SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

PÁGINA 88

EJERCICIOS DE LA UNIDAD Cálculo de potencias

1

Calcula:

a) 22 _{b) 2}3 _{c) 2}4 _{d) 2}5

e) 26 _{f) 2}7 _{g) 2}8 _{h) 2}9

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32

e) 64 f ) 128 g) 256 h) 512

2

Calcula:

a) 42 _{b) 3}5 _{c) 5}3 _{d) 10}4

e) 17 _{f) (–1)}7 _{g) (–1)}8 _{h) (–2)}4

i) (–2)5 _{j) (–5)}2 _{k) –5}2 _{l) (–10)}3

a) 16 b) 243 c) 125 d) 10 000

e) 1 f ) –1 g) 1 h) 16

i) –32 j) 25 k) –25 l) –1 000

3

Calcula:

a) 30 _{b) 3}–1 _{c) 2}–4 _{d) 5}0

e) 5–2 _{f) 10}–3 _{g) 2}–3 _{h) 10}–6

a) 1 b) c)

d) 1 e) f ) = 0,001

g) h) = 0,000001

4

Calcula:

a) 2–2 _{b) (–2)}–2 _{c) –2}–2

d) e) f) 1

(–2)–2

1 2–2

1 22

1 1 000 000 1

8

1 1 000 1

25

1 16 1

a) b) c) –

d) e) = 4 f ) = 4

5

Calcula:

a) 502 _{b) 0,5}2

c) 0,052 _{d) 100}2

e) 100–2 _{f) 0,01}2

a) 2 500 b) 0,25

c) 0,0025 d) 10 000

e) = = 0,0001 f ) 0,0001

Operaciones con potencias

6

Reduce y expresa el resultado en forma de una única potencia:

a) 24_{· 2}3 _{b) 3}4_{· 3}6 _{c) 5}6_{: 5}2

d) 63_{: 6}4 _{e) f)}

g) · h) : i) 35_:

a) 27 _{b) 3}10 _{c) 5}4

d) 6–1 _{e) 2}3 _{f ) 3}0_{= 1}

g) = 2–5 _{h) · 5}2_{= 5 i) 3}5_{· 3}3_{= 3}8

7

Primero reduce y después calcula:

a) 35_{· 3}–4 _{b) 10}2_{· 10}4

c) 55_{: 5}3 _{d) 10}2_{: 10}–2

e) : 26 _{f ) 3}–4_·

a) 35_{· 3}–4_{= 3 b) 10}2_{· 10}4_{= 10}6_{= 1 000 000}

1 34

1 22

1 5 1

25

1 33

1 52

1 5 1

23

1 22

35

35

26

23

1 10 000 1

1002

1 1 —— (–2)2

1 1 —

4 1

4

1 4 1

4 1

c) 5 : 5 = 5 = 25 d) 10 : 10 = 10 = 10 000

e) : 26_{= = f ) 3}–4_{· = 3}–8_{= =}

8

Reduce a una única potencia:

a) (33₎2 _{b) (5}2₎2 _{c) (4}2₎4

d) (5–3₎2 _e)

( )

2 _{f ) (5}3₎–2

a) 36 _{b) 5}4 _{c) 4}8

d) 5–6 _{e) 5}–6 _{f ) 5}–6

9

Calcula:

a)

( )

2 b) (2–3₎2 _{c) (2}3₎–2

d)

( )

–2 e) (23₎2 _{f) (2}–3₎–2

g)

( )

–2 h)

( )

2

a) b) 2–6_{= c) 2}–6₌

d) = 2–6 _{e) 2}6 _{f ) 2}6

g) = 26 _{h) = 2}6

Expresión algebraica de un número mediante potencias de base diez

10

Calcula:

a) 103 _{b) 10}4 _{c) 10}5 _{d) 10}6

e) 10–3 _{f) 10}–4 _{g) 10}–5 _{h) 10}–6

a) 1 000 b) 10 000 c) 100 000 d) 1 000 000 e) = 0,001

f ) = 0,0001 g) = 0,00001 h) 1 = 0,000001 106

1 105

1 104

1 1 000 1

2–6

1 2–6

1 26

1 26

1 26

1 26

1 2–3

1 23

1 2–3

1 23

1 53

1 6 561 1

38

1 34

1 256 1

28

11

Escribe con todas sus cifras las siguientes cantidades:

a) 24 · 107 _{b) 5 · 10}8

c) 4,3 · 105 _{d) 24 · 10}–7

e) 5 · 10–8 _{f) 4,3 · 10}–5

a) 240 000 000 b) 500 000 000

c) 430 000 d) 0,0000024

e) 0,00000005 f ) 0,000043

12

Escribe los siguientes números de forma abreviada, como se ha hecho en los ejemplos:

a) 27 000 000 = 27 · 106 _{b) 30 000 000 000}

c) 2 300 000 d) 0,0006 = 6 · 10–4

e) 0,00000004 f) 0,000026

a) 27 · 106 _{b) 3 · 10}10 _{c) 23 · 10}5

d) 6 · 10–4 _{e) 4 · 10}–8 _{f ) 26 · 10}–6

13

Redondea las siguientes cantidades expresándolas mediante el producto de un número de dos cifras por una potencia de diez:

a) 268 487 529 →27 · 107 _{b) 5 394 628}

c) 15 260 943 d) 0,0005324 →53 · 10–5

e) 0,003715 f ) 0,000000002614

a) 27 · 107 _{b) 54 · 10}5

c) 15 · 106 d) 53 · 10–5

e) 37 · 10–4 _{f ) 26 · 10}–10

Cálculo de raíces

14

Calcula:

a) b) c)

d) e) f )

a) = 14 b) = 21 c) = 0,03

d) √0,0001 = 0,01 e) √4,41 = 2,1 f ) √2,25 = 1,5

√0,0009

√441

√196

√2,25

√4,41

√0,0001

√0,0009

√441

15

Aproxima a las décimas las siguientes raíces:

a) b) c)

a) = 1,7 b) = 7,1 c) = 10,5

16

Calcula:

a) b)

c) d)

e) f )

a) = = 5 b) = = 6

c) = = – 8 d) = = 0,1

e) = = 0,3 f ) = = 0,05

PÁGINA 89

17

Calcula, con error menor de una décima, el lado de un cuadrado de su-perficie 58 cm2_.

El lado del cuadrado mide 7,62 cm.

18

Calcula, con error menor de un centímetro, la arista de un cubo de vo-lumen 2 000 cm3_.

La arista del cubo mide 12,6 cm.

20

Simplifica:

a) · b) :

c) · d) ·

e) · f ) ·

√

1 √14

7

√

2

5

√5

√

22 3

√

6

11

√

8

27

√

2

3

1

√3

√3

√12

√3

   12,53 _{= 1 953,125}

12,63 _{= 2 000,376}

7,622 _{= 58,06}

   7,652_{= 58,5225}

   7,62 _{= 57,76}

7,72 _{= 59,29}

3

√0,053

3

√0,000125 3

√0,33

3

√0,027

3

√0,13

3

√0,001 3

√(– 8)3

3

√–512

3

√63

3

√216 3

√53

3

√125

3

√0,000125

3 √0,027

3 √0,001

3 √–512

3 √216

3 √125

√111

√50

√3

√111

√50

g) · h) ·

a) · = · = = 3 · 2 = 6

b) : = · = = 3

c) · = = = =

d) · = = = 2

e) · =

f ) · = =

g) · = =

h) · = =

22

Extrae todos los factores que sea posible:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

a) = = 2 · 2 · 2 · 2 · = 24 _{= 16}

b) = 7

c) = = = 3 · 3 · = 32 _{= 9}

d) = = = 10

e) = = 2

f ) = = 5

g) = = 3

h) = √3₄₀ √323_{· 5} = 23√5 3

√3 3

√33_{· 3}

3

√81

3

√5 3

√53_{· 5}

3

√54

3

√2 3

√23_{· 2}

3

√24

√10

√102_{· 10} √103

√1 000

√3

√3

√3

√32_{· 3}2_{· 3} √35

√243

√3

√3 · 72

√2

√2

√2

√22_{· 2}2_{· 2}2_{· 2}2_{· 2} √29

3 √40

3 √81

3 √54

3 √24

√1 000

√243

√3 · 72

√29

√

7

3

√

5 · 7 · 2

2 · 3 · 5

√

14 15

√

5 2

√

5 6

√

11 · 5

3 · 2 · 11

√

5

22

√

11

3

√2

√

2 · 7

7 √14

√

1 7 √2

√

2 5 √5

√22

√

2 · 3 · 11 · 2 11 · 3

√

22 3

√

6 11 4 9 22 32

√

24

34

√

2 · 23

3 · 33

√

8

27

√

2

3

√32 √3

√3 1

√3

√3

√32_{· 2}2 √22_{· 3}

Reducción de expresiones algebraicas con potencias y raíces

23

Reduce:

a) (a2₎3 _{· b) (a}3₎3_·

( )

5 _c)

( )

2_·

( )

3 _d)

( )

3_·

( )

2

a) (a2₎3_{· = = a b) (a}3₎3_·

( )

5_{= a}9_{· =}

c)

( )

2·

( )

3= · = a d)

( )

3·

( )

2= =

24

Reduce:

a) · b) · c) d)

a) · = = = a2_{· b}

b) · = = =

c) = = =

d) = = =

25

Reduce:

a) b) c) d)

a) = b) = =

c) = : = =

d) = : = = = a a

2√—_a

a√—a

√a5 √a3

1

√a5

1

√a3

1 : √—a3

1 : √—a5

b2

a2

√b4 √a4 √a

√b √b3 √a3 √—b3_: √—_a3

√—a:√—b

√

a b √a

√b √—a3_· √—_b2 √—a2_·√—_b3 √a

(

√a

)

4

(

√a

)

3

1 : √—a3 1 : √—a5 √—b3: √—a3

√—a :√—b

√—a3· √—b2

√—a2_·√—_b3

(

_√a

)

4

(

√a

)

3

3 √a

a· a· √3a

a2

3

√a3_{· a}3_{· a}

a2

3

√a7

a2

3 √a2

a√3a2

a

3

√a3_{· a}2

a

3

√a5

3

√a3

a b

√

a2

b2

√

a3_{· b}

a· b3

√

1

a· b3

√a3_{· b}

√a2_{· a}2_{· b}2 √a4_{· b}2

√a· b2 √a3

3

√a7

a2

3

√a5

3

√a3

√

1

a· b3

√a3_{· b}

√a· b2

√a3

1

a19

1

a9_{· a}10

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

26

Ataúlfo quedó prendado de un precioso caballo. Preguntó por el precio y le pidieron 100 000 €.

A Ataúlfo le pareció excesivo el precio. Sin embargo, hizo una contraoferta: —Acepto el precio —le dijo al vendedor— si me rebajas un céntimo por el primer clavo de herradura, dos céntimos por el segundo, cuatro por el terce-ro…, y así sucesivamente hasta el último clavo de la última herradura. ¿Cuánto pagó, sabiendo que cada herradura se sujetaba con seis clavos?

La rebaja que tiene que hacer, por los sucesivos clavos, es:

20 ₂1 ₂2 ₂3 ₂4 ₂5 _{… 2}23_{céntimos de euro}

223_{+ 2}22_{= 12 582 912 céntimos =125 829,12 €}

223_{+ 2}22_{ya supera los 100 000€que costaba el caballo.}

Por tanto, no pagó nada. ¿Le darían a él la diferencia?

27

Rosana ha construido un gran cubo de 10 cm de arista utilizando cubitos blancos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubitos rojos, iguales a los anteriores, necesita para recubrir totalmente al cubo blanco?

Si se recubre el cubo de 10 cm de arista se obtendrá un cubo de 12 cm de aris-ta.

Se necesitarán, por tanto, 123_{– 10}3_cubitos.

123_{– 10}3_{= 1 728 – 1 000 = 728 cubitos rojos.}

28

Con la calculadora de cuatro operaciones: ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener en pantalla, si solo puedes pulsar dos veces cada una de estas teclas? (Escribe una expresión con las operaciones que le mandas hacer a la máquina.)

99999999 99999999 99999999 99999999 99999999

0 0 1 1 = 9,99999997 · 1023

   223_{= 8 388 608}