1 Fco Javier Corral 2013-2014 01. Una partícula con carga q y masa m penetra con una velocidad v en una zona donde hay un campo magnético uniforme B. Calcular:
a) la fuerza que actúa sobre la partícula y el trabajo efectuado por dicha fuerza.
b) el radio de la trayectoria circular descrita en el caso en que v y B sean perpendiculares
Al entrar en el campo magnético la fuerza que actúa es F qv B
La partícula describe una trayectoria circular. La fuerza es perpendicular a v y al desplazamiento en cada momento, por lo que el trabajo es nulo.
W F·e F·e·cos 0 El radio de la trayectoria circular es
2
MAG CP
mv v
F F q·v·B m R
R qB
02. Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 350 V y penetra en una zona en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro de intensidad 1,5·10-4 T. La anchura de la región es de 3 cm. Calcular:
a) La trayectoria descrita
b) La desviación vertical al salir del campo magnético
El trabajo que hace el campo eléctrico se convierte en energía cinética:
19
2 7 1
31
2qV 2·1,6·10 ·350 1
qV mv v 1,11·10 ms
2 m 9,1·10
cuando entra en el campo magnético describe una trayectoria circular de
radio
31 7
19 4
mv 9,1·10 ·1,11·10
R 0,42m
qB 1,6·10 ·1,5·10
se sale de la zona de campo magnético, y sigue en línea recta.
En la figura sen 0,03 0,071 4,096 cos 0,997 0,42
luego la desviación vertical d es: d 0,42 0,42cos 1,26·10 m2
03. Un electrón penetra perpendicularmente en un campo magnético de 2,7 T con una velocidad de 2500 km/s. Calcular:
a) el radio de la órbita que describe b) la frecuencia del movimiento
El radio es 31 6 6
19
mv 9,1·10 ·2,5·10
R 5,27·10 m
qB 1,6·10 ·2,7
el periodo del movimiento es T 2 R 1,32·10 s11
v
y la frecuencia f 1 7,58·10 Hz10
T
04. Un electrón tiene una energía cinética de 3,7 keV sigue una trayectoria circular en un campo magnético B = 2 T. Calcula:
a) el radio de la trayectoria
b) el número de vueltas que da en un minuto. F
v q
B
0,03m
d
0,42m
2 Fco Javier Corral 2013-2014 La energía cinética es
19
3 16
C
1,6·10 J
E 3,7·10 eV 5,92·10 J 1eV
, y de aquí sacamos la velocidad que lleva el
electrón 2 C 7 1
C
2E 1
E mv v 3,61·10 ms
2 m
El radio de la órbita que describe es
31 7
4 19
mv 9,1·10 ·3,61·10
R 1,026·10 m
qB 1,6·10 ·2
la frecuencia es 7 11
4
3,61·10 v
f 3,66·10 Hz
2 R 2 ·1,026·10
y en un minuto da 60·3,66·1011 vueltas.
05. Se sabe que en una zona hay un campo eléctrico E y otro magnético B. Una partícula cargada con carga q entra en dicha región con una velocidad v, perpendicular a B, y se observa que no sufre desviación alguna. ¿Qué relación existe entre las direcciones de los tres vectores E, B y v? ¿Cuál es la relación entre los módulos de los tres vectores?
Posibilidad 1: Los campo eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad de la partícula. Si no se desvía es porque el campo eléctrico hace una fuerza sobre la carga y el campo magnético una igual y de sentido contrario. En ese caso
MAG ELE
F F qvB qE vB E
Posibilidad 2: La velocidad y los dos campos son paralelos. La fuerza del campo eléctrico acelera o frena la partícula en la dirección del movimiento, pero no la desvía. La fuerza el campo magnético se anula
F qv B 0 porque el producto vectorial es cero. No se pueden relacionar los valores de E y B.
06. Un electrón que se mueve con una velocidad de 107 m/s entra en una zona en la que hay un campo
magnético uniforme. El electrón describe una trayectoria semicircular de 0,05 m de radio dentro esa zona y sale en dirección paralela a la de entrada en sentido opuesto. Sabiendo que la relación carga/masa del electrón es 1,76·1011 C/kg, calcular el vector campo magnético.
11 12
q 1,76·10 m 5,68·10
m q
El radio de la órbita es:
7
12 3
mv m v 10
R B 5,68·10 1,1·10 T
qB q R 0,05
El campo B es perpendicular al papel y sale de él.
07. Un electrón se mueve con una velocidad de 3·106 m/s en el interior de un condensador de 20 cm de
longitud y 10 cm de separación entre placas entre las que hay una diferencia de potencial de 150 V. Calcular la intensidad y dirección de un campo magnético que superpuesto al eléctrico haga que el electrón no se desvíe.
Para que no se desvíe los efectos de los dos campos se anulan.
4
E M 6
E V 150
F F Eq qvB B 5·10 T
v v d 3·10 ·0,1
la dirección es perpendicular al papel y saliendo (e-)
FM
B
F
E
3 Fco Javier Corral 2013-2014 08. En un mismo punto de un campo magnético B dejamos en libertad un protón y un electrón. Los dos tienen la misma velocidad, perpendicular a las líneas del campo. Calcular la relación entre los radios de las órbitas descritas y entre los periodos de las mismas. Dato: mp= 1850 me
Las órbitas se describen en sentidos contrarios con un radio P P
E E
R m
mv
R 1850
qB R m
y como el periodo es P P
E E
T R 2 R
T 1850
v T R
09. Una partícula alfa entra con una velocidad v en una zona de 0,1m de anchura en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular de 1,5 T. Calcular:
a) la velocidad mínima para que sea capaz de atravesar toda la zona. b) el radio descrito por un electrón que entre con la misma velocidad.
Para que pueda salir de la zona de campo magnético, el radio de la órbita que describe tiene que ser mayor que 0,1 m
19
6 1
27
mv R qB 0,1·3,2·10 ·1,5
R v 7,06·10 ms
qB m 6,8·10
Para el caso del electrón:
31 6
5 19
mv 9,1·10 ·7,06·10
R 2,68·10 m
qB 1,6·10 ·1,5
10. Dos partículas con la misma carga pero signo contrario se lanzan con velocidades diferentes, paralelas entre sí y en el mismo sentido, perpendiculares a un campo magnético. Las dos partículas chocan después de que la primera gire 90º y la segunda 150º. Calcular:
a) Relación entre los radio de las órbitas descritas. b) Relación entre las velocidades.
c) Relación entre sus masas.
d) Relación entre sus momentos lineales.
La relación entre radios es muy sencilla, si se hace el dibujo:
2
1 2
1
R R R sen30 2
R
Una partícula recorre R1
2
y la otra 15 R2
18 en el mismo tiempo, luego
2
2 2 2
1 1 1 1
15 18 1 2
R
v e 5R 10
v e R 3 R 3
Recordando que 2 2 2 2
1 1 1 1
R m v p mv
R 2
qB R m v p
Utilizando la última expresión 2 2 2 1
1 1 1 2
m v m v 3
2 2
m v m v 5
11. Tenemos un triangulo de catetos 4 y 3 m en el plano del papel por el que circula una intensidad de 3A. Un campo magnético de 3 T es perpendicular al plano papel y entra en él. Calcular la fuerza total que actúa sobre cada lado y sobre el triángulo.
0,1 m
R
R2
B R1
4 Fco Javier Corral 2013-2014 La fuerza del campo sobre cada hilo es F I·L B
3 4 5
F 3·3·3 27 T F 3·4·3 36 T F 3·5·3 45 T
En la figura, sen 3, cos 4
5 5
Las componentes de la fuerza total son
X 5 4
Y 5 3
4
F F cos F 45 36 0
5 F 0
3
F F sen F 45 27 0 5
12. Un electrón que se mueve a través de un tubo de rayos catódicos a 107 m/s, penetra
perpendicularmente en un campo B de 10-3 T que actúa sobre una zona de 4 cm a lo largo del tubo.
Calcula:
a) La desviación que ha sufrido el electrón respecto de su trayectoria.
b) La diferencia de potencial que hay que establecer entre dos placas conductoras, planas y paralelas, para que el efecto del campo electrostático contrarreste los efectos del campo magnético sobre el electrón. Indica cómo deben situarse las placas y la polaridad de cada una.
El radio que describe la partícula en el interior del campo magnético es
31 7
19 3
mv 9,1·10 10
r 0,057m
qB 1,6·10 10
0,04
sen 44,57º
0,057
y la desviación dentro del campo es
d r r·cos r(1 cos ) 0,057·(1 cos44,57) 0,016m
Para que el campo eléctrico anule los efectos del campo magnético las fuerzas tienen que ser iguales y de sentidos contrarios
7 3 4 1
ELE MAG
F F E·q q·v·B E v·B 10 ·10 10 N·C
Y la diferencia de potencial es: 2
A B
V V E·d 4·10 v
13. Dos partículas cargadas describen trayectorias circulares de igual radio en una región en la que existe un campo magnético uniforme. ¿Puede asegurarse que ambas partículas tienen la misma masa? ¿Tienen que ser iguales sus velocidades? Razonar las respuestas.
El radio de la trayectoria que describen es R mv qB
para que el radio sea igual en las dos
partículas, tiene que ser igual el cociente m v q
Las velocidades sólo son iguales si las dos partículas tienen la misma relación carga/masa. F3
F4
F5
I
I I
F5F3
F4
B
0,04m
d
0,057m
5 Fco Javier Corral 2013-2014 14. Un protón penetra en una zona con un campo magnético uniforme de 10-3 T y lleva una velocidad de
500 m/s perpendicular al campo magnético. Determine las siguientes magnitudes del protón en la zona con campo magnético:
a) Módulo de la fuerza y aceleración que experimenta.
b) Potencial eléctrico producido por el protón en el centro de la órbita que describe. c) Velocidad angular y momento angular.
La fuerza es la del campo magnético F qv B 1,6·10 ·500·10 19 3 8·1018N
La aceleración es la centrípeta
19 3
2
7 2
CP 27
v qB 500·1,6·10 ·10 v
a 4,79·10 m·s
R m 1,67·10
El radio de la órbita es R mv 5,22·10 m9
qB
y el potencial V kq 0,276 v R
La velocidad angular v 9,58·10 rad·s10 1
R
y el momento L r mv 4,36·10 kg·m ·s33 2 1
15. Para caracterizar el campo magnético uniforme que existe en una región se utiliza un haz de protones con una velocidad de 5·105 m/s. Si se lanza el haz en la dirección del eje X, la trayectoria de los protones
es rectilínea, pero si se lanza en el sentido positivo del eje Z, actúa sobre los protones una fuerza de 10-14
N dirigida en el sentido positivo del eje Y.
a) Determine, razonadamente, el campo magnético (módulo, dirección y sentido).
b) Describa, sin necesidad de hacer cálculos, cómo se modificaría la fuerza magnética y la trayectoria de las partículas si se lanzaran electrones con la misma velocidad.
La fuerza del campo magnético es F qv B luego
14
19 5
F 10
B 0,125 T
qv 1,6·10 ·5·10
Si se lanzan electrones, describen circunferencias de radio más pequeño (1850 veces) en el plano YZ, en la parte negativa del eje OY. La fuerza del campo magnético es la misma pero va en sentido contrario.
16. En una región del espacio existe un campo magnético uniforme en el sentido negativo del eje Z. Indique, con la ayuda de un esquema, la dirección y sentido de la fuerza magnética en los siguientes casos:
a) un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje X describe la trayectoria indicada. ¡ojo! el electrón tiene carga negativa.
b) una partícula alfa que se mueve en el sentido positivo del eje Z, no se desvía porque v y B forman un ángulo de 180
F qv B
B
F
v
B
F
v
ev
ev
alfa6 Fco Javier Corral 2013-2014 17. Un ion Na+ penetra en un campo magnético de 0,6 T, con una velocidad de 3·103 m/s, perpendicular a
la dirección del campo.
a) Dibujar la fuerza que el campo ejerce sobre el catión Na+ y calcular su valor.
b) Dibujar la trayectoria que sigue el ion Na+ y calcular el radio de la trayectoria.
Dato: mNa+ = 3,8·10-26 kg ; e = 1,6·10-19 C
La fuerza del campo magnético es:
19 3 16
F qvB 1,6·10 ·3·10 ·0,6 2,88·10 N
y el radio descrito:
26 3
3 19
mv 3,8·10 ·3·10
R 1,19·10 m
qB 1,6·10 ·0,6
18. Un protón, un deuterón y una partícula alfa, acelerados desde el reposo por una misma diferencia de potencial V, penetran en una región en la que hay un campo magnético uniforme, B, perpendicular a la velocidad de las partículas.
a) ¿Qué relación existe entre las energías cinéticas del deuterón y del protón? ¿Y entre las de la partícula alfa y del protón?
b) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0,01 m, calcule los radios de las trayectorias del deuterón y de la partícula alfa.
Dato: malfa = 2 mdeuterón = 4 mprotón
El protón y el deuterón tienen carga +1 y la partícula alfa +2. La energía cinética que adquieren en el campo eléctrico es:
PRO DEU
2
C E
ALF PRO
C PRO
PRO DEU PRO ALF PRO
PRO
E E
1
E mv W qV
E 2E 2
2E 2E 2 2
v v v v v v
m m 2 2
El radio de la trayectoria descrita en el campo magnético es:
PRO PRO PRO PRO
DEU PRO ALF PRO
PRO PRO
2 2
2 2
2m v 4m v
mv
R R 2 R R 2 R
qB q B 2q B
19. Una cámara de niebla es un dispositivo para observar trayectorias de partículas cargadas. Al aplicar un campo magnético uniforme, se observa que las trayectorias seguidas por un protón y un electrón son circunferencias.
a) Explique por qué las trayectorias son circulares y represente en un esquema el campo y las trayectorias de ambas partículas.
b) Si la velocidad angular del protón es ωp = 106 rad/s, determine la velocidad angular del electrón y la
intensidad del campo magnético.
La trayectoria es circular porque la fuerza que hace el campo magnético sobre la carga es siempre perpendicular a la velocidad.
6 1
P P E
E
E E P
q m
mv v qB 1
R 1850·10 rad·s
qB R m q m 1850
27 6
2 19
m 1,67·10 ·10
B 1,04·10 T
q 1,6·10
R F
Na+
7 Fco Javier Corral 2013-2014 20. El vector superficie de una espira cuadrada de 0,2 m de lado forma un ángulo de 30º con el campo magnético. Si por la espira circula una corriente de intensidad 5,0 A, calcula la fuerza que actúa sobre cada lado de la espira y el momento del correspondiente par de fuerzas.
Vista 3D Vista superior
Las fuerzas F3 y F4 son iguales y de sentido contrario. Se anulan.
3 4 VER 3 4
F F ILBsen90 5·0,2·1 1N F F F 0
Las fuerzas F1 y F2 son iguales y se anulan, pero producen un giro
1 2 HOR 1 2
1
F F ILBsen90 5·0,2·1 1N F F F 0 M F ·d 0,1N·m
B
S F1
F2
F3
F4
F1
