TEXTO: MATEMÁTICA II PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA QUÍMICA"

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA

INFORME FINAL DEL TEXTO

“TEXTO: MATEMÁTICA II PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA

QUÍMICA"

AUTOR: Lic. FERNANDO HIPÓLITO LAYZA BERMÚDEZ

(PERÍODO DE EJECUCIÓN : Del 01 de julio del 2014 al 30 de junio del 2016 Resolución Rectoral No.488-2014 R)

I.INDICE

II.-PRÓLOGO ... 8

III.-INTRODUCCIÓN ... 9

IV.-CUERPO DEL TEXTO O CONTENIDO ... 10

CAPITULO I ... 10

LA INTEGRAL DEFINIDA EN EL PLANO CARTESIANO ... 10

1.-LA INTEGRAL DEFINIDA ... 10

1.1.-INTRODUCCIÓN ... 10

1.1.-Definición de la Integral Definida ... 10

1.1.2 -Propiedades de la Integral Definida ... 11

1.2.-SUMAS DE RIEMANN ... 12

1.2.1.-Sumatoria ... 12

1.2.2.-Propiedades ... 12

1.3.-TEOREMAS FUNDAMENTALES ... 18

1.3.1.-Primer Teorema Fundamental ... 18

1.3.2.-Segundo Teorema Fundamental ... 19

1.4.-APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 19

1.4.1.-Áreas de regiones planas ... 19

1.4.2.-Volúmenes ... 24

CAPITULO II ... 32

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL ... 32

2.-FUNCIONES VECTORIALES ... 32

2.1.-INTRODUCCIÓN ... 32

2.2.-DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ... 33

2.2.1 -Dominio y Rango de una función vectorial ... 33

2.2.2.-Operaciones con Funciones Vectoriales ... 36

2.3.-LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ... 39

2.3.1- Definición ... 39

2.3.2: Propiedades... 45

2.4.-CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ... 45

2.4.1 -Definición ... 45

2.4.2 -Propiedades de Continuidad ... 48

2.5.-DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ... 49

2.5.1 -Definición ... 49

2.5.2 -Propiedades ... 50

2.6.-INTEGRALES ... 52

2.6.2 -Propiedades ... 53

2.7.-LONGITUD DE ARCO ... 54

2.7.1 -Definiciones ... 54

2.7.2 -Función longitud de arco ... 54

2.8.-VECTORES FUNDAMENTALES ... 58

2.8.1 -Vector Tangente Unitario ... 58

2.8.2.-Vector Normal Principal ... 59

2.8.3 -Vector Binormal ... 59

2.9.-CURVATURA Y TORSIÓN ... 63

2.9.1 -Definición de vector curvatura ... 63

2.9.2 -Definición de Curvatura ... 64

2.9.3 -Definición de Torsión ... 65

CAPITULO III ... 72

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DE VARIABLES REALES ... 72

3.-FUNCIONES DE DOS VARIABLES... 72

3.1.-INTRODUCCIÓN ... 72

3.1.1 -Definición de una Función de dos variables ... 72

3.1.2 -Dominio de una de una Función de varias Variables ... 73

3.1.3.-GRÁFICA de una Función de varias Variables ... 74

3.2.-CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL ... 77

3.2.1.-Definición de una Curva de Nivel ... 77

3.2.2.-Definición de una Superficie de Nivel ... 78

3.3.-LÍMITES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ... 79

3.3.1.-Definición de Límite de una Función de dos variables ... 79

3.3.2.-Propiedades de Límite de una Función de varias Variables ... 84

3.4.-CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ... 87

3.4.1.-Definición de continuidad ... 87

3.4.2.-Propiedades ... 87

3.5 DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ... 93

3.5.1.-Definición de las Derivadas Parciales de una Función de varias Variables ... 93

3.5.2.-Derivadas Parciales de Orden Superior de una Función de varias Variables ... 95

3.5.3.-Derivadas Parciales Mixtas de una Función de varias Variables ... 97

3.5.4.-Derivadas Direccionales ... 99

3.5.5.-La Gradiente... 101

3.5.6.-El plano Tangente y la recta Normal ... 103

3.6.-REGLA DE LA CADENA ... 105

3.6.1 -Propiedad ... 105

3.6.3.-Derivación Implícita ... 108

3.7.-DIFERENCIABILIDAD... 109

3.7.1.-Definición ... 109

3.7.2.-Funciones diferenciables... 111

3.7.3.-Aproximaciones ... 111

3.8.-EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN ... 112

3.8.1.-Máximos y Mínimos ... 112

3.8.2.-Propiedades (Criterio de las segundas derivadas parciales) ... 114

3.8.3.-Máximos y Mínimos condicionados ... 119

CAPITULO IV ... 123

INTEGRALES MULTIPLES ... 123

4.-INTEGRALES DOBLES ... 123

4.1.INTRODUCCIÓN ... 123

4.1.1 -Definición de una integral doble ... 123

4.1.2.-Propiedades fundamentales de una integral doble ... 124

4.1.3.-Integrales iteradas. ... 125

4.2.APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES ... 128

4.2.1.-Áreas y volúmenes ... 128

4.2.2.-Masa, centro de masa y momentos ... 133

4.3INTEGRALES TRIPLES ... 135

4.3.1 -Definición de una integral triple... 135

4.3.2.-Cambio de variable en integrales triples ... 137

4.3.3.-El Jacobiano ... 137

4.4.COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS ... 138

4.4.1.-Definición ... 138

4.4.2.-Ecuaciones ... 139

4.5.-APLICACIONES DE LAS INTEGRAL TRIPLE ... 139

4.5.1.-Volúmenes ... 139

4.5.2.-Centro de masa y momentos de un solido ... 141

4.6.-CAMPOS VECTORIALES... 144

4.6.1.-Definición ... 144

4.6.2.-Campos vectoriales conservativos, divergentes y rotacional ... 146

4.6.3.-Integrales curvilíneas o de línea ... 157

4.6.4.-Teorema fundamental de la integral de línea. ... 167

CAPITULO V ... 174

SUPERFICIES ... 174

5.-SUPERFICIES ... 174

5.1.-INTRODUCCIÓN ... 174

5.1.1.-Definición de una superficie ... 174

5.1.2.-Parametrización de una superficie ... 174

5.1.3.-Área de una superficie paramétrica ... 178

5.1.4.-Integral de una superficie ... 182

5.1.5.-Orientación de una superficie ... 185

5.2.-INTEGRAL DE FLUJO ... 186

5.2.1.-Definición de una integral de flujo ... 186

5.2.2.-Calculo de integrales de flujo ... 186

5.2.3.-Teorema de la divergencia y de Stokes ... 190

V.-REFERENCIALES ... 203

VI.-APENDICES ... 204

TABLAS DE CONTENIDO

GRÁFICOS

GRÁFICO Nº 1.1 REGION R LIMITADA POR LA FUNCION ……….. 16

GRÁFICO Nº 1.2 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=X^2-X ,Y EL INTERVALO [0,1] … … 17

GRÁFICO Nº 1.3 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=X^2+X-1 Y EL INTERVALO [0,1]….. 17

GRÁFICO Nº 1.4 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=1-X^2 Y EL INTERVALO [0,1] …….. 18

GRÁFICO Nº 1.5 AREA DE UNA REGION BAJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN] ………... 20

GRÁFICO Nº 1.6 AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES ………. 20

GRÁFICO Nº 1.7 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 1 ……… 21

GRÁFICO Nº 1.8 ÁREA: DE LA REGION DEL EJEMPLO 2 ……… 22

GRÁFICO Nº 1.9 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 3 ……… 22

GRÁFICO Nº 1.10 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 4 ………. 23

GRÁFICO Nº 1.11 AREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 5 ………... 24

GRÁFICO Nº 1.12 METODO DEL DISCO ………... 25

GRÁFICO Nº 1.13 METODO EL ANILLO CIRCULAR ………... 25

GRÁFICO Nº 1.14 METODO DE LA CAPA CILINDRICA ………. 26

GRÁFICO Nº 1.15 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO 1 ……….……….. 27

GRÁFICO Nº 1.16 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO 2 ………... 27

GRÁFICO Nº 1.17 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO 3 ………... 28

GRÁFICO Nº 1.18 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO 4 ………... 28

GRÁFICO Nº 1.19 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO 5 ………... 29

GRÁFICO Nº 2.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL….……….. 33

GRÁFICO Nº 2.2 LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO LA UNIDAD ………. 34

GRÁFICO Nº 2.3 LA ELIPSE ……… 34

GRÁFICO Nº 2.4 SEGMENTO DE RECTA ………. 36

GRÁFICO Nº 2.5 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO ……… 38

GRÁFICO Nº 2.6 EL VECTOR TANGENTE T ……… 58

GRÁFICO Nº 2.7 EL VECTOR NORMAL PRINCIPAL ………... 59

GRÁFICO Nº 2.8 GRÁFICA DE LA CURVA DEL EJEMPLO 5 ……… 63

GRÁFICO Nº 2.9 GRÁFICA DEL VECTOR CURVATURA ………... 64

GRÁFICO Nº 2.10 CENTRO DE CURVATURA ……….. 64

GRÁFICO Nº 3.1 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X^2+Y^2 ………. 75

GRÁFICO Nº 3.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)= SQRT(X^2+Y^2) ……….. 75

GRÁFICO Nº 3.3 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=SQRT(X^2-Y) ……… 76

GRÁFICO Nº 3.4 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=SEN(X^2+Y^2) ……….. 76

GRÁFICO Nº 3.5 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X/(X^2+Y^2) ……….. 76

GRÁFICO Nº 3.6 GRÁFICA DE LAS CURVAS DE NIVEL F(X,Y)=X^2+Y^2 ……… 77

GRÁFICO Nº 3.7 GRÁFICA DE LAS CURVAS DE NIVEL F(X,Y)=X^2-Y ………. 78

GRÁFICO Nº 3.8 GRÁFICA DE LA FUNCION F(X)=(X+Y)/(X^2+Y^2) ……….. 88

GRÁFICO Nº 3.10 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X/(X^2-Y) ………. ..89

GRÁFICO Nº 3.11 GRÁFICA DE LA FUNCION F(X)=X^2+Y ……….. ..90

GRÁFICO Nº 3.12 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X^2+Y^2 EN UN ENTORNO DEL PUNTO (0,0) 111 GRÁFICO Nº 3.13 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y SU EXTREMO RELATIVO ………. 116

GRÁFICO Nº 3.14 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO ………. 116

GRÁFICO Nº 3.15 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO ……… 117

GRÁFICO Nº 3.16 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO ……… 118

GRÁFICO Nº 3.17 GRÁFICO DE LA FUNCION Y SUS EXTREMOS RELATIVOS ……… 119

GRÁFICO Nº 4.1 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO 1 ………. 129

GRÁFICO Nº 4.2 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO 2 ………. 129

GRÁFICO Nº 4.3 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO 3 ………. 130

GRÁFICO Nº 4.4 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO 4 ………. 130

GRÁFICO Nº 4.5 GRÁFICA DE LA UBICACION DEL CENTROIDE ………. 144

GRÁFICO Nº 4.6 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO 1 ……… 144

GRÁFICO Nº 4.7 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO 2 ……… 145

GRÁFICO Nº 4.8 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO 3 ……… 145

GRÁFICO Nº 4.9 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO 4 ……… 145

GRÁFICO Nº 4.10 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO 1 ………... 147

GRÁFICO Nº 4.11 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO 2 ……….. 148

GRÁFICO Nº 4.12 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO 3 ………... 148

GRÁFICO Nº 4.13 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO 4 ………... 149

GRÁFICO Nº 5.1 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE CILÍNDRICA ………. 175

GRÁFICO Nº 5.2 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE ESFERICA ……… 175

GRÁFICO Nº 5.3 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE CONICA ……… 176

GRÁFICO Nº 5.4 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=1/X ……… 177

GRÁFICO Nº 5.5 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=X^2………... 177

GRÁFICO Nº 5.6 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=SQRT(X) ………. 178

GRÁFICO Nº 5.7 GRÁFICA DE LA CURVA Y DEL CONO ………. 181

FIGURAS

FIGURA Nº 5.1 FIGURA DE UNA SUPERCIECIE ………. 175

FIGURA Nº 5.2 SÓLIDO LIMITADO POR DOS Y TRES SUPERFICIES……… 189

II.-PRÓLOGO

La Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao

está pasando por cambios e innovaciones respecto a su currícula. Por

ejemplo, con respecto al Plan de Estudios se han fusionado temas de los

cursos de Matemática I con Matemática II y a su vez, temas de Matemática II

con Matemática III. Años atrás, los cursos de Matemática I, II y III eran

asignaturas independientes y se cursaban durante los ciclos I, II y III

respectivamente.

Debido a estas fusiones, tuve la necesidad de desarrollar el texto: “Texto:

Matemática II para estudiantes de Ingeniería Química” adecuándose al Plan

de Estudios vigente.

Pongo a disposición del alumnado en general éste valioso texto, deseando

que les sirva como una herramienta para que puedan ampliar sus

conocimientos en las Matemáticas.

Finalmente, quiero agradecer a la Universidad Nacional del Callao por el

financiamiento de este Proyecto; así mismo, a mis colegas por las

recomendaciones brindadas.

III.INTRODUCCIÓN

La presente investigación tiene como propósito la elaboración del texto

“Texto: Matemática II para estudiantes de Ingeniería Química”, donde el

estudiante encontrará la teoría básica y especializada para desarrollar sin

problemas la asignatura de Matemática II, en virtud a que, en la actualidad

no existe un texto que contenga todos los temas considerados en el sílabo

de la mencionada asignatura.

Este texto se ha desarrollado de una manera secuencial lógica y

sistematizada por capítulos.

El primer capítulo contiene los siguientes temas del Cálculo Integral: la

integral definida, sus propiedades y aplicaciones.

En el segundo capítulo se aborda temas del Cálculo Vectorial: funciones

vectoriales, sus propiedades y la incidencia del cálculo diferencial e integral,

así como las aplicaciones respectivas.

El tercer capítulo contiene todo lo relacionado con las funciones de dos a

más variables, sus propiedades y aplicaciones.

En el cuatro capítulo presentamos el tema: Integrales Múltiples; éste como

una generalización de las integrales definidas simples abordadas en el

Capítulo I.

Finalmente, en el quinto capítulo tratamos el tema de las superficies

generadas por una función vectorial, así como el uso de las derivadas

parciales e integrales de superficies en las resoluciones de problemas, cabe

mencionar que, para GRÁFICAr la superficie se hicieron uso de diferentes

programas matemáticos gratuitos,tales como, winplot, Graph, mathlab, etc.

Con la presentación del “Texto: Matemática II para estudiantes de Ingeniería

Química”, las personas que cursen la signatura de Matemática II, ya no

tendrán problemas en el aprendizaje de dicha asignatura, pues es un texto

básico, sencillo y único que se adecúa al silabo de Matemática II. Asimismo,

a los profesores que quieran conocer algo más sobre Matemática II, les

servirá de ayuda.