MÉTODO DE GAUSS JORDÁN PARA SISTEMAS LINEALES

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MÉTODO DE GAUSS JORDÁN

PARA SISTEMAS LINEALES

Para resolver un sistema lineal por este método es necesario el siguiente procedimiento.

1. Se forma la matriz aumentada

2. Se transforma la matriz aumentada a su forma escalonada, mediante operaciones elementales de filas.

3. El sistema lineal que corresponde a la matriz escalonada, tiene exactamente las mismas soluciones que el sistema dado.

4. Las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar.

Si se tiene el siguiente sistema lineal.

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

 

 

 

 

 

 

  

 

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

Definición; La matriz coeficiente está formada por todos los coeficientes de las incógnitas del sistema.

   

 

   

 

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Definición; La matriz aumentada se representa de la forma siguiente.

    

 

    

 

n mn m

m

n n

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

  

 

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS

DE UNA MATRIZ:

Eliminación: Se pude sumar un múltiplo constante de una fila a otra fila.

i j i

Fc FF

Escalamiento: Se puede multiplicar una fila por una constante distinta de cero.

i i

c FF

Intercambio: Se pueden intercambiar dos filas cualesquiera.

i j

FF

Definición: Una matriz se dice que es escalonada si verifica las condiciones siguientes.

El primer elemento no nulo ( por la izquierda ) de cada fila es un uno, que se llama uno principal.

Cada uno principal está a la derecha de los uno principales de las filas anteriores. (forma

escalonada).

Las filas nulas, si existen, están en la parte inferior de la matriz.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES

.

Sea A

 

aij y B

 

bij dos matrices de orden m x n entonces la suma se define como:

ABC En donde C

 

cij de orden mxn en otras palabras los elementos cij se obtienen:

ci jai jbi j

Sin embargo la suma de matrices tiene una restricción, la cual es que matrices de diferente orden no se pueden sumar.

Propiedades:

Si k es un escalar y A una matriz entonces k A = A k esto es multiplicar el valor de k por cada elemento de A.

Existe - A tal que A – A = 0 entonces - A se llama la matriz opuesta.

Si A, B ,C, son matrices del mismo orden, entonces se cumple:

a) A + B = B +A

b) A + (B +C) =(A +B) + C

c) K (A + B)=KA + k B si k es un escalar d) Existe D tal que A +D = B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Si A y B son dos matrices entonces el producto AB, en este orden, por ejemplo una matriz A de orden 1 x

(2)

a a a a n

A11, 12, 131 y

                 1 31 21 11 m b b b b B  entonces;

                  1 31 21 11 1 13 12 11, ,

m n b b b b a a a a AB   =

a11b11  a12b21  a13b31a1nbm1

 = C

En otras palabras:

      

m k k kb a C AB 1 1 1

Esto quiere decir que el producto de dos matrices, es la operación de multiplicar la fila por la columna de cada elemento de la fila.

El producto de AB, si A es de orden m x p,

 

aij

A  y B

 

bi j de orden p x n , es otra matriz de orden m x n , C

 

ci j , Tal que;

      p k j k k i j p p i j i j i j

i a b a b a b a b

c 1 2 2 1 1  1 p i j i k k j

k

c a b

El producto está definido cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Propiedades:

Si A, B, C, son matrices conformes, a la suma y al producto se tiene;

A ( B + C ) = AB + AC

( A+ B )C = AC + BC

A( BC ) = ( AB )C, sin embargo,

AB BA

AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0

AB = AC no implica que B = C

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

La traspuesta de una matriz se representa como At , y es la que se obtiene de intercambiar la i-filas por las j- columnas. Esto es;

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2

1 2 1 2

n m

n m

m m m n n n m n

t

a a a a a a

a a a a a a

A A

a a a a a a

                          

Esto es si; Am x n entonces Atn x m En otras palabras si A

aij

entonces  j i

t

Aa

Ejemplo; si

              1 0 1 3 1 2 0 1 1

A entonces;

              1 3 0 0 1 1 1 2 1 t A

La operación traspuesta de matrices satisface las propiedades siguientes.

TEOREMA: Propiedades; si k es un escalar se cumple:

  t t t

B A B

A   

 

A A

t t

  t t

kA kA

  t t t

A B AB

   

r t t r

A

A  para toda r 0

Definición: Una matriz cuadrada A tal que t

A A  , se llama matriz simétrica, además se verifica que si

 

aij

A  es simétrica, entonces aijaji para todos los valores de i y j.

Ejemplo: Sea

             6 5 3 5 4 2 3 2 1

A entonces

             6 5 3 5 4 2 3 2 1 t

A esto es, t

(3)

Propiedades:

 Si A es una matriz simétrica entonces kA, también es simétrica.

 Si A es una matriz cuadrada de orden n, la matriz t

A

A también es simétrica.

 Una matriz cuadrada A tal que At  A se llama hermisimétrica, o antisimétrica

 Para cualquier matriz A, t

AA y AtA también son simétricas.

MATRIZ INVERSA

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible,

( no singular ), si existe una matriz cuadrada B con la propiedad de qué:

A BB AI

Donde I, es la matriz identidad y B es única, entonces B es la matriz inversa de A y se denota como A-1 .

PROPIEDADES:

i] El producto de dos matrices inversas es invertible, su inversa es el producto de las inversas de los factores en orden inverso.

Si A y B son matrices n x n invertibles entonces AB también lo es.

  1 1 1

A B   BA

ii] La inversa de una matriz invertible también es invertible;

1

1

A A

iii] Cualquier producto de un escalar distinto de cero por una matriz invertible es invertible.

1

1 1

c A A

c

 

iv] Si A es una matriz invertible, entonces t

A también lo es;

 

1

1 t

t

A A

v] Si A es una matriz invertible, entonces An es invertible para todos los n enteros no negativos,

 

n 1

1

n

A A

Definición: Una matriz elemental es la matriz que puede ser obtenida al realizar una operación elemental por filas (renglón) sobre una matriz identidad.

Ejemplo: Si

  

 

  

  

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I unas matrices

OPERACIONES ELEMENTALES DE

FILA (RENGLÓN) DE UNA MATRIZ

Eliminación: Sume un múltiplo constante de una fila ( renglón ) a otra fila.

Fic FjFi

Escalamiento: Multiplique una fila por una constante distinta de cero.

c FiFi

Intercambio: Intercambie dos filas.

F

i

F

j

MÉTODO DE GAUSS- JORDAN

Se puede realizar operaciones elementales de filas sobre A e I de manera simultánea mediante la construcción de una matriz aumentada llevándonos a;

 

AI

1

A

I

Si A no puede ser reducida a I , entonces A no tiene inversa.

Algoritmo para invertir una matriz A.

 Se obtiene la forma escalonada reducida de la matriz

 

AI digamos que es

BC

 Si B tiene una fila cero, entonces A no tiene inversa.

 La matriz reducida a la forma

1

A

I por

(4)

DETERMINANTES

Sea A

aij

una matriz cuadrada de orden n Sobre

un cuerpo k

   

 

   

 

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Definición : El determinante de la matriz cuadrada

aij

A  de orden n denotado por,

det ( A ) ó A .

Entonces el determinante de la n-matriz cuadrada A, es de orden n, y frecuentemente se denota por.

A

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Propiedades;

i] Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son nulos entonces el determinante

0

A

ii] Si A es una matriz cuadrada entonces:

t

AA

iii] Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante A , se multiplica por un escalar k, entonces el determinante queda multiplicado por k.

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

ka ka

ka

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

=

nn n

n

n n

a a

ka

a a

ka

a a

ka

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

= K A

iv] Si B se obtiene de A, permutando dos líneas adyacentes cualesquiera entonces:

B   A

v] Si B se obtiene de A, permutando dos líneas cualesquiera entonces:

B   A

vi] Si B se obtiene de A, trasladando una de sus líneas p lugares entonces;

B  1p A

vii] Si dos líneas del determinante son idénticas entonces:

A 0

viii] Si A es una matriz triangular, esto es que las componentes de A son cero encima o debajo de la diagonal, entonces:

A Es el producto de los elementos de la diagonal.

DESARROLLO POR MENORES

.

Una propiedad que permite expresar un determinante de orden n como suma de n determinantes de orden n – 1 es:

Si A es una matriz de orden n x n

   

 

   

 

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

  

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Con M ij denotaremos la submatriz de A que se obtiene omitiendo la fila ( renglón ) i, y la columna j

en A, entonces el determinante Mij se le llama el

menor del elemento aij .

Ejemplo: si

  

 

  

  

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A entonces el Menor

del elemento a11 es;

33 32

23 22 11

a a

a a

M

Menor del elemento a21 es;

33 32

13 12 21

a a

a a

M

Menor del elemento a22 es;

33 31

13 11 22

a a

a a

(5)

Definición: el cofactor de aij de A, se define como;

1

i j

ij ij

A    M

Ejemplo: el cofactor A12 del ejemplo anterior es;

33 31

23 21 33

31 23 21 2 1 12 1

a a

a a

a a

a a

A     

Teorema: El determinante de la matriz A, es igual a la suma de los productos obtenidos, multiplicando los elementos de cualquier fila ó columna por sus respectivos cofactores.

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1 n i i i i i n i n i j i j

j n j j j j n j n j i j i j

i

A a A a A a A a A

A a A a A a A a A

    

    

Nota Para encontrar el determinante de una matriz, es conveniente obtener una matriz equivalente con las operaciones de filas, de tal forma que una fila o columna quede con n-1 elementos igual a cero.

Definición: si

  

  

22 21

12 11

a a

a a

A entonces;

Figure

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