TQBF resuelto en tiempo polinomial

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TQBF resuelto en tiempo polinomial

Juan Manuel Dato Ruiz

Graduated in development of computers

[email protected]

Enero 2019

1 Introducci´

on

Este documento es una simplificación de un documento mucho más largo donde se desvinculan las conclusiones del teorema de Cook a una filosof´ıa matemática que no aplicaremos para este documento y, por tanto, no trabajaremos bajo la complejidad N P − co. A lo largo de este documento se va a explicar cómo se puede demostrar en tiempo polinomial si una expresión booleana cuantificada es un teorema.

Para trabajar con la idea de dependencia nos centraremos en los siguientes casos reconocidos por la ortodoxia en cuantificadores para la l´ogica:

1. ∀x∀y : P (x, y)

2. ∀x∃y : P (x, y)

3. ∃x∀y : P (x, y)

4. ∃x∃y : P (x, y)

De las cuatro combinaciones sólo la segunda hace que y dependa de x. As´ı que usaremos una notación en este documento: cuando queramos que en el caso 2 el parámetro y no dependa de la variable x deberemos incorporar una expresión adicional: ∀x∃y : P (x, y) ∧ I(y, x)

Es decir:

Definición 1 I(K, x) es una fórmula booleana: B × B 7→ B, y α es cualquier fórmula que depende de K y x:

∀x, ∃K : I(K, x) ∧ α ⇐⇒ ∃K, ∀x : I(K, x) ∧ α (1) Hay que denotar que K siempre ser´a una variable existencial, mientras que x ser´a universal o un nuevo concepto que introducimos en este documento: una variable temporal.

El trabajo con variables temporales, la idea de independencia de variables trabajado de esta manera, la aportaci´on de una estructura con un operador

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lógico nuevo que permite resolver cualquier fórmula de la lógica en tiempo poli-nomial (corroborado en Python) y la no aceptación del teorema de Cook para propósitos constructivistas es lo que caracterizan las ventajas de este documento frente al resto.

Para ello se va a explicar los distintos pasos mediante un ejemplo manual:

∀p, ∃K, ∀q, ∃R : (p → q ∨ R) ∧ p → q ∨ K ∀p, ∀q, ∃K, ∃R : I(K, q)

1. (p → q ∨ R) ∧ p → q ∨ K

∀p, ∀q, ∃τ1, ∃τ2, ∃K, ∃R : I(K, q) ∧ I(τ2, q) ∧ I(K, τ1)

2. τ1= (p → q ∨ R)

τ2= (p → q ∨ R)

(τ1∨ τ2) ∧ p → q ∨ K

τ1∧ p → q ∨ R 3. 1 → τ1∨ p q → τ1 R → τ1 τ1∧ p → q ∨ K τ2∧ p → q ∨ R 1 → τ2∨ p q → τ2 R → τ2 τ2∧ p → q ∨ K

(τ1= 0) ∨ (τ1= ¬p) ∨ (τ1=q) ∨ (R = 1) ∨ (R = p) ∨ (R = ¬q) ∨ (R = τ1) 4. (τ1= 1) ∨ (τ1= ¬p) (τ1= 1) ∨ (τ1= q) (R = 0) ∨ (R = τ1) ∨ (τ1= 0) (τ1= 0) ∨ (τ1= ¬p) ∨ (τ1= q) ∨ (K = 1) ∨ (K=p) (τ2= 0) ∨ (τ2= ¬p) ∨ (R = 1) ∨ (R = p) ∨ (R = ¬q) ∨ (R = τ2) (τ2= 1) ∨ (τ2= ¬p) (τ2 = 1) (R = 0) ∨ (R = τ2) ∨ (τ2= 0) (τ2= 0) ∨ (τ2= ¬p) ∨ (K = 1) ∨ (K=p) ∨ (K = τ2)

5. (τ1= q) ∧ (τ1= ¬p) ∧ (R = τ1) ∧ (K = p) ∧ (τ2= 1) ∧ (R = τ2)

∀p, ∀q, ∃K, ∃R : I(K, q) ∧ R = q ∨ ¬p ∧ K = p ∀p, ∃K, ∀q, ∃R : R = q ∨ ¬p ∧ K = p

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1. Se reordena la fórmula dejando los cuantificadores universales antes que los existenciales, seguidos de la fórmula añadiendo cláusulas de independencia I(Ki, xj).

2. Se crean unas variables temporales para eliminar las anidaciones. Como la variable temporal depende de las variables que aparecen en su expresi´on, y K no puede depender de q entonces reconocemos que K no puede depender de τ1y que un clon de tal variable temporal τ2 no depende de q, para que

no haya conflicto con K.

3. Para cada asignación de una variable temporal en una fórmula equivale a expresarlo en cláusulas de Horn, lo cual evita literales en negativo sin perder potencia en la expresividad de la fórmula original.

4. En este paso se aplica un teorema de esta documentación para ver cómo se convierte en sumas de cuatro cláusulas que se multiplican (formato SAT).

5. Se satisface la fórmula anterior mediante otra técnica que se incorpora exclusivamente en esta documentación para que se haga en tiempo poli-nomial (O(n3) tiempo y O(n2) espacio).

Una vez satisfecha la fórmula sólo hay que presentar los resultados, para lo cual también se presentará algún lema que permita eliminar la variable tempo-ral y as´ı hacer que los existenciales dependan de las variables de las que sean dependientes.

Por tanto, lo que aqu´ı vemos es un método que nos permite determinar una condición necesaria para que una fórmula QBF se justifique en una tau-tolog´ıa, proceso de resolución que elaboraremos con la misma complejidad que el mecanismo que usemos para resolver SAT (que es necesario en el paso 4).

Si, por otro lado, nuestro interés es saber si la expresión que tenemos es una tautolog´ıa (porque no tiene existenciales), sólo hay que hacer una simple conversión:

∀x1, . . . , xn: f (x1, . . . , xn) ⇐⇒

¬ ∃x1, . . . , xn: ¬f (x1, . . . , xn) ⇐⇒

¬SAT [¬f (x1, . . . , xn)]

Lo cual se reduce a formatear cualquier f´ormula del ´algebra de boole a un formato que podamos satisfacer: T QBF es equipolinomial a SAT .

1.1 Proceso de inserci´

on de variables temporales

Para llevar a cabo este proceso es necesario incorporar unas variables tempo-rales τi que nos permitan eliminar expresiones que se encierran entre par´entesis.

Para ello, considerando que trabajamos dentro del ´algebra de Bool la igualdad equivale al coimplicador y, de ah´ı, que nos interese convertirlo a un producto de dos implicadores.

Más en concreto, partimos de una fórmula bien formada del álgebra de boole y cuantificada con universales ∀ y existenciales ∃ a lo largo de la fórmula. El

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objetivo consiste en convertir la fórmula a la forma prenex donde todos los cuantificadores se ponen al principio de la fórmula y, acto seguido, hacer que la fórmula sea un producto de cláusulas de literales: V

iCi =Vi

W

jLai,j. Donde

cada literal ser´a una variable booleana afirmada o negada.

Una vez generadas las cl´ausulas trabajaremos sin las negaciones, para ello usaremos las siguiente regla cuando todos los literales est´en afirmados:

B1∨ · · · ∨ Bn ⇐⇒ 1 → B1∨ · · · ∨ Bn

La siguiente cuando todos los literales est´en negados:

¬A1∨ · · · ∨ ¬Am ⇐⇒ A1∧ · · · ∧ Am→ 0

Y, finalmente, en general: si tenemos en esa cl´ausula literales afirmados y ne-gados: _ i ¬Ai∨ _ j Bj ⇐⇒ ^ i Ai → _ j Bj

Finalmente, el mecanismo que incorporar´a las variables temporales τk dentro

del formatoV

iAi→

W

jBj, ser´a haciendo uso del siguiente secuente:

τk = V iAi→ W jBj τk∧ViAi→WjBj V i: (1 → Ai∨ τk) V j: (Bj→ τk)

Además, para cada variable existencial R que incorpore en la fórmula en algún n: I(R, An) ∨ I(R, Bn) ocurrirá que la variable temporal se desdoblará de manera

que distinguiremos una k0que cumplir´a τk0 =

V

iAi→WjBj

y ésta sustituirá en f por la expresión τk∨ τk0 de manera que diremos que la variable es

inde-pendiente de τk (pues esta variable temporal puede depender de una variable

de la que R es independiente) y τk0 ser´a independiente de la variable conflictiva

X, ya sea An o Bn, por tanto: I(R, τk) ∧ I(τk0, X). El n´umero de clones de la

variable temporal será igual al número de parámetros An o Bnconflictivos. Por

lo que esta operaci´on no sucumbe a una explosi´on combinatoria.

1.2 Proceso de eliminaci´

on de las variables temporales

Al terminar el proceso de resolución, si existe un conjunto de asignaciones posi-bles entonces ya sabemos que la expresión es un teorema. Para obtener una expresión que lo convierta en tautolog´ıa, el proceso se hace ligeramente más complejo. Al obtener un conjunto de asignaciones de variables existenciales en variables universales, nos interesa que cada variable existencial tenga una ex-presión única, de manera que las variables temporales puedan ser referenciadas por las variables existenciales de la fórmula original.

La idea consiste en que no hace falta usar todas las asignaciones, sino s´olo alguna de ellas, sabiendo que ´estas se pueden combinar gracias al siguiente lema:

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Lema 2

(A = x) ∧ (A = y) −→ (A = x ∨ y)

B´asicamente, lo que conseguimos con ese lema es poder transformar una ex-presi´on de la foma f ∧V

i(A = xi) = 1 en otra de la forma f ∧ (A =Wixi) = 1.

Ahora bien, si tenemos una expresión resultante de la forma (A = x) ∧ (A = y) también es factible usar el teorema de simplificación mediante el cual decirmos (A = x) ∧ (A = y) −→ (A = x). Esto es debido a que la garantización del implicado, cuando se trata de una tautolog´ıa implica que el implicante tenga la misma potencia.

1.3 Proceso de asignaci´

on

El objeto de este proceso consiste en convertir una implicaci´on de variables universales, existenciales y temporales en una suma booleana de asignaciones de variables existenciales y temporales en variables universales y temporales. Pero que, en definitiva, consiste en aplicar este teorema:

Lema 3 ∀xi, ∀yi, ∃Ai, ∃Bi: V iAi∧Vixi→WiBi∨Wiyi ⇐⇒ W i(Ai= 0) ∨Wi,j(Ai = ¬xj) ∨Wi,j(Ai= yj)∨ ∨W

i(Bi= 1) ∨Wi,j(Bi= xj) ∨Wi,j(Bi= ¬yj)

• ∀j : I(Ai, xj) :No se incorpora: Ai= ¬xj

• ∀j : I(Ai, yj): No se incorpora: Ai = yj

• ∀j : I(Bi, xj): No se incorpora: Bi= xj

• ∀j : I(Bi, yj): No se incorpora: Bi= ¬yj

Si analizamos sus partes, nos daremos cuenta de que usamos un nombre de variable en sustitución de que si la variable está afirmada o negada, as´ı si está cuantificada o es existencial. Si se han incorporado expresiones de la forma I(K, z), entonces observamos cómo anulan la asignación generada en la expresión anterior. Esto se hace para que en la unificación la variable z no se pueda incorporar en la expresión del existencial K.

Entendiendo este formato, para incorporar las variables temporales, entonces el teorema pasa a convertirse a esta forma, que es la m´as general:

∀xi, ∀yi, ∃τi∃τi∗∃Ai, ∃Bi:

V

iAi∧VixiViτi→WiBi∨Wiyi∨Wiτi∗ ⇐⇒

W

i(Ai= 0) ∨Wi,j(Ai= ¬xj) ∨Wi,j(Ai= yj) ∨Wi,j(Ai= ¬τj) ∨Wi,j(Ai= τj∗)∨

∨W

i(Bi= 1) ∨Wi,j(Bi= xj) ∨Wi,j(Bi = ¬yj) ∨Wi,j(Bi= τj) ∨Wi,j(Bi= ¬τj∗)∨

W

i(τi= 0) ∨Wi,j(τi= ¬xj) ∨Wi,j(τi= yj)∨

∨W

i(τi∗= 1) ∨

W

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• ∀j : I(Ai, yj): No se incorpora: Ai = yj

• ∀j : I(Bi, xj): No se incorpora: Bi= xj

• ∀j : I(Bi, yj): No se incorpora: Bi= ¬yj

• ∀j : I(Ai, τj) :No se incorpora: Ai= ¬τj

• ∀j : I(Ai, τj∗): No se incorpora: Ai= τj∗

• ∀j : I(Bi, τj): No se incorpora: Bi= τj

• ∀j : I(Bi, τj∗): No se incorpora: Bi= ¬τj∗

• ∀j : I(τi, xj) :No se incorpora: τi= ¬xj

• ∀j : I(τi, yj): No se incorpora: τi= yj

• ∀j : I(τ∗

i, xj): No se incorpora: τi∗= xj

• ∀j : I(τ∗

i, yj): No se incorpora: τi∗= ¬yj

N´otese que s´olo se incorporan dos tipos de variables temporales: los que se incorporan en el implicante τiy los que se incorporan en el implicado τi∗, por lo

que sólo hay que aplicar el mismo formato de antes. As´ımismo, observamos que lo que se hace es considerar las variables temporales como si fueran universales de cara a las existenciales, y existenciales de cara a las universales (si aplicáramos la fórmula anterior).

2 Demostraci´

on constructiva de que SAT ∈ P

Una manera que tenemos de corroborar la existencia de la estructura consiste en comprobar que s´ı existe un código escrito en Python basado en operar sobre una cantidad cuadrática de matrices con respecto al número de cláusulas (sa-biendo que las dimensiones de las matrices lo establece el número de literales en cada cláusula) a través dos bucles anidados. Eso quiere decir que tanto la O grande como la o pequeña coincidirán, pues se trata de operaciones recursivas primitivas. Tanto este código como el que satisface fórmulas cuantificadas están compartidos en Internet.

Más allá de la existencia de un código que nos justifica teoremas escrito en Python, o que nos da soluciones a cualquier expresión booleana, en esta sección procederemos a mostrar los mecanismos que se usan para sostener que cualquier fórmula booleana puede expresarse dentro del formato que se exige para su resolución matricial.

Empezaremos definiendo qué es una fórmula booleana: consiste en una fórmula algebraica negada o no y formada por productos de fórmulas booleanas o por variables que pueden tomar el valor de 0 o 1. Con el fin de mejorar la ex-presividad lógica, diremos que estas variables son llamadas variables booleanas,

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expresaremos la existencia de la suma lógica con el operador or (∨) , que de-vuelve 1 cuando alguno de sus operandos es 1, y 0 en caso contrario. Mientras que el producto lógico será expresado con el operador and (∧), que coincide con el producto aritmético. Por otro lado la negación se calculará con el operador not (¬), que devuelve el valor análogo. También se aprovecha la definición de literal: que es ya sea una variablea booleana o su negada. Una fórmula bien formada estará formada por el producto o suma de dos fórmulas bien formadas. Una fórmula bien formada puede ser la negación de otra fórmula bien formada o bien una variable booleana. Esta aritmética se sabe que es tan potente como la lógica simbólica, donde los conectores implicación, co-implicación y xor pueden ser expresados en términos de aritmética booleana fácilmente.

Para conseguir el objeto de determinar qué valores deben tomar las vari-ables para que la fórmula resultante se satisfaga (devuelva 1), o si no es posible encontrar tal asignación, se debe presentar un nuevo operador que simplifique toda la gestión.

Para ello definimos un nuevo operador lógico, al que llamaremos alternan-cia. Pero para ello haremos uso de la suma aritmética + y de la definición de sumatorioP, que a partir de dos naturales devolverán un natural, diferente a la operación or.

Definición 4 Alternancia es una función lógica Bn_{7→ B donde}

(A0| · · · |An) ⇐⇒ n

X

i=0

Ai= 1 (2)

Es decir, podemos coger como ejemplos (1|0) = 1, (0|0|1|0) = 1, (1|0|1|0) = 0 De ah´ı es f´acil de comprender y demostrar los siguientes lemas por prueba de casos:

Lema 5 Dado A F´ormula Booleana, ∀A (¬A|A) = 1

Lema 6 Dados A, B, Z1, Z2 F´ormulas Booleanas, ∀A, B ∃Z1, Z2

(¬A|Z1|A ∧ B) ∧ (¬B|Z2|A ∧ B) ∧ (Z1|Z2|A = B) = 1

Los anteriores lemas nos sirven para poder convertir cualquier fórmula bien for-mada en un producto de alternancias de hasta tres variables. Es decir que medi-ante productos de la forma (A|B|C) ya podemos representar cualquier fórmula bien formada, sabiendo que (A|B|0) = (A|B). De ah´ı ya definimos una fórmula como un producto de cláusulas de este tipo:

Definición 7 Una conjunción de cláusulas de alternancias AI _{de una F´}_ormula

Booleana f es una correspondencia Bn_{7→ B que es verdad si todas las cl´}_ausulas

AI _{son verdad. Adem´}_{as distinguimos la A}I

k como la variable booleana k-´esima

dentro de la alternancia I. f =^ I AI = (A0₀| · · · |A0 n) ∧ · · · ∧ (A M 0 | · · · |A M t ) (3)

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Es decir, la notación escogida establece el siguiente principio: si tenemos que AI_i = 1, significará que estamos atribuyendo que es verdad la variable booleana que se ubica en la posición i-ésima alternando dentro de la cláusula que se ubica en la posición I-ésima multiplicando dentro de la fórmula y, además, ello implicará que el resto de las variables boolenas dentro de la cláusula I serán falsas (∀k 6= i : AI

k = 0).

Sin embargo, necesitamos un operador de asignaci´on, es inc´omodo ir definiendo una trinca de la manera AI

i = 1 y, considerando el bucle que resolver´a el

algo-ritmo, se define el operador σ de la siguiente manera:

Definición 8 Dada una conjunción de cláusulas de alternancias AI _{de una}

F´ormula Booleana f , la asignaci´on σℵ I J_{i j} devuelve 1 si f se satisface al

asig-narle 1 a la i-ésima variable de la cláusula I y a la j-ésima variables de la cláusula J en f . σℵ I J i j = f ∧ AI_i ∧ AJj (4)

Nótese cuando se expresa σ I J_{i j} lo que hacemos es seleccionar una solución para eliminar dos cláusulas de la fórmula. As´ı que cuando esto es coherente el sub´ındice ℵ se hace irrelevante, esto es debido a que más adelante usaremos este ´ındice como variante del bucle. Sin ir más lejos, al par I, J le daremos como tratamiento de una matriz y, si tomamos en cuenta una valoración en un tiempo t resultará, por las definiciones anteriores que:

F´ormula Booleana f , si para alg´un t: ∃I, J con AI _{y A}J _cl´_{ausulas de f de}

manera que ∀i, j : σt I J_{i j} = 0 entonces f no se satisface en t.

Mediante un algoritmo adecuado, el hecho de que la fórmula no pueda satisfac-erse en la iteración t implicará que la fórmula es inconsistente.

Con el fin de entender mejor la definición de asignación, podemos extender un poco la notación a más cláusulas:

Fórmula Booleana f en algún t, ∀K1, · · · , Kn donde AKi son n cláusulas de f

σt K1 · · · Kn k1 · · · kn ⇐⇒ f ∧^ i AKi ki

Esto significa que si t alcanza ℵ y las cláusulas son todas las de f entonces tendremos representados en los kiuna solución cercana a la asignación necesaria

para satisfacer f . Si en algún t resultara que la asignación se hace 0 entonces para t mayores seguirá valiendo 0.

Ahora veamos cómo se combinan dos matrices para formar una asignación de más cláusulas:

Lema 11 Dada una conjunci´on de cl´ausulas de alternancias AI _{de una F´}_ormula

Booleana f en alg´un t, ∀I, J, K donde I > J > K con AI_{, A}J _{y A}K _cl´_ausulas

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∀i, j, k : σt I J K i j k ⇐⇒ σt I J i j ∧ σt I K i k

Gracias a este principio podremos asegurar que las matrices son suficientes para representar soluciones que incorporen más cláusulas y, por tanto, cuando tengamos la siguiente afirmación: σ I J K_{i j k} = 1, se deduce necesariamente que σ I J_{i j} ∧ σ I K

i k ∧ σ J K

j k

= 1. Mientras que si, por otro lado, se diera que σ I J K_{i j k} = 0, es porque alguna de las tres asignaciones debe ser 0. Now then:

Lema 12 Dada una conjunción de cláusulas de alternancias AI de una Fórmula Booleana f en algún t, ∀I, J, K donde I > J > K con AI_{, A}J _{y A}K _cl´_ausulas

de f satisfacible por una ´unica soluci´on, se cumple la siguiente propiedad tran-sitiva: ∀i, j, k : σt I J i j ∧ σt I K i k =⇒ σt J K j k

Este enunciado hace f´acil mantener el siguiente corolario:

Lema 13 Dada una conjunci´on de cl´ausulas de alternancias AI _{de una F´}_ormula

Booleana f en alg´un t, ∀I, J, K donde I > J > K con AI_{, A}J _{y A}K _cl´_ausulas

de f satisfacible por una ´unica soluci´on:

∀i, j, k : σt I J i j + σt I K i k + σt J K j k 6= 2

Esta afirmación es fundamental porque si comprobamos que la suma de esas tres asignaciones es 2 entonces eso debe ser o porque es inconsistente (sabiendo que el bucle se encarga de asegurarnos de que no lo es hasta el paso t) o tiene más de una solución, la cual en este nudo es donde quedar´ıan enmarañadas para determinar siquiera si en un paso t0> t la fórmula podr´ıa ser no satisfacible. Lema 14 Dada una conjunción de cláusulas de alternancias AI _{de una F´}_ormula

Booleana f en alg´un t, ∀I, J, K donde I > J > K con AI, AJ y AK cl´ausulas de f ∀i, j : σt I J i j =_ k σt I K i k ∧ σt J K j k

Proof. Dado que σ I J_{i j} = f ∧ AI

i∧ AJj, para cada cl´ausula K de la f´ormula f ,

el considerar σ I J_{i j} como parte de las soluciones de f implica que debe haber alg´un literal k para el que se cumpla σ I J K_{i j k} = 1, lo cual encaja con lo que dice el lema. Por otro lado, si σ I J_{i j} = 0, entonces σ I J K

i j k = 0, para cualquier

k, por lo que tambi´en se confirma el lema.

A partir de este lema deducimos el siguiente corolario:

Lema 15 Dados t0 y t con t0 > t ´ındices de σ, que son asignaciones de una conjunci´on de alternancias f , donde ∀I, J, i, j

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σt0 I J i j = σt I J i j ∧^ K _ k σt I K i k ∧ σt J K j k (5)

Esto significa que si se asegurara que σta´un es satisfacible, entonces σt0tambi´en

lo debe ser. Sin ir más lejos, éste será nuestro invariante de bucle; as´ı que sólo hay que diseñar en nuestro algoritmo el estado inicial de cada una de las matrices; este estado consistirá en evaluar si encarando dos cláusulas hay en ellas dos menciones a la misma variable; para as´ı poner como sub´ındice t = 2 para decir que la fórmula sigue siendo consistente hasta evaluar 2 cláusulas. Por tanto:

σ2 I J i j = ¬∃k : AI_k= AI_i ∧ i 6= k ∨ AJ k = A J j ∧ j 6= k (6) σt+1 I J i j = σt I J i j ∧^ K _ k σt I K i k ∧ σt J K j k (7)

Definición 16 Se define el siguiente algoritmo para las AI cláusulas de la fórmula: ( σ2 I J_{i j} = ¬∃k : AIk = A I i |i6=k∨AJk = A J j |j6=k σt+1 I J_{i j} = σt I J_{i j} ∧ VK W kσt I K_{i k} ∧ σt J K_{j k} (8)

Lema 17 Dado un σtdefinido por el algoritmo anterior para el periodo t y dado

σℵ soluciones de f , que es conjunci´on de n alternancias, entonces σn= σℵ

Proof. a) Si la fórmula f tuviera dos cláusulas la demostración ser´ıa trivial. b) Si la fórmula no se satisfaciera, entonces habrá algún I, K donde en algún momento t de la iteración: W

kσt I K

i k = 0, por lo que para cualquier n ≥ t

seguir´a manteni´endose la asignacion, de ah´ı σt= σ.

c) Si la fórmula se satisface, para cada iteración t vemos que en algún I, J, K se calcula: R = σt I J_{i j} + σt I K_{i k} + σt J K_{j k}.

c1) Si R < 2, entonces i, j, k no puede ser soluci´on.

c2) Si R = 3, entonces i, j, k es parte de la soluci´on si se trata de una soluci´on ´

unica en toda la f´ormula.

c3) Si R = 2, entonces el n´umero de soluciones ni es 0 si es 1, y tenemos datos enmara˜nados. Esto significa que debemos cancelar una de las asignaciones σt I K_{i k} o σt J K_{j k} haciendo que pase de valer 1 a valer 0, as´ı eliminamos una

solución de f para hacer que el resultado colapse iterativamente hacia una única solución. Por lo que si el algoritmo se recalcula para el momento t con esta cancelación entonces al menos en este punto no se dará el caso R = 2.

(d) No hay otros casos posibles.

Además, es fácil de deducir que el algoritmo trabaja bajo una complejidad cuatrática en el tiempo, siendo n el número de cláusulas de f , por lo que con un sistema que es cuadrático en el espacio sólo es necesario un tiempo cúbico para deducir la satisfacción de f , mientras que un tiempo O(n4_{) cuando queremos}

colapsar todas las soluciones a un caso particular. De ah´ı se deduce que SAT ∈ P .

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3 Anexos

Se puede encontrar código testeable en Python que encuentra soluciones a cualquier fórmula bien formada mediante el operador de alternancias en la di-rección:

https://archive.org/details/alternancias,

as´ımismo se encuentra todo compilado con aplicaciones para evaluar expre-siones QBF en la direcci´on:

https://archive.org/details/TQBFInP 201802.

• Lema 12

Proof. Dada la soluci´on S = σ K1··· Kn

k1··· kn then ∀I, J, K, i, j, k tenemos las

sigu-ientes posibilidades:

a) Si el par (I, i) no corresponde con S entonces el lema se satisface porque 0 → 1.

b) Si el par (J, j) o el par (K, k) no corresponde con S entonces se satisface porque 0 → 0.

c) Si corresponden con S tanto (I, i) = (Kx, kx), as´ı como (J, j) = (Ky, ky)

y (K, k) = (Kz, kz) entonces tambi´en se cumple porque 1 → 1.

d) No hay m´as posibilidades. • Lema 2 Proof (A = x) ∧( A = y) → ( A = x ∨ y) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • Lema 3 ∀xi, ∀yi, ∃Ai, ∃Bi: V iAi∧Vixi→WiBi∨Wiyi ⇐⇒ W i(Ai= 0) ∨Wi,j(Ai = ¬xj) ∨Wi,j(Ai= yj)∨ ∨W

i(Bi= 1) ∨Wi,j(Bi= xj) ∨Wi,j(Bi= ¬yj)

Proof           

∃i : Ai= 0 → (T rue ⇐⇒ T rue)

∀i : Ai= 1 ∧ ∃i : Bi= 1 → (T rue ⇐⇒ T rue)

∀i : Ai= 1 ∧ ∀i : Bi= 0 ∧ ∃j : xj= 0 → (T rue ⇐⇒ T rue)

∀i : Ai= 1 ∧ ∀i : Bi= 0 ∧ ∀j : xj= 1 ∧ ∃j : yj= 1 → (T rue ⇐⇒ T rue)