Apunte UChile Introducción al Cálculo

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FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEM ´ATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE

Introducci´on al C´alculo 11-1

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H

SEMANA 1: N ´UMEROS REALES

1. N´

umeros Reales

1.1. Introducci´

on

El conjunto de los números reales, denotado porR, es un conjunto cuyos elementos se llaman números reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adición y multiplicación o producto.

EnR existen numerosas propiedades que han sido usadas durante los años de en-señanza básica y media. Estas propiedades pueden agruparse en tres familias: el primer grupo corresponde a aquellas asociadas a la igualdad y las ecuaciones; el segundo grupo corresponde a las propiedades en torno a la desigualdad y las ine-cuaciones; finalmente, existe un conjunto de propiedades avanzadas que marca la diferencia entre los números reales y los racionales (las fracciones), estas propieda-des se preocupan de la estructura interna de los números reales.

Estas últimas propiedades están ligadas al llamado axioma del supremo, el cual hace a Rúnico.

Una posibilidad de estudiar las propiedades deRser´ıa dar un largo listado de “to-das ellas” de modo que cuando se nos pregunte si una propiedad dada es cierta o no, bastar´ıa con decir: “s´ı, corresponde a la propiedad 1743” (por ejemplo). Esto transformar´ıa al curso de matem´aticas en uno donde s´olo habr´ıa que memorizar infinitas propiedades.

En este curso, escogeremos una visión opuesta a la anterior. Es decir, todas las propiedades deben ser una consecuencia de ciertos postulados básicos elementales. Estos postulados básicos elementales se llaman axiomas y serán los pilares funda-mentales de nuestra teor´ıa. Las propiedades deRserán sólo aquellas que pueden ser deducidas, mediante una razonamiento lógico-matemático, a partir de los AXIO-MAS.

Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la igualdad), los axiomas de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supre-mo (que marca la diferencia entre los reales y los racionales).

Juntando todos los axiomas que satisfaceR, suele decirse, en pocas palabras queR es un Cuerpo Ordenado Completo y Arquimediano.

1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales

Los axiomas de Rsobre la igualdad tambi´en son llamados axiomas de cuerpo de los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los siguientes:

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a) Cualesquiera que sean los realesx, y dados, su suma es un real y es inde-pendiente del orden en que se usen los dos sumandos, es decir:

(_∀x, y_∈R) x+y = y+x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es independiente del orden en que se haga el producto, es decir:

(∀x, y ∈R) x·y = y·x.

Axioma 2. (Asociatividad)

a) (_∀x, y, z_∈R)x+ (y+z) = (x+y) +z

b) (∀x, y, z∈R)x·(y·z) = (x·y)·z

Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE quex+(y+z) = (x+z)+y. Sin embargo esta ´ultima igualdad es cierta, gracias a la combinaci´on apropiada de los dos axiomas anteriores.

En efecto:

x+ (y+z) = x+ (z+y) Por el axioma 1 = (x+z) +y Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operandos de una triple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado. Es por esta raz´on, que en general, cuando hay varios sumandos, no se usan los par´entesis, a no ser que sea estrictamente necesario.

Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y 2.

1. (a+b) +c= (a+c) +b= (b+a) +c= (b+c) +a= (c+a) +b= (c+b) +a. Aqu´ı se han escrito todos los ordenamientos posibles de los realesa,byc. 2. (x+y) + (z+w) = (x+w) + (z+y) = (w+y) + (x+z).

El tercer axioma, que sigue, completa las propiedades de manipulaci´on algebraica de la suma y el producto.

Axioma 3. (Distributividad)

a) (∀x, y, z∈R)x(y+z) =xy+xz

b) (∀x, y, z∈R) (x+y)z=xz+yz

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Los axiomas 4 y 5 entregan la existencia de ciertos elementos especiales enR.Una consecuencia directa de ellos es que el conjunto de los números reales es no vac´ıo. Sin embargo, como veremos más adelante, con estos axiomas el conjunto de los números reales todav´ıa podr´ıa tener muy pocos elementos.

Axioma 4a. (Existencia de elemento neutro para la suma)

EnRexisten ciertos n´umeros denotados por la letraeque no afectan el resultado de la operaci´on suma. Es decir

(∀x∈R)x+e=x.

Todo elementoeque cumpla esta propiedad se dir´a neutro para la suma. Notemos que este axioma s´olo garantiza laexistenciade elementos neutros para la suma y no nos dice cuantos hay.

Si revisamos nuestros antiguos conocimientos de R, recordaremos que hay sólo un neutro. Esta última afirmación puede demostrarse usando los axiomas, y la llama-remos un teorema (el primero del curso).

Teorema 1.1. El elemento neutro para la suma es ´unico.

Observaci´on: Una vez demostrado el teorema, podremos ponerle un nombre es-pecial al ´unico neutro aditivo. Lo llamaremos “cero” y lo denotaremos 0.

Veamos la demostraci´on del teorema:

Demostraci´on. Usando el axioma anterior, sabemos que existen elementos neu-tros. Digamos que hemos encontrado uno y lo llamamos e1. Este real satisface la propiedad

(∀x∈R)x+e1=x. (1.1)

Pensemos que por alg´un otro camino hemos encontrado un neutro e2, pero no sabemos si es o no el mismo anterior. Este neutro satisface la propiedad

(_∀x_∈R)x+e2=x (1.2)

Para demostrar que el neutro es ´unico, debemos probar que necesariamentee1=e2, y as´ı sabremos que cada vez que encontremos un neutro, este ser´a siempre el mismo.

Usandoe2 en la igualdad (1.1) ye1 en la igualdad (1.2) obtenemos que

e2+e1 = e2

e1+e2 = e1.

Al mirar esta dos expresiones vemos que lo ´unico que falta para concluir la igualdad, es usar el axioma de la conmutatividad, que dice que el resultado de una suma es independiente del orden de los sumandos. As´ı se obtiene el resultado.

En una l´ınea, lo anterior se resume en

e1=e1+e2=e2+e1=e2.

(4)

Axioma 4b. (Existencia de elemento neutro para el producto)

En R existen ciertos n´umeros denotados por la letra e que, por un lado son diferentes de 0 y por otro no afectan en la operaci´on producto. Es decir

(_∀x_∈R)x_·e=x.

Todos los elementos e que cumplen esta propiedad se llaman neutros para el producto.

Nuevamente, este axioma s´olo nos garantiza laexistenciade elemento neutro para el producto.

En este caso nuevamente se puede probar el teorema que dice que el neutro multi-plicativo es ´unico, es decir:

Teorema 1.2. El elemento neutro para el producto es ´unico.

Observaci´on:

La demostraci´on de este teorema es an´aloga al caso de la suma y por lo tanto se propone como ejercicio.

Al ´unico neutro para el producto lo llamaremos “uno” y lo denotaremos 1.

El axioma dice adem´as que 1₆= 0.

Axioma 5. (Existencia de elementos inversos)

a) Para cada x_∈ R, existen reales asociados a x, que se llaman opuestos o inversos aditivos dex, que satisfacen:

x+ opuesto(x) = 0.

b) Para cada x_∈ Rconx₆= 0, existen inversos multiplicativos o rec´ıprocos dex, que satisfacen:

x_·rec´ıproco(x) = 1.

Teorema 1.3.

1. _∀x_∈R, el inverso aditivo es ´unico.

2. ∀x∈R, x6= 0, el inverso multiplicativo es ´unico.

Demostraci´on. Seanp1 yp2inversos aditivos del mismo real arbitrariox, luego ellos satisfacen las ecuaciones

x+p1 = 0 (1.3)

(5)

Debemos probar que p1 = p2. En efecto, usando las ecuaciones anteriores y los axiomas, tenemos que

p1 = p1+ 0, aqu´ı hemos usado el axioma del elemento neutro, = p1+ (x+p2), aqu´ı hemos usado la ecuaci´on (1.4),

= (p1+x) +p2, aqu´ı hemos usado el axioma de Asociatividad, = (x+p1) +p2, aqu´ı hemos usado el axioma de Conmutatividad,

= 0 +p2, hemos usado la ecuaci´on (1.3),

= p2+ 0, hemos usado el axioma de Conmutatividad,

= p2, hemos usado el axioma del Neutro aditivo.

Observaci´on:

La demostraci´on de la unicidad del inverso multiplicativo es an´aloga y por lo tanto se propone como ejercicio.

Los inversos aditivos y multiplicativos dexse denotan simplemente por ₋x

yx−1_{, respectivamente.}

Con los 5 axiomas enunciados anteriormente, de dice queRcon las operaciones + y_·forma un Cuerpo, que denotaremos como (R,+,_·).

1.3. Propiedades en

R

relacionadas con la igualdad

A continuación demostraremos otras propiedades de los números reales. Muchas de ellas son conocidas del colegio. Nos interesará revisarlas por un doble objetivo. Por un lado es bueno recordarlas (y/o aprenderlas), y por otro queremos ver por qué son ciertas y como se deducen ellas a partir de los 5 axiomas de cuerpo anteriores. Comencemos por la propiedad más emblemática de este cap´ıtulo, aquella que todo el mundo conoce, algunos piensan que es un axioma pero en realidad es una pro-piedad que se deduce de los axiomas.

Se trata de la tabla del cero.

Propiedad 1.

∀a_∈Rse cumplea_·0 = 0.

Notemos que la tabla del uno, que dicea·1 =a.Osea, la tabla de uno es un axioma (¿recuerda cual?). Pero la tabla del cero ES UNA PROPIEDAD.

Demostraci´on. Seaa∈Run real cualquiera. Debemos probar quea·0 = 0.

O sea debemos probar que el reala·0 es el neutro aditivo enR.

Para concluir esto, debemos probar que el reala·0 satisface la propiedad

∀x_∈R, x+a_·0 =x (1.5)

Comencemos por probar que la propiedad (1.5) es cierta para el reala(en lugar de

x), o sea que

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En efecto, notemos que

a+a·0 = a·1 +a·0 = a_·(1 + 0) = a_·1 = a.

Observaci´on: Antes de continuar, reconozca cuales fueron los axiomas usados en cada una de las 4 igualdades anteriores.

Esta primera propiedad, nos enseña a “simplificar” el términoa·0 cuando aparece sumado con a. Debemos probar que en general se puede simplificar cuando está sumado con cualquier cosa.

Vamos ahora por la propiedad (1.5) en general. La clave es hacer aparecer la suma

a+a_·0 que ya conocemos:

x+a_·0 = x+ [0 +a_·0]

= x+ [(a+ (₋a)) +a_·0] = x+ [((₋a) +a) +a_·0]

= x+ [(−a) + (a+a·0)], aqu´ı apareci´o la suma conocida = x+ [(₋a) +a]

= x+ [a+ (−a)] = x+ 0 =x

Consecuencia:Una consecuencia importante de esta primera propiedad es que NO EXISTE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DEL CERO. En efecto, si existiera debiera cumplir 0_·0−1_{= 1 y tambi´en la propiedad 0}

·0−1_{= 0,} de donde se obtendr´ıa 0 = 1,lo que contradice el axioma del neutro multiplicativo.

Si elimináramos la restricción 06= 1 de los axiomas, entonces en ese caso 0 tendr´ıa rec´ıproco, pero los reales ser´ıan un conjunto trivial reducido sólo al cero, ya que

∀a, a=a_·1 =a_·0 = 0.

1.4. Otras Propiedades en

R

Propiedad 2. EnR, las ecuaciones

a) a+x=b

b) a_·x=b (a₆= 0)

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Haremos sólo la demostración de la parte (a). Como ejercicio debe demostrar que la solución única de la parte (b) es:x=b_·a−1_.

Demostración. Veamos primero la existencia de la solución. Comenzaremos por hacer un cálculo formal, que consiste en transformar la ecuación original en una más evidente. Veamos:

a+x = b ; como a∈Rentonces existe (−a)∈R (−a) + (a+x) = (−a) +b ; asociando

[(−a) +a] +x = (−a) +b ; pero (−a) +a= 0 por definici´on de elemento inverso 0 +x = (−a) +b ; pero 0 +x=xpor definici´on de elemento neutro

x = (−a) +b.

El problema de este cálculo formal, es que hemos transformado una igualdad que no sabemos si es cierta o no. Sin embargo, nos entrega un buen candidato a solución. La verdadera demostración comienza aqu´ı, diciendo: Seaα= (₋a) +b, veamos que este real satisface la ecuación.

En efecto

a+α=a+ [(−a) +b] = [a+ (−a)] +b= 0 +b=b.

Esto concluye la demostración de la existencia de al menos una solución de la ecuación.

Ahora veamos que esta solución es única. Para ello, supongamos que hemos encon-trado los realesx1 yx2, los que son soluciones de a+x=b.La unicidad quedará demostrada, si con sólo esta hipótesis, se concluye quex1=x2.

Veamos:

a+x1=b y adem´asa+x2=b entonces, a+x1 = a+x2

entonces, (₋a) + [a+x1] = (−a) + [a+x2] entonces, [(₋a) +a] +x1 = [(−a) +a] +x2 entonces, 0 +x1 = 0 +x2

entonces, x1 = x2.

Con esto se concluye la demostraci´on de la unicidad de soluciones.

1.5. Definiciones importantes

La unicidad que nos da la Propiedad anterior motiva las siguientes definiciones:

Definici´on (Diferencia y cuociente)

Llamaremos diferencia entrea yb al real x=b+ (−a) y se denota por

x=b−a.Con esto, la propiedad anterior se resume en

a+x=bsi y s´olo six=b−a.

El resultado de la ecuaci´on (b) x =b_·a−1 _{se denomina cuociente de} _b poray se denota por la fracci´onx= b

a, o bien por el cuocientex=b:a.

Luego sia₆= 0 se tiene que:

a_·x=bsi y s´olo six= b

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Observaci´on: De la unicidad de soluciones de estas ecuaciones se deducen varias variantes ´utiles en procesos algebraicos:

1. Ley de cancelaci´on para la suma:

a+b=a+centoncesb=c.

En efecto, puede decirse que b y c son las soluciones de la misma ecuaci´on

a+x=a+c.Como la solución de esta ecuación es única, entonces b=c.

2. Ley de cancelaci´on para el producto: cuandoa₆= 0,

a_·b=a_·c entoncesb=c.

En efecto, an´alogamente al caso anterior, puede decirse que b y c son las soluciones de la misma ecuaci´ona_·x=a_·c.

3. Resoluci´on de la ecuaci´on lineal general

a·x+b= 0, dondea6= 0.

Combinando las dos partes de la proposici´on anterior, se obtiene que, primero (usando la parte de la suma)

a_·x=₋b

y por otro para el producto

x=₋b

a.

Propiedad 3 (Regla de los inversos). i) ₋(₋a) =a _∀a_∈R ii) (a−1₎−1₌_a_∀_a_∈_R∗_;_R∗₌_R_{\ {}₀_}

Demostraci´on. En el primer caso debe probarse que el opuesto de (−a) es a.

Recordemos que el opuesto de (−a) es un n´umeropque cumple la relaci´on

(₋a) +p= 0.

Pues bien debemos probar queaes dicho n´umero, es decir

P.D.Q: (₋a) +a= 0.

Notemos que una vez que se logr´o comprender el problema a este nivel, y logramos identificar que es lo que hay que probar, la demostraci´on misma es sencilla. En efecto: se tiene que

(−a) +a=a+ (−a) = 0.

La demostraci´on del caso (ii) es an´aloga y debe hacerla como ejercicio.

Notemos que de aqu´ı, se obtiene la regla de“contar los signos”. As´ı₋(₋(₋(₋(₋a)))) =

−a, etc.

Propiedad 4 (Reglas de los signos). i) a·(−b) =−(a·b) =−ab

(9)

iii) ₋(a+b) = (₋a) + (₋b) =₋a₋b

iv) Sia, b₆= 0 entonces(a_·b)−1₌_a−1

·b−1 v) a₋(b+c) =a₋b₋c

vi) a₋(b₋c) =a₋b+c

Demostración. Comencemos por la propiedad (i). Se debe probar sólo la primera igualdad, ya que la segunda es una notación del segundo término.

Esta igualdad pretende que EL OPUESTO DE (a_·b) es el reala_·(₋b).

Por lo tanto debemos probar lo siguiente

P.D.Q.: (a·b) + [a(−b)] = 0.

Veamos si esto ´ultimo es o no cierto:

(a_·b) + [a(₋b)] = a_·[b+ (₋b)] = a·0

= 0.

Esto concluye la demostraci´on de (i).

Observaci´on: Antes de continuar, reconozca cuales fueron los axiomas usados en cada una de las 3 igualdades anteriores.

Para demostrar la propiedad (ii) usamos la propiedad (i) dos veces en forma suce-siva. En efecto

(₋a)_·(₋b) = ₋[(₋a)_·b] = ₋[b_·(₋a)] = ₋[₋(b_·a)] = ab.

Para demostrar la propiedad (iii) debemos probar que el opuesto de (a+b) es el n´umero real (−a) + (−b).

Es decir, debemos probar que

P.D.Q.: (a+b) + [(₋a) + (₋b)] = 0.

Esto efectivamente es cierto ya que

(a+b) + [(−a) + (−b)] = [(a+b) + (−a)] + (−b) = [(b+a) + (₋a)] + (₋b) = [b+ (a+ (₋a))] + (₋b) = [b+ 0] + (₋b)

= b+ (₋b) = 0.

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Para demostrar las ´ultimas dos propiedades, deben combinarse la propiedades ya demostradas. Hagamos la propiedad (v). La propiedad (vi) se propone como ejer-cicio.

La demostraci´on se realiza tomando el lado izquierdo y concluyendo que es igual al lado derecho.

Veamos:

a₋(b+c) = a+ [₋(b+c)] = a+ [(₋b) + (₋c)] = a+ (−b) + (−c) = (a₋b)₋c.

Propiedad 5.

x_·y= 0_⇒(x= 0)_∨(y= 0)

Demostraci´on. La propiedad dice que cada vez que el producto de dos reales sea cero, entonces alguno de los factores debe ser cero.

Para demostrarla se toma la igualdadx_·y = 0 como un dato y se razona hasta concluir que es cierto quex= 0 o bieny= 0.(As´ı es como se demuestra en general una implicaci´on).

Por lo tanto sabemos quex_·y= 0.

P.D.Q.: x= 0 o bieny= 0.

Claramente x puede o no ser cero. Si lo fuera, entonces la demostraci´on estar´ıa concluida.

Solo nos faltar´ıa ver que pasa six6= 0.En este caso la igualdad

x_·y= 0

se ve como una ecuaci´on, en la cual se puede despejary dividiendo porx (multipli-cando porx−1_).

Haciendo esto se concluye quey= 0.

Por lo tanto, o bienx= 0,o bienx₆= 0,pero en este casoy= 0.

Conclusi´on: Alguno de los reales debe ser cero.

Propiedades adicionales 1. ac

bc = a

b ∀a, b, c,∈R, conb, c6= 0

2. a

b ± c d =

ad±bc

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3. a

b · c d =

ac

bd ∀a, b, c, d∈R, conb, d6= 0

4. a

b : c d=

ad

bc ∀a, b, c, d∈R, conb, c, d6= 0

5. (a_±b)2₌_a2

±2ab+b2

6. (a±b)3₌_a3_±₃_a2_b_{+ 3}_ab2_±_b3

7. (a+b)(a₋b) =a2

−b2

8. (a₋b)(a2₊_ab₊_b2_{) =}_a3

−b3

9. (a+b)(a2₋_ab₊_b2_{) =}_a3₊_b3

Observaci´on:En estas propiedades se han usado las notaciones siguientes

ab=a_·b 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, etc. a·a=a2, a2·a=a3, a3·a=a4, etc.

Adem´as, el s´ımbolo ± representa el que la propiedad es cierta si se reemplazan todas las apariciones de±por +, o si se reemplazan todas por−.

Demostraci´on. 1.

ac

bc = ac(bc)

−1

= ac(b−1c−1) = ac(c−1b−1) = a(cc−1)b−1

= a_·1_·b−1

= ab−1

= a

b

2.

a b ±

c

d = ab

−1

±cd−1

= ab−1dd−1±cbb−1d−1

= ad(bd)−1_±bc(bd)−1 = (ad_±bc)(bd)−1

= ad±bc

bd

3.

a b ·

c

d = ab

−1_cd−1

= ac(bd)−1 = ac

(12)

4.

a b :

c

d = ab

−1_:_cd−1

= ab−1_·(cd−1)−1 = ab−1·(c−1d) = ad(bc)−1 = ad

bc

5.

(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ba+b2

= a2+ 2ab+b2

6.

(a+b)3 = (a+b)2(a+b) = (a2+ 2ab+b2)(a+b) = a3+ 3a2b+ 3ab2+b3

Reflexi´on Antes de continuar, reconozca cuales fueron los axiomas y propiedades usados en cada una de las igualdades anteriores.

La demostraci´on de las propiedades restantes debe hacerse como ejercicio.

Otros Cuerpos

Considere el conjunto formado por dos elementos siguiente:

A={♥,△}.

En este conjunto se definen dos operaciones◦,∗mediante las tablas siguientes

◦ ♥ △

♥ ♥ △

△ △ ♥

∗ ♥ △

♥ ♥ ♥

△ ♥ △

Notemos que este conjunto con las operaciones descritas, o sea (A,_◦,_∗), satisfa-ce todos los axiomas de cuerpo. Podemos identificar a _◦ con la suma, _∗ con la multiplicaci´on, a_♥con 0 y a_△con 1.

Usando esta identificaci´on, ocurre que 1 + 1 = 0, 1 + 1 + 1 = 1, etc.

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Ingenier´ıa Matem´atica

Gu´ıa B´asica

Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

1. Existen dos n´umeros distintosx, y_∈Rtales quex+y=xyy+x=y

2. Para cualquier par de n´umerosx, y_∈Rse tiene quex+y=y+x.

3. Para cualquier par de n´umerosx, y_∈Rse tiene quex+y=x.

4. Para cualquier par de n´umerosx, y_∈Rse tiene quex·y=y·x.

5. (_∀x, y, z_∈R) (x+y) +z= (x+z) + (y+z).

6. En una serie de sumas de n´umeros reales, el orden en que ´estas se realizan es de suma importancia.

7. (∀x, y, z∈R) (x+y) +z=x+ (y+z).

8. (_∀x, y, z_∈R) (x−y)·z=x·(−z) +y·(−z).

9. (∀x, y, z∈R) (x+y)·z=y·z+x·z.

10. (_∀x, y, z_∈R) (x+y)·z= (x+z)·(y+z).

11. Existe un n´umero real que sumado a cualquier otro da como resultado este ´

ultimo.

12. Dadoa_∈R\ {0}, la ecuaci´ona−x=ano tiene soluci´on enR.

13. Si un n´umero x _∈ R es neutro para la suma, entonces su inverso aditivo tambi´en lo es.

14. El elemento neutro en los reales para la suma es ´unico. Se le denota 0.

15. Si un n´umerox_∈Res neutro para la suma, entonces su inverso multiplicativo tambi´en lo es.

16. Existe un n´umero real, distinto de 0, que multiplicado con cualquier otro da como resultado este ´ultimo.

17. Si un número real x es neutro para la multiplicación, entonces su inverso aditivo también lo es.

18. Si un número real x es neutro para la multiplicación, entonces su inverso multiplicativo también lo es.

19. Dadoa_∈Rla ecuaci´ona·x=asiempre tiene soluci´on enR.

20. El elemento neutro en los reales para la multiplicaci´on es ´unico. Se le denota 1.

21. Dado un n´umero real cualquierax, existe otro que al sumarlo conxresulta 0.

22. Dadox_∈Rla ecuaciónx+y= 0 tiene más de una solucióny∈R.

(14)

24. Existe un númerox_∈Rque es inverso aditivo de más de un número real.

25. Existen x1, x2, x3 ∈ R todos distintos entre s´ı, tales que x1 es el inverso aditivo dex2 yx2 es el inverso aditivo dex3.

26. Dado un n´umero real cualquieraxconx₆= 0, existe otro que al multiplicarlo porxresulta 1.

27. Existe un númerox_∈Rque es inverso multiplicativo de más de un número real.

28. El inverso multiplicativo de cualquier n´umero realx, distinto de 0, es ´unico. Se denotax−1_.

29. Dadox_∈Rla ecuaci´onx·y= 1 siempre tiene una soluci´ony∈R.

30. No existe un n´umerox_∈Rtal quex·x=x+x= 0.

31. Existe un n´umero real que multiplicado por cualquier otro resulta en ´el mismo.

32. El 0 no posee inverso aditivo.

33. El 0 posee un inverso multiplicativo, pero no es ´unico.

34. El 0 no posee inverso multiplicativo.

35. El 1 posee inverso multiplicativo.

36. Existen x1, x2, x3 ∈ R todos distintos entre s´ı, tales que x1 es el inverso multiplicativo dex2 yx2 es el inverso multiplicativo dex3.

37. Dadosa, b∈R, las soluciones de la ecuaci´ona+x=b siempre pertenecen aR\ {0}.

38. Dadosa, b_∈R, la ecuacióna+x=btiene una única solución enR.

39. Dadosa, b_∈Rcona= 0, la ecuaci´6 ona·x=btiene una ´unica soluci´on en R.

40. Dadosa, b_∈R, la ecuacióna·x=bpuede tener más de una solución enR.

41. Sia, b, c_∈Rson tales quea+b=a+c, entonces necesariamenteb=c.

42. Sia, b, c_∈Rson tales quea·b=a·c, entonces necesariamenteb=c.

43. Dadosa, b∈Rcona6= 0, se tiene que 0 es siempre soluci´on de la ecuaci´on

a_·x+b= 0.

44. Dadosa, b_∈Rcona6= 0, la soluci´on de la ecuaci´ona·x+b= 0 esx=−

b a.

45. Six, y_∈Rson tales quex+y= 0, entonces necesariamentex= 0 ´oy= 0.

46. Six, y_∈Rson tales quex·y= 0, entonces necesariamentex= 0 ´oy= 0.

(15)

Gu´ıa de Ejercicios

1. Demuestre las siguientes propiedades de los n´umeros reales, propuestas en la tutor´ıa:

(a) El elemento neutro para el producto es ´unico.

(b) El inverso multiplicativo de un n´umero real es ´unico.

(c) La ecuaciónax =b, con a₆= 0, tiene una única solución en R. Está dada porx=ba−1_.

(d) Dadoa_∈R\ {0}, (a

−1₎−1₌_a_.

2. Cada una de las siguientes igualdades es verdadera en el sistema de los n´umeros reales. Indique la raz´on de su veracidad, respecto de los axiomas y propiedades vistos.

(a) 2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3.

(b) 0 + 5 = 5.

(c) (x+y) +z=z+ (y+x).

(d) (x+ 2)·y=y·x+ 2·y.

(e) (4−1_·₄₎₋_{1 = 0.}

3. En el cuerpo de los números reales se define 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 y 6 = 5 + 1. Usando sólo los axiomas de los números reales y el hecho que 2₆= 0, pruebe las siguientes afirmaciones, detallando todos los pasos y mencionando el axioma o definición que utiliza en cada unos de ellos:

(a) 3 + 2 = 5.

(b) 3_·2 = 6.

(c) 4_·2−1_{= 2.}

(d) 5₋3 = 2.

(16)

4. Dadas las siguientes secuencias de igualdades, determine los axiomas y las pro-piedades que las hacen correctas:

(a) Dadosa, b_∈R,

(ab) + (a(₋b)) =a_·(b+ (₋b)) =a·0

= 0

(b) Dadosx, y∈R,

(1₋x)y+yx= (1_·y+ (₋x)y) +yx

= (y+−(xy)) +yx

=y+ (₋xy+yx) =y+ (₋xy+xy) =y+ 0

=y

(c) Dadosa, b∈R,

(a+b)2_{= (}_a₊_b₎₍_a₊_b₎ =a(a+b) +b(a+b) =a2+ab+ba+b2

=a2₊_ab₊_ab₊_b2 =a2+ 2ab+b2

(d) Dadoa_∈R,

a+ 0_·a=a_·1 +a_·0 =a(1 + 0) =a·1 =a

(e) Dadosa, b, c, d∈R, conb, d6= 0,

a b +

c d =ab

−1₊_cd−1

= (ab−1)_·1 + (c_·1)d−1

= (ab−1)(dd−1) + (c(bb−1))d−1

= (ab−1)(d−1d) +cb(b−1d−1) =ad(b−1d−1) +cb(b−1d−1) =ad(bd)−1₊_bc₍_bd₎−1 = (ad+bc)(bd)−1

=ad+bc

bd

5. Demuestre las siguientes igualdades de n´umeros reales, indicando claramente los axiomas o propiedades usados:

(17)

(b) a₋(b₋c) =a+ (₋b) +c (c) (a+b)(a₋b) =a2

−b2

(d) (a₋b)(a2₊_ab₊_b2_{) =}_a3

−b3

(e) (a−b)(a3₊_a2_b₊_ab2₊_b3_{) =}_a4₋_b4

(f ) (a+b)(a2₋_ab₊_b2_{) =}_a3₊_b3

(g) (x+b₂)2₊_c₋₍b

2)2=x2+bx+c

6. Resuelva las siguientes ecuaciones (xes la inc´ognita). a) 2x+ 3 = 0.

b) 3x+a= 2(x+a) (deje su resultado en t´erminos dea). c) (x+ 1)2_{= (}_x_{+ 2)(}_x

−4). d) (x+a)(x₋a) =x2

−ax (deje su resultado en t´erminos dea). e) x(₋x+ 2)₋3(x₋6) =₋x(x₋1)₋(₋(x+ 2)₋7).

f) (2x₋7)2

−x(3₋x) = 3(x+ 1)2_{+ 2(1}

−x)2_. g) ax= 0, paraa₆= 0.

h) (x−2)2_{= 0.} i) (x+ 2)(x−3) = 0.

7. Sea C un conjunto de n´umeros reales que satisface los siguientes propiedades (axiomas):

(A1) 2_∈C.

(A2) Six_∈C, entonces 3x+ 1_∈C.

(A3) Six, y_∈C, entoncesx+y_∈C.

(A4) 3_∈/C.

Demuestre entonces las siguientes propiedades indicando qué axiomas, ya sea de los números reales o de los recién mencionados, utiliza:

(a) 9_∈C.

(b) 1∈/C.

(c) Si 5∈C, entonces 22∈C.

(d) Six, y∈C, entonces 3x+ 1 + 3y∈C.

(18)

Gu´ıa de Problemas

La presente gu´ıa le permitir´a tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´on y el tiempo promedio que deber´ıa demorar en resolverlos. En total deber´ıa poder resolverla en 3 horas. Le recomenda-mos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones.

P1. Usando exclusivamente los axiomas de los reales y mencion´andolos claramente cada vez que los use, demuestre las propiedades siguientes. Si ocupa alguna otra propiedad entonces deber´a demostrarla indicando los axiomas que use en ello.

a) (20 min.)∀x, y ∈R, x, y6= 0, (x+y)(x

−1_y−1_{) =}_x−1₊_y−1 b) (20 min.)∀x, y ∈R, x, y6= 0, (xy)

−1₌_y−1_x−1

c) (20 min.) Usando (b), demostrar que ∀a, b, c, d ∈ R, b, d 6= 0, ab −1₊

cd−1_{= (}_ad₊_cb₎₍_bd₎−1 d) (20 min.)∀a∈R, a

2_{= 0} _⇒ _a_{= 0}

P2. Usandos´ololos axiomas de los n´umeros reales y las unicidades de los inversos, demuestre las siguientes propiedades (si necesita alguna propiedad extra,debe demostrarla)

(a) (15 min.) Para todox, y ∈R, (−x) + (−y) es inverso aditivo dex+y. (b) (25 min.) Si a, b, c, d ∈ R son tales que se verifica la relaci´on (ad) +

(−(cb)) = 0 entonces

[(a+b)d] + [−((c+d)b)] = 0.

(c) (15 min.) Paraa6= 0,−(a−1_{) = (}₋_a₎−1_.

P3. (20 min. ) Usando propiedades elementales de los n´umeros reales, demuestre que para todox, y, z, w_∈R,w6= 0,z6= 0 lo siguiente es verdadero

(xw+yz)2= (x2+y2)(w2+z2) ⇒ ∃λ∈Rt.q.x=λw, y=λz.

Para ello note en primer lugar que la igualdad del lado izquierdo permite deducir que x2_z2₊_y2_w2 _{= 2}_xwyz_{. Luego, vea que esto ´}_{ultimo implica que}

xz=yw. Finalmente, de la igualdad anterior deduzca la conclusi´on.

P4. SeaC un conjunto de n´umeros reales que satisface los siguientes propiedades (axiomas):

(A1) 3_∈C.

(A2) Six_∈C, entonces 3x+ 1_∈C.

(A3) Six, y ∈C, entonces x+y∈C.

(A4) 7_∈/ C.

Demuestre entonces las siguientes propiedades indicando qué axiomas, ya sea de los números reales o de los recién mecionados, utiliza:

(19)

(b) (5 min.) Six, y_∈C, entonces 3x+ 2y+ 4_∈C (c) (5 min.) Six, y_∈C, entonces 4₋x₋y /_∈C.

(d) (5 min.)Si 3y+z+ 4_∈/C, entonces (y /_∈C_∨z₂ _∈/C).

(20)

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H

SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN

1.6. Axiomas de Orden de los Reales

Para introducir la idea de orden en los reales y poder trabajar con desigualdades, existen diversas formas para comenzar. En este apunte hemos escogido la versi´on que comienza por la definici´on del conjunto de los reales estrictamente positivos y en base a ellos se obtienen las definiciones de las desigualdades y todas las propiedades.

EnR existe un subconjunto llamado conjunto de reales (estrictamente) positivos (R∗

+), el cual satisface los siguientes axiomas o reglas.

Axioma 6. (de la tricotom´ıa)

∀x_∈R, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

i) x_∈R∗ +

ii) (₋x)_∈R∗ +

iii) x= 0

Observaci´on De cumplirse (i) se dice quexes un real estrictamente positivo y si se cumple (ii) diremos quexes un real estrictamente negativo.

Axioma 7. (Clausura)

(_∀x, y _∈R∗

+) se cumple que: (x+y)_∈R∗

+

x_·y_∈R∗ +

Es decir,R∗

+ es cerrado para la suma y el producto.

1.7. Relaciones de orden

Ahora que conocemos el conjunto R∗

+, estamos en condiciones de incorporar las definiciones de los s´ımbolos<, >,≤,≥.

Relaciones de orden Seanx, y∈Rse define la relaciones<,>,≤,≥, por: 1. x < y_⇔(y₋x)_∈R∗

+

2. x > y_⇔y < x_⇔(x₋y)_∈R∗ +

3. x_≤y_⇔(x < y)_∨(x=y) 4. x≥y⇔(x > y)∨(x=y)

1.8. Propiedades de la desigualdad

Propiedad 1 x >0⇔x∈R∗

+

Demostración. x >0 corresponde exactamente por definición a (x₋0)_∈R∗ +, lo que es idénticamente la expresiónx_∈R∗

+. Con esto queda demostrada la

(21)

Propiedad 2 xes negativo_⇔x <0.

Demostraci´on. x <0 corresponde exactamante por definici´on a (0−x) ∈ R∗ +, con lo cual se tiene que −x∈R∗

+, con lo cual se tiene quexes negativo.

Propiedad 3 (tricotom´ıa) Para cualquier par de numeros reales x e y, una y s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

i) x < y

ii) x > y

iii) x=y

Demostración. Según el Axioma 1 de la tricotom´ıa, como (y₋x)_∈Rentonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: i)(y ₋x) _∈ R∗

+, ii)

−(y₋x)_∈R∗

+,o bien iii) (y−x) = 0.

Sin embargo i) significa: x < y. ii) significa (x−y)∈R∗

+, o sea,x > y. Finalmente iii) significax=y. Con lo cual se tiene la demostraci´on.

Propiedad 4 x < yya_∈R_⇒x+a < y+a.

Demostraci´on. Veamos que (y+a)₋(x+a)_∈R∗

+es decir que (y+a)−(x+a)>0 :

(y+a)₋(x+a) = y+a+ ((₋x) + (₋a)) = y+ (₋x) +a+ (₋a) = y₋x,

pero por hip´otesis sabemos quex < ylo que implica quey₋x >0,luego (y+a)₋

(x+a)>0 de dondex+a < y+a.

Observaci´on Con esta ´ultima propiedad podemos sumar un elemento a ambos lados de la desigualdad y esta no cambia.

Propiedad 5

i) x < y∧a >0⇒ax < ay

ii) x < y_∧a <0_⇒ax > ay

Demostraci´on. i) Por hip´otesis (y₋x)_∈R∗

+ya∈R∗+, por los axiomas 7 y 3 tendremos quea(y₋x) =ay₋ax_∈R∗

+, por lo tanto ax < ay. ii) ax−ay=a(x−y) = (−a)(y−x)∈R∗

+⇒ax > ay.

Observaci´onCon la propiedad 5, podemos multiplicar un elemento a ambos lados de la desigualdad y si este elemento es positivo la desigualdad no cambia, pero si el elemento es negativo la desigualdad s´ı cambiar´a.

Propiedad 6 _∀x_∈R_⇒x2

≥0.

Demostraci´on. Por el axioma 1 de tricotom´ıa sabemos:

x∈R _⇒ x∈R∗

+∨x= 0 ∨ (−x)∈R∗+

⇒ x·x∈R∗

+∨ x2= 0 ∨ (−x)(−x)∈R∗+

⇒ x2_∈_R∗

+∨ x2= 0∨ x2∈R∗+

⇒ x2_>₀ _∨ _x2_{= 0}

⇒ x2

≥0.

Comentario: 1 = 1_·1 = 12

≥0, pero 1 ₆= 0, por lo tanto 1>0 luego. Con esto 1_∈R∗

(22)

Propiedad 7 Si x < yyu < v_⇒x+u < y+v.

Demostraci´on. Por la definici´on de<tenemos dos casos:x < y_⇒(y₋x)_∈R∗ + yu < v_⇒(v₋u)_∈R∗

+. Como R∗

+ es cerrado para la suma tendremos: (y−x) + (v−u)∈R∗+, de donde desarrollando los par´entesis obtendremos: (y+v)₋(x+u)_∈R∗

+.

Luego nuevamente por la definici´on de<, lo ´ultimo equivale ax+u < y+v.

Observaci´on Esta ´ultima propiedad nos dice que podemos sumar las desigualda-des.

Propiedad 8 Si 0 < x < y y 0 < u < v entonces podemos multiplicar las desigualdades, es decirxu < yv.

Demostraci´on. Por la definici´on de < y por la cerradura de R∗

+ para + y·, obtendremos 0< x < y⇒(y−x)∈R∗+

0< u < v_⇒(v₋u)_∈R∗ +

⇒v(y₋x) + (v₋u)x_∈R∗ +,

desarrollando la ´ultima expresi´on obtendremosvy₋ux _∈ R∗

+, con lo cual por la definici´on de<se tendr´axu < yv.

Observaci´on Esta propiedad nos dice que podemos multiplicar las desigualdades enR∗

+ sin que cambie la desigualdad.

Propiedad 9

i) (x <0)_∧(y >0)_⇒xy <0 ii) (x <0)_∧(y <0)_⇒xy >0

Demostraci´on. Por la propiedad 1, la cerradura para_· obtendremos los dos re-sultados, es decir

i) (₋x)_∈R∗

+∧y∈R∗+⇒ −xy∈R∗+⇒xy <0. ii) (₋x)_∈R∗

+∧(−y)∈R∗+⇒(−x)(−y)∈R∗+⇒xy >0.

Propiedad 10

i) x >0_⇒x−1_>₀

ii) x <0⇒x−1_<₀

Demostraci´on. i) x−1 ₌ _x−1

·x−1

·x = (x−1₎2

·x, luego como (x−1₎2 _> 0 y x >0, por la propiedad anterior obtendremosx−1_{= (}_x−1₎2

·x >0 ii) x−1₌_x−1_x−1_x_{= (}_x−1₎2

·x <0 ya que (x−1₎2_>₀

∧x <0.

Propiedad 11 Si 0< x < yentoncesx−1_{> y}−1_. Demostraci´on. Veamos quex−1₋_y−1_∈_R∗

+:

x−1

−y−1₌ 1

x−

1

y = y−x

xy = (y−x)·x−

1_y−1

pero 0 < x < y _⇒ (y₋x) _∈ R∗

+, x−1 ∈ R∗+ey−1 ∈ R∗+ con lo cual de la ´ultima expresi´on obtendremos :x−1

−y−1

∈R∗

+, es decir,y−1< x−1.

(23)

1.9. Gr´

afico de subconjuntos de

R

.

En virtud de la relación menor o igual definida enR se puede pensar en ordenar esquemáticamente los números reales de menor a mayor. Los números reales se representan sobre una recta horizontal tal que a cadaxenRse le asocia un punto

Px sobre la recta siguiendo las siguientes convenciones:

i) Six < y entoncesPx esta a la izquierda dePy

ii) Six < y entoncesPx+y

2 es punto medio del trazoPxPy.

Py P

Px (x+y)/2

Definici´on (Intervalos) Sean a, b ∈ R tal es que a ≤ b. Los siguientes subconjuntos deRse llamaran intervalos:

1. Intervalo abiertoacomab:

(a, b) =_{x_∈R:a < x < b_}

2. Intervalo cerradoacomab:

[a, b] =_{x_∈R:a_≤x_≤b_}

3. Intervaloacomab cerrado por la derecha y abierto por la izquierda:

(a, b] =_{x_∈R:a < x_≤b_}

4. Intervaloacomab cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:

[a, b) ={x∈R:a≤x < b}

5. Intervalos no acotados:

(_−∞, a] =_{x_∈R:x_≤a_}

(_−∞, a) =_{x_∈R:x < a_}

[a,+_∞) =_{x_∈R/a_≤x_}

(a,+_∞) =_{x_∈R:a < x_}

Notaci´on:

Para denotar un intervalo abierto (a, b) tambi´en se puede ocupar los parentesis ]a, b[.

Observaciones

1. Sia=bentonces (a, a) = (a, a] = [a, a) =_∅ y [a, a] =_{a_}.

2. Se puede anotar al conjuntoRcomo el intervalo no acotado (_−∞,+_∞).

(24)

1.10. Inecuaciones

Introducci´on

Una inecuación es una desigualdad de números reales en la que intervienen una o más cantidades genéricas. Resolver una inecuación consiste en determinar para que valores reales de las incógnitas genéricas se satisface la desigualdad.

Dependiendo del número de cantidades genéricas hay inecuaciones de 1,2 o más incógnitas y entre las de una incógnita las hay de primer, segundo, tercer o mayor grado.

Al resolver una inecuación de 1 incógnita suele buscarse el mayor subconjunto de Rdonde la desigualdad se cumpla. Este conjunto se llamaconjunto solución de la inecuación.

Inecuaciones de primer grado

Son de la forma ax+b < 0 dondea y b son n´umeros reales constantes y a ₆= 0. Donde el signo<puede ser tambi´en>,_≤o _≥.

Soluci´on

ax+b <0

⇔ ax <₋b i) Si a >0 entonces la inecuaci´on queda x <−b

a cuya soluci´on evidentemente

esx_∈(_−∞,₋b a).

ii) Si a <0 entonces la inecuaci´on queda x >₋b

a cuya soluci´on evidentemente

esx_∈(₋b a,∞).

Ejemplo 1.1.

5(x₋1)>2₋(17₋3x)

Soluci´on

5(x−1) > 2−(17−3x)

⇔ 5x−5 > −15 + 3x

⇔ 2x > −10

⇔ x > −5

Por lo tanto la soluci´on ser´a x ∈

(−5,∞).

Inecuaciones de grado mayor a 1

Enunciaremos un m´etodo para resolver algunas inecuaciones del tipo

P(x)

Q(x) <0, donde el signo<puede ser tambi´en >,≤o≥.

Nos remitiremos primeramente a los casos cuando P(x) y Q(x) son productos de factores de primer orden del tipo ax+b. Comencemos por observar que este tipo de factores cambia de signo en el puntox=−b

a. Denominaremos puntos cr´ıticos a

estos valores.

(25)

1. Determinar todos los puntos cr´ıticos mediante la ecuaci´onx=₋b a.

2. Ordenar los puntos cr´ıticos de menor a mayor y formar los intervalos abiertos encerrados entre ellos m´as los dos intervalos no acotados correspondientes.

3. Analizar el signo de la expresi´on P_Q(₍x_x)₎ en los intervalos encontrados en (2.) y escoger aquellos que resuelvan de buen modo la inecuaci´on.

4. En los caso en que los signos de la inecuación sean_≤o_≥deben agregarse a la solución los puntos cr´ıticos del numerador, ya que en esos puntos se anula la fracción.

Ejemplo 1.2.

Apliquemos lo anterior al siguiente ejemplo:

x+ 1

x ≤ x+ 1

x₋1 − 3

x

Soluci´on

x+1

x ≤

x+1

x−1− 3

x

⇔ x+1

x − x+1

x−1+ 3

x ≤ 0

⇔ x+4

x − x+1

x−1 ≤ 0

⇔ x2−x+4x(xx−−41)−x2−x ≤ 0

⇔ 2x−4

x(x−1) ≤ 0. Los puntos cr´ıticos ser´an:

Para 2x₋4 el punto cr´ıtico es 2. Parax−1 el punto cr´ıtico es 1.

Paraxel punto cr´ıtico es 0.

Para realizar el punto 3) y 4) es decir analizar el signo de la expresión _x2₍x_x−₋4₁₎ de los intervalos encontrados de forma más ordenada, es conveniente formar una tabla donde analizaremos por parte el signo por intervalo de cada término de la formaax+b que participa, y luego ver el signo de la expresión total por medio de la regla de los signos para la multiplicación. En este ejemplo la tabla será:

(_−∞,0) (0,1) (1,2) (2,+_∞)

x (₋) (+) (+) (+)

x₋1 (₋) (₋) (+) (+) 2x−4 (−) (−) (−) (+)

2x−4

x(x−1) (−) (+) (−) (+)

El caso del punto cr´ıtico x = 2 la expresión vale 0, por lo tanto cumple la desigualdad, más bien la igualdad, por lo tanto debemos agregarla a nuestro conjunto solución. El caso de los puntos x = 0 y x = 1 es distinto, debemos quitarlos del conjunto solución pues el denominador se anula obteniendo división por 0, lo cual no puede ser.

Por todo esto el conjunto soluci´on ser´a:

(26)

Factorización de términos cuadráticos

Si la inecuación no aparece factorizada por factores de primer grado, se puede intentar factorizar la expresión, o bien intentar conocer (sin factorizar) los puntos donde estos factores cambian de signo. En este último caso, se puede resolver la inecuación con el método indicado anteriormente.

Por ejemplo para los factores de segundo grado se tiene:

ax2+bx+c = a

x2+ b

ax+ c a

= a

(x+ b 2a)

2

− b

2

4a2 +

c a

= a

(x+ b 2a)

2

−b

2

−4ac

4a2

.

Llamemos ∆ al factorb2₋₄_ac_{. Dependiendo del signo de ∆ se tienen tres} posibili-dades:

1. Si ∆>0 entonces la expresi´on es factorizable seg´un factores de primer grado de la siguiente forma:

ax2+bx+c = a

(x+ b 2a)

2

−b

2

−4ac

4a2

= a



(x+ b

2a)

2

− √

∆ 2a

!2

.

Aplicando la factorizaci´on suma por su diferencia obtendremos la expresi´on en factores de primer grado:

ax2₊_bx₊_c₌_a₍_x₊b+

√

∆ 2a )(x+

b₋√∆ 2a ).

Los puntos cr´ıticos de la ´ultima expresi´on son x1 = −b− √

∆

2a , x2 = − b+√∆

2a ,

con lo cual volvemos al caso ya estudiado. Es decir:

ax2₊_bx₊_c_{tiene el signo de} _a_si_x

∈(_−∞, x1)∪(x2,∞).

ax2₊_bx₊_c_{tiene el signo de}

−asix_∈(x1, x2).

2. Si ∆ = 0 entonces solo hay un punto cr´ıtico que esx∗₌₋ b

2a y se tiene que:

ax2+bx+ctiene el signo de asix∈(−∞, x∗)∪(x∗,∞).

3. Si ∆<0 entonces no hay puntos cr´ıticos y en este casoax2₊_bx₊_c _{tiene el} signo dea_∀x_∈R.

Luego el factorax2₊_bx₊_c _{puede ser simplificado en la inecuaci´}_{on, cuidando el} efecto que el signo de este factor produce en el sentido de la desigualdad.

(27)

Ejercicios 1.2: 1. Resolver las siguientes inecuaciones:

i) 2x2_{+ 3}_x_{+ 1}_<₀ ii) 4x₋5₋x2_>₀ iii) x3_{< x}

iv) 22 2x−3+

23x+26

4x2₋₉ > ₂_x51₊₃

v) 6x6

−x3_{< x}4 vi) 4x₆−_x3≤ 8x−6

5x

vii) x9+x x2₋₃_x₊₂ <0

2. Determinar los siguientes subconjuntos deR:

i) _{x_∈R/x8+2x7−8x6 x2₋₄_x₊₃ >0}

ii) {x∈R/x3₋₁₁_x2_{+ 10}_{x <}₁₀_x3₋₁₂_x2_{+ 82}_{x >}₀_} iii) _{x_∈R/ 40

x2₊_x₋₁₂ <−4}

Algunas soluciones

i) 2x2_{+ 3}_x_{+ 1}_<_{0 ∆ =}_b2

−4ac= 9₋4_·2_·1 = 1>0

x1,2=−b± √

∆ 2a =−

3±1 4 ⇒

x1=−1

x2=−1₂ Luego

2x2+ 3x+ 1<0_⇔x_∈(₋1,₋1/2).

ii) 4x₋5₋x2 _>₀

⇔ −x2_{+ 4}_x

−5 >0 ∆ =b2

−4ac= 16₋(4_{· −}1_{· −}5) = 16−20 =−4<0

Luego el signo del factor es constante e igual al signo de a = ₋1, es decir siempre negativo.

Luego la soluci´on de la inecuaci´on es:

4x−5−x2>0⇔x∈R.

iii) x3_{< x} _⇔ _x3₋_{x <}₀

⇔ x(x2₋₁₎_<₀

⇔ x(x−1)(x+ 1)<0

Luego los puntos cr´ıticos son 0, 1 y₋1.

Con estos puntos cr´ıticos confeccionamos la siguiente tabla:

(−∞,−1) (−1,0) (0,1) (1,+∞)

x (₋) (₋) (+) (+)

x−1 (−) (−) (−) (+)

x+ 1 (₋) (+) (+) (+)

x3₋_x ₍₋₎ ₍₊₎ ₍₋₎ ₍₊₎

Luego la soluci´on es

(28)

vi) 4x−3 6x ≤

8x−6 5x ⇔

4x−3 6x −

8x−6 5x ≤0

⇔ (20x−15)30−x(48x−36)≤0

⇔ −28x+21 30x ≤0

⇔ (−7 30)(

4x−3

x )≤0

⇔ 4x−3

x ≥0

Luego los puntos cr´ıticos son 0 y3₄. Con esto confeccionamos la tabla siguiente:

(_−∞,0) (0,3 4) (

3 4,+∞) 4x₋3 (₋) (₋) (+)

x (₋) (+) (+) 4x−3

x (+) (−) (+)

Además el punto cr´ıtico x= 3₄ anula el numerador de la fracción, luego es también solución de la inecuación.

Luego la soluci´on de la inecuaci´on es:

x_∈(_−∞,0)_∪[3 4,∞).

1.11. M´

odulo o valor absoluto

Definición (Módulo o valor absoluto) Sea x_∈R, llamaremos módulo dexal real definido por:

|x_|=

x, six_≥0

−x, six <0

Ejemplos:

Ejemplos

i) _|2_|= 2

ii) _{| −}2_|=₋(₋2) = 2

iii) |1−x2_|₌

1−x2_, _{si 1}₋_x2_≥₀

x2₋₁_, _{si 1}₋_x2_<₀ pero

1₋x2

≥0_⇔(1₋x)(1 +x)_≥0_⇔x_∈[₋1,1]

Luego

|1−x2|=

1₋x2 _si_x

∈[₋1,1]

x2

−1 six_∈(_−∞,₋1)_∪(1,_∞)

Propiedades 1. 1. _|x_{| ≥}0 _∀x_∈R 2. _|x_|= 0_⇔x= 0

3. _|x_|=_{| −}x_|

4. _|x2

(29)

6. _|xy_|=_|x_{| · |}y_|

7. |x y|=|

x| |y|

8. _|x_{| ≤}a_{⇔ −}a_≤x_≤a_⇔x_∈[₋a, a]

9. _|x_{| ≥}a_⇔x_{≤ −}a _∨a_≤x_⇔x_∈(_−∞,₋a]_∪[a,_∞) 10. |x−x0| ≤a⇔x0−a≤x≤x0+a⇔x∈[x0−a, x0+a]

11. _|x₋x0| ≥a⇔x≤x0−a∨x≥x0+a⇔x∈(−∞, x0−a]∪[x0+a,∞) 12. (∀x, y∈R)_|x+y| ≤ |x|+|y| (Desigualdad triangular)

Observación: Más importante que la demostración de las últimas propiedades, es lograr entenderlas e internalizarlas a cabalidad, ya que serán una herramienta muy importante para la resolución de inecuaciones que contengan expresiones con módulo. Inecuaciones que por cierto serán mucho más interesantes y complicadas a la vez que las vistas al comienzo.

Demostraci´on de algunas propiedades del m´odulo 1. Debemos demostrar que (_∀x_∈R)_|x_{| ≥}0

x∈R _⇒ x≥0 ∨ x <0

⇒ |x|=x≥0 ∨ |x|=−x >0

⇒ |x| ≥0 ∨ |x|>0

⇒ |x| ≥0.

2. Debemos partir del hecho_|x_|= 0 y probar quex= 0, y luego partir dex= 0 y a partir de este hecho probar que_|x_| = 0. Con esto habremos probado la equivalencia.

-x= 0_{⇒ |}x_|=x= 0_{⇒ |}x_|= 0 -_|x_|= 0_⇒x= 0 _{∨ −}x= 0_⇒x= 0.

5. Debemos demostrar: (_∀x_∈R)_{− |}x_{| ≤}x_{≤ |}x_|:

x∈R _⇒ x≥0 ∨ x <0

⇒ x=|x| ∨ −x=|x|

⇒ −|x| ≤x=|x| ∨ −|x|=x <|x| ⇒ −|x| ≤x≤ |x| ∨ −|x| ≤x≤ |x| ⇒ −|x| ≤x≤ |x|.

8. Debemos demostrar:_|x_{| ≤}a_{⇔ −}a_≤x_≤a_⇔x_∈[₋a, a] Sia <0 la equivalencia es evidente pues

|x_{| ≤}a_⇔x_∈R_{⇔ −}a_≤x_≤a

Sia_≥0, entonces se tiene que:

|x_{| ≤}a _⇔ [x_≥0 _∨x <0]_{∧ |}x_{| ≤}a

⇔ 0_≤x=_|x_{| ≤}a _{∨ −}a_{≤ −|}x_|=x <0

⇔ 0_≤x_≤a_{∨ −}a_≤x <0

⇔ [0≤x ∧ −a≤x≤a]∨[x <0 ∧ −a≤x≤a]

(30)

Ejemplo 1.3.

Resolvamos

2_|x_|<_|x₋1_|

Para resolver este tipo de inecuaciones, se pueden usar dos métodos alternativos. El primero, usa las propiedades del módulo en forma reiterada. El segundo método consiste en separar la inecuación con módulo en un conjunto de inecuaciones fáciles sin modulo. Veamos en forma detallada como usar estas dos técnicas en este ejercicio.

T´ecnica 1 (uso de las propiedades del m´odulo)

Esta t´ecnica se usa del modo siguiente:

2_|x_|<_|x₋1_{| ⇔ −|}x₋1_|<2x <_|x₋1_|

⇔ |x₋1_|>₋2x_{∧ |}x₋1_|>2x

⇔ [x₋1<2x_∨x₋1>₋2x]_∧[x₋1<₋2x_∨x₋1>2x]

⇔ [x >−1∨3x >1]∧[3x <1∨x <−1]

⇔ [x >₋1]_∧[x < 1

3]

⇔ x_∈(₋1,1

3).

Ejemplo 1.4.

T´ecnica 2 (uso de los puntos cr´ıticos)

Esta t´ecnica comienza buscando todos los puntos en los cuales los factores bajo los m´odulos cambian de signo.

Si miramos la expresi´on

2_|x_|<_|x₋1_|,

vemos claramente que los puntos cr´ıticos son el 0 para el primer m´odulo y el 1 para el segundo. Estos puntos cr´ıticos se ordenan de menor a mayor y con ellos se forman los intervalos (−∞,0],(0,1] y ,(1,+∞).

Con estos intervalos se puede decir que la inecuaci´on es equivalente a las frases l´ogicas siguientes:

Hay que encontrar todos los reales que cumplan 2|x|<|x−1|.

Hay que encontrar todos los reales en (_−∞,0]_∪(0,1]_∪(1,+_∞) que cumplan 2_|x_|<_|x₋1_|.

Hay que encontrar todos los reales en (_−∞,0] que cumplan 2_|x_|<_|x₋1_|, mas todos los reales en (0,1] que cumplan 2_|x_| < _|x₋1_|, mas todos los reales en (1,+_∞) que cumplan 2_|x_|<_|x₋1_|.

En la última frase lógica anterior está la clave del problema. En efecto lo que debe hacerse es resolver la inecuación en cada uno de los intervalos considerados y al final reunirse todas las soluciones. Lo interesante es que en cada intervalo, los módulos pueden eliminarse, ya que los argumentos que ellos encierran tienen signos constantes.

(31)

1. En el intervalo (_−∞,0] los factoresxyx₋1 son ambos menores o iguales a cero, por lo tanto en este intervalo la inecuaci´on se escribe

2_|x_|<_|x₋1_{| ⇔ −}2x <₋(x₋1)

⇔ 2x > x−1

⇔ x >₋1.

Por lo tanto en este intervalo la soluci´on es el conjunto (−1,0].

2. En el intervalo (0,1] el factorxes positivo pero el factorx−1 es negativo, por lo tanto en este intervalo la inecuaci´on se escribe

2|x|<|x−1| ⇔ 2x <−(x−1)

⇔ 3x <1

⇔ x < 1

3. Luego en este intervalo la soluci´on es (0,1₃).

3. Finalmente, en el intervalo (1,_∞) los factoresxyx₋1 son ambos positivos, por lo tanto en este intervalo la inecuaci´on se escribe

2_|x_|<_|x₋1_{| ⇔} 2x <(x₋1)

⇔ x <−1.

Esta inecuación tiene solución (_−∞,₋1) en R, pero como la estamos resolviendo en el intervalo (1,_∞), se deduce que la solución es_∅.

En consecuencia la soluci´on final de esta inecuaci´on es

(₋1,0]_∪(0,1

3)∪R= (−1, 1 3)

Ejemplo 1.5. |x2_{− |}_{3 + 2}_x_||_<₄

Soluci´on 1(Usando las propiedades de m´odulo):

|x2_{− |}3 + 2x_||<4_{⇔ −}4< x2_{− |}3 + 2x_|<4

⇔ |3 + 2x|< x2+ 4 ∧ |3 + 2x|> x2−4

⇔[₋x2₋4<3 + 2x_∧ 3 + 2x < x2+ 4]_∧[3 + 2x <₋x2+ 4 _∨ 3 + 2x > x2₋4]

⇔x2+ 2x+ 7>0 _∧x2₋2x+ 1>0 _∧ [x2+ 2x₋1<0 _∨ x2₋2x₋7<0].

En cada inecuaci´on de segundo grado se tiene:

∆ =₋24<0_⇒ax2₊_bx₊_c₌_x2_{+ 2}_x_{+ 7 tiene el signo de} _a

∀x_∈R, en este casoa= 1, lo que implica que la soluci´on es todoR.

(32)

dea= 1, el cual es positivo, por lo tanto la soluci´on ser´aR_{\ {}1_}.

∆ = 8_⇒la soluci´on es (₋1₋√2,₋1+√2), intervalo donde el signo dex2₊₂_x

−1 es el signo de₋adondea= 1, por lo tanto ser´a el intervalo dondex2₊₂_x

−1<0.

∆ = 32 _⇒ la solución es (1₋2√2,1 + 2√2). Luego la solución final de la inecuación es:

R_∩R_{\ {}1} ∩[(−1−√2,−1 +√2)∪(1−2√2,1 + 2√2) = (₋1₋√2,1)_∪(1,1 + 2√2)

Ejemplo 1.6.

Soluci´on 2(Usando puntos cr´ıticos):

Lo primero es ver el punto cr´ıtico 3 + 2x,el cual es₋3₂, luego el signo de 3 + 2x

para x <₋₂3 será negativo, por lo tanto debemos anteponer un signo (₋) a la expresión y sacar el módulo. Six >₋3₂, la expresión será positiva y sólo debemos retirar el módulo. Con esto tendremos lo siguiente:

|x2− |3 + 2x||<4⇔[x <−3₂∧ |x2+ 3 + 2x|<4]∨[x≥ −3₂ ∧ |x2−3−2x|<4].

Ahora completaremos cuadrado en las expresiones que tienen m´odulo:

⇔[x <−3₂∧ |(x+ 1)2+ 2|<4]∨[x≥ −3₂ ∧ |(x−1)2−4|<4].

Luego buscamos los puntos cr´ıticos de (x+ 1)2_{+ 2 y (}_x

−1)2

−4.

La primera expresión será siempre positiva as´ı que se puede retirar el módulo. La segunda expresión tendrá dos puntos cr´ıticosx=₋1 y x= 3.

Con los puntos cr´ıticos se crearán los intervalos correspondientes y se hará lo que corresponda con el módulo dependiendo del signo resultante de (x₋1)2

−4en cada intervalo. Realizando esto tendremos:

⇔ [x <₋3

2 ∧(x+ 1) 2_<_2]

∨[x_∈[₋3

2,−1)∧(x−1) 2

−4<4]

∨[x_∈[₋1,3]_{∧ −}(x₋1)2+ 4<4]_∨[x_∈(3,_∞)_∧(x₋1)2₋4<4].

Con esto último ya no tenemos ninguna expresión con módulo, ahora sólo faltará buscar el intervalo solución como se enseñó en un comienzo

⇔ [x <₋3

2∧x∈(−1−

√

2,₋1 +√2)]_∨[x_∈[₋3

2,−1)∧x∈(1−2

√

2,1 + 2√2)]

∨[x∈[−1,3]∧x6= 1]∨[x∈(3,∞)∧x∈(1−2√2,1 + 2√2)],

arreglando un poco los intervalos de soluci´on obtendremos

⇔ [x_∈(₋1₋√2,₋3

2)]∨[x∈[− 3

2,−1)]∨[x∈[−1,3]\ {1}]∨[x∈(3,1 + 2

√

2)]

(33)

Gu´ıa B´asica

Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

1. Todo n´umero real no nulo, es estrictamente positivo, estrictamente negativo o ambos.

2. Todo n´umero real no nulo, es estrictamente positivo o estrictamente negativo, pero no ambos.

3. El 0 es estrictamente positivo y estrictamente negativo a la vez.

4. Toda suma de n´umeros reales estrictamente positivos es estrictamente posi-tiva.

5. Existen pares de n´umeros reales enR ∗

+tales que su suma es 0. Por ejemplo, un n´umero y su inverso aditivo.

6. La suma de n´umeros reales es cerrada enR ∗ +.

7. La multiplicaci´on de n´umeros reales es cerrada enR\R ∗ +.

8. El inverso multiplicativo de un n´umero estrictamente positivo no puede ser estrictamente positivo tambi´en.

9. Toda multiplicaci´on de n´umeros reales estrictamente positivos es estricta-mente positiva.

10. Dadosx, y_∈R, se dice que x < ysi el realy−xes estrictamente positivo.

11. Dadosx, y∈R, se dice que x < ysi el realy−xes distinto de 0.

12. Dadosx, y∈R, se dice que x < ysi el realx−y es estrictamente positivo.

13. Dadosx, y∈R, se dice que x≥y si el realx−y es distinto de 0.

14. Dadosx, y_∈R, se dice quex≥y si el real x−y es estrictamente positivo, o 0.

15. Dadosx, y_∈R, se dice que x≥y si el realx−y es estrictamente positivo.

16. Un n´umero realxes estrictamente positivo six >0.

17. Si un n´umero realxsatisface quex−1>0, entonces es estrictamente positivo.

18. Si un n´umero realxsatisface que−x >0, entonces es estrictamente positivo.

19. Dadosx, y∈Rtales quex < y, para cualquierz∈Rse tiene quex+y < z.

20. Dadosx, y _∈Rtales quex < y, para cualquier z∈Rse tiene que x−z <

y−z.

21. Dadosx, y _∈Rtales quex < y, para cualquier z∈Rse tiene que x+z <

y+z.

22. Si x, y ∈Rson tales que x < y, al multiplicar ambos por a <0 se obtiene

(34)

23. Si x, y _∈Rson tales que x < y, al multiplicar ambos por a <0 se obtiene

ax > ay.

24. Dadosx, y_∈Rtales quex < y, existe un n´umeroa <0 tal queax=ay.

25. Si x, y ∈Rson tales que x < y, al multiplicar ambos por a >0 se obtiene

ax≥ay.

26. Dadosx, y∈Rtales quex < y, existe un n´umeroa >0 tal queax=ay.

27. Al multiplicar ambos lados de una relaci´on de desigualdad, por un n´umero estrictamente positivo, esta no cambia.

28. Existe un n´umero real tal que al multiplicarlo por s´ı mismo, se obtiene el inverso aditivo de 1.

29. Al multiplicar un n´umero real no nulo cualquiera por s´ı mismo, se obtiene un n´umero estrictamente positivo.

30. Six, y, z, w_∈Rson tales quex < y yz < w, entoncesx+y < z+w.

31. Six, y, z, w∈Rson tales quex < y yz < w, entoncesx+z < y+w.

32. Six, y, z_∈Rson tales que x < yyz <0, entoncesx < y−z.

33. Six, y, z, w_∈Rson tales quex < y yz < w, entoncesxz < yw.

34. Si x, y, z, w ∈ R son todos positivos y tales que x < y y z < w, entonces

xz < yw.

35. Six, y, z, w∈Rconx, z >0 y tales quex < yyz < w, entoncesxz < yw.

36. Al multiplicar dos n´umeros reales entre s´ı, ambos est. positivos o ambos est. negativos, se puede obtener tanto un n´umero est. positivo como uno est. negativo.

37. Al multiplicar dos n´umeros reales entre s´ı, ambos est. positivos o ambos est. negativos, se obtiene un n´umero estrictamente positivo.

38. Al multiplicar dos n´umeros reales entre s´ı, ambos est. negativos, se obtiene un n´umero est. negativo.

39. Al multiplicar dos n´umeros reales cuya resta no sea 0, se obtiene siempre un n´umero estrictamente negativo.

40. Al multiplicar dos n´umeros reales cuya resta no sea 0, es posible obtener un n´umero estrictamente positivo.

41. Al multiplicar dos n´umeros reales, ambos no pertenecientes a R ∗

+, siempre se obtiene un n´umero real estrictamente negativo.

42. El inverso multiplicativo de un n´umero real estrictamente negativo es un n´umero estrictamente positivo.

43. El inverso multiplicativo de un n´umero real estrictamente positivo es un n´umero estrictamente positivo.

(35)

45. Si dos n´umeros realesx, y satisfacen que 0< x < y, sus inversos multiplica-tivos satisfacen la relaci´on opuesta, es decirx−1_{> y}−1_.

46. Si dos n´umeros realesx, y satisfacen que 0< x < y, sus inversos multiplica-tivos satisfacenx−1_{< y}−1_.

47. Seaxun n´umero est. negativo. Comox <0, luegox−1_>_0.

48. Dadosa, b_∈Rtales quea≤b, el intervalo [a, b) contiene ab pero no aa.

49. Dadosa, b_∈Rtales quea≤b, entonces [a, b) contiene siempre ab−a.

50. Dadosa, b∈Rtales quea < b, el intervalo [a, b) contiene aapero no ab.

51. Dado un intervalo realI, six1, x2∈I entonces x1+₂x2 ∈I.

52. Dado un intervalo realI,x1, x2∈Iyα∈[0,1], entoncesαx1+(1−α)x2∈I.

53. Dado un intervalo realI,x1, x2∈Iyα1, α2∈(0,1], entoncesα1x1+α2x2∈

I.

54. Sean a, b _∈ R. Si a > 0, la inecuaci´on ax+b < 0 tiene como soluci´on (−∞,−b

a]∪[ b a,∞).

55. Seana, b∈R. Sia <0, la inecuaci´onax+b≥0 tiene como soluci´on [−

b a,

b a].

56. Seana, b_∈R. Sia <0, la inecuaci´onax+b <0 tiene como soluci´on (−

b a,∞).

57. Si el módulo de un número real es 0, entonces necesariamente dicho número es 0.

58. Si el módulo de un número real es estrictamente positivo, entonces dicho número es estrictamente positivo.

59. El módulo de una multiplicación de números reales es igual a la multiplicación de los módulos de dichos reales.

60. El módulo de una suma de números reales es igual a la suma de los módulos de dichos reales.

61. Existe un par de números reales tales que el módulo de su suma es mayor estricta que la suma de sus módulos.

62. Los n´umeros reales xque satisfacen |x−1| ≥ 3 son aquellos del conjunto [−2,3].

63. Los n´umeros reales xque satisfacen |x−1| ≥ 3 son aquellos del conjunto (_−∞,₋3]_∪[3,_∞).