APUNTES DE APOYO FRACCIONES

APUNTES FRACCIONES Y DECIMALES

FRACCIONES

¿Qué es una fracción?

Una fracción es un cociente de dos números enteros . Al de la parte superior se le llama NUMERADOR y al de la inferior DENOMINADOR.

¿Para qué sirve una fracción?

Las fracciones aparecen en muchas partes de las matemáticas , de ahí su importancia .Se usan para muchas cosas pero su significado básico es representar las partes en que se divide algo ( denominador ) y el número de ellas que se toman ( numerador ).

Ejemplos : Podemos representar gráficamente funciones usando la idea anterior.

Dividimos la figura en el número de partes que indique el denominador ( 8 en el ejemplo ) y seleccionamos las que indica el numerador ( las 5 del ejemplo )

8

5

7 3

12 5

6 4 5

12

Ejercicios : Representa las siguientes fracciones

a) b) c)

FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor. Por ejemplo ( usando la representación gráfica ) :

4 3

8 6

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

La forma más sencilla es calcular el decimal correspondiente a cada fracción para comprobar si los valores son exactamente iguales . El método que debe usarse sin recurrir a los decimales es realizar el producto cruzado de las fracciones ( numerador de la primera por denominador de la segunda y denominador de la primera por numerador de la segunda ) . Si los resultados son iguales las fracciones son equivalentes.

¿Cómo construir fracciones equivalentes a partir de una dada?

Se puede hacer esto de dos formas :

• Por amplificación ,multiplicando numerador y denominador por un mismo número .Se podrán crear infinitas fracciones equivalentes.

• Por simplificación, dividiendo numerador y denominador por un mismo número. Solo se podrá hacer si ambos números son divisibles por el mismo.

Ejemplo : Probar , sin usar decimales , si las fracciones 25

2 y

150 6

son equivalentes.

300 150

2• =

300 6 25• =

Ejemplos: Calcula fracciones equivalentes a las dadas.

Luego son equivalentes , al obtenerse el mismo resultado en los productos cruzados.

a) 3 5

Por amplificación :

• Multiplicando arriba y abajo por 2 • Multiplicando arriba y abajo por 3 • Multiplicando arriba y abajo por 7 • Etc....

Por simplificación , no se puede pues no hay números que dividan a 5 y a 3 a la vez.

b) 54 12

Por amplificación :

• Multiplicando arriba y abajo por algún número Por simplificación :

• Se puede dividir entre 2 el numerador y el denominador • También se puede dividir entre 3

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma y resta de fracciones

¿Qué hacer cuando tenemos fracciones con diferentes denominadores?

Debemos buscar fracciones equivalentes a las que nos dan, pero de forma que todas ellas tengan el mismo denominador.

Por ejemplo si queremos sumar 3 1 2 1₊

los denominadores son distintos pero hay fracciones equivalentes a ambas:

....

12

6

8

4

6

3

4

2

2

1

₌

₌

₌

₌

₌

...

18

6

12

4

9

3

6

2

3

1

₌

₌

₌

₌

₌

Vemos que entre las equivalentes las hay que tienen denominadores 1guales (el 6) , podemos usar esas fracciones para hacer la suma:

3

1

2

1

₊

=

₆

3

+

₆

2

=

3

+

₆

2

=

₆

5

Al denominador que usamos se le llama denominador común. No hace falta hacer esta búsqueda para encontrar el denominador común , hay dos métodos para hacerlo más rápido:

PRIMER MÉTODO : MULTIPLICAR DENOMINADORES ENTRE SÍ.

Paso1 : Multiplicar los denominadores entre sí.

Paso2 : Para que las fracciones no cambien debemos modificar también los numeradores , para ello debemos dividir el denominador común encontrado entre el denominador de cada fracción inicial . El resultado de cada una de esas divisiones se multiplica por el numerador de la fracción que corresponda.

Paso3 : Por último los valores obtenidos se operan en el numerador .

Solo se pueden sumar o restar fracciones que tengan el mismo denominador. En ese caso nos ocuparemos de sumar o restar SOLO LOS NUMERADORES y el denominador es el mismo que tienen todas las fracciones.

Ejemplo:

5 7 5

1 2 8 5 1 5 2 5

8_{− + =} − + ₌

Ejemplo:

10

3

4

1

25

2

−

+

Paso 1: 25•4•10 =1000

Este sería nuestro denominador común

Paso 2:

1000 3 ? 1000

1 ? 1000

2

?• ₊ • ₋ •

Dividimos

1000 | 25 1000 | 4 1000 | 10 000 40 000 250 000 100

Multiplicamos

200 3 100 200

1 250 200

2

40• ₊ • ₋ •

Operamos con los numeradores

100 3 1000

30 1000

300 250 80

= =

− +

SEGUNDO MÉTODO: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DENOMINADORES

Paso1: Para buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos descomponerlos en factores de números primos.

Vemos que los dos métodos nos dan el mismo resultado ,si no fuera así algo estaría mal.

Con el primer método evitamos hacer el cálculo del m.c.m. pero a cambio obtenemos ,generalmente ,números muy grandes que complican los cálculos.

Con el segundo método , tenemos el inconveniente de que hay que saber hacer con seguridad el m.c.m. , pero, a cambio , el denominador es , generalmente , mucho mas pequeño y las divisiones son más sencillas.

Paso2 : De las descomposiciones hay que seleccionar ciertos números : todos los números distintos presentes en las descomposiciones con sus exponentes incluidos. En el m.c.m. no puede haber números repetidos , aparecerán siempre números distintos , si hay dos repetidos se elige el de mayor exponente .

Paso3: El producto de estos números es el mínimo común múltiplo y lo usaremos como denominador común para hacer la suma o resta .

Paso4: Para que las fracciones no cambien debemos modificar también los numeradores , para ello debemos dividir el denominador común encontrado entre el denominador de cada fracción inicial . El resultado de cada división se multiplica por el numerador de la fracción que le corresponda.

Paso5: Por último los valores

obtenidos se operan en el numerador .

Ejemplo:

10

3

4

1

25

2

−

+

Paso1: 5 5 4 2 10 2 5 5 2 2 5 5 1 1 1

5 = 52 4 = 22 10 =2• 5

Paso2: Seleccionamos : 52

, 22

( solo aparecen dos números diferentes en las descomposiciones , el 2 y el 5 , pero aparecen con distintos exponentes. Siempre se seleccionan , para el m.c.m. , los de mayor exponente)

Paso3 : m.c.m (4,10,25) =22 •52 = 4 • 25 = 100

Este es nuestro denominador común.

100

3

?

100

1

?

100

2

?

•

−

•

+

•

Paso4: Hay que cambiar los numeradores

Dividimos

100 | 25 100 | 4 100 | 10 0 4 20 25 00 10

Multiplicamos

100 3 10 100

1 25 100

2

4 • ₊ • ₋ •

Paso5: Operamos los numeradores

100

3

100

30

25

8

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar dos fracciones se multiplican , por un lado, los numeradores entre sí y ,por otro , los denominadores entre sí.

Ejemplos: a) 15 14 3 5 7 2 3 7 5 2 = • • =

• b)

5 3 5 1 3 5 1

3• = • = c)

7 10 7 5 2 5 7 2 = • = •

5

3

7

4

=

35

12

División de fracciones

Para dividir fracciones debemos hacer el producto cruzado . En concreto, numerador de la primera por denominador de la segunda será el numerador de la fracción resultado del cociente y denominador de la primera por numerador de la segunda será el denominador del resultado.

5

3

:

7

4

20

21

4

5

7

3

₌

•

•

= b)

5 12 5 4 3 4 5 :

3 = • = c)

35 6 5 7 1 6 5 : 7 6 ₌ • • =

Ejercicios : Practica las siguientes operaciones con fracciones , simplifica siempre los resultados . 1) 3 5 4 1

+ 2)

9 1 3 2

− 3)

3 5 6 1

1− + 4) 2

4 3 5 1 − + 5) 6 7 8 3 12 5 +

− 6)

8 7 1 4 2 −

+ 7)

5 6 4 3

• 8)

3 10 5 18

• 9) 7 6 : 5 12

10) :6 3 4 11) 12 5 3 1 3 2

1 _{• −}

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + 12) 1

3 5 4 1 3 : 6

1 _{+ • −}

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Recuerda que en caso de tener varias posibles operaciones hay un orden : primero los paréntesis o corchetes si los hay , luego las potencias y raíces si las hubiera, después las multiplicaciones o divisiones y lo último siempre son las sumas y restas .

Soluciones : 1) 12 23 2) 3 5 3) 2 5 4) 20 21 − 5) 24 29 6) 8 5 7) 10 9