Tema 5. Modelos multivariantes no estacionarios

Tema 5. Modelos multivariantes no

estacionarios

1.

Modelos VAR con variables no

estacionarias

2.

Cointegración

3.

Modelos vectoriales con mecanismo de

corrección del equilibrio

4.

Metodología para la construcción de

modelos VEqCM

5.

Ejemplos de modelos VEqCM

1. Modelos VAR con variables no

estacionarias

Vamos a considerar el siguiente modelo VAR(1)

Si tiene una raíz unitaria sabemos que el modelo no es estacionario. Vamos a considerar que, en este caso, todas las variables del sistema tienen el mismo orden de integración.

Ejemplo:

Las dos series tienen una raíz unitaria

Ejemplo:

En el caso de un sistema no estacionario en el que las dos variables tienen el mismo orden de

En el caso más general, , seguiría un modelo VAR(p):

Este modelo está representando las relaciones a corto plazo entre ambas variables.

6.2 Cointegración

Vamos a considerar ahora que el modelo VAR(1) no es estacionario pero que

En este caso, la diferenciación de cada una de las variables no sería adecuada dado que se

introduciría una media móvil no invertible en el modelo (estaríamos sobrediferenciando).

La diferencia entre el caso anterior y este es debida a que en este último existe lo que se conoce

como cointegración entre las variables.

I

Para ilustrar el concepto de cointegración, vamos a considerar dos series cuyos niveles evolucionan a lo largo del tiempo sin tendencia, es decir, son variables I(1) sin constante. En este caso, una representación posible de estas series es:

Cuando y coinciden, existe cointegración. En este caso, las series están relacionadas a largo plazo (de forma permanente).

Cuando los niveles subyacentes están

relacionados entre sí, entonces las series

están relacionadas en el largo plazo y

Definición formal de cointegración para dos

variables I(1): Dos variables están cointegradas si cada una de ellas es I(1) pero existe una

Las variables mantendrán una relación de equilibrio

a largo plazo que viene dada por

(1, -β) es lo que se conoce como vector de

cointegración

Si planteamos la regresión

Las perturbaciones son las desviaciones de la relación de equilibrio a largo plazo.

3. Modelos vectoriales con mecanismo

de corrección del error

Para modelizar las relaciones entre variables

no estacionarias cointegradas tenemos

El modelo VAR-MCE para dos variables viene dado por:

es el mecanismo de corrección del error de , y tiene signo negativo.

4. Metodología para la construcción de

modelos VEqCM

Se puede estimar y contrastar la cointegración utilizando el método de Máxima Verosimilitud de Johansen.

Sin embargo, existe un método en dos etapas más sencillo:

i) Estimar primero la relación de equilibrio a largo

plazo:

Si las variables están cointegradas, las

perturbaciones deben ser estacionarias.

t t

t y u

Por lo tanto, una vez estimados los

parámetros por MCO, se hace un

contraste de raíces unitarias en los

Vamos a considerar, por ejemplo, las series:

ii) Se estima el modelo VAR-MCE sustituyendo las desviaciones del equilibrio a la largo plazo por los residuos del modelo anterior.

Alternativamente, el modelo se puede

5. Ejemplo: Relaciones dinámicas entre

precios del vacuno

El objetivo es contrastar empíricamente la

integración espacial entre los dos circuitos

en los que tradicionalmente ha estado

fragmentado el mercado internacional de

carne de vacuno.

El precio elegido como representativo del

circuito de fiebre aftosa es el precio

mensual de exportación FOB de carne de

vacuno en Argentina y como

representativo del circuito libre de fiebre

aftosa, el precio de importación CIF de

carne australiana en Estados Unidos. Los

precios, medidos en dólares por tonelada,

han sido observados mensualmente

La transformación logarítmica de ambas

series de precios aparece representada en

el siguiente gráfico en el que puede

apreciarse que su nivel parece evolucionar

a lo largo del tiempo

El gráfico de las series nos señala también las siguientes características:

— Hasta aproximadamente el fin del año 1990, la

evolución a largo plazo de ambos precios es muy similar, con un diferencial aproximadamente

constante entre ellos.

— A partir de 1991 parece haber un cambio en el tipo de relación a largo plazo que mantienen ambos precios.

El primer cambio en la relación de equilibrio

a largo plazo puede justificarse porque el

14 de mayo de 1989, el Partido

Justicialista gana las elecciones

presidenciales:

— Nueva orientación en la política económica

con medidas de estabilización

El segundo cambio puede estar justificado por

cambios en el propio mercado internacional del vacuno. A mediados de 1989, los Gobiernos de Argentina, Brasil y Uruguay, junto con el centro Panamericano de Fiebre Aftosa, firmaron un

convenio para el control y la erradicación de la enfermedad en la Cuenca de la Plata.

Uruguay fue declarado en 1993, país libre de aftosa con vacunación mientras que Argentina recibió

Para introducir el efecto de estos dos cambio, se introducen en el modelo VAR-MCE, dos variables ficticias:

— que toma valor cero hasta diciembre de 1990.

A partir de este momento, toma valores 1, 2, 3,… hasta diciembre de 1994, volviendo a tomar valor

cero a partir de este momento.

— que es una variable escalón que toma valor

cero hasta diciembre de 1994 y uno a partir de ese momento.

t

D₁

t

Los estadísticos Box-Ljung correspondientes

a los residuos de las ecuaciones de los

precios LARG y LUSA toman valores de

9.12 y 23.32 respectivamente, no

La relación de equilibrio a largo plazo entre ambos precios viene dada por:

Entre enero de 1991 y diciembre de 1994, los

precios argentinos crecen a un ritmo del 0.8%. A partir de enero de 1995, los dos precios se

integran totalmente y la diferencia entre ellos desaparece al cancelarse la constante de la

constante de la relación de equilibrio a largo plazo con el coeficiente del escalón.

En cuanto a la relación dinámica a corto

plazo, los precios argentinos realizan el

ajuste ante las desviaciones respecto al

equilibrio de largo plazo.

Además, las variaciones en el precio de este

país, responden a su propio pasado (son

significativos los coeficientes con 1 y 3

Finalmente, las variaciones de los precios de

Estados Unidos responden a su propio

pasado (son significativos los coeficientes

de los retardos 1 y 2). Además, las

variaciones en estos precios no responden

a las desviaciones del equilibrio a largo

Un ejercicio teórico (tomado de las

notas del profesor A. Espasa)

Considere el siguiente modelo VAR(1):

Tiene estructura triangular, es decir, el pasado de y_t no influye en x_t, pero el de ésta sí que afecta a y_t. Como Cov(a_1t, a_2t)=0.5, las variables x_t e y_t

tienen una covarianza contemporánea de 0.5.

La ecuación característica del modelo es:

cuyas raíces son 1 y 1.429. Por lo tanto, el sistema no es estacionario. Vamos a ver cuáles son los modelos univariantes que se derivan para cada una de las variables:

Ambas variables tienen una raíz unitaria y sus primeras diferencias tienen media cero. Por lo tanto, ambas tienen oscilaciones locales de nivel. Vamos a reformular el modelo VAR anterior como

un modelo vectorial con matriz de covarianzas diagonal, sabiendo que la causalidad

contemporánea va desde x_t a y_t. Para ello vamos

Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones:

En este caso, las variables están cointegradas dado

que la perturbación del modelo que relaciona y_t

con x_t es estacionaria. En consecuencia, el

modelo apropiado para representar las relaciones dinámicas entre ambas variables es un modelo VAR-MCE. Vamos a derivar dicho modelo.

— La relación de equilibrio a largo plazo entre ambas variables viene dada por:

— La velocidad de ajuste de ∆y_t a desviaciones con respecto al equilibrio a largo plazo es -0.3.

— La correlación contemporánea entre ∆x_t e ∆y_t es 0.5.

— La variable x_t sigue meramente un modelo de

Finalmente si sustituimos en las expresiones

anteriores las perturbaciones incorreladas por las originales contemporáneamente correlacionadas, obtenemos el modelo VAR-MCE

En este ejemplo, las variables no están correlacionadas a corto plazo. Toda la relación dinámica entre ambas variables

viene recogida por su relación de equilibrio a largo plazo.

Además, la variable x_t es fuertemente exógena porque no

responde a las desviaciones del equilibrio a largo plazo y no depende a corto plazo de las variaciones de la variable y_t.

6. Regresiones espurias

Como en el caso de los modelos VAR

estacionarios, si se satisfacen las

condiciones de exogeneidad, es posible

reducir el número de ecuaciones del

modelo.

El modelo uniecuacional que se obtiene cuando las variables son no-cointegradas es un modelo en el que todas las variables aparecen en primeras

diferencias.

Por otra parte, cuando las variables están

cointegradas, el modelo uniecuacional recoge el mecanismo de corrección del equilibrio o del

El modelo de la función de transferencia para variables no cointegradas hay que especificarlo en términos de las variables diferenciadas, dado que entre las variables en niveles no existen relaciones a largo plazo.

Si se intentara regresar las variables en niveles, se obtiene lo que se conoce como el problema de las regresiones

espurias: regresiones donde el estadístico t es altamente significativo y con coeficientes de determinación muy

grandes aunque, en realidad, la estimación es inconsistente.

La forma de detectar una regresión espuria es mediante la observación de que los residuos del modelo no son