Tema 5 Estabilidad y Compensación

CIRCUITOS ANALÓGICOS (SEGUNDO CURSO)

Tema 5

Estabilidad y Compensación

Sebastián López y José Fco. López

Instituto Universitario de Microelectrónica Aplicada (IUMA) Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

35017 - Las Palmas de Gran Canaria Tfno. 928.451247

Fax 928.451243

e-mail: [email protected]

OBJETIVOS

En el tema anterior se examinaron los efectos de la

realimentación negativa sobre parámetros del circuito, tales

como ganancia o impedancia terminal. En este tema veremos el

efecto de la realimentación negativa sobre la respuesta en

frecuencia de un circuito. Se ilustrará la posibilidad de oscilación

en los circuitos realimentados y se describirán métodos para

superar estos problemas mediante compensación del circuito.

Una vez acabado el tema, se podrá saber si un sistema es estable

o no, y en caso de que esto último ocurra, se tendrá un dominio

de distintas técnicas que permitan asegurar la estabilidad.

ÍNDICE

1. Determinación de la ganancia de lazo A

β

2. El problema de la estabilidad

2.1. El diagrama de Nyquist

3. Efecto de la realimentación en los polos del amplificador 3.1. Estabilidad y localización de los polos

3.2. Polos del amplificador realimentado 3.3. Sistemas con un polo

3.4. Sistemas con dos polos 3.5. Sistemas con tres polos

4. Estabilidad usando diagramas de Bode 4.1. Margen de ganancia y margen de fase

4.2. ¿Por qué se hace inestable un sistema con realimentación negativa?

4.3. Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de |A

β

|

5. Compensación en frecuencia 5.1. Límite de

β

5.2. Otros métodos de compensación 5.2.1. Teoría

5.2.2. Implementación

FICHA TÉCNICA 1.Determinación de la ganancia de lazo A

β

Importancia de la ganancia de lazo en sistemas realimentados: • Determina si se trata de realimentación positiva o negativa

• Determina los polos de la función de transferencia F(s)=A(s)/[1+A(s)

β

(s)]

• Determina si un sistema es estable o no

Existe un método alternativo para determinar ganancia de lazo:

A

β

x

_s

x

_i

x

_f

x

_o

Si la fuente externa xs es nula y abrimos la conexión en xo

aplicando una señal de test xt:

t o

x

x

A

β

=

−

/

A

β

x

_i

x

_f

x

_o

x

_t

Si rompemos el lazo en un circuito amplificador práctico, debemos asegurar que las condiciones que existían originalmente no cambian. Esto se consigue añadiendo una impedancia igual a la que había originalmente donde se rompió el lazo.

2.El problema de la estabilidad

La función de transferencia en lazo cerrado viene expresada por:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

s

s

A

s

A

s

A

_f

β

+

=

Por lo tanto, la ganancia en lazo A(jw)

β

(jw) es un número complejo que se puede representar por su maginitud y fase:

))

(

exp(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

jw

A

jw

jw

A

jw

jw

j

w

L

≡

β

=

⋅

β

⋅

φ

La forma en la que la ganancia de lazo varía con la frecuencia es la que determina la estabilidad o inestabilidad del amplificador realimentado.

X

X'

Z

t Vt Z_t V_r

2.1. El diagrama de Nyquist.

El diagrama de Nyquist es un procedimiento que permite determinar la estabilidad. Se trata simplemente de un diagrama polar de la ganancia de lazo usando la frecuencia como parámetro.

Im

Re

w=0 w<0 w>0 (-1,0) w=180 w=∞ φ |Aβ|

El diagrama de Nyquist intercepta al eje real negativo en w=180. Si este cruce ocurre a la izquierda del punto (-1,0), sabremos que la magnitud de la ganancia de lazo a esta frecuencia es mayor que la unidad y el amplificador será inestable. Si la intercepción se produce a la derecha del punto (-1,0), el amplificador será estable. Por lo tanto, si el diagrama de Nyquist encierra al punto (-1,0), estaremos frente a un sistema inestable.

3.Efecto de la realimentación en los polos del amplificador

La respuesta en frecuencia de un amplificador y su estabilidad se determinan directamente por medio de sus polos.

3.1. Estabilidad y localización de los polos

Para que un amplificador (o cualquier otro sistema) sea estable, sus polos deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. Un par de polos complejos conjugados en el eje jw da lugar a oscilaciones mantenidas, mientras que polos situados en el semiplano derecho da lugar a oscilaciones crecientes.

3.2. Polos del amplificador realimentado

Los polos de un amplificador realimentado son las raíces de 1+A(s)

β

(s). Por lo tanto, los polos se obtienen resolviendo la denominada “ecuación característica” del lazo de realimentación:

0

)

(

)

(

1

+

A

s

β

s

=

Si suponemos que un amplificador sin realimentar tiene polos reales y ningún cero finito, y que el factor

β

es independiente de la frecuencia, nos podemos encontrar con distintos casos.

3.3. Sistemas con un polo

p o

w

s

A

s

A

/

1

)

(

+

=

-w_p -wp(1+Aoβ) jw σ

3.4. Sistemas con dos polos

)

/

1

(

)

/

1

(

)

(

2 1 p p o

w

s

w

s

A

s

A

+

⋅

+

=

3.5. Sistemas con tres o más polos

Como norma general, cada polo puede introducir, como máximo, un desfase de 90º (a frecuencia infinita). El peligro de inestabilidad se produce pues cuando se realimentan

jw σ -wp2 -wp1 (wp1+wp2)/2 jw σ -wp2 -wp1 -wp3

)

/

1

(

)

/

1

(

)

/

1

(

)

(

3 2 1 p p p o

w

s

w

s

w

s

A

s

A

+

⋅

+

⋅

+

=

amplificadores con tres o más polos. Cuando estas inestabilidades se producen, se debe recurrir a técnicas de compensación para mantener la estabilidad del sistema.

4.Estabilidad usando diagramas de Bode

4.1. Margen de ganancia y margen de fase

La representación del diagrama de Nyquist para estudiar la estabilidad de un sistema puede implicar cierta complejidad. Por ello, se utiliza como alternativa un diagrama de Bode de A(jw)

β

(jw). Este diagrama de Bode contiene toda la información del diagrama de Nyquist y es mucho más simple de dibujar.

Según Nyquist, un amplificador realimentado es estable si a una frecuencia, w180, a la cual la fase es de 180º se cumple que

|A(jw180)

β

(jw180)| < 1. Una representación de este tipo sería:

|Aβ|dB Aβ log(w) log(w) w₁₈₀ -90º -180º 0 margen de ganancia margen de fase

El

margen de ganancia

representa la cantidad a la cual la ganancia de lazo A

β

puede ser aumentada mientras se mantenga la estabilidad. Los amplificadores realimentados se suelen diseñar de forma que tengan un margen de ganancia suficiente para asegurar la estabilidad incluso en caso de cambios inevitables de la ganancia de lazo.

Otra forma de comprobar la estabilidad es examinando el diagrama de Bode a la frecuencia a la cual |A

β

| = 1, que es la frecuencia a la cual el diagrama en magnitud corta al eje de 0dB. Si a esta frecuencia la fase es menor en magnitud de 180º, el amplificador será estable. La diferencia entre la fase a esta frecuencia y la fase a w180 se denomina

margen de fase.

Para garantizar una buena respuesta transitoria es conveniente tener un

margen de fase

superior a 30º. Un margen de

ganancia

aceptable

puede ser 10dB o superior.

4.2. ¿Por qué se hace inestable un sistema con realimentación negativa?

Un síntoma de realimentación negativa es el hecho de que A

β

>0. Esto quiere decir que a frecuencias medias, la fase de A

β

debe ser 0º. Si en ese producto A

β

aparecen polos, estos introducen una variación en la fase. Con un solo polo, la fase irá de 0º para w=0 hasta –90º para w=

∞

. Con dos polos, hasta -180º para w=

∞

y,

con tres hasta -270º para w=

∞

. En este último caso, debe existir una pulsación wo para la cual la fase de A

β

lo cual significa

que para esa pulsación en particular, el producto A(jwo)

β

(jwo) es

un número real negativo y por lo tanto el amplificador se comportará como si tuviera realimentación positiva. Si además,

as esa frecuencia, la ganancia en módulo es mayor que 1 (0dB), el sistema no se comportará como un oscilador.

Para todos aquellos sistemas con tres o más polos, siempre existe alguna pulsación donde la fase de A

β

es ±A

β

.

4.3.

Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de |A

β

|

Investigar la estabilidad construyendo diagramas de Bode para la ganancia de lazo A

β

puede ser tedioso y ocupar mucho tiempo, especialmente si se pretende estudiar la estabilidad de un mismo amplificador al que se le conectan distintas redes de realimentación.

Un método alternativo, mucho más simple, consiste en construir sólo el diagrama de Bode para A(jw). Suponiendo que

β

es independiente de la frecuencia, podemos plotear 20log(1/

β

) como una línea horizontal en el mismo diagrama que 20log(A). La diferencia entre las dos curvas será:

β

β

A

jw

A

(

)

20

log(

1

/

)

20

log

log

20

⋅

−

⋅

=

⋅

que es la ganancia de lazo en dB. Si quisiéramos evaluar la estabilidad para un factor de realimentación diferente, solo tendríamos que dibujar una nueva línea recta en 20log(1/

β

2).

5.Compensación en frecuencia

Cuando un amplificador realimentado se hace inestable, deben ser compensados. Para ello existen varias alternativas. Todas ellas tratan de evitar que cuando la fase de A

β

sea 180º, el

módulo sea superior a 0dB. En esencia, lo importante es “comerse” ganancia. La inestabilidad suele ser debida al hecho de que el producto A

β

tiene una ganancia elevada y existe una acumulación de polos próximos.

5.1.

Límite de

β

Una forma de controlar la estabilidad puede ser limitando el valor de

β

.

Por ejemplo, para un sistema sin realimentar como el indicado en el siguiente cuadro:

Frecuencia Ganancia Fase

10 KHz 80 dB 0º

10 MHz 40 dB -135º

30 MHz 20 dB -180º

Si introducimos un circuito de realimentación, para mantener el sistema estable y con respuesta transitoria aceptable, hemos de limitar

β

de forma que la ganancia total del amplificador realimentado sea siempre mayor que 100.

5.2. Otros métodos de compensación

Vamos a estudiar otros métodos para modificar la función de transferencia en lazo abierto A(s) de un amplificador con tres o más polos de forma que el amplificador en lazo cerrado sea estable para cualquier valor desado de ganancia en lazo cerrado. 5.2.1. Teoría

El método más simple de compensación en frecuencia se denomina

método del polo dominante

y consiste en introducir un nuevo polo en la función A(s) a una frecuencia muy baja, fD, de

forma que la ganancia en lazo abierto modificada, A’(s), intercepte la curva 20log(1/

β

) a una frecuencia a la cual la fase no sobrepase los 180º.

Como ejemplo, supongamos que queremos compensar el amplificador A(s) de la siguiente gráfica.

0 40 80 120 -40 10 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 ₁₀8 ₁₀9 dB Hz A(s) A'(s) _A''(s) y' y z' z f_D f'_D f_p1 f_p2 f_p3 0º -90º -180º -270º -360º 10 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 ₁₀8 ₁₀9 Hz fD f'D fp1 fp2 fp3

Evidentemente, resulta necesario compensar por cuanto |A(w180)|>1, o lo que es lo mismo, |A(w180)|>0dB. Supongamos

también que disponemos de una red de realimentación

β

con ganancia 40dB, lo cual es alto, o lo que es lo mismo, ganancia 10-2_.

Lo que se suele hacer es dibujar primero la línea 20log(1/

β

)=40dB. Esta línea intercepta a A(s) en un punto en el cual A

β

=0dB o A

β

=1, en el cual la fase es superior en magnitud a 180º, por lo que el sistema seguirá siendo inestable.

Vamos a añadir un polo a una frecuencia suficientemente baja. Para ello, localizamos el punto Y en la línea de 40dB, el cual está a la frecuencia del polo más bajo. A partir de ahí, dibujamos una línea de pendiente –20dB/dec y determinamos el punto al cual esta línea intercepta a la ganancia en DC (punto Y’). Este punto nos da la frecuencia fD a la cual tenemos que introducir un polo

para que el sistema realimentado sea estable, ya que ahora la frecuencia a la cual A

β

=0dB (fP1 o punto Y), la fase es inferior a

180º, o lo que es lo mismo, a la frecuencia w180, |A

β

|

es

claramente inferior a la unidad y por lo tanto ahora el sistema será inestable. Así pues, ahora tendremos un sistema con 4 polos, fD, fP1, fP2 y fP3.

Una desventaja de este método de compensación es que a la mayoría de las frecuencias la ganancia se ve drásticamente reducida. La razón se debe al polo localizado en fP1. Si de alguna

forma pudiéramos eliminar ese polo, podríamos seguir el procedimiento anterior con el polo en fP2 (trazar –20dB/dec a

partir del punto Z) y dibujar la línea ZZ’. De esta forma obtendríamos la curva A’’(s) para la ganancia en lazo abierto, la cual tiene una ganancia considerablemente mayor que A’(s) y además también es estable si se realimenta con

β

.

Aunque no es posible eliminar el polo en fP1, normalmente es

convierta en dominante y elimina la necesidad de introducir un polo adicional a baja frecuencia, como se explicará a continuación.

5.2.2. Implementación

Vamos a estudiar cómo implementar el esquema de compensación en frecuencia comentado anteriormente. El circuito amplificador normalmente consiste en un número de etapas de ganancia en cascada, siendo cada etapa la responsable de uno o más polos de la función de transferencia. Mediante un análisis manual o por medio de un ordenador se puede identificar qué etapa introduce cada uno de los polos importantes, fP1, fP2 y demás.

Supongamos que el primer polo fP1 se introduce en la interfaz

entre las dos etapas diferenciales de la siguiente figura.

Q1 Q2 Q3 Q4

Un modelo simple en pequeña señal del circuito en esta interfaz es el siguiente: B' B I_x R_x Cx

donde Ix es la corriente de salida del par Q1-Q2, Rx es la

resistencia total entre B-B’ y Cx es la capacidad total entre B-B’.

Para este caso, el polo del circuito estará localizado en:

x x P

R

C

f

π

2

1

1

=

Vamos a conectar ahora un condensador de compensación CC

entre los nodos B-B’.

B'

B I_x

R_x Cx CC

Ahora, el polo introducido estará a una frecuencia menor que nosotros decidiremos según la expresión:

x C x D

R

C

C

f

)

(

2

1

'

+

=

π

A este tipo de compensación se le denomina

compensación

polo-cero

. Por lo tanto, se puede seleccionar un valor apropiado para CC de forma que se desplace la frecuencia del polo de fP1 a f’D

determinada por el punto Z’ del diagrama de Bode mostrado anteriormente. Hay que tener en cuenta que la adición de CC

normalmente produce cambios en la localización de los otros dos polos (fP2 y fP3).

Una de las mayores desventajas de este método de implementación es que el valor requerido de CC es normalmente

muy alto, lo cual imposibilita su inclusión en circuitos integrados por cuanto ocuparía mucha área. Una solución elegante a este problema es conectar la capacidad de compensación en el camino de realimentación de una etapa amplificadora, de forma que con el efecto Miller, la capacidad de compensación se multiplique por la ganancia de la etapa, dando como resultado una capacidad efectiva mucho mayor. Además, tal y como se explica a continuación, se pueden obtener otros beneficios.

5.2.3. Compensación Miller y separación de polos

La siguiente figura muestra una etapa de ganancia en un amplificador multietapa.

Por simplicidad se trata de una etapa EC pero en la práctica puede ser cualquier circuito más complejo. En el camino de realimentación de esta etapa EC hemos añadido una capacidad de compensación Cf.

B

C C_f

La siguiente figura muestra el circuito equivalente de esta etapa. B C V_o I_i R_{1 Vπ} C1 Cf g_mVπ R₂ C2

R1 y C1 representan la resistencia y capacidad total entre el nodo

B y tierra. R2 y C2 representan la resistencia y capacidad total

entre el nodo C y tierra. Además, C1 y C2 incluyen la componente

Miller debido a Cμ y C2 incluye la capacidad de entrada de la

siguiente etapa. Finalmente, Ii es la señal de corriente de la

etapa anterior.

Si suponemos que no hay capacidad de compensación, Cf, nos

encontramos con dos polos:

2 2 2 1 1 1

2

1

2

1

R

C

f

R

C

f

P P

π

π

=

=

Si ahora tenemos en cuenta Cf:

)

(

'

1

'

2 1 2 1 2 1 2 1

C

C

C

C

C

C

g

w

R

C

R

g

w

f f m P f m P

+

+

≈

≈

Conforme aumenta Cf, w’P1 se reduce y w’P2 aumenta. A esto se le

denomina

separación de polos

. El aumento de w’P2 es beneficioso,

ya que mueve al punto Z del diagrama de Bode a una frecuencia aúm mayor.

Finalmente, hay que hacer notar que en w’P1, Cf es multiplicado

por la ganancia Miller gmR2, dando como resultado una capacidad

mucho mayor, gmR2Cf. En otras palabras, el valor requerido de Cf