La continuidad entre espacios topológicos difusos

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. LA CONTINUIDAD ENTRE ESPACIOS TOPOLÓGICOS DIFUSOS. TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE LICENCIADO EN. B. IB. LI O. TE. MATEMÁTICAS. Autor:. Marco Antonio Alayo Yupanqui. Asesor: Mg. Guillermo Ramı́rez Lara. Trujillo - Perú 2013. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. LA CONTINUIDAD ENTRE ESPACIOS TOPOLÓGICOS DIFUSOS. B. IB. LI O. TE. TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. Autor: Marco Antonio Alayo Yupanqui. Asesor: Mg. Guillermo Ramı́rez Lara. Trujillo - Perú 2013. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Jurado. Dr. Wilson Maco Vásquez. Mg. Guillermo Ramı́rez Lara Secretario. B. IB. LI O. TE. Presidente. Dr. José Dı́as Leyva Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) A Dios. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Dedicatoria. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. por mostrarnos dı́a a dı́a. que con humildad, paciencia y sabiduria todo es posible, y. a nuestros padres quienes con. su amor, apoyo y comprensión. incondicional estuvieron siempre a lo largo de nuestra vida. A mi madre Alicia Yupanqui A mi padre Artemio Alayo y a mi hermana Olga Alayo.. B. IB. LI O. TE. estudiantil.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Agradecimiento. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. A Dios, a mi familia, y a todos los investigadores, estudiantes y personal del. B. IB. LI O. TE. departamento de matemáticas por su enseñanza académica.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Presentación Señores miembros del jurado:. En cumplimiento con las normas dispuestas del reglamento de Grados y Titulos de la Universidad Nacional de Trujillo, pongo a vuestra consideración el informe final titulado:. “LA CONTINUIDAD ENTRE ESPACIOS TOPOLÓGICOS DIFUSOS” con el propósito de optar el tı́tulo de licenciado en matemáticas. Expreso mi agradecimiento al profesor Guillermo Ramı́rez Lara por su asesoramiento y el apoyo en la elaboración del presente informe, a mis padres y demás familiares por apoyarme incansablemente en toda mi formación profesional, y ası́ mismo a Dios quien ilu-. TE. minó mi camino para poder seguir adelante. También agradezco , a cada uno de. LI O. los profesores de la Escuela Académico Profesional de Matemaáticas, que con sus. B. IB. conocimientos han contribuido en mi formación profesional.. Trujillo, Diciembre 2013. Marco Antonio Alayo Yupanqui. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Jurado. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Índice general. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3. Dedicatoria. 4. Agradecimiento. 5. Presentación. 6. Resumen. 9. Abstract. TE. Introducción. 1. Preliminares. 10 11 12. LI O. 1.1. Conceptos Topológicos Clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Continuidad entre Espacios Topológicos Clásicos . . . . . . . . . . . . 20. B. IB. 1.3. La Continuidad y la Compacidad en Espacios Topológicos Clásicos . . 21. 2. Conjuntos Difusos. 23. 2.1. Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. La Continuidad entre Espacios Topológicos Difusos. 30. 3.1. Espacio Topológico Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Sucesiones de Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Funciones F-continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. 8. 3.4. Espacios Topológicos Difusos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 40 42. Referencias Bibliográficas. 44. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Conclusiones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Resumen. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La continuidad de una función definida entre espacios topológicos clásicos es un concepto topológico fundamental y de gran importancia para el desarrollo de las matemáticas y de sus aplicaciones. Sin embargo, debido a la complejidad del mundo real y de la imprecisión contenida en muchos fenómenos de la naturaleza éstos se describen o explican mejor mediante los conjuntos difusos, los que fueron introducidos por el ingeniero L. Zadeh (1965) [7].. El concepto de conjunto difuso generaliza el concepto de conjunto clásico. Un conjunto difuso A en un universo X está asociado a una función µA : X → [0, 1] que asigna a cada elemento x de X un número real µA (x) en [0, 1] llamado “grado de pertenencia” del elemento x al conjunto A. Un mayor grado de pertenencia refleja. TE. un sentido de pertenencia “más” fuerte al conjunto A.. Este trabajo se basa en la teorı́a de los espacios topológicos difusos introducidos en. LI O. 1968 por Chang [1] y está orientado a extender al contexto difuso el concepto de continuidad y también un conocido teorema de la topologı́a general que preserva la. B. IB. compacidad.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Abstract. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. The continuity of a function defined between classical topological spaces is a fundamental and very important for the development of mathematics and its applications topological concept. However, due to the complexity of the real world and the imprecision contained in many phenomena of nature these are described or better explained by fuzzy sets , which were introduced by the engineer L. Zadeh (1965) [7]. The concept of fuzzy set generalizes the classical notion of set . A fuzzy set A in a universe X is associated with a function µA : X → [0, 1] that assigns to each element x of X a real number µA (x) in [0, 1] called “ degree of membership ” of the element x to the set A. A higher degree of membership reflects a sense of belonging to “ more ” strong set A.. TE. This work is based on the theory of fuzzy topological spaces introduced in 1968 by Chang [1] and is oriented to extend to the fuzzy context the concept of continuity. B. IB. LI O. and also a well-known theorem of general topology preserving compactness.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Introducción. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Zadeh (1965) [7], introduce el concepto de conjunto difuso definiéndolo mediante una función definida en un universo X y con valores en el intervalo [0, 1] de la recta real, llamada función de pertenencia.. Los conjuntos difusos fueron introducidos para describir matemáticamente situaciones en la que hay clases “mal” definidas, es decir, “colecciones” de objetos para los que no existe un criterio preciso de pertenencia; es decir, hay objetos para los cuales es imposible determinar, cuando pertenece o no a una clase.. Simultaneamente a su descripción de conjunto difuso, Zadeh enuncı́o el problema de definir estructuras topológicas difusas sobre conjuntos clásicos. Chang (1968) [1] introduce los espacios topológicos difusos.. En el Capı́tulo I del presente trabajo revisamos los conceptos topológicos clásicos. TE. empezando con los conceptos elementales como espacio topológico, conjunto abierto,. LI O. cerrado, vecindad, conjunto interior, etc. Propiedades como la compacidad de los espacios topológicos y la continuidad de las funciones entre espacios topológicos.. IB. En el Capı́tulo II se desarrolla los conceptos básicos sobre conjuntos difusos como. B. su definición y principales propiedades. Cabe resaltar que en el contexto difuso se preserva casi todas las propiedades de los conjuntos nı́tidos o clásicos, debido principalmente a que el conjunto difuso es una generalización del concepto de conjunto nı́tido. Finalmente en el Capı́tulo III esta el objetivo de este trabajo que es definir el concepto de continuidad entre espacios topológicos difusos y demostrar que la compacidad entre espacios topológicos difusos se preserva bajo una función continua.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo 1 Preliminares 1.1.. Conceptos Topológicos Clásicos. La topologı́a clásica es matemática cualitativa; es decir, matemática sin números. Podemos decir, a “grosso modo”, que la topologı́a clásica trata de las propiedades cualitativas intrinsicas de las configuraciones espaciales que son independientes de la medida, la posición y la forma.. Definición 1.1.1 (Espacio Topológico) Sea X un conjunto no vacio y sea τ una. TE. famı́lia de subconjuntos de X. La famı́lia τ se llama una topologı́a en X si τ satisface las tres condiciones siguientes:. LI O. (i) X ∈ τ, ∅ ∈ τ. B. IB. (ii) Si Gi ∈ τ para todo i ∈ I, entonces [. Gi ∈ τ. i∈I. (iii) Si G1 ∈ τ y G2 ∈ τ entonces G1 ∩ G2 ∈ τ Si τ es una topologı́a en X, los elementos de τ se llaman conjuntos τ -abiertos de la topologı́a, o simplemente abiertos cuando no hay lugar a confusión. El par (X, τ ) se llama un espacio topológico.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 13. Observación 1.1.1 La condición (iii) de la definición 1.1.1 se puede extender a cualquier número finito n de abiertos de τ .. S. Ejemplo 1.1.1 Si X = {a, b, c} y τ = {X, ∅, {a, b}, {c}}, entonces el par (X, τ ) es. SI C. A. un espacio topológico.. Ejemplo 1.1.2 (Topologı́a discreta e indiscreta) Todo conjunto no vacio X tiene. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. dos topologı́as llamadas triviales. Una de ellas se llama la topologı́a indiscreta y se representa por “J ”. Los únicos elementos de J son X y ∅. Un espacio topológico (X, J ) se llama un espacio topológico indiscreto. La otra topologı́a trivial en un conjunto no vacio X es la topologı́a discreta, que se representa por “D”. La topologı́a discreta en X está formada por todos los subconjuntos de X. Un espacio topológico (X, D) se llama un espacio topológico discreto.. Ejemplo 1.1.3 Sea R el conjunto de los números reales y sea U la familı́a de subconjuntos G de R, tales que : G∈U ⇔. (i) G = ∅ ó. TE. (ii) Si G 6= ∅ y para todo p ∈ G existe un intervalo abierto I tal que p ∈ I ⊂ G. El par (R, U) es un espacio topológico. Esta topologı́a se llama la topologı́a usual. LI O. de los números reales.. IB. Definición 1.1.2 (Conjunto Cerrado) Sea (X, τ ) un espacio topológico. Dire-. B. mos que un subconjunto F de X es τ -cerrado si (X \ F ) ∈ τ . Es decir, F es τ -cerrado ⇔ X \ F es abierto. En adelante, en lugar de τ -cerrado diremos simplemente, cerrado. Ejemplo 1.1.4 Sea X = {x, y, z, u, v} y τ = {X, ∅, {x}, {z, u}, {x, z, u}, {y, z, u, v}}. Entonces τ es una topologı́a en X y (X, τ ) es un espacio topológico.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 14. Notemos que los subconjuntos cerrados de X son los complementos de los elementos de τ , es decir,. S. ∅, X, {y, z, u, v}, {x, z, v}, {y, v}, {x}.. A. Notemos que los conjuntos {x}, {y, z, u, v}, X, ∅, son conjuntos abiertos y cerrados. SI C. a la vez, mientras que el conjunto {x, y} no es ni abierto ni cerrado en (X, τ ).. Teorema 1.1.1 Sean (X, τ ) un espacio topológico, sea I un conjunto arbitrario de. i∈I. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ı́ndices y (Fi )i∈I una familia cualquiera de subconjuntos τ -cerrados de X, entonces \ Fi es un conjunto cerrado. Demostración:. Debemos demostrar que X \. \. Fi es un conjunto τ -abierto. En efecto, por la ley de. i∈I. De Morgan,. X\. \. Fi =. i∈I. [ (X \ Fi ) i∈I. Ademas (X \ Fi ) es un conjunto abierto para todo i ∈ I (definicion 1.1.2) por tanto el conjunto. [. (X \ Fi ). i∈I. LI O. TE. es τ -abierto por la definición 1.1.1, (ii). Luego X\. \. Fi es τ -abierto.. i∈I. B. IB. Teorema 1.1.2 Sea (X, τ ) un espacio topológico. Si F1 , F2 , . . . , Fn son subconjuntos n [ τ -cerrados de X, entonces Fi es un conjunto τ -cerrado. i=1. Demostración: Demostraremos que X \. n [. Fi es un conjunto τ -abierto. En efecto,. i=1. X\. n [ i=1. Fi =. n \. (X \ Fi ). i=1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 15. como (X \ Fi ) es un conjunto τ -abierto para cada i, se deduce de la definición 1.1.1, n \ (iii) y de la observación 1.1.1 que (X \ Fi ) es τ -abierto. i=1. S. Definición 1.1.3 (Vecindad de un punto) Sea (X, τ ) un espacio topológico y. A. sea p ∈ X. Un subconjunto N de X se llama una vecindad de p si existe un conjunto. SI C. abierto G tal que p ∈ G ⊂ N .. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Observación 1.1.2 Una vecindad de un punto no es necesariamente un conjunto abierto, pero todo conjunto abierto es una vecindad de cada uno de sus puntos. Teorema 1.1.3 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. El conjunto A es un conjunto abierto si y solo si, A contiene una vecindad de cada uno de sus puntos.. Demostración: ⇐]. Supongamos que A contiene una vecindad de cada uno de sus puntos, es decir, para todo p ∈ A existe una vecindad Np de p tal que Np ⊂ A. Luego, por definición de vecindad, existe un conjunto τ -abierto Gp tal que. TE. p ∈ Gp ⊂ Np. LI O. Ahora, sea G =. [. Gp , demostraremos que G = A. En efecto, si x ∈ A, entonces,. p∈A. por definición de Gx , x ∈ Gx , por tanto, x ∈. [. Gp = G.. p∈A. IB. Si x ∈ G, entonces x ∈ Gp para algún p ∈ A, pero Gp ⊂ Np ⊂ A. Luego x ∈ A. En. B. consecuencia, A = G. Pero G es un conjunto τ -abierto, porque es la unión de una. colección de conjuntos τ -abiertos. Por tanto, A es τ -abierto.. ⇒] Supongamos que A es τ -abierto. Entonces A es un τ -vecindad de cada uno de sus puntos. Como A ⊂ A, se deduce que A contiene un τ -vecindad de cada uno de sus puntos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 16. Definición 1.1.4 Dado un espacio topológico (X, τ ), se dice que una famı́lia B = (Ai )i∈I de subconjuntos de X es una base de τ , si y sólo si:. Ai. i∈J. A. [. SI C. (ii) Para todo A ∈ τ existe J ⊂ I tal que A =. S. (i) Ai ∈ τ , para todo i ∈ I. Definición 1.1.5 (Puntos de acumulación) Sea (X, τ ) un espacio topológico, y. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sea A un subconjunto de X. El punto de p ∈ X se llama un punto de acumulación de A si y sólo si para toda vecindad N de p,. (N − {p}) ∩ A 6= ∅,. es decir, “toda vecindad de p contiene al menos un punto de A diferente de p”. El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denotara por A0 y se llama el conjunto derivado de A.. Teorema 1.1.4 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. El conjunto A es cerrado si, y sólo si A0 ⊂ A. Demostración:. TE. ⇐]. Supongamos que A es cerrado. Demostraremos que A0 ⊂ A. Si p ∈ A0 , entonces p. LI O. es un punto de acumulación de A y por tanto, toda vecindad de p contiene por lo menos un punto de A distinto de p. Supongamos que p ∈ / A, y demostremos que esto. IB. conduce a una contradicción. Si p ∈ / A, entonces p ∈ X \ A. Como A es τ -cerrado,. B. X \ A es abierto. Por tanto, existe una vecindad N de p tal que N ⊂ (X \ A). Esto implica que ningún punto de N es un punto de A, lo cual contradice el hecho de que p sea un punto de acumulación de A. Esta contradicción resulta de haber supuesto que p ∈ / A, por tanto , p ∈ A. En consecuencia A0 ⊂ A.. ⇒] Supongamos ahora que A0 ⊂ A. Tenemos que demostrar que A es cerrado o, lo. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 17. que es equivalente, que X \ A es abierto. Si p ∈ X \ A, entonces p ∈ / A. Como A0 ⊂ A, p ∈ / A0 . Luego existe una vecindad de N de p que no contiene a ningún punto de A. Por tanto, N ⊂ X \ A, luego (por el teorema 1.1.3) X \ A es abierto.. A. S. Por consiguiente, A es cerrado.. SI C. Teorema 1.1.5 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X, y. τ -cerrado.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sea A0 el conjunto de todos los puntos de acumulación de A. Entonces A ∪ A0 es. Demostración:. Por D’Morgan tenemos:. X \ (A ∪ A0 ) = (X \ A) ∩ (X \ A0 ). Luego si p ∈ [X \ (A ∪ A0 )], entonces p ∈ (X \ A) y p ∈ (X \ A0 ). Como p ∈ / A0 existe una vecindad τ -abierto U de p que no contiene ningún punto de A diferente de (posiblemente) p.. Como p ∈ / A, la vecindad U no contiene puntos de A. Como U es una vecindad abierto de p que no contiene ningún punto de A, entonces ningún punto q ∈ U es un punto de acumulación de A. Luego U no contiene ningún punto de A0 y tampoco. LI O. TE. contiene puntos de A,. U ⊂ (X \ A) ∩ (X \ A0 ) = X \ (A ∪ A0 ). Por tanto, X \ (A ∪ A0 ) es abierto y entonces A ∪ A0 es cerrado.. B. IB. Definición 1.1.6 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. La cerradura (clausura) de A, denotada por “Ā”, es el menor subconjunto cerrado de X que contiene a A. (La existencia de Ā queda garantizada por el teorema 1.1.1) Teorema 1.1.6 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. Entonces Ā = A ∪ A0 donde A0 es el conjunto derivado de A.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 18. Demostración: Del teorema 1.1.5 se deduce que A ∪ A0 es un conjunto cerrado. Luego:. A. S. Ā ⊂ A ∪ A0. SI C. ya que Ā es el menor conjunto cerrado que contiene a A. Demostraremos ahora que A ∪ A0 ⊂ Ā. Si p ∈ A, entonces p pertence a todo conjunto cerrado que contenga. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. a A, luego p ∈ Ā. Si p ∈ A0 , entonces toda vecindad de p contiene a puntos de A diferentes de p, y entonces toda vecindad de p contiene puntos diferentes de p de cualquier conjunto que contenga a A. Luego p es un punto de acumulación de cualquier conjunto que contenga a A. Como un conjunto cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación, p está en todo conjunto cerrado que contenga a A. Luego p ∈ Ā. Por tanto A ∪ A0 ⊂ Ā. En consecuencia A ∪ A0 = Ā.. Definición 1.1.7 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. El conjunto A se llama denso en X(con relación a τ ) si Ā = X. Definición 1.1.8 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A un subconjunto de X. Un punto p es un punto interior de A si A es una vecindad de p. ◦. TE. El interior de A, denotado por “int A” o A, es el conjunto de todos los puntos. LI O. interiores de A.. Teorema 1.1.7 Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea A u subconjunto de X. Las. B. IB. siguientes afirmaciones son válidas ◦. (i) A⊂ A. ◦. (ii) El A es un conjunto abierto. (iii) A es un conjunto abierto si, y sólo si, ◦. A= A. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conceptos Topológicos Clásicos. 19. ◦. ◦. (iv) Si G es un conjunto abierto y G ⊂ A, entonces G ⊂A. Es decir el A es el conjunto abierto más grande contenido en A. S. Demostración: ◦. SI C. A. (i) Si p ∈A entonces existe G ∈ τ tal que p ∈ G ⊂ A, luego p ∈ A. Por tanto ◦. A⊂ A. ◦. ◦. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. (ii) Si p ∈A entonces existe G ∈ τ tal que p ∈ G ⊂ A. En consecuencia el A es un conjunto abierto. (iii) ⇒]. ◦. ◦. Por (i) se cumple que: A⊂ A. Luego solo falta probar que A ⊂ A. Sea p ∈ A. Como A es abierto existe G ∈ τ tal que p ∈ G ⊂ A. Por tanto, ◦. p ∈ A.. ◦. En consecuencia: A = A. ⇐]. ◦. ◦. Sea p ∈ A. Como A = A se tiene que p ∈ A luego existe G ∈ τ tal que p ∈ G ∈ A y por tanto A es abierto.. ◦. ◦. TE. (iv) Si p ∈ G y como G ⊂ A y G abierto entonces p ∈ A. Luego G ⊂ A.. LI O. Ejemplo 1.1.5 Consideremos el espacio topológico (X, τ ), donde X = {x, y, z, u, v} y τ = {X, ∅, {x}, {z, u}, {x, z, u}, {y, z, u, v}}. Notemos que si A = {x, y, z}, en-. IB. tonces y ∈ A0 pues los conjuntos abiertos que contienen y son {y, z, u, v} y X, y. B. cada uno de estos contiene un punto de A diferente de y sin embargo, el punto x∈ / A0 ya que el conjunto abierto {x} no contiene ningún punto de A diferente de x. Análogamente, u y v son puntos de acumulación de A pero z no lo es, ya que el conjunto abierto {z, u} no contiene ni a x ni a y. Por tanto A0 = {y, u, v}, tambien podemos comprobar que {y} = {y, v} ya que {y, v} es el conjunto cerrado más. pequeño que contiene a {y}. Similarmente, {x, z} = X y {y, u} = {y, z, u, v}. De la igualdad {x, z} = X podemos afirmar que {x, z} es denso en X.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Continuidad entre Espacios Topológicos Clásicos. 1.2.. 20. Continuidad entre Espacios Topológicos Clásicos. Definición 1.2.1 Sea f : X → Y una función.. A SI C. f (A) = {f (x)/ x ∈ A}. S. (i) Si A ⊂ X, entonces. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. (ii) Si B ⊂ Y , entonces f −1 (B) = {x ∈ X/ f (x) ∈ B}. Teorema 1.2.1 Sea f : X → Y una función y sean A, B ⊂ X y C, D ⊂ Y . Entonces. (i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). (ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). (iii) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) (iv) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D). TE. (v) f (f −1 (A)) = A, si f es sobreyectiva. Demostración:. LI O. (Ver [4] pp. 38). Definición 1.2.2 (Continuidad) Sean (X, τX ) e (Y, τY ) dos espacios topológicos. B. IB. y f : X → Y una función. La función f se llama continua (con más precisión. (τX − τY )-continua) si f −1 (G) es τX -abierto siempre que G es τY -abierto. Es decir, la aplicación f es continua si, y sólo si, la imagen inversa por f de todo conjunto τY -abierto es un conjunto τX -abierto. Ejemplo 1.2.1 Sea f : R → R definida por f (x) = 2 ∀x ∈ R.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 La Continuidad y la Compacidad en Espacios Topológicos Clásicos 21. Demostraremos que A es J − U continua, donde J y U son las topológias indiscreta y usual respetivamente sobre el conjunto de los números reales.. S. f −1 (G) =.   R, si 2 ∈ G. A. Si G ∈ U entonces. SI C.  ∅, si 2 ∈ /G. como R y ∅ son ambos J -abiertos, se deduce que f es J − U-continua. Obsérvese. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. que si τ es una topologia cualquiera en R, entonces R y ∅ son conjuntos τ -abiertos. Asi, pues, f es τ − U-continua para toda topológia τ .. Teorema 1.2.2 Sean (X, τX ) e (Y, τY ) dos espacios topológicos y f una aplicación de X en Y . Entonces las proposiciones siguientes son equivalentes: (i) La aplicación f es continua.. (ii) Si F es τY -cerrado entonces f −1 (F ) es τX -cerrado. (iii) Si p ∈ X entonces:. Si N es τY -vecindad de f (p) entonces f −1 (N ) es un τX -vecindad de p. (iv) Si p ∈ X y N es τY -vecindad de f (p), entonces existe un τX -vecindad M de p. TE. tal que. f (M ) ⊂ N.. LI O. (v) Si A ⊂ X, entonces f (Ā) ⊂ f (A). Demostración:. B. IB. (Ver [4] pp. 41). 1.3.. La Continuidad y la Compacidad en Espacios Topológicos Clásicos. Definición 1.3.1 (Cubrimiento) Una famı́lia C = (Ai )i∈I de subconjuntos de un [ conjunto X se llama un cubrimiento de X si X = Ai . i∈I. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 La Continuidad y la Compacidad en Espacios Topológicos Clásicos 22. Si C1 es un cubrimiento de X y C2 es un cubrimiento de X tal que C2 ⊂ C1 , entonces C2 se llama un subcubrimiento de C1 .. S. Definición 1.3.2 (Cubrimiento abierto) Sea (X, τ ) un espacio topológico. Un. A. cubrimiento C de X se lama cubrimiento τ -abierto de X si cada elemento de C es. SI C. un conjunto τ -abierto.. tos.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Un cubrimiento C de X se llama finito si C tiene sólo un número finito de elemen-. Ejemplo 1.3.1 Si C1 = ( ] − n, n[ )n∈Z+ , entonces C1 es un cubrimiento abierto de R. Igualmente C2 = ( ] − 2n, 2n[ )n∈Z+ es un subcubrimiento de C1 . 1 Ejemplo 1.3.2 La familia C1 = 0, 1 − es un cubrimiento abierto n + 1 + n∈Z 1 de ]0, 1[ y C2 = 0, 1 − es un subcubrimiento de C1 . 4(n + 1) n∈Z+ Definición 1.3.3 (Compacidad) Un espacio Topológico (X, τ ) se llama compacto si todo cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento finito.. Teorema 1.3.1 Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos y f una aplicación (τX − τY )-continua de X sobre Y . Si (X, τX ) es compacto, entonces (Y, τY ) es compacto.. TE. Demostración:. LI O. Sea (Ai )i∈I un cubrimiento τY -abierto de Y . Entonces, como f es continua, la famı́lia (f −1 (Ai ))i∈I es un cubrimiento de τX -abierto de X.. B. IB. Como (X, τX ) es compacto, existen indices i1 , i2 , . . . , in ∈ I tales que X = (f −1 (Aij ))1≤j≤n. Como f es sobre, Y = f (X) =. n [. (f (f. j=1. −1. (Aij ))) =. n [. (Aij ). j=1. Por tanto (Aij )1≤j≤n es un cubrimiento abierto de Y y es un subcubrimiento finito de (Ai )i∈I . Luego (Y, τY ) es compacto.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo 2 Conjuntos Difusos 2.1.. Conjuntos Difusos. Las bases de la Teorı́a de conjuntos difusos aparecen en el trabajo de Lofti Zadeh [7] publicado en 1965, donde se introduce por primera vez de manera formal la definición de un conjunto difuso. Esto da origen a una serie de conceptos, operaciones y medidas que son aplicables a innumerables disciplinas de la Ciencia.. Los conjuntos difusos son una generalización de los conjuntos clásicos, también llamados nı́tidos.. TE. En la teorı́a de conjuntos difusos los elementos pueden pertenecer parcialmente a. LI O. los conjuntos. El grado de pertenencia se determina por el valor de una función de pertenencia.. IB. Definición 2.1.1 (Conjunto Difuso) Sea el conjunto X 6= ∅. Un subconjunto. B. difuso A de X es una funcion µ : XA → [0, 1], donde [0, 1] es el intervalo cerrado. real y µA se llama “función de pertenencia” de A. El conjunto difuso A se puede representar formalmente, como: A = {(x, µA (x))/ x ∈ X} donde x es un elemento del universo y µA (x) es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso A. Es claro que 0 ≤ µA (x) ≤ 1, ∀x ∈ X.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Difusos. 24. En adelante, la expresión “A es subconjunto difuso de X”⇔“A es un conjunto difuso en X”.. A. (2; 0.75), (3, 1), (4; 1), (5; 0.5), (6; 0)} un subconjunto difuso de X.. S. Ejemplo 2.1.1 (Caso discreto) Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un universo y A = {(1; 0.5),. SI C. Notemos que µA (3) y µA (4) valen 1, es decir, los elementos 3 y 4 pertenecen totalmente al conjunto difuso A. Además, los elementos 1, 2 y 5 pertenecen parcialmente. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. a A, pero 2 pertenece “mucho mas” a A que 1 y 5. Similarmente ya que µA (6) = 0, 6 no pertenece a A.. TE. Figura 2.1: Gráfica del conjunto difuso A.. LI O. Ejemplo 2.1.2 (Caso continuo) Sea X = R. El conjunto difuso B de los “números. B. IB. reales cercanos a cero” se define mediante la función de pertenencia:.     1 + x4 , si − 4 ≤ x ≤ 0    µB (x) = 1 − x , si 0 ≤ x ≤ 4 4       0 , en otros casos. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 25. SI C. A. S. 2.1 Conjuntos Difusos. Figura 2.2: Gráfica del conjunto difuso B.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Definición 2.1.2 (Igualdad e inclusión de conjuntos difusos) Sean A y B conjuntos difusos en un conjunto X 6= ∅.. (i) El conjunto difuso A es igual al conjunto difuso B, es decir A = B si, y sólo si,. µA (x) = µB (x), ∀x ∈ X.. (ii) El conjunto difuso A es subconjunto del conjunto difuso B y se denota A ⊂ B si, y sólo si,. µA (x) ≤ µB (x), ∀x ∈ X.. Definición 2.1.3 (Operaciones con conjuntos difusos) Sean A y B conjuntos. TE. difusos en un universo X 6= ∅.. (i) Se llama Unión Difusa de A y B, y se denota A∪B, al conjunto difuso definido. µA∪B (x) = máx{µA (x), µB (x)}, ∀x ∈ X.. IB. LI O. por la función de pertenencia:. B. (ii) Se llama Intersección Difusa de A y B, y se denota A ∩ B, al conjunto difuso definido por la función de pertenencia: µA∩B (x) = mı́n{µA (x), µB (x)}, ∀x ∈ X.. (iii) Se llama Complemento Difuso de A, y se denota Ac , al conjunto difuso definido por µAc (x) = 1 − µA (x), ∀x ∈ X.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Difusos. 26. Definición 2.1.4 Sea un conjunto X 6= ∅ y sea (Ai )i∈I una famı́lia cualquiera de conjuntos difusos en X.. S. (i) Se llama Unión Difusa de la famı́lia (Ai )i∈I al conjunto difuso definido por la. µC (x) = sup{µAi (x)}, ∀x ∈ X, i∈I. [. Ai. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. donde C =. SI C. A. función de pertenencia:. i∈I. (ii) Se llama Intersección Difusa de la famı́lia (Ai )i∈I al conjunto difuso definido por la función de pertenencia:. µD (x) = ı́nf {µAi (x)}, ∀x ∈ X, i∈I. donde D =. \. Ai. i∈I. Teorema 2.1.1 Sea (Ai )i∈I una familia de conjuntos difusos en X y B un conjunto difuso en X. Entonces: ! [ [ (i) B ∩ Ai = (B ∩ Ai ) i∈I. i∈I. TE. !. \. LI O. (ii) B ∪. B. IB. (iii). (iv). [. Ai. =. \. (B ∪ Ai ). i∈I. i∈I. !c. Ai. =. i∈I. \. Aci. i∈I. !c \. Ai. =. i∈I. [. Aci. i∈I. Demostración: (i) µB∩(S. i∈I. Ai ) (x). = mı́n{µB (x), µ(S. i∈I. Ai ) (x)}. = mı́n{µB (x), sup{µAi (x)}} i∈I. µSi∈I (B∩Ai ) (x) = sup{µB∩Ai (x)} = sup{mı́n{µB (x), µAi (x)}} i∈I. i∈I. Se presentan dos casos:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Difusos. 27. a) Si mı́n{µB (x), µAi (x)} = µB (x). ⇒ µB (x) ≤ µAi (x) ≤ sup{µAi (x)}. S. i∈I. i∈I. Ai ) (x). = mı́n{µB (x), sup{µAi (x)}} = µB (x) i∈I. SI C. µB∩(S. A. entonces. = sup{mı́n{µB (x), µAi (x)}} = sup{µB∩Ai (x)} i∈I. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. i∈I. =µSi∈I (B∩Ai ) (x). b) Si mı́n{µB (x); µAi (x)} = µAi (x). ⇒ µAi (x) ≤ µB (x). ⇒ µAi (x) ≤ sup{µAi (x)} ≤ µB (x) i∈I. Por tanto. µB∩(S. i∈I. Ai ) (x). = mı́n{µB (x); sup{µAi (x)}} = sup{µAi (x)} i∈I. i∈I. = sup{mı́n{µB (x); µAi (x)}} i∈I. TE. =µSi∈I (B∩Ai ) (x). LI O. Lo que demuestra la parte (i) del teorema.. B. IB. (ii) Similarmente a la prueba de la parte (i) del teorema. µB∪(T. i∈I. Ai ) (x). = máx{µB (x); µTi∈I Ai (x)} = máx{µB (x);ı́nf {µAi (x)}} i∈I. y tambien µTi∈I (B∪Ai ) (x) = ı́nf {µB∪Ai } = ı́nf {máx{µB (x); µAi (x)}} i∈I. i∈I. Se presentan dos casos:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Difusos. 28. a) Si máx{µB (x); µAi (x)} = µB (x) ⇒ µAi (x) ≤ µB (x). S. ⇒ ı́nf {µAi (x)} ≤ µAi (x) ≤ µB (x). A. i∈I. i∈I. Ai ) (x). = máx{µB (x);ı́nf {µAi (x)}} = µB (x) i∈I. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. µB∪(T. SI C. entonces. =ı́nf {máx{µB (x); µAi (x)}} i∈I. =µTi∈I (B∪Ai ) (x). b) Si máx{µB (x); µAi (x)} = µAi (x). ⇒ µB (x) ≤ µAi (x). ⇒ µB (x) ≤ ı́nf {µAi (x)} ≤ µAi (x) i∈I. luego. µB∪(T. i∈I. Ai ) (x). = máx{µB (x);ı́nf {µAi (x)}} = ı́nf {µAi (x)} i∈I. i∈I. =ı́nf {máx{µB (x); µAi (x)}}. LI O. TE. i∈I. =µTi∈I (B∪Ai ) (x). Lo que demuestra la parte (ii) del teorema.. IB. (iii). B. µ(S. c. i∈I. µ. T. Ai ). i∈I. (x) = 1 − µSi∈I Ai (x) = 1 − sup{µAi (x)}. Aci (x). i∈I. = ı́nf {µAci (x)} = ı́nf {1 − µAi (x)} i∈I. i∈I. Pero como ı́nf {1 − µAi (x)} = 1 − sup{µAi (x)} i∈I. i∈I. En efecto, dado que ı́nf(α + A) = α + ı́nf A. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Difusos. 29. ı́nf(−A) = − sup A ı́nf {1 − µAi (x)} = 1 + ı́nf {−µAi (x)} = 1 − sup{µAi (x)} i∈I. i∈I. luego. i∈I. =. i∈I. \. Aci. A. Ai. S. !c i∈I. (iv) i∈I. Ai ). c. (x) = 1 − µTi∈I Ai (x) = 1 − ı́nf {µAi (x)} i∈I. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. µ(T. SI C. [. µSi∈I Aci (x) = sup{µAci (x)} = sup{1 − µAi (x)} i∈I. i∈I. Pero como. sup{1 − µAi (x)} = 1 − ı́nf {µAi (x)} i∈I. i∈I. debido a la siguiente propiedad de los números reales: sup(α + A) = α + sup A sup(−A) = −ı́nf A. luego. !c. \. =. [. Aci. i∈I. B. IB. LI O. TE. i∈I. Ai. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo 3. La Continuidad entre Espacios Topológicos Difusos 3.1.. Espacio Topológico Difuso. Definición 3.1.1 Una Topologı́a Difusa sobre un conjunto X es una famı́lia τ de subconjuntos difusos de X que satisface las siquientes condiciones: (i) ∅, X ∈ τ .. TE. (ii) Si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ .. LI O. (iii) Si Ai ∈ τ, ∀i ∈ τ , entonces. [. Ai ∈ τ .. i∈I. IB. Si τ es una topologı́a difusa en X, entonces el par (X, τ ) se llama Espacio Topológico. B. Difuso (E.T.D). Todo elemento de τ se llama un conjunto difuso τ -abierto. nota 3.1 El sı́mbolo ∅ denota el conjunto vacı́o difuso (µ∅ (x) = 0, ∀x ∈ X). Para. X tenemos por definición µX (x) = 1, ∀x ∈ X. Ejemplo 3.1.1 Al igual que para la topologı́a clásica, la topologı́a difusa indiscreta contiene sólo X y ∅; mientras que la topologı́a difusa discreta contiene todos los subconjuntos difusos de X.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Espacio Topológico Difuso. 31. Ejemplo 3.1.2 Sea X un conunto no vacı́o y a ∈ X. Definimos los conjuntos difusos 1X : X → [0, 1]. SI C. A. S. 1X (x) = 1 ∀x ∈ X. 1∅ : X → [0, 1]. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1∅ (x) = 0 ∀x ∈ X. a1/2 : X → [0, 1]   1, 2 a1/2 (x) =  0,. x=a x 6= a. Luego el conjunto T = {1X , 1∅ , a1/2 } es una topologı́a difusa para X y el par (X, T ) es un E.T.D.. Ejemplo 3.1.3 Sea (R, U) el espacio topológico de los números reales con la topologı́a usual. Entonces la familia de conjuntos difusos TU = {1G / G ∈ U} es una topologia difusa para R. En efecto:. TE. (i) Como R, ∅ ∈ U entonces 1R , 1∅ ∈ TU .. LI O. (ii) Si 1G , 1H ∈ TU entonces G, H ∈ U y por tanto G ∩ H ∈ U y en consecuencia 1G∩H ∈ TU y como 1G∩H = 1G ∩ 1H resulta finalmente que 1G ∩ 1H ∈ TU .. B. IB. (iii) Si ∀k ∈ K, 1Gk ∈ TU entonces Gk ∈ U ∀k ∈ K y en consecuencia. [. Gk ∈ U. k∈K. por tanto. 1S. k∈K. Gk. ∈ TU y como. 1S. k∈K. Gk. =. [. 1Gk resulta finalmente que. k∈K. [. 1Gk ∈ TU .. k∈K. Luego TU es una topologia difusa para R y el par (R, TU ) es un E.T.D. Definición 3.1.2 (Conjunto Difuso Cerrado) Sean (X, τ ) un E.T.D y A ⊂ X difuso. El conjunto difuso A se llama τ -cerrado si y solo si Ac es τ -abierto.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Espacio Topológico Difuso. 32. nota 3.2 En adelante si no hay peligro de confusión, llamaremos a un conjunto difuso τ -abierto (τ -cerrado) simplemente conunto difuso abierto (cerrado).. S. Definición 3.1.3 Sean τ1 y τ2 dos topologias difusas sobre X. Diremos que τ1 es. SI C. A. más gruesa que τ2 si y sólo si τ1 ⊂ τ2 .. Definición 3.1.4 Sea (X, τ ) un E.T.D. Diremos que un conjunto difuso V es una. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. vecindad de un conjunto difuso A, si y solamente si, existe un conjunto difuso abierto U tal que A ⊂ U ⊂ V .. Observación 3.1.1 A diferencia del caso nı́tido, en el caso difuso definimos una vecindad de un conjunto difuso en lugar de una vecindad de un punto.. Teorema 3.1.1 Un conjunto difuso A es abierto ⇔ ∀B ⊂ A, A es vecindad de B. Demostración:. ⇒] Obvio, pues A es abierto.. ⇐] Ya que A ⊂ A, por hipótesis exitirá un conjunto abierto difuso U tal que A ⊂ U ⊂ V . Por tanto A = U y ası́ A es abierto.. Definición 3.1.5 (Sistema de Vecindades) Llamaremos sitema de vecindades (S.V.). TE. de un conjunto difuso A a la famı́lia N (A) de todas las vecindades del conjunto di-. LI O. fuso A.. Teorema 3.1.2 Si N es un S.V. de un conunto difuso, entonces:. B. IB. (i) Las intersecciones finitas de miembros de N pertenecen a N .. (ii) Todo conjunto difuso que contiene a un miembro de N pertenece a N .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Espacio Topológico Difuso. 33. Demostración: (i) Si R y S son vecindades de un conjunto difuso A (R, S ∈ N (A)= sistema. S. de vecindades de A). Entonces existen conjuntos difusos abiertos R0 , S0 tal. A. que A ⊂ R0 ⊂ R y A ⊂ S0 ⊂ S. Entonces existe R0 ∩ S0 ∈ τ tal que. SI C. A ⊂ R0 ∩ S0 ⊂ R ∩ S y ası́ R ∩ S es una vecindad de A. Luego la interseccion de dos (y por lo tanto de cualquier número finito) miembros de N es un. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. miembro de N .. (ii) Si V ∈ N y V ⊂ R, entonces existe un conjunto difuso R0 tal que A ⊂ R0 ⊂ V ⊂ R. luego R contine un conjunto abierto difuso R0 tal que A ⊂ R0 ⊂ R y asi R ∈ N.. Definición 3.1.6 Sea (X, τ ) un E.T.D. y sean A, B conjunto difusos en X con B ⊂ A. Diremos que B es un conjunto difuso interior de A si y sólo si A es una vecindad de B.. La unión de los conjuntos difusos interiores de A se llama el interior de A y se denota ◦. por A, es decir. ◦. [. TE. A=. {B/ B es un conjunto difuso interior de A}. ◦. LI O. Teorema 3.1.3 Sea (X, τ ) un E.T.D. y sea A conjunto difuso en X. Entonces A es abierto y es el conjunto difuso abierto más grande contenido en A. El conjunto ◦. IB. difuso A es abierto si y sólo si A =A.. B. Demostración: ◦. ◦. Por definición de A, A es un subconjunto difuso interior de A. Por tanto existe un ◦. subconjunto difuso abierto U tal que A⊂ U ⊂ A. Pero U es un subconjunto difuso ◦. ◦. interior de A y ası́ U ⊂A. Por tanto se cumple A= U . ◦. Por consiguiente A es abierto y es el subconjunto abierto difuso más grande contenido ◦. en A. Si A es abierto, entonces A ⊂A ya que A es un subconjunto difuso interior de ◦. A. Por tanto A =A.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Sucesiones de Conjuntos Difusos. 3.2.. 34. Sucesiones de Conjuntos Difusos. Definición 3.2.1 Sean (An )n∈N una sucesión de conjuntos difusos.. A. SI C. difuso A ⇐⇒ ∃m ∈ N tal que ∀n ∈ N; n ≥ m ⇒ An ⊂ A.. S. (i) Diremos que la sucesión (An )n∈N está contenida eventualmente en un conjunto. (ii) Diremos que la sucesión (An )n∈N está contenida frecuentemente en un conjunto. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. difuso A ⇐⇒ ∀m ∈ N, ∃n ∈ N con n ≥ m tal que An ⊂ A.. (iii) Si (X, τ ) un E.T.D. y An ∈ τ ∀n ∈ N, entonces diremos que (An )n∈N converge a un conjunto difuso A ⇔ (An )n∈N está evencualmente contenido en cada vecindad de A.. Definición 3.2.2 Diremos que la sucesión (Bi )i∈N es una subsucesión de (An )n∈N ⇐⇒ ∃ una aplicación. N : N −→ N. i 7−→ N (i). tal que Bi = AN (i) y ∀n ∈ N ∃m ∈ N tal que i ≥ n ⇒ N (i) ≥ m.. TE. Definición 3.2.3 Un conjunto difuso A en un E.T.D. (X, τ ) es un conunto con-. LI O. glomerado de una sucesión (An )n∈N de conjuntos difusos ⇐⇒ la sucesión (An )n∈N está frecuentemente contenido en toda vecindad de A.. IB. Teorema 3.2.1 Si el sistema de vecindades de cada conjunto difuso en un E.T.D.. B. (X, τ ) es contable, entonces (a) Un conjunto difuso A es abierto ⇐⇒ toda sucesión de conjuntos difusos, (An )n∈N , que converge a un conjunto difuso B contenido en A está eventualmente contenido en A. (b) Si A es un conjunto difuso conglomerado de una sucesión (An )n∈N de conjuntos difusos, entonce existe una subsucesión de (An )n∈N que converge a A.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funciones F-continuas. 35. Demostración: (a) ⇒] Ya que A es un conjunto difuso abierto y B ⊂ A, entonces A es vecindad. S. de B. Ahora, si (An )n∈N es una sucesión de conjuntos difusos que converge a. A. B, entonces (An )n∈N está evenetualmente contenida en A.. SI C. ⇐] Para cada B ⊂ A, sean (Un )n∈N el sistema de vecindades de B. Sea Vn = n \ Ui . Entonces (Vn )n∈N es una sucesión que está evenetualmente contenida en i=1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. cada vecindad de B, es decir, la sucesión Vn converge a B. Por tanto, existe un m ∈ N tal que n ≥ m ⇒ Vn ⊂ A. Los Vn son vecindades de B. Por tanto por el teorema 3.1.1, A es abierto.. (b) Sea (Rn )n∈N el sistema de vecindades de A. Sea Sn =. n [. Ri . Entonces la. i=1. sucesión (Sn )n∈N es tal que Sn+1 ⊂ Sn ∀n ∈ N. Ahora ∀i ∈ N, elejimos N (i) ∈ N tal que N (i) ≥ i y AN (i) ⊂ Si . Entonces, (AN (i) )i∈N es una subsucesión de la sucesión (An )n∈N . Claramente esta subsucesión converge a A.. 3.3.. Funciones F-continuas. Ahora, generalizaremos el concepto de función continua a lo que llamamos función F-. TE. continua. Previamente, definiremos los conjuntos difusos inducidos por una función. LI O. y estableceremos sus propiedades.. Definición 3.3.1 Sea f : X → Y una función y sea B un conjunto difuso en Y. B. IB. con función de pertenencia µB (y). Entonces la imágen inversa de B, denotada por. f −1 (B), es un conjunto difuso en X cuya función de pertenencia se define por µf −1 (B) (x) = µB (f (x)) ∀x ∈ X. Ahora, sea A un conjunto difuso en X con función de pertenencia µA (x). La imagen de A, denotada por f (A), es un conjunto difuso en Y cuya función de pertenencia. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funciones F-continuas. 36. se define por. µf (A) (y) =.    sup{µA (x)/ x ∈ f −1 (y)} =. sup µA (x), si f −1 (y) es no vacio x∈f −1 (y). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Teorema 3.3.1 Sea f : X → Y una función. Entonces. SI C. ∀y ∈ Y , donde f −1 (y) = {x ∈ X/ f (x) = y}.. A. S.   0, en otro caso. (a) f −1 (B c ) = (f −1 (B))c para todo conjunto difuso B en Y . (b) f (Ac ) ⊃ (f (A))c para todo conjunto difuso A en X.. (c) B1 ⊂ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ), donde B1 , B2 son conjuntos difusos en Y . (d) A1 ⊂ A2 ⇒ f (A1 ) ⊂ f (A2 ), donde A1 , A2 son conjuntos difusos en X. (e) B ⊃ f (f −1 (B)) ∀ conjunto difuso B en Y . (f ) A ⊂ f −1 (f (B)) ∀ conjunto difuso A en X.. (g) Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones, entonces (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)) ∀ conjunto difuso C en Z. La función g ◦ f : X → Z es la. TE. composición de g y f .. LI O. Demostración:. µf −1 (B c ) = µB c (f (x)) = 1 − µB (f (x)). B. IB. (a) ∀x ∈ X, tenemos. = 1 − µf −1 (B) (x) = µ(f −1 (B))c (x) lo que demuestra (a).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funciones F-continuas. 37. (b) ∀y ∈ Y con f −1 (y) 6= ∅, tenemos µf (Ac ) (y) = sup{µAc (z)/ z ∈ f −1 (y)}. A. SI C. = 1 − ı́nf{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} . . . . . . (1). S. = sup{1 − µA (z)/ z ∈ f −1 (y)}. Por otro lado,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. µ(f (A))c (y) = 1 − µf (A) (y) = 1 − sup{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} . . . . . . (2) De (1) y (2) obtenemos. ı́nf{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} ≤ sup{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)}. ⇒ − sup{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} ≤ −ı́nf{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)}. ⇒ µ(f (A))c (y) = 1−sup{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} ≤ 1−ı́nf{µA (z)/ z ∈ f −1 (y)} = µf (Ac ) (y) lo que prueba (b).. (c) Se cumple que: ∀x ∈ X,. TE. µf −1 (B1 ) (x) = µB1 (f (x)) y µf −1 (B2 ) (x) = µB2 (f (x)). B. IB. LI O. Ahora, ya que B1 ⊂ B2 , entonces. µB1 (f (x)) ≤ µB2 (f (x)) ∀x ∈ X. es decir, µf −1 (B1 ) (x) ≤ µf −1 (B2 ) (x). Por tanto, f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ). (d) Ya que ∀y ∈ Y , se cumple: µf (A1 ) (x) = sup{µA1 (x)/ x ∈ f −1 (y)} y µf (A2 ) (x) = sup{µA2 (x)/ x ∈ f −1 (y)}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funciones F-continuas. 38. Además, por hipótesis, como µA1 (x) ≤ µA2 (x) ∀x ∈ X. A. S. ⇒ µA1 (x) ≤ sup{µA2 (x)/ x ∈ f −1 (y)}. entonces. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. f (A1 ) ⊂ f (A2 ). SI C. ⇒ sup{µA1 (x)/ x ∈ f −1 (y)} ≤ sup{µA2 (x)/ x ∈ f −1 (y)}. (e) Si f −1 (y) 6= ∅, entonces. µf (f −1 (B)) (y) = sup{µf −1 (B) (z)/ z ∈ f −1 (y)} = sup{µB (z)/ z ∈ f −1 (y)}. = sup{µB (f (z))/ y = f (z)} = µB (y). Si f −1 (y) 6= ∅, entonces. µf −1 (f (B)) (y) = 0. Por tanto,. TE. µf −1 (f (B)) (y) ≤ µB (y), ∀y ∈ Y,. LI O. lo que prueba (e).. B. IB. (f) µf −1 (f (A)) (x) = µf (A) (f (x)) = sup{µA (z)/ z ∈ f −1 (f (x))} ≥ µA (x) ∀x ∈ X lo que demuestra (f).. (g) ∀x ∈ X se tiene µ(g◦f )−1 (C) (x) = µC ((g ◦ f )−1 (x)) = µC (g(f (x))) = µg−1 (C) (f (x)) = µf −1 (g−1 (C)) (x) = µ(f −1 ◦g−1 )(C) (x) lo que prueba (g).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funciones F-continuas. 39. Definición 3.3.2 Sean (X, τ ) y (Y, U ) E.T.D. y sea f : (X, τ ) → (Y, U ) una función. Diremos que f es F-continua ⇐⇒ la inversa de todo conjunto difuso U-abierto. S. es un conjunto difuso τ -abierto.. A. Observación 3.3.1 Si f : (X, τ ) → (Y, U ) es una función F-continua y g : (Y, U ) →. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. (Z, S) es una función F-continua, pues. SI C. (Z, S) es una función F-continua de Y a Z, entonces la composición g ◦f : (X, τ ) →. (g ◦ f )−1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) ∀ conjunto difuso S-abierto V. Ahora, ya que f y g son F-continuas, entonces ∀ conjunto difuso S-abierto V , el conjunto f −1 (g −1 (V )) es un conjunto difuso τ -abierto (por (g) del teorema anterior). Por tanto g ◦ f es F-continua.. Teorema 3.3.2 Sea X, Y E.T.D. y f : X → Y una función. Entonces, las condiciones dadas a continuación se relacionan como sigue: (a) y (b) son equivalentes; (c) y (d) son equivalentes; (a) implica (c), y (d) implica (e), donde: (a) La función f : X → Y es F-continua.. TE. (b) La inversa de todo conjunto difuso cerrado es cerrado.. (c) Para todo conjunto difuso A en X, la inversa de toda vecindad de f (A) es una. LI O. vecindad de A.. B. IB. (d) Para todo conjunto difuso A en X y toda vecindad V de f (A), existe una vecindad W de A tal que f (W ) ⊂ V .. (e) Para cada sucesión de conjuntos (An )n∈N en X que converge a un conjunto difuso A en X, la sucesión (f (An ))n∈N converge a f (A). Demostración: (a) ⇔ (b): En efecto, esto es consecuencia inmediata del hecho que f −1 (B c ) = (f −1 (B))c para todo conjunto difuso B en Y .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.4 Espacios Topológicos Difusos Compactos. 40. (a) ⇒ (c): Si f es F-continua, A es un conjunto difuso en X, y V es una vecindad de f (A), entonces (def. de vecindad) V contiene una vecindad abierta W de. S. f (A). Ya que f (A) ⊂ W ⊂ V , entonces. A. f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (W ) ⊂ f −1 (V ). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. f −1 (V ) es una vecindad de A.. SI C. Ahora, ya que A ⊂ f −1 (f (A)) y f −1 (W ) es un abierto difuso en X, entonces. (c) ⇒ (d): Ya que f −1 (V ) es una vecindad de A, tenemos f (W ) = f (f −1 (V )) ⊂ V , donde W = f −1 (V ).. (d) ⇒ (b): Si V es una vecindad de f (A), existe una vecindad W de A tal que f (W ) ⊂ V . Por tanto, f −1 (f (W )) ⊂ f −1 (V ) . Además, ya que W ⊂ f −1 (f (W )), f −1 (V ) es una vecindad de A.. (d) ⇒ (e): Si V es una vecindad de f (A), existe una vecindad W de A tal que f (W ) ⊂ V . Ya que (An )n∈N está eventuamente contenida en W , es decir, existe m ∈ N tal que n ≥ m ⇒ A ⊂ W , entonces f (An ) ⊂ f (W ) ∀n ≥ m. Por tanto, f (An ) → f (A).. TE. nota 3.3 Un homeomorfismo difuso es una función continua difusa biyectiva f de un E.T.D. X sobre un E.T.D. Y , cuya inversa f −1 es también continua difusa. Si existe. LI O. un homeomorfismo difuso entre dos E.T.D., estos espacios se llaman homeomorfos difusos y cada uno es homeomorfo difuso al otro.. IB. Dos espacios topológicos difusos se llaman topológicamente difuso-equivalentes si. B. ellos son homeomorfos difusos.. 3.4.. Espacios Topológicos Difusos Compactos. Definición 3.4.1 Sea (X, τ ) un C.T.D. Una famı́lia A de conjuntos, difusos de X [ es un cubrimiento de un conjunto difuso B de A ⇐⇒ B ⊂ A. Un cubrimiento A∈A. A se llama cubrimiento abierto ⇐⇒ cada conjunto en A es conjunto difuso abierto.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.4 Espacios Topológicos Difusos Compactos. 41. Un subcubrimiento en A es un subfamı́lia de A que también es un cubrimiento. Definición 3.4.2 Un E.T.D. (X, τ ) es compacto ⇐⇒ todo cubrmiento abierto de. S. X tiene un subcubrimiento finito.. SI C. A. Definición 3.4.3 Una famı́lia A de conjuntos difusos tiene , la propiedad de la intersección finita ⇐⇒ cada subfamı́lia finita de A tiene intersección no vacı́a.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Teorema 3.4.1 Un E.T.D. (X, τ ) es compacto ⇐⇒ toda famı́lia de subconjuntos difusos cerrados de X que tienen la propiedad de la intersección finita tiene una intersección no vacı́a Demostración:. Sea A una famı́lia de subconjuntos difusos de X. Entonces, A es un cubrimiento de X ⇐⇒. !c. X=. [. [. A ⇐⇒ X c =. A∈A. A. A∈A. \. ⇐⇒ ∅ =. Ac. Leyes de De Morgan. A∈A. Por tanto, el E.T.D. X es compacto si y sólo si toda famı́lia de subconjuntos difusos. TE. abiertos de X tal que ninguna subfamı́lia finita cubre a X, tiene un cubrimiento y, esto es cierto si y sólo si cada famı́lia de subconjuntos difusos cerrados que tiene la. LI O. propiedad de la intersección finita tiene una intersección no vacı́a.. IB. Teorema 3.4.2 Sean (X, τ ) y (Y, τ 0 ) espacios topológicos difusos y f una función. B. F-continua de X sobre Y . Si X es compacto, entonces Y es compacto. Demostración: Sea B un cubrimiento abierto difuso arbitrario de Y . Entonces [. B=Y. B∈B. ! ⇒ f −1. [. B. = f −1 (Y ) = X. B∈B. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.4 Espacios Topológicos Difusos Compactos. ⇒. [. 42. f −1 (B) = X. B∈B. Pero f. −1. (B) es τ -abierto difuso ∀B ∈ B por f continua difusa y B τ -abierto difuso.. Luego. A. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. A ∗ = {A1 , A2 , . . . , An } ⊂ A .. SI C. Pero por ser X compacto existe un subcubrimiento finito de X. S. Luego A = {f −1 (B)/ B ∈ B} es un cubrimiento abierto difuso de X.. n [. Ai = X. ⇒ f. i=1. n [. !. Ai. = f (X) = Y. i=1. ⇒. n [. f (Ai ) = Y. i=1. Pero Ai = f. −1. (Bi ); i = 1, n y como f (f −1 (Bi )) = Bi , por ser f sobreyectiva entonces B ∗ = {B1 , B2 , . . . , Bn } ⊂ B. B. IB. LI O. TE. es un cubrimiento finito de Y , y por lo tanto Y es compacto.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. CONCLUSIONES. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Al finalizar este trabajo se llega a las siguientes conclusiones:. 1. El concepto de continuidad entre espacios topológicos difusos es una extensión del concepto de continuidad entre espacios topológicos clásicos.. 2. Una función entre espacios topológicos difusos X e Y es continua si la preimagen de todo conjunto difuso abierto en Y es un conjunto difuso abierto en X.. 3. Una función continua entre espacios topológicos difusos preserva la importante. B. IB. LI O. TE. propiedad de la compacidad.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Referencias Bibliográficas. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. [1] CHANG, C. L, Fuzzy Topological Spaces, J. Math. Anal. Appl. 24, 1968, 182189.. [2] KWANG,LEE (2005), First course on Fuzzy Theory and Applications, Edit. Springer Verlag Berlin-Heidelberg, 2005.. [3] MORDESON, J. N. y P. S., Fuzzy Mathematics. An introduction for engineers and scientists, Springer-Verlag (Heidelberg, 1998).. [4] MUNKRES, JAMES, Topology. 2da Edición. Massachusetts Institute of Technology, Pretince Hall Inc. 2000.. [5] NGUYEN HONGT y WALKER ELBERT (2000), A First Course in. TE. Fuzzy Logic. Second Edition, Chapman y Hall / CRC. 2000.. LI O. [6] PU PAO, MING y LIU YIGG, MING, Fuzzy Topology I., J. Math. Anal. Appl. 76, 571-599.. B. IB. [7] ZADEH L. A.: Fuzzy sets. Inform. And Control 8 (1965) 338-353.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

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