AN4 2013 1

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Texto completo

(1)

Clase : Interpolación

(2)

INTERPOLACIÓN PURA

Un método directo para calcular los coeficientes de un polinomio convencional se basa en el hecho de que se necesitan n+1 puntos para determinar n+1 coeficientes. Así se utiliza un sistema de ecuaciones lineales simultaneas para calcular los coeficientes del polinomio.

EJEMPLO: Se desea calcular los coeficientes de una parábola f(x) = a0 + a1x + a2x2

Se necesitan entonces tres puntos:

(x0, f(x0)) (x1, f(x1)) (x2, f(x2))

(3)

EJEMPLO: DETERMINE LOS COEFICIENTES DE LA PARÁBOLA

QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS DE LA TABLA

i x F(x)

0 3 8

1 4 2

2 5 1

INCONVENIENTE DEL MÉTODO: Son sistemas mal condicionados. Los coeficientes pueden ser inexactos, sobre todo para polinomios de orden superior

1- Planteo el sistema de ecuaciones

a0+3a1+9a2=8 (1)

a0+4a1+16a2=2 (2) a0+5a1+25a2=1 (3)

En (3) a0=1-5a1-25a2 (4)

En (2) substituyo (4)1-5a1-25a2+4a1+16a2=2 -a1-9a2=1

a1=-9a2-1 (5) En (1) substituyo (4) y (5)a2=2,5

Substituyo a2 en (5) a1=-23,5

Con a1 y a2

obtengo en(4) el valor de aa 0

(4)

Interpolación Polinomial de

Newton en Diferencias Divididas

4

 x a a x a x anxn

f012 2 ...

Dado n+1 puntos existe solo un polinomio de grado n que pasa por todos los puntos

(5)

Interpolación Lineal

5

EJEMPLO 1: Estime el log(10) para x0=8 y x1=12

V real =1

f(x0)=0,90309 0

f(x1)=1,07918

12 ε=0,89%

(6)

6

EJEMPLO : Dado los datos de la tabla, Calcule f(2,8)

x 1,6 2 2,5 3,2 4 4,5

(7)

Interpolación cuadrática

Para reducir el error que se comete al utilizar

la interpolación lineal una estrategia es

adicionarle a la función cierta curvatura

Si se tienen tres puntos es posible entonces

usar un polinomio de interpolación que tiene

la forma:

7

(8)

8

f2(x)=b0+b1x-b1x0+b2(x2-xx

1-x0x+x0x1)

ó lo que es lo mismo

f2(x)=b0+b1x-b1x0+b2x2-b

2xx1-b2x0x+b2x0x1)

Donde:

a0=b0-b1x0+b2x0x1 a1=b1-b2x1-b2x0 a2=b2

Para obtener los coeficientes b0, b1 y b2 se iguala x=x0, x=x1 y x=x2

1- Obtención de b0 haciendo x=x0

f2(x0)=b0+b1x0-b1x0+b2x02-b

2x0x1

-b2x0x0+b2x0x1)

f2(x0)=b0

2- Obtención de b1 haciendo x=x1

f2(x1)=b0+b1x1-b1x0+b2x12-b

2x1x1

-b2x0x1+b2x0x1)

f2(x1)=b0+b1x1 -b1x0

b1=(f2(x1)-f2(x0))/(x1-x0)

(9)

9

2- Obtención de b2 haciendo x=x2

f2(x2)=b0+b1x2-b1x0+b2x22-b

2x2x1-b2x0x2+b2x0x1)

Substituyendo bo y b1 se obtiene:

EJEMPLO: Estime ln2 utilizando tres puntos xo=1, x1=4, x2=6 f(x0)=0 f(x1)=1,38629 4 f(x2)=1,79175 9

f2(x0)=b0= 0

b1=(f2(x1)-f2(x0))/(x1-x0 )=(1,386294-0)/(4-1)=0,4620981

f2(x)

(10)

Generalizando

(11)

11

Ejemplo: Estimar el ln(2) considerando ahora x0=1, x1=4, x2=6, x3=5

f(x0)=0; f(x1)=1,386294; f(x2)=1,791759; f(x3)=1,609438

1- Plantear el polinomio de tercer grado

f3(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

(12)

12

3- Determinar las segundas diferencias divididas

4- Determinar la tercera diferencia dividida

5- Substituyo b0, b1, b2 y b3 y x=2 para obtener f3(2)

f3(2)=0+0,462098(2-1)-0,0518731(2-1)(2-4)+7,86.10-3

(13)

13

ERRORES EN EL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON

Error de truncamiento en la serie de Taylor:

Error en el polinomio interpolador de Newton:

(14)

14

EJEMPLO: ESTIMAR EL ERROR EN EL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON DE SEGUNDO GRADO PARA EL EJERCICIO DE ln(2)

xo=1, x1=4, x2=6 f(x0)=0f(x1)=1,38629 4

f(x2)=1,79175 9

f2(x) =0+0,4620981(2-1)-0,0518731(2-1)(2-4)=0,565844

Usamos el punto x3=5, como el punto n+1 para determinar el error de truncamiento.

R2=f(x3,x2,x1,x0)(x-x0)(x-x1)(x-x2)

(15)

EJERCICIO

Dado los datos, calcule f(4) con el uso de

polinomios de interpolación de Newton de

ordenes 1 a 4.

15

x 1 2 3 5 7 8

(16)

Polinomio Interpolador de

Lagrange

Es una reformulación del polinomio de

Newton que evita el calculo de las diferencias

divididas

(17)

SABEMOS QUE LA 1ra DIFERENCIA DIVIDIDA ES:

ó lo que es lo mismo:

Por conveniencia puedo expresarlo como:

Si se sabe entonces que:

Es posible substituir en el Polinomio de Interpolación de Newton

(18)

AGRUPANDO TÉRMINOS:

POLINOMIO DE

POLINOMIO DE

INTERPOLACIÓN DE

INTERPOLACIÓN DE

LAGRANGE DE 1er

LAGRANGE DE 1er

orden

(19)

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 2do

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 2do

orden (Cuadrático)

orden (Cuadrático)

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 3er

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 3er

orden

orden

+

(20)

EJEMPLO: Con un polinomio de Lagrange de 1er y 2do orden evalúe

ln 2

DATOS

Ln 1 = 0

Ln 4 = 1,386294 Ln 6 = 1,791760

X0 = 1 f(x0) = 0

X1 = 4 f(x1)= 1,386294 X2 = 6 f(x2) = 1,791760

Aplicando el polinomio de Lagrange de primer grado:

(21)

EJERCICIO: Añadir ln5 = 1,609438 y aplicar el polinomio de

interpolación de Lagrange de tercer grado

OBSERVE QUE: TAL Y COMO ERA ESPERADO LOS

RESULTADOS OBTENIDOS SON SIMILARES A LOS

RESULTADOS OBTENIDOS CON EL POLINOMIO DE

INTERPOLACIÓN DE NEWTON

CÁLCULO DEL RESIDUO:

Entonces si tenemos un punto adicional en x=xn+1 se puede obtener un error estimado.

(22)

REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

La expresión matemática de una recta es:

y=a0 + a1x + e e =y-a0-a1x

Criterio para un mejor ajuste:

“ Minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con un modelo lineal”

(23)

23

Este método tiene la ventaja de que es posible obtener una línea única para un conjunto de datos.

Determinación de los coeficientes a0 y a1

Haciendo las derivadas parciales obtenemos:

Para obtener Sr mínimo las derivadas se igualen a cero:

1 1 0

0

y

i

a

a

x

2 1 1 0

0

y

i

x

i

a

x

i

a

x

0

0

na

a

(24)

Ejemplo

Ajuste los datos de la tabla a una línea recta

24

x 1 2 3 4 5 6 7

y 0,5 2,5 2 4 3,5 6 5,5

n=7

a1=0,8392 a0=0,07142

(25)

CUANTIFICACIÓN DEL ERROR

RECUERDE QUE:

ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADO:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR ORIGINAL

(26)

Ejemplo

Calcule la desviación estándar total, el error

estándar del estimado y el coeficiente de

correlación para los datos del ejercicio anterior.

26

x y St Sr

1 0.5 8.5765 0.1687 2 2.5 0.8622 0.5625 3 2.0 2.0408 0.3473 4 4.0 0.3265 0.3265 5 3.5 0.0051 0.5896 6 6.0 6.6122 0.7972 7 5.5 4.2908 0.1993

28 24 22.714

3 2.9911

9457

.

1

1

7

7143

.

22

y

S

7735

.

0

2

7

9911

.

2

/

x y

S

868

.

0

7143

.

22

9911

.

2

7143

.

22

2

(27)

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Referencias

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