualdad se cumple. Consideremos el caso b < +∞. Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que a < b. Pongamos

c₀ := a + b 2b .

Entonces c₀ ∈ (0, 1). Por la suposici´on, a ≥ c₀b. Pero esto implica que 2a ≥ a + b

b · b = a + b.

Restando a de ambos lados, obtenemos a ≥ b, lo cual contradice a la suposici´on a < b.

Demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona. 1. Empecemos con algunas ob- servaciones triviales. La funci´on g esF-medible, porque es el l´ımite (y el supremo) de una sucesi´on de funciones medibles. La condici´on f_n≤ f_n+1 implica que para todo n en N

Z

X

f_ndµ ≤ Z

X

f_n+1dµ.

Teorema de la convergencia mon´otona, p´agina 2 de 4

Esto significa que la sucesi´on de integrales R

X fndµ es creciente y por consecuencia tiene un l´ımite. Lo denotemos por α:

α := lim

n→∞

Z

X

fndµ.

Adem´as, para cada n en N tenemos fn ≤ g, as´ı que Z

X

f_ndµ ≤ Z

X

g dµ.

Pasando al l´ımite cuando n tiende a infinito, obtenemos α ≤

Z

X

g dµ.

Falta demostrar que α ≥R

Xg dµ.

2. Sea s ∈ SM(X, F, [0, +∞)) una funci´on simple tal que s ≤ g, y sea c un n´umero arbitrario del intervalo (0, 1). Como f_n(x) → g(x) ≥ s(x), por el Lema 7tenemos que

∀x ∈ X ∃n ∈ N fn(x) ≥ cs(x). (1)

Definimos una sucesi´on de conjuntos (B_n)_n∈N mediante la siguiente regla:

B_n:= {x ∈ X : f_n(x) ≥ cs(x)}.

Entonces (B_n)_n∈N es una sucesi´on creciente en F. De (1) se sigue que

∞

[

n=1

B_n = X.

Ahora definimos ϕ :F → [0, +∞],

ϕ(Y ) :=

Z

Y

s dµ.

Entonces ϕ es una medida. Aplicando la continuidad de ϕ por abajo obtenemos

n→∞lim Z

Bn

s dµ = lim

n→∞ϕ(B_n) = ϕ(X) = Z

X

s dµ.

Ahora notemos que

Z

X

f_ndµ ≥ Z

Bn

f_ndµ ≥ c Z

Bn

s dµ.

Teorema de la convergencia mon´otona, p´agina 3 de 4

En esta desigualdad pasamos al l´ımite cuando n → ∞:

α ≥ c Z

X

s dµ.

3. Como c es un elemento arbitrario de (0, 1), por el Lema 8 concluimos que α ≥

Z

X

s dµ.

La ´ultima desigualdad se cumple para toda funci´on simple medible s tal que 0 ≤ s ≤ g.

Pasamos al supremo sobre todas s con estas propiedades. Pero este supremo es la definici´on de la integral de g:

α ≤ sup





 Z

X

s dµ : s ∈SM(X, F, [0, +∞)), s ≤ f







= Z

X

g dµ.

9 Observaci´on (sobre la demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona). La demostraci´on es bastante complicada. Para apreciarla m´as, uno debe comprender que las siguientes “simplificaciones” son falsas:

1. Uno quisiera demostrar que f_n ≥ s para alg´un n ∈ N. Pero esta desigualdad no se puede demostrar. Puede ser que para todo n ∈ N existe un punto x ∈ X tal que f_n(x) < s(x). M´as a´un, puede ser que f_n < s para todo n. Por eso hay que comparar f_n(x) con cs(x).

2. Uno quisiera demostrar que f_n≥ cs para alg´un n ∈ N. Pero esta desigualdad no se puede demostrar. Puede ser que para todo n ∈ N existe un punto x ∈ X tal que f_n(x) < cs(x). Por eso trabajamos con los conjuntos B_n.

10 Corolario (la integral de Lebesgue de una funci´on medible positiva es el l´ımite de integrales de una sucesi´on de funciones simples medibles positivas). Sabemos que para toda funci´on f ∈M(X, F, [0, +∞]) existe una sucesi´on (sn)_n∈N ∈SM(X, F, [0, +∞))^N tal que sn% f . Ahora el teorema de la convergencia mon´otona garantiza que

Z

X

f dµ = lim

n→∞

Z

X

s_ndµ. (2)

En particular, el l´ımite de la sucesi´on de integralesR

Xsndµ no depende de la elecci´on de la sucesi´on (s_n)_n∈N.

11 Observaci´on. Algunos autores de libros de an´alisis real definen la integral de Lebesgue de una funci´on positiva medible mediante la f´ormula (2). En aqu´el camino es necesario demostrar que la integral no depende de la elecci´on de sucesi´on (s_n)_n∈N, pero se simplifica la demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona.

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