F´ ormula para la integral de Lebesgue de una funci´ on simple me- dible positiva, dada por una representaci´ on generalizada

Integraci´ on de funciones simples positivas medibles

Objetivos. Definir la integral de Lebesgue de funciones simples positivas medibles y estudiar sus propiedades elementales.

Requisitos. Funciones simples, funciones medibles, medida.

En estos apuntes denotamos [0, +∞) por R+.

Definici´ on de la integral de una funci´ on simple medible positiva

1 Definici´on (integral de Lebesgue de una funci´on simple medible positiva). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈SM(X, F, R+) una funci´on simple medible de la forma

f =

m

X

j=1

v_j1Pj,

donde v1, . . . , vn todos los elementos de f [X], diferentes a pares, y Pj = f⁻¹({vj}). En- tonces

Z

X

f dµ :=

n

X

j=1

v_jµ(P_j). (1)

Aqu´ı se usa el acuerdo que 0 · ∞ = 0: si para alg´un j en {1, . . . , m} se tiene que v_j = 0 y µ(P_j) = +∞, entonces el sumando correspondiente es 0.

2 Ejemplo. Sea (P₁, P₂, P₃) una partici´on de X, tal que P₁, P₂, P₃ ∈ F, y sean v1, v₂, v₃ tres n´umeros no negativos, diferentes a pares. Consideramos la funci´on

f = v₁1P1 + v₂1P2 + v₃1P3. X

P₁

P₂

P₃

f

[0, +∞)

0 v₁ v₂ v₃

Su integral de Lebesgue es Z

X

f dµ = v₁µ(P₁) + v₂µ(P₂) + v₃µ(P₃).

3 Observaci´on. Por la definici´on, Z

X

f dµ :=

m

X

j=1

v_jµ(P_j).

Vamos a aclarar esta definici´on para algunos casos particulares.

Si X = ∅, entonces la suma es vac´ıa (m = 0), as´ı que R

X f dµ = 0.

Si v_j = 0 y µ(P_j) < +∞ para alg´un j, entonces el sumando correspondiente es vjµ(Pj) = 0.

Si v_j = 0 y µ(P_j) = +∞ para alg´un j, entonces v_jµ(P_j) = 0.

Si v_j > 0 y µ(P_j) = +∞ para alg´un j, entonces v_jµ(P_j) = +∞.

F´ ormula para la integral de Lebesgue de una funci´ on simple me- dible positiva, dada por una representaci´ on generalizada

4 Definici´on (partici´on generalizada de un conjunto, repaso). Una familia (Q_k)_k∈J se lla- ma partici´on generalizada de un conjunto C, si los elementos de esta familia son disjuntos por pares y su uni´on es C:

∀j, k ∈ J (j 6= k) =⇒ (Q_j ∩ Q_k = ∅)

∧ [

k∈J

Q_k = C.

5 Proposici´on (representaci´on generalizada de una funci´on simple, repaso). Sea X un conjunto, sea (Q_k)ⁿ_k=1 una partici´on generalizada de X y sean w₁, . . . , w_n ∈ R+. Notemos que algunos de los conjuntos Q₁, . . . , Q_n pueden ser vac´ıos y algunos de los n´umeros w₁, . . . , w_n pueden ser iguales entre si.

Entonces la siguiente funci´on f : X → R+ es simple:

f =

n

X

k=1

w_k1Qk.

M´as a´un, la representaci´on can´onica de f es

f =

m

X

j=1

v_j1Pj,

donde v1, . . . , vm son todos los elementos de f [X], diferentes a pares, y Pj = [

1≤k≤n : Qk6=∅

wk=vj

Qk. (2)

Notemos que {v₁, . . . , v_m} ⊆ {w₁, . . . , w_n}.

6 Proposici´on (la integral de una funci´on simple medible positiva dada por su repre- sentaci´on generalizada). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ SM(X, F, R+) una funci´on simple medible dada por su representaci´on generalizada:

f =

n

X

k=1

w_k1Qk.

Aqu´ı suponemos que w1, . . . , wn ∈ R⁺ y Q1, . . . , Qn ∈ F son algunos conjuntos disjuntos a pares cuya uni´on es igual a X. Entonces

Z

X

f dµ =

n

X

k=1

w_kµ(Q_k). (3)

En otras palabras, la Proposici´on 6 dice que tenemos un an´alogo de la f´ormula (1), aunque cuando usamos una representaci´on generalizada de f .

Demostraci´on. Denotemos por v₁, . . . , v_m a todos los valores de f , diferentes a pares:

f [X] = {v₁, . . . , v_m}, v₁, . . . , v_m son diferentes a pares.

Notemos que {v₁, . . . , v_m} ⊆ {w₁, . . . , w_n}. De todos los ´ındices 1, . . . , n separamos aque- llos que corresponden al conjunto vac´ıo, y los dem´as agrupamos por los valores de la funci´on f . M´as formalmente, partimos el conjunto {1, . . . , n} en partes K₀, K₁, . . . , K_m de la siguiente manera:

J0 :=k ∈ {1, . . . , n} : Qk = ∅ ,

J_j :=k ∈ {1, . . . , n} : Qk 6= ∅, wk= v_j . Entonces la f´ormula (2) se puede escribir como

P_j = [

k∈Kj

Q_k. (4)

Por la definici´on de la integral, Z

X

f dµ =

m

X

j=1

vjµ(Pj). (5)

Tenemos por demostrar que el lado derecho de (3) es igual al lado derecho de (5). Partimos los sumandos de la suma (3) en grupos K₀, K₁, . . . , K_m:

n

X

k=1

w_kµ(Q_k) = X

k∈K0

w_kµ(Q_k) +

m

X

j=1

X

k∈Kj

w_kµ(Q_k).

En la primera suma Q_k = ∅. De la fo´rmula (4) se sigue que para cada j en {1, . . . , m} la familia (Qk)k∈Kj es una partici´on generalizada de Pj. Adem´as, para cada k ∈ Kj tenemos que w_k = v_j. Aplicando la propiedad aditiva de la medida µ obtenemos que

n

X

k=1

w_kµ(Q_k) = 0 +

m

X

j=1

v_jµ



 [

k∈Kj

Q_k



=

m

X

j=1

v_jµ(P_j).

7 Ejemplo (la integral de la funci´on indicadora). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y

sea A ∈F. Entonces Z

X

1Adµ = µ(A).

En efecto, 1A tiene la siguiente representaci´on generalizada:

1A= 1 ·1A+ 0 ·1X\A. Por eso

Z

X

1Adµ = 1 · µ(A) + 0 · µ(X \ A) = µ(A).

8 Ejemplo (una suma finita como una integral). Sea a = [a_k]ⁿ_k=1 ∈ Rⁿ+. Conside- ramos X = {1, . . . , n} con la σ-´algebra 2^X y con la medida de conteo ν. Entonces a ∈SM(X, 2^X, R+). La funci´on simple a tiene la siguiente representaci´on generalizada:

a =

n

X

k=1

a_k1{k}.

Luego

Z

{1,...,n}

a dν =

n

X

k=1

a_kν({k}) =

n

X

k=1

a_k.

La integral de Lebesgue de funciones simples medibles positivas sobre subconjuntos medibles del dominio

9 Proposici´on. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea A ∈ F. Pongamos FA :=B ∈F : B ⊆ A , µ_A:= µ|_FA.

Entonces (A,FA, µ_A) es un espacio de medida.

Ejercicio: demostrar la proposici´on. La definici´on de FA se puede escribir tambi´en como FA := 2^A∩F.

10 Proposici´on (la restricci´on de una funci´on medible a un conjunto medible es una fun- ci´on medible). Sean (X,F), (Y, H) espacios medibles sea A ∈ F. Sea f ∈ M(X, F, Y, H).

Entonces f |_A∈M(A, FA, Y,H).

Demostraci´on. Si B ∈H, entonces

f |⁻¹_A [B] = {x ∈ A : f |_A(x) ∈ B} = {x ∈ A : f (x) ∈ B} = A ∩ f⁻¹[B] ∈F.

11 Definici´on (definici´on de la integral sobre un conjunto medible). Sea (X,F, µ) un espacio de medida, sea f ∈SM(X, F, R+) y sea A ∈F.

Z

A

f dµ :=

Z

A

f |_Adµ_A.

12 Proposici´on (f´ormula para la integral sobre un conjunto). Sea f ∈ SM(X, F, R+) y sea A ∈F. Supongamos que f tiene la siguiente representaci´on can´onica:

f =

m

X

j=1

v_j1Pj. Entonces

Z

A

f dµ =

m

X

j=1

vjµ(Pj ∩ A).

Demostraci´on. Es f´acil ver que la familia (P_j∩ A)^m_j=1 es una partici´on generalizada de A, y

∀x ∈ P_j ∩ A f (x) = v_j. Por lo tanto, f |_A tiene la siguiente representaci´on generalizada:

f |_A =

m

X

j=1

v_j1Pj∩A. Luego

Z

A

f dµ===^def Z

A

f |_Adµ_A=

m

X

j=1

v_jµ|_A(P_j ∩ A) =

m

X

j=1

v_j µ(P_j ∩ A).

13 Ejemplo. Consideremos el Ejemplo 2, y supongamos que A ∈F.

A X

P₁

P₂ P₃

f

[0, +∞)

0 v₁ v₂ v₃

Entonces

Z

A

f dµ = v₁µ(A ∩ P₁) + v₂µ(A ∩ P₂) + v₃µ(A ∩ P₃).

14 Proposici´on (otra f´ormula para la integral sobre un conjunto). Sea f ∈SM(X, F, R+) y sea A ∈F. Entonces

Z

A

f dµ = Z

X

f1Adµ.

Demostraci´on. Supongamos que f tiene la siguiente representaci´on can´onica:

f =

m

X

j=1

v_j1Pj.

Entonces

f1A=

m

X

j=1

v_j1Pj ·1A=

m

X

j=1

v_j1Pj∩A= 01X\A+

m

X

j=1

v_j1Pj∩A.

La ´ultima expresi´on es una representaci´on generalizada de f1A. Luego Z

A

f1Adµ = 0 µ(X \ A) +

m

X

j=1

v_jµ(P_j ∩ A) =

m

X

j=1

v_jµ(P_j∩ A) = Z

A

f dµ.