Obtiene factorizando los polino-mios
y
viene expresado por la multipli-cación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.
M.C.D. - M.C.M. de
polinomios
M.C.D. y M.C.M. de polinomios
Máximo común divisor (M.C.D.) Mínimo común múltiplo (M.C.M.) Propiedades
el el 1
M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.
se
Obtiene factorizando los polino-mios
y
viene expresado por la multipli-cación de los factores primos comu nes a fe ctad os de su s menores exponentes.
M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.
se
Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es ±1.
2
Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple:
MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x)
3
A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces: 1ra
posibilidad:
A(x) - B(x) = MCD 2da
posibilidad:
A(x) - B(x) = contiene al MCD
Problemas resueltos
1. Encontrar el MCD de:
S o l uc i ó n :
Factorizando cada polinomio:
3 2 P1(x) = kx2 + (k + 1)2x + k +
2
P2(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1)
I. E = m - m
Agrupando:
- 4m + 4
S o l uc i ó n :
Factorizando ambas expresiones:
I. P1(x) = kx2 + (k + 1)2x + k +
2 kx 1
1x (k + 2)
(kx + 1)(x + k + 2)
II. P2(x) = (x + k )(x - k ) - 4(k + 1) Operando:
x2 - k2 - 4k - 4 Agrupando un T.C.P.
x2 - (k2 + 4k + 4) x2 - (k + 2)2 Diferencia de cuadrados:
[x + (k + 2)][x - (k + 2)]
(x + k + 2)(x - k - 2)
luego: MCD = (x + k + 2)
E = (m3 - m2) - (4m - 4) E = m2(m - 1) - 4(m - 1)
E = (m - 1)(m2 - 4)
E = (m - 1)(m + 2)(m - 2)
II. F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1
Por divisores binómicos: para: m = 1
F(1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0
un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos dividiendo
por Ruffini. Así:
m-1=0 1 0 -2 2 -2 1 m=1 1 1 -1 1 -1
1 1 -1 1 -1 0 F = (m - 1)(m4 + m3 - m2 + m - 1)
El MCD(E; F) = (m - 1)
2. El MCD de los siguientes polinomios: E = m3 - n2 - 4m + 4 F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1
3. Sea:
B Si (x - 1) es el MCD de P
S o l uc i ó n :
(x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces: P1(1) = 0 P2(1) = 0.
Redundando en el Teorema del Resto: P1(1) = A + 2 - B = 0 .... ()
P2(1) = A - 4 + B = 0 .... ()
Resolviendo el sistema:
A - B = - 2 A + B = 4
A = 1; B = 3
B 3
Piden:
A = 1 = 3
a. H(a) ÷ (a - 2)(a - 3)
1 1 0 -9 m n
5 -6
5 -6 25 -30
50 -60
1 5 10 0 0
q(a)
Luego: H(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)
H(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)
b. G(a) ÷ (a - 2)(a - 3)
4. El MCD y MCM de dos polinomios son
respectivamente: MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1) MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) hallar el otro polinomio.
1 1 2 -7
5 5 -6
-6 35
1 7 22 q(a) p -42 110 0 q -132 0
S o l uc i ó n :
Sean los polinomios A(x), B(x). Por
propiedad: MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x)
Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:
Luego: G(a) = (a - 2)(a - 3)q(a)
G(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 7a + 22)
Finalmente, MCM(H; G):
(a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)(a2 + 7a + 22)
B(x) = (MCD)(MCM)A(x)
7. Hallar el MCM de:
x2 - 4x + 3
Reemplazando valores:
(x 2)(x 1)(x 5)(x 1)(x 2)(x 3)
x2 + 4x + 3 x4 - 10x2 + 9 x3 - 9x + x2 - 9 B(x) = (x 1)(x 2)(x 3)
B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)
5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:
a- 1.xn - 1; b- 1.xn - 2; c- 1.xn - 3
S o l uc i ó n : MCD = xn - 3
MCM = a- 1.b- 1.c- 1.xn - 1 piden:
S o l uc i ó n : Factorizando:
I. x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) ... () II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ... () III. x4 - 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) ... ()
IV. x3 - 9x + x2 - 9 = x(x2 - 9) + (x2 - 9)
= (x2 - 9)(x + 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) ... ()
De (), (), () y () se tiene:
MCM
MCD = a
-1.b-1.c-1.xn-1
xn-3
x2 =
abc MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x -1)
= (x2 - 9)(x2 - 1)
6. Si el MCD de los polinomios:
H(a) = a4 - 9a2 + ma + n G(a) = a4 +2a3 - 7a2 + pa +
q
es: (a - 2)(a - 3). Calcular el MCM de dichos polinomios.
8. Si el MCD de:
y: x(x + 1)(x - 2)(x - 1) -
24 x3 - 3x + 2
S o l uc i ó n :
Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios, así:
se iguala a cero, entonces “x” es igual a:
S o l uc i ó n :
Factorizando cada expresión:
Efectuando:
II. x3 - 3x + 2
(x2 - x)2 - 2(x2 - x) - 24
x2 - x -6
x2 - x 4
(x2 - x - 6)(x2 - x + 4)
(x - 3)(x + 2)(x2 - x + 4)
5. Dados los polinomios:
A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10
C(x; y; z) = x6y2z5 Indicar:
MCM(A;B; C) S = MCD(A;B; C)
1 0
1 1
1 1
-3 2
1 -2
-2 0
a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5
d) xyz4 e) xyz
(x - 1)(x2 + x - 2)
x 2
x -1
(x - 1)2(x + 2)
MCD = x + 2 x + 2 = 0 x = -2
Problemas para la clase
6. Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 - 1 B(x) = x2 - 3x + 2
a) x - 2 b) x - 1 c) x2 + 1
d) x - 5 e) 1
8. Dados los polinomios:
A(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
B(x) = x3 + x2 - x - 1 1. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 9)4 B(x) = (x + 10)3(x - 7)2(x + 6)3
a) x + 9 b) x + 10
c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7)2(x + 6)2
e) (x - 7)3(x + 6)3
Indicar el MCM.
a) (x + 1)2 b) (x + 1)3
c) (x + 1)2(x - 1) d) (x + 1)3(x - 1)
e) (x - 1)
9. Hallar el MCM de:
P(x; y) = x2 - y2 2. Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4
F(x; y) = x2
S(x; y) = x2- 2xy + y 2
+ 2xy + y2
S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x -
1)3 a) x - y b) (x + y)3
a) (x +5)(x - 6)(x - 1)
c) (x2- y2)2
3 d) (x
2- y2)3
b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3
c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2
d) (x + 1)(x - 2)(x + 9) e) (x - 1)3(x - 6)4
e) (x - y)
10.El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el
cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el
MCD.
3. Hallar el MCD de los polinomios:
a) x + 1 b) x2
2
+ 1 c) (x + 1)2
A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4
B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2
d) (x - 1) e) x - 1
C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2
a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x +
3)
c) (x - 1)2(x + 2)2 d) (x + 2)2
e) (x - 1)2
4. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x -
6)2
S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8
Comparación cuantitativa
A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar.
Preg. Información Columna A Columna B
11. A(x) = (x + 7)3(x + 8)5(x - 9)
B(x) = (x + 7)4(x + 8)6(x + 12)
A(x; y) = x3 - xy2 + x2y -y3
Grado del MCD
Grado del MCM
12. B(x; y) = x3 - xy2 - x2y +
y3
MCD(A; B) MCM(A; B)
13.
14.
A = 23.32.(x - 1)3(x + 2)2
B = 22.33.(x - 1)2(x + 2)3
C = 20.32.(x - 1)2(x + 2)
A(x) = x2 + 4x + 3
B(x) = x4 - 10x2 + 9 C(x) = x3 - 9x + x2 - 9
Término independiente del MCD
Residuo que se obtiene al dividir MCD entre (x - 3)
Suma de coeficientes
del MCM
Residuo que se obtiene al dividir MCM entre (x - 4)
15.Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x3 - xy2 + x2y
-y3
F(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3
C(x; y) = x4 - 2x2y2 + y4
20.El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:
x6 - 2x4 + x2
Hallar la suma de factores primos del MCM.
a) x + y b) x - y a) 2x b) 4x - 1 c) 3x
c) x2 - y2 d) (x + y)(x - 3y) d) 2x + x2 e) 3x + 1
e) x2 - y4
16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es:
P(x) = 2x4 + 3x3 - 2x2 + Ax + B
entonces “A + B” es:
a) 33 b) - 3 c) 12
d) - 6 e) 1
17. Si el MCD de:
P(x) = x3 - 6x2 + 11x - m Q(x) = x3 + 2x2 - x - n es (x - 1). Hallar “m + n”.
a) - 8 b) 8 c) 4
d) 6 e) 2
21.Indique el MCD de:
P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3
Q(x; y) = x3 - x2y + xy2 -y3
R(x; y) = x4 - y4
a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1
d) y2 + 1 e) x + y
22.Indique el MCD de:
P(x) = 3x3 + x2 - 8x + 4
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4
c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4
e) x + 2
23.Si el MCD de:
18.El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su
MCM por su MCD es:
2x3(x + y)2 entonces uno de los polinomios es:
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2
d) x + y e) 2x + 2y
19.Señale el MCD de los polinomios
P(x) = x3 - 7x2 + 16x - m F(x) = x3 - 8x2 + 21x - n es (x2 - 5x + 6). Hallar “m + n”.
a) 30 b) 20 c) - 30
d) 40 e) - 40
24.Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los
mismos es x5yb. Calcular:
ab - m
E = B(x; y) = 3x3 + 10x2y + 9xy2 +
2y3
C(x; y) = x4 - 5x2y2 + 4y4
a) x2 + 2xy + 4y2 b) x2 - xy - 2y2
c) x2 + 5xy + 6y2 d) x2 + 3xy +
2y2
e) x2 - 5xy + 4y2
Siendo:
- mb n
a) x + 8y b) x + 2y c) (x + 2y)3
d) (x + 2y)2 e) x - 3y
a) - 1 b) - 2 c) - 3
d) - 4 e) - 5
a) 23 b) 25 c) 15
d) 18 e) 12 a) x + 2 b) x2 - x - 6 c) x2 + x -
d) x - 3 e) x + 8
a) x2 - 1 b) x2 + 1 c) x - 1
d) x + 1 e) x
17 11 16 30.Hallar el MCD de los polinomios:2 2
a)
15 b) 17 c) 15 F(x; y) = (x + 2y)(x + 4xy) + 4y (x + 2y)
12 d) 17 18 e) 15
Q(x; y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3
25.Si el MCM de los polinomios: x2 + x - 2 x4
+ 5x2 + 4 x2 - x - 2 es equivalente a:
x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar “A + B + C + D”
Autoevaluación
1. El MCD de un cierto número de polinomios es (2x2 + x - 1). Si uno de esos polinomios
es: P(x) = 4x3 + mx + n
Calcule “m + n”.
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
26.¿Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios?
P = 1 + x + x2 + ... + x5 Q = 1 + x + x2 + ... + x7 R = 1 + x + x2 + ... + x11
2. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x) = (x + 1)4(x + 2)3(x - 3)5(x - 1)2 Q(x) = (x + 8)4(x + 2)(x - 3)5(x - 2)2 R(x) = (x - 2)2(x + 2)2(x - 3)(x + 7)6
27. Proporcionar el MCD de:
P(x) = x5 + x4 + 1 Q(x) = (x + 1)[x4 - 1] + x2(x
-1)
a) x2 + x + 1 b) x2 - x + 1 c) x3 - x + 1 d) x3 + x + 1 e) x3 - x2 + 1
28.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es: x40 + x20 + 1
y su MCD es:
x30 + x20 - x10 + 2
Hallar el número de factores del producto de dichos polinomios.
a) 4 b) 3 c) 5
d) 6 e) N.A.
29.El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2 - 4x6
y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 - 4x2
3. Hallar el MCM de los polinomios: A(x) = x4(x + 1)2
B(x) = x2(x + 1)5(x + 6) C(x) = x3(x + 1)7(x
- 7)
a) x4(x + 1)7(x + 6)(x - 7) b) x4(x + 1)7
c) x4(x + 1)7(x + 6) d) x4(x + 1)2(x + 6)(x - 7) e) x2(x + 1)2(x + 6)(x - 7)
4. Hallar “MCM ÷ MCD” de:
P(x; y; z) = x2.y7.z8 Q(x; y; z) = x4.y3.z9 R(x; y; z) = x5.y2.z10
a) x3yz2 b) x3y5z c) xyz
d) x3y5z2 e) x4y5z9 luego el MCD es:
a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x - 1)(x3 + 1) c) (x2 + x + 1)(x + 1) d) (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)
5. Señale el MCD de:
