Clase : Interpolación
INTERPOLACIÓN PURA
Un método directo para calcular los coeficientes de un polinomio convencional se basa en el hecho de que se necesitan n+1 puntos para determinar n+1 coeficientes. Así se utiliza un sistema de ecuaciones lineales simultaneas para calcular los coeficientes del polinomio.
EJEMPLO: Se desea calcular los coeficientes de una parábola f(x) = a0 + a1x + a2x2
Se necesitan entonces tres puntos:
(x0, f(x0)) (x1, f(x1)) (x2, f(x2))
EJEMPLO: DETERMINE LOS COEFICIENTES DE LA PARÁBOLA
QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS DE LA TABLA
i x F(x)
0 3 8
1 4 2
2 5 1
INCONVENIENTE DEL MÉTODO: Son sistemas mal condicionados. Los coeficientes pueden ser inexactos, sobre todo para polinomios de orden superior
1- Planteo el sistema de ecuaciones
a0+3a1+9a2=8 (1)
a0+4a1+16a2=2 (2) a0+5a1+25a2=1 (3)
En (3) a0=1-5a1-25a2 (4)
En (2) substituyo (4)1-5a1-25a2+4a1+16a2=2 -a1-9a2=1
a1=-9a2-1 (5) En (1) substituyo (4) y (5)a2=2,5
Substituyo a2 en (5) a1=-23,5
Con a1 y a2
obtengo en(4) el valor de aa 0
Interpolación Polinomial de
Newton en Diferencias Divididas
4
x a a x a x anxn
f 0 1 2 2 ...
Dado n+1 puntos existe solo un polinomio de grado n que pasa por todos los puntos
Interpolación Lineal
5
EJEMPLO 1: Estime el log(10) para x0=8 y x1=12
V real =1
f(x0)=0,90309 0
f(x1)=1,07918
12 ε=0,89%
6
EJEMPLO : Dado los datos de la tabla, Calcule f(2,8)
x 1,6 2 2,5 3,2 4 4,5
Interpolación cuadrática
Para reducir el error que se comete al utilizar
la interpolación lineal una estrategia es
adicionarle a la función cierta curvatura
Si se tienen tres puntos es posible entonces
usar un polinomio de interpolación que tiene
la forma:
7
8
f2(x)=b0+b1x-b1x0+b2(x2-xx
1-x0x+x0x1)
ó lo que es lo mismo
f2(x)=b0+b1x-b1x0+b2x2-b
2xx1-b2x0x+b2x0x1)
Donde:
a0=b0-b1x0+b2x0x1 a1=b1-b2x1-b2x0 a2=b2
Para obtener los coeficientes b0, b1 y b2 se iguala x=x0, x=x1 y x=x2
1- Obtención de b0 haciendo x=x0
f2(x0)=b0+b1x0-b1x0+b2x02-b
2x0x1
-b2x0x0+b2x0x1)
f2(x0)=b0
2- Obtención de b1 haciendo x=x1
f2(x1)=b0+b1x1-b1x0+b2x12-b
2x1x1
-b2x0x1+b2x0x1)
f2(x1)=b0+b1x1 -b1x0
b1=(f2(x1)-f2(x0))/(x1-x0)
9
2- Obtención de b2 haciendo x=x2
f2(x2)=b0+b1x2-b1x0+b2x22-b
2x2x1-b2x0x2+b2x0x1)
Substituyendo bo y b1 se obtiene:
EJEMPLO: Estime ln2 utilizando tres puntos xo=1, x1=4, x2=6 f(x0)=0 f(x1)=1,38629 4 f(x2)=1,79175 9
f2(x0)=b0= 0
b1=(f2(x1)-f2(x0))/(x1-x0 )=(1,386294-0)/(4-1)=0,4620981
f2(x)
Generalizando
11
Ejemplo: Estimar el ln(2) considerando ahora x0=1, x1=4, x2=6, x3=5
f(x0)=0; f(x1)=1,386294; f(x2)=1,791759; f(x3)=1,609438
1- Plantear el polinomio de tercer grado
f3(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
12
3- Determinar las segundas diferencias divididas
4- Determinar la tercera diferencia dividida
5- Substituyo b0, b1, b2 y b3 y x=2 para obtener f3(2)
f3(2)=0+0,462098(2-1)-0,0518731(2-1)(2-4)+7,86.10-3
13
ERRORES EN EL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON
Error de truncamiento en la serie de Taylor:
Error en el polinomio interpolador de Newton:
14
EJEMPLO: ESTIMAR EL ERROR EN EL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON DE SEGUNDO GRADO PARA EL EJERCICIO DE ln(2)
xo=1, x1=4, x2=6 f(x0)=0f(x1)=1,38629 4
f(x2)=1,79175 9
f2(x) =0+0,4620981(2-1)-0,0518731(2-1)(2-4)=0,565844
Usamos el punto x3=5, como el punto n+1 para determinar el error de truncamiento.
R2=f(x3,x2,x1,x0)(x-x0)(x-x1)(x-x2)
EJERCICIO
Dado los datos, calcule f(4) con el uso de
polinomios de interpolación de Newton de
ordenes 1 a 4.
15
x 1 2 3 5 7 8
Polinomio Interpolador de
Lagrange
Es una reformulación del polinomio de
Newton que evita el calculo de las diferencias
divididas
SABEMOS QUE LA 1ra DIFERENCIA DIVIDIDA ES:
ó lo que es lo mismo:
Por conveniencia puedo expresarlo como:
Si se sabe entonces que:
Es posible substituir en el Polinomio de Interpolación de Newton
AGRUPANDO TÉRMINOS:
POLINOMIO DE
POLINOMIO DE
INTERPOLACIÓN DE
INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE DE 1er
LAGRANGE DE 1er
orden
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 2do
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 2do
orden (Cuadrático)
orden (Cuadrático)
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 3er
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE DE 3er
orden
orden
+
EJEMPLO: Con un polinomio de Lagrange de 1er y 2do orden evalúe
ln 2
DATOS
Ln 1 = 0
Ln 4 = 1,386294 Ln 6 = 1,791760
X0 = 1 f(x0) = 0
X1 = 4 f(x1)= 1,386294 X2 = 6 f(x2) = 1,791760
Aplicando el polinomio de Lagrange de primer grado:
EJERCICIO: Añadir ln5 = 1,609438 y aplicar el polinomio de
interpolación de Lagrange de tercer grado
OBSERVE QUE: TAL Y COMO ERA ESPERADO LOS
RESULTADOS OBTENIDOS SON SIMILARES A LOS
RESULTADOS OBTENIDOS CON EL POLINOMIO DE
INTERPOLACIÓN DE NEWTON
CÁLCULO DEL RESIDUO:
Entonces si tenemos un punto adicional en x=xn+1 se puede obtener un error estimado.
REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS
La expresión matemática de una recta es:
y=a0 + a1x + e e =y-a0-a1x
Criterio para un mejor ajuste:
“ Minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con un modelo lineal”
23
Este método tiene la ventaja de que es posible obtener una línea única para un conjunto de datos.
Determinación de los coeficientes a0 y a1
Haciendo las derivadas parciales obtenemos:
Para obtener Sr mínimo las derivadas se igualen a cero:
1 1 0
0
y
i
a
a
x
2 1 1 0
0
y
ix
i
a
x
i
a
x
0
0
na
a
Ejemplo
Ajuste los datos de la tabla a una línea recta
24
x 1 2 3 4 5 6 7
y 0,5 2,5 2 4 3,5 6 5,5
n=7
a1=0,8392 a0=0,07142
CUANTIFICACIÓN DEL ERROR
RECUERDE QUE:
ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADO:
DESVIACIÓN ESTÁNDAR ORIGINAL
Ejemplo
Calcule la desviación estándar total, el error
estándar del estimado y el coeficiente de
correlación para los datos del ejercicio anterior.
26
x y St Sr
1 0.5 8.5765 0.1687 2 2.5 0.8622 0.5625 3 2.0 2.0408 0.3473 4 4.0 0.3265 0.3265 5 3.5 0.0051 0.5896 6 6.0 6.6122 0.7972 7 5.5 4.2908 0.1993
28 24 22.714
3 2.9911
9457
.
1
1
7
7143
.
22
yS
7735
.
0
2
7
9911
.
2
/
x yS
868
.
0
7143
.
22
9911
.
2
7143
.
22
2