Determinación de autovalores de aplicaciones multivaluadas entre espacios normados

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. Determinación de autovalores de aplicaciones multivaluadas entre espacios normados TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE. B. IB. LI. O. T. E. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. Autor: Zamora Vargas, Ricardo Edmundo Asesor: Mg. Ramı́rez Lara, Guillermo Teodoro. Trujillo - Perú 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. Dedicatoria. S. A mis padres, Alejandro y Rosa por apoyarme en todo momento, por los valores que vida.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. me han inculcado y por haberme dado excelentes enseñanzas en el transcurso de mi. A mis hermanos, Vı́ctor y Rosa por ser parte importante de mi vida y por hacer crecer nuestra familia dándonos grandes alegrı́as.. A mi esposa Katherine por estar siempre a mi lado, por su apoyo incondicional y por ser un ejemplo de perseverancia y bondad.. A mi hija Mariana Letizia, por su compañı́a en muchas noches de trabajo y porque. B. IB. LI. O. T. E. gracias a ella este proyecto pudo ser concluido.. i. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. Agradecimiento. S. Agradezco a mis profesores del departamento de matemáticas por las buenas enseñanzas. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. desde el primer dı́a de clases, por mostrarme la ruta en el camino del conocimiento y saberme guiar. Especialmente al profesor José Olivencia, en quien vi un gran amor por la matemática desde el primer dı́a que lo conocı́, al profesor Obidio Rubio por fortalecer la disciplina por el estudio en cada una de sus materias impartidas, a los profesores Julio Peralta y Jenny Rojas por darme la apreciación computacional de la matemática y ofrecerme nuevas perspectivas en su estudio, a los profesores Amado Méndez, Ulices Zavaleta y Nelson Aragonés por desarrollar de forma detallada los aspectos del Análisis Funcional, y finalmente al Profesor Alan Chávez por aceptar el compromiso de ser jurado y a mi asesor Guillermo Ramı́rez por su orientación y apoyo. B. IB. LI. O. T. E. en este trabajo.. ii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Señores Miembros del Jurado:. IC. A. Presentación. En cumplimiento con lo dispuesto por las normas del reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de Trujillo, pongo a su disposición la Tesis titulada: Determinación de autovalores de aplicaciones multivaluadas entre espacios normados. con el propósito de obtener el tı́tulo profesional de Licenciado en Matemáticas.. Trujillo, Agosto de 2019. B. IB. LI. O. T. E. El Autor. iii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Resumen. S. En el presente trabajo, hacemos un estudio de las aplicaciones multivaluadas desde la teorı́a actual.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. sus propiedades básicas hasta resultados entre espacios normados obtenidos gracias a. A través de este estudio, analizamos los autovalores y autovectores de aplicaciones multivaluadas basándonos en los resultados del análisis funcional de operadores lineales acotados. Seguidamente, caracterizamos una aplicación multivaluada a partir de las propiedades que posee su gráfico y presentamos nuevas aplicaciones multivaluadas asociadas a aquellas que son convexas, esto será de gran ayuda en el estudio de los autovalores y de la acotación de sus autoespacios asociados.. Finalmente, definimos la función de emparejamiento mixto sobre el producto cartesiano. E. de gráficos de dos aplicaciones multivaluadas, una entre un espacio de Hilbert y su. T. respectivo espacio dual topológico, y otra entre los espacios duales topológicos de tal. LI. O. espacio de Hilbert, esta función permite establecer propiedades que identifican la no. B. IB. negatividad de los autovalores de las composiciones.. Palabras Claves: Aplicación multivaluada, proceso convexo cerrado, autovalor de recesión, autovector de recesión, función de emparejamiento mixto.. v. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Abstract. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. between normed spaces obtained thanks to present theory.. S. In this work, we study set-valued mappings from its basic properties to results. Through this study, we analyze eigenvalues and eigenvectors of set-valued mappings based in results from linear bounded operators in functional analysis. Then, we show characterizations of set-valued mappings using their graph propierties and present new set-valued mappings associated with convex set-valued mappings, this will result useful in the study of the eigenvalues and the boundedness of their associated eigenspaces. Finally, is defined the mixed pairing function over the cartesian product of graphs belonging to two set-valued mappings, one between a Hilbert space and its topological dual space and the other one between the topological dual spaces of such Hilbert space,. LI. O. T. eigenvalues.. E. this application let set properties identifying the non negativity of the composition’s. IB. Keywords: Set-valued mapping, closed convex process, recession eigenvalue, recession. B. eigenvector, mixed pairing function.. vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lista de Sı́mbolos Dominio de una función f y de un operador T , respectivamente.. F, Fi , G. :. Aplicaciones multivaluadas.. DomF. :. Dominio de F .. ImF. :. Imagen de F .. GrF. :. Gráfico de F .. u. :. Inversa superior de F .. Fl. :. F −1. :. F +G. :. F G. :. G◦F. :. GF. :. ∗. :. X. B(X, Y ). :. Sve (X, Y ). : :. FL. :. F∞. :. A IC S. Suma directa de F y G.. Suma inversa de F y G.. Composición usual de G y F .. Composición cuadrada de G y F . Espacio dual topológico de X.. Espacio de operadores lineales acotados de X en Y .. Conjunto de las aplicaciones multivaluadas estrictas de X en Y . Aplicación adjunta multivaluada de F .. Complemento de Schur de F relativo al operador lineal L. Aplicación multivaluada de recesión de F .. T :. Aplicación trasladada de F .. LI. Aplicación multivaluada acompañante de F .. :. σ(F ). :. Espectro de F .. Eλ (F ). :. Autoespacio de F asociado al autovalor λ.. Rλ (F ). :. Operador resolvente multivaluado de F en λ.. P−. :. Cono polar negativo de P en un espacio de Hilbert.. ∆GrF. :. Diagonal del gráfico de F .. ρ. :. Función de emparejamiento mixto.. B. Fx,y. Inversa de F .. IB. F. . O. F. Inversa inferior de F .. E. ∗. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. F. S. D(f ), D(T ) :. vii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Índice general. Abstract Introducción. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Resumen. V. VI. 1. Materiales y Métodos. 3. 1. Preliminares. 4 4. 1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2. Aplicaciones multivaluadas. 17. E. 1.1. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. T. 2.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.3. Operaciones entre aplicaciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 2.4. Aplicaciones multivaluadas entre conjuntos con estructura . . . . . . .. 47. IB. LI. O. 2.2. Inversas multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B. 3. Análisis espectral de aplicaciones multivaluadas. 56. 3.1. Autovalores de una aplicación multivaluada . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.2. Propiedades de los autoespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.3. Condiciones para la existencia de autovalores no negativos . . . . . . .. 67. 3.4. Autovalores y autovectores de recesión . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. Resultados. 88. viii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 4. Autovalores de las composiciones de aplicaciones multivaluadas. 89. 4.1. Función de emparejamiento mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. 4.2. Propiedades de las composiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 4.3. Composiciones con autovalores no negativos . . . . . . . . . . . . . . .. 96 98 100 102. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Anexos. IC. Referencias bibliográficas. A. S. Conclusiones. ix. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Introducción. 1. Existencia 2. Unicidad. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. cuya función que lo describe satisface las condiciones de:. S. A principios del siglo XX, J. Hadamard definió un problema bien puesto como aquel. 3. Estabilidad. Pero la pregunta fue :. ¿Qué hacer ante un problema mal puesto?. Para responder a esto debı́an estudiarse las funciones que asignaban a un punto un conjunto, es allı́ cuando nace el Análisis multivaluado.. Era claro que el estudio de este nuevo tipo de aplicaciones tendrı́a que extender los. E. conceptos conocidos del análisis clásico. Al ser conjuntos las imágenes de las aplicaciones. O. T. multivaluadas, su estudio estaba muy relacionado con el de las propiedades conjuntistas,. LI. es ası́ que, lo primero en estudiarse fue el concepto de lı́mite y punto de acumulación. IB. de conjuntos, lo cual fue posible gracias a los matemáticos P. Painlevé en 1906 y a K.. B. Kuratowski en 1958. Es conocido el hecho de que, el Análisis Multivaluado no fue muy popular, esto se debe a que los escritores de los volúmenes de Topologı́a del grupo Bourbaki de Francia, decidieron no agregar estas notas porque consideraban las aplicaciones multivaluadas entre dos conjuntos X y Y como aplicaciones univaluadas entre X y 2Y , sin embargo, este fue un craso error y los matemáticos relacionados con el tema se dieron cuenta de los inconvenientes de tal consideración. Si consideraban a F : X → 2Y como aplicación univaluada, entonces:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1. Se perdı́a la naturaleza original del problema, y la posible estructura de Y no podı́a ser explotada. 2. La continuidad se volvı́a muy restrictiva debido a la complicada topologı́a de 2Y . 3. La dificultad provocada debido a esta propuesta da una errónea impresión del. A. S. análisis multivaluado, el cual de hecho puede ser estudiado de una manera más. IC. directa.. S. Es por eso que, fue retomado de forma independiente al análisis clásico pero desarrollando Multivaluado:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. extensiones de este, aquı́ se presenta una breve cronologı́a de los aportes al Análisis. 1. Lı́mites de conjuntos: P. Painlevé en 1906 y K. Kuratowski en 1958. 2. Definición de continuidad y derivada: G. Bouligand y K. Kuratowski en 1932. 3. Teoremas de punto fijo: S. Kakutani en 1941 y Ky Fan en 1969. 4. Trabajos sobre integral multivaluada: R. Aumann, T. Bridgland Jr., G. Debreu, C. Olech y otros desde 1965.. 5. Principios de variación: I. Ekeland en 1974.. E. 6. Teoremas de selección: A. Cellina e independientemente C. Castaing y M. Valadier. T. en 1976.. LI. O. 7. Inclusiones diferenciales: J. Aubin y A. Cellina en 1984, V. Blagodatskikh y A.. IB. Filippov en 1986.. B. 8. Teorı́a de la medida: J. Aubin y H. Frankowska en 1990. 9. Análisis espectral y estabilidad: Alberto Seeger y Philippe Lavilledieu en 2000.. 10. Análisis espectral de orden superior y estabilidad asintótica: Pedro Gajardo y Alberto Seeger en 2006. 11. Cuasiconvexidad de aplicaciones multivaluadas: G. Crespi, D. Kuroiwa y M. Rocca en 2017. 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Veremos a través de este trabajo el desarrollo de la teorı́a espectral multivaluada, definiciones análogas a las del Análisis Funcional clásico tales como autovalor, operador resolvente, espectro, etc., ası́ como propiedades que resultan ser generalizaciones al. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. considerar una aplicación univaluada como un caso particular de aplicación multivaluada.. 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Capı́tulo 1. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Preliminares. En esta sección se presentan algunas definiciones y propiedades importantes del Análisis Convexo y del Análisis Funcional. Destacamos los espacios normados y los espacios de Hilbert, pues las extensiones hacia el Análisis Multivaluado requieren una estructura apropiada en su espacio de definición. Para más referencias, consulte [4], [6], [7], [12] y [13].. 1.1.. Espacios normados. E. Definición 1.1.1. Si X es un espacio vectorial sobre R, una función k.k : X → R es. T. llamada una norma en X si y solo si:. LI. O. (N1 ) kxk ≥ 0, ∀ x ∈ X. IB. (N2 ) kxk = 0 ⇔ x = 0. B. (N3 ) ||λx|| = |λ|kxk, ∀ x ∈ X, ∀ λ ∈ R. (N4 ) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀ x, y ∈ X Al espacio X junto con una norma, (X, k.k), se le denomina espacio normado. Una norma definida en X induce una métrica d : X × X → R+ 0 dada por: d(x, y) = kx − yk y es llamada métrica inducida por la norma k.k. 4. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ejemplo Sea X un espacio vectorial de dimensión finita sobre R con base {e1 , e2 , . . . , en }, P cualquier x ∈ X puede ser escrito como x = ni=1 λi ei para únicos λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R. Para 1 ≤ p < ∞, la función k.kp : X → R+ 0 definida por:. S. !1/p |λi |p. A. ||x||p =. n X. IC. i=1. S. es una norma sobre X.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Definición 1.1.2. Un espacio de Banach es un espacio normado completo con la métrica inducida por la norma.. Definición 1.1.3. Si X, Y son espacios normados y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal. El operador T es llamado acotado si existe un número real c ≥ 0, tal que para cada x ∈ D(T ) : ||T x|| ≤ c||x||.. Nota 1.1.1. Si X, Y son espacios normados, el conjunto de los operadores lineales acotados de X en Y se denota por B(X, Y ). En el caso de ser X = Y , la notación se simplifica a B(X).. Definición 1.1.4. Si X, Y son espacios normados y T ∈ B(X, Y ), se define la norma del operador T como: ||T || = ı́nf{c ≥ 0 : ||T x|| ≤ c||x||}. Equivalentemente, se cumple ||T || =. T. E. que:. ||T x|| . x∈D(T )\{0} ||x|| sup. (1.1). LI. O. Teorema 1.1.1. Si X, Y son espacios normados, B(X, Y ) junto a la norma dada en. IB. (1.1), es un espacio normado. Teorema 1.1.2. Sea X un espacio normado de dimensión finita, entonces todo operador. B. lineal sobre X es acotado.. Definición 1.1.5. Un funcional lineal f es un operador lineal con dominio en un espacio normado X hacia R. Definición 1.1.6. Un funcional lineal acotado f es un operador lineal sobre un espacio normado X con imágenes en R para el cual existe su norma ||f || dada por: ||f || =. |f (x)| . x∈D(f )\{0} ||x|| sup. 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 1.1.7. Si X es un espacio normado, el conjunto de todos los funcionales lineales acotados sobre X constituye un espacio normado llamado espacio dual topológico de X, denotado por X ∗ . Teorema 1.1.3. El espacio dual X ∗ de un espacio normado X es un espacio de Banach. S. sin importar si X lo es o no.. operador adjunto T ∗ : Y ∗ → X ∗ de T , por:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. (T ∗ g)(x) = g(T x) ∀x ∈ X, ∀g ∈ Y ∗ .. IC. A. Definición 1.1.8. Si X, Y son espacios normados y T ∈ B(X, Y ), se define el. Teorema 1.1.4. Sean X, Y espacios normados y T ∈ B(X, Y ), entonces: ||T ∗ || = ||T ||.. Definición 1.1.9. Si X es un espacio normado, se define la forma bilineal canónica: h·, ·i : X × X ∗ → R (x, y). 7→ hy, xi := y(x). Teorema 1.1.5. Sea X un espacio vectorial y p : X → R un funcional sublineal sobre X, es decir, p satisface:. p(λx) = λp(x) , ∀x ∈ X, ∀λ > 0. T. E. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) , ∀x, y ∈ X. g(x) ≤ p(x) , ∀x ∈ G.. IB. LI. O. y sea G ⊂ X un subespacio junto a una aplicación lineal g : G → R que verifica:. B. Entonces, existe un funcional lineal f : X → R que extiende a g, es decir: f (x) = g(x) , ∀x ∈ G f (x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X Corolario 1.1.1. Sea X un espacio normado, G ⊂ X un subespacio y g : G → R una aplicación lineal acotada cuya norma es dada por: ||g||G∗ = sup x6=0. |g(x)| , ||x|| 6. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. entonces, existe un funcional lineal acotado f ∈ X ∗ que extiende g tal que: ||f || = ||g||G∗ . Corolario 1.1.2. Sea X un espacio normado, entonces, para cada x0 ∈ X existe f0 ∈ X ∗ tal que:. hf0 , x0 i = ||x0 ||2 .. A. S. ||f0 || = ||x0 || y. IC. Nota 1.1.2. En general f0 no es único, sin embargo, la unicidad es garantizada cuando. S. X es estrictamente convexo. Como caso particular, cuando X es un espacio de Hilbert.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Teorema 1.1.6. Sea Ω ⊂ Rn abierto y suponga que 1 ≤ p < ∞, 1/p + 1/q = 1. Entonces (Lp (Ω))∗ = Lq (Ω), en el siguiente sentido:. Para cada funcional lineal acotado y ∈ (Lp (Ω))∗ , existe un único g ∈ Lq (Ω) tal que, Z. f (s)g(s)ds, ∀f ∈ Lp (Ω).. y(f ) =. Ω. Más aún, ||y||(Lp (Ω))∗ = ||g||Lq (Ω) .. 1.2.. Convexidad. Definición 1.2.1. Si X es un espacio vectorial y C ⊂ X es no vacı́o, decimos que C. O. T. E. es convexo si:. ∀λ ∈ [0, 1], ∀x1 , x2 ∈ C : (1 − λ)x1 + λx2 ∈ C.. IB. LI. Nota 1.2.1. En un espacio vectorial X, dados x1 , x2 ∈ X puede definirse el segmento [x1 , x2 ] = {(1 − λ)x1 + λx2 : λ ∈ [0, 1]}, .. B. con esto, la definición de convexidad de C es equivalente a: ∀x1 , x2 ∈ C : [x1 , x2 ] ⊂ C... Definición 1.2.2. Si X es un espacio vectorial, la combinación lineal de vectores x1 , x2 , . . . , xn ∈ X: x=. n X. αi xi. i=1. es llamada combinación convexa si. Pn. i=1. αi = 1, αi ≥ 0.. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 1.2.1. Un conjunto convexo contiene todas las combinaciones convexas de sus elementos. Prueba Ver Apéndice 4.3.. A. S. Definición 1.2.3. Si X es un espacio vectorial y C ⊂ X es no vacı́o, decimos que es. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Nota 1.2.2. En particular, los conos contienen el origen.. S. ∀λ ≥ 0, ∀x ∈ C : λx ∈ C.. IC. un cono si:. Definición 1.2.4. Si X es un espacio normado, C ⊂ X y 0 6= v ∈ X, decimos que el conjunto C recede en la dirección v y que v es un vector de recesión de C si C contiene todas las semirrectas en la dirección de v partiendo de un punto arbitrario de C. El conjunto conformado por todos los vectores de recesión de C, incluyendo el origen es llamado cono de recesión de C, denotado por C∞ y dado por:. C∞ = {v ∈ X : x + λv ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.. Propiedad 1.2.1. Sea X un espacio normado, el cono de recesión de un conjunto. T. Prueba. E. convexo C ⊂ X es un cono convexo.. O. La propiedad de ser cono se infiere de la propia definición de C∞ y del hecho de que este. LI. contiene el origen. Por otra parte, para probar la convexidad de C∞ , sean v1 , v2 ∈ C∞ ,. B. IB. θ ∈ [0, 1] y arbitrarios x ∈ C, λ > 0. Entonces: x + λ[(1 − θ)v1 + θv2 ] = (1 − θ)x + θx + (1 − θ)λv1 + θλv2 = (1 − θ)(x + λv1 ) + θ(x + λv2 ) esta última igualdad es una combinación convexa de elementos de C, pues v1 , v2 ∈ C∞ , en consecuencia, x + λ[(1 − θ)v1 + θv2 ] ∈ C, esto implica que (1 − θ)v1 + θv2 ∈ C∞ . Propiedad 1.2.2. Sea X un espacio normado, el cono de recesión de un conjunto cerrado C ⊂ X es cerrado. 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Prueba Sea (vn ) una sucesión en C∞ con vn → v ∈ X, entonces, para arbitrarios x ∈ C, λ > 0 se tiene que x + λvn ∈ C. Ya que C cerrado tenemos que:. S. lı́m(x + λvn ) = x + λv ∈ C. . S. IC. A. de donde se infiere que v ∈ C∞ .. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Observación 1.2.1. Si C es convexo cerrado, entonces C∞ es un cono convexo cerrado que contiene el origen.. Teorema 1.2.2. Sea X un espacio normado y C ⊂ X convexo no vacı́o, entonces: C∞ = {v ∈ X : x + v ∈ C, ∀x ∈ C}. Prueba. 1. Usaremos la nota 1.2.1 y probaremos la igualdad por doble inclusión. ⊂ ] De la definición de C∞ , basta elegir λ = 1.. ⊃ ].. x + v ∈ C, ∀x ∈ C ⇒ (x + v) + v = x + 2v ∈ C. ⇒ [x + (n − 1)v] + v = x + nv ∈ C, ∀n ∈ N. Ahora, elija λ > 0, entonces ∃n0 (λ) ∈ N tal que n0 > λ, ası́. B. IB. LI. O. T. E. ⇒ (x + 2v) + v = x + 3v ∈ C .. .. λv ∈ [0, n0 v], de esto se infiere que: x + λv ∈ [x, x + n0 v] ⊂ C, pues C es convexo. .. Por lo tanto, x + λv ∈ C, ∀λ > 0. 9. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Corolario 1.2.1. Sea X un espacio normado y C ⊂ X un cono convexo no vacı́o, entonces, C∞ = C. Prueba La inclusión C∞ ⊂ C se obtiene fijando x = 0 ya que C es un cono. Para probar la. . C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. inclusión C ⊂ C∞ , tome v ∈ C y cualquier x ∈ C, como C es un cono, tenemos que 1 1 2x, 2v ∈ C, luego, por la convexidad de C, tenemos que (2x) + (2v) = x + v ∈ C, 2 2 es decir, v ∈ C∞ .. Observación 1.2.2. Del teorema anterior, para Q ⊂ X convexo no vacı́o, tenemos: v ∈ Q∞ ⇔ q + v ∈ Q, ∀q ∈ Q. ⇔ v ∈ Q − q, ∀q ∈ Q \ ⇔ v∈ (Q − q) q∈Q. esto permite caracterizar Q∞ y definir un nuevo conjunto que resulta acorde con la definición de Q∞ . Tomaremos ambas como definiciones y estableceremos propiedades basadas en esta caracterización.. E. Definición 1.2.5. Si X es un espacio normado y Q ⊂ X es convexo no vacı́o, se. O. T. define:. B. IB. LI. 1. Cono de recesión de Q: Q∞ =. \. (Q − q). q∈Q. 2. Convexo acompañante de Q: Q =. [. (Q − q). q∈Q. Propiedad 1.2.3. Sea X un espacio normado y Q ⊂ X convexo no vacı́o. Entonces, 1. Q∞ es un cono convexo conteniendo el origen. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2. Q es convexo conteniendo el origen. Prueba 1. Sean q1 , q2 ∈ Q∞ , entonces para arbitrarios q¯1 , q¯2 ∈ Q: q1 ∈ Q − q¯1 , q2 ∈ Q − q¯2 ,. S. es decir q1 + q¯1 , q2 + q¯2 ∈ Q. Ahora, sea λ ∈ [0, 1], entonces:. IC. A. (1 − λ)(q1 + q¯1 ) + λ(q2 + q¯2 ) = (1 − λ)q1 + λq2 + [(1 − λ)q¯1 + λq¯2 ] ∈ Q,. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. o lo que es lo mismo,. (1 − λ)q1 + λq2 ∈ Q − [(1 − λ)q¯1 + λq¯2 ].. Ahora, dado cualquier q ∈ Q y λ ∈ [0, 1], por la convexidad de Q podemos elegir q¯1 = q¯2 = q de modo que [(1 − λ)q¯1 + λq¯2 ] = q, de esto se infiere que: ∀q ∈ Q, (1 − λ)q1 + λq2 ∈ Q − q. es decir,. (1 − λ)q1 + λq2 ∈. \. (Q − q) = Q∞ .. q∈Q. 0∈. \. (Q − q) = Q∞ .. q∈Q. LI. O. T. E. Por otra parte, ∀q ∈ Q, 0 = q − q ∈ Q − q, es decir,. IB. Finalmente, para probar que es un cono, sea q ∈ Q∞ , entonces para cualquier. B. q̄ ∈ Q, se tiene que q + q̄ ∈ Q, de la misma forma, q + (q + q̄) = 2q + q̄ ∈ Q,. procediendo de manera iterativa podemos concluir que nq + q̄ ∈ Q, para todo n ∈ N y consecuentemente por la arbitrariedad de q̄ ∈ Q, se tiene: nq ∈ Q∞ , ∀n ∈ N ahora, ya que Q∞ es convexo y 0 ∈ Q∞ , ∀α ≥ 0, ∃n0 (α) ∈ N con n0 > α tal que: αq ∈ [0, n0 q] ⊂ Q∞ . 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2. Sean q1 , q2 ∈ Q , entonces existen q¯1 , q¯2 ∈ Q tal que q1 ∈ Q − q¯1 y q2 ∈ Q − q¯2 , esto significa que q1 + q¯1 , q2 + q¯2 ∈ Q. Usando la convexidad de Q tenemos que ∀λ ∈ [0, 1]:. S. (1 − λ)(q1 + q¯1 ) + λ(q2 + q¯2 ) = (1 − λ)q1 + λq2 + (1 − λ)q̄1 + λq¯2 ∈ Q. consecuencia, [. (Q − q) = Q .. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. q∈Q. S. (1 − λ)q1 + λq2 ∈ Q − q ⊂. IC. A. Entonces, si q := (1 − λ)q¯1 + λq¯2 ∈ Q, tenemos que (1 − λ)q1 + λq2 + q ∈ Q, en. Por otra parte, fijado cualquier q0 ∈ Q, tenemos que Q − q0 ⊂ Q . Como q0 ∈ Q, se tiene que:. 0 = q0 − q0 ∈ Q − q0 ⊂ Q. .. . Nota 1.2.3. Q no necesariamente es un cono.. Lema 1.2.1. Sea X un espacio normado y Q ⊂ X cerrado convexo no vacı́o. Entonces, q ∈ Q∞ ⇔ ∃(qn ) ⊂ Q, ∃(λn ) ⊂ R+ : λn → 0 ∧ λn qn → q. E. Prueba. T. ⇒ ] Sea q ∈ Q∞ , entonces para cualquier q̄ ∈ Q, se tiene que q+q̄ ∈ Q. Iterativamente. IB. LI. O. obtenemos que:. nq + q̄ ∈ Q, ∀n ∈ N.. B. Definiendo qn := nq + q̄ y λn :=. 1 , se concluye lo requerido. n. ⇐ ] Si existen sucesiones (qn ) ⊂ Q y (λn ) ⊂ R+ tales que λn → 0 y λn qn → q, entonces, para cualquier q̄ ∈ Q podemos definir zn := (1 − λn )q̄ + λqn , como consecuencia del teorema 1.2.1, zn ∈ Q, ∀n ∈ N. Además, por ser Q cerrado,. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. tenemos que: lı́m zn = lı́m(1 − λn )q̄ + lı́m λn qn = q̄ + q ∈ Q de donde inferimos que,. A. S. q ∈ Q − q̄, ∀q̄ ∈ Q. . S. IC. es decir, q ∈ Q∞ .. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Teorema 1.2.3. Sea X un espacio normado y Q ⊂ X convexo cerrado no vacı́o que contiene el origen. Entonces,. Q∞ =. Prueba. \ 1 Q α α>0. ⊂ ] Usaremos el ı́tem 1 de la propiedad 1.2.3,. q ∈ Q∞ ⇒ ∀α > 0 : αq ∈ Q∞. ⇒ ∀α > 0 : αq + q̄ ∈ Q, ∀q̄ ∈ Q. O. T. E. ⇒ ∀α > 0 : αq ∈ Q, para q̄ = 0 1 ⇒ ∀α > 0 : q ∈ Q α \ 1 ⇒ q∈ Q α α>0. IB. LI. ⊃ ] Ya que Q es cerrado, el conjunto. B. Sα :=. \ 1 Q α α>0. es cerrado, consecuentemente, si q ∈ Sα , entonces existe una sucesión (qn ) ⊂ Sα tal que qn → q. Entonces, ∀n ∈ N, ∃k ∈ N : qn ∈. 1 Q, αnk > 0 αnk. Ya que Q contiene el origen, sin pérdida de generalidad, elijamos (αnk ) creciente divergente. De esto se infiere que: 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ∀n ∈ N, ∃αnk > 0, ∃q¯n ∈ Q : qn =. 1 q¯n αnk. entonces, definiendo λn = 1/αnk , tomando la sucesión q¯n = αnk qn y haciendo uso. .. del lema 1.2.1 para (λn ) y (q¯n ) se tiene que q ∈ Q∞ .. . S. Teorema 1.2.4. Sea X un espacio normado finito dimensional y Q ⊂ X un conjunto. IC S. Q es acotado ⇔ Q∞ = {0}. A. convexo cerrado no vacı́o. Entonces,. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Prueba ⇒ ] Primero, note que por el acotamiento de Q, tenemos ∀q̄ ∈ Q, ∃r > 0 : Q ⊂ Br (q̄). (1.2). Ahora, por reducción al absurdo, suponga que existe un vector no nulo q ∈ Q∞ , entonces, por el ı́tem 1 de la propiedad 1.2.3, Q∞ es un cono, ası́, para cualquier α > 0, αq ∈ Q∞ , es decir:. ∀α > 0, αq + q̄ ∈ Q, ∀q̄ ∈ Q. B. IB. LI. O. T. E. y por (1.2), para cada q̄ podemos elegir α adecuadamente de modo que ||αq|| > r.. Figura 1.1: Vectores de recesión fuera de Q. ası́, q̄ + αq 6∈ Br (q̄), es decir, q̄ + αq 6∈ Q, lo que es una contradicción.. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ⇐ ] Realizaremos esta prueba por contraposición. Suponga que Q es no acotado y tomemos una sucesión (qn ) en Q tal que (||qn ||) sea creciente divergente. Definiendo λn = 1/||qn ||, tenemos:. S. λn qn ∈ S = {x ∈ X : ||x|| = 1}. A. Ya que X es finito dimensional, la esfera unitaria S es compacta, por lo que por. IC. el teorema de Bolzano - Weierstrass, existe una subsucesión (λnk qnk ) convergente. S. a un elemento no nulo q ∈ S. Además, como λnk → 0, por el lema 1.2.1 se tiene. 1.3.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. que q ∈ Q∞ .. . Espacios de Hilbert. Definición 1.3.1. Si X es un espacio vectorial sobre R, una función h·, ·i : X ×X → R es llamada un producto interno en X si y solo si: (P I1 ) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀ x, y, z ∈ X (P I2 ) hλx, yi = λhx, yi, ∀ x, y ∈ X ∀ λ ∈ R. T. E. (P I3 ) hx, yi = hy, xi, ∀ x, y ∈ X. O. (P I4 ) hx, xi ≥ 0, ∀ x, y ∈ X ∧ hx, xi = 0 ⇔ x = 0. LI. El espacio X junto con una función producto interno, (X, h·, ·i), se denomina espacio. IB. producto interno. Un producto interno h·, ·i definido en X induce una norma sobre X. B. dada por: ||x|| =. p. hx, xi. y una métrica sobre X dada por: d(x, y) = ||x − y|| =. p. hx − y, x − yi. Definición 1.3.2. Un espacio producto interno es un espacio vectorial dotado de un producto interno. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 1.3.3. Si un espacio producto interno X es completo con la métrica inducida por el producto interno, se dice que X es un espacio de Hilbert. Propiedad 1.3.1. Sea X un espacio producto interno y ||.|| su correspondiente norma inducida, entonces se satisface la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz:. A. S. |hx, yi| ≤ ||x||||y||, ∀x, y ∈ X, .. IC. donde la igualdad se cumple si y solo si {x, y} es linealmente independiente.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. ser representada en términos del producto interno como:.. S. Teorema 1.3.1. Todo funcional lineal acotado f sobre un espacio de Hilbert H puede. f (x) = hx, zi,. donde z depende de f , es unı́vocamente determinado por f y tiene norma ||z|| = ||f ||. Teorema 1.3.2. Sea Y cualquier subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces:. H =Y ⊕Y⊥. donde, Y ⊥ = {z ∈ H : hz, yi = 0, ∀y ∈ Y }.. Teorema 1.3.3. Sea X un espacio de Hilbert, entonces X ≈ X ∗ . Prueba. T. E. Ver Apéndice 4.3.. O. Proposición 1.3.1. Sea X un espacio de Hilbert, entonces:. ((u, v), (x, y)). 7→ [(u, v), (x, y)] = hu, xi + hv, yi. B. IB. LI. [·, ·] : (X × X) × (X × X) → R. es un producto interno. Prueba Ver Apéndice 4.3.. Definición 1.3.4. Si X es un espacio de Hilbert y P ⊂ X, se define el cono polar negativo de P como: P − = {ξ ∈ X ∗ : hξ, ωi ≤ 0, ∀ω ∈ P }.. 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Capı́tulo 2. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Aplicaciones multivaluadas. En esta sección se presentan las definiciones básicas del Análisis Multivaluado y los primeros resultados obtenidos en el área de la teorı́a espectral multivaluada. La mayorı́a de las definiciones presentadas están ligadas al carácter del gráfico de la aplicación multivaluada, es ası́ que, las caracterı́sticas que conocemos de un conjunto pueden servir para definir un nuevo tipo de aplicación multivaluada y ası́ obtener más resultados en forma independiente del análisis clásico. Para referencias sobre las primeras definiciones y propiedades puede consultarse [1], [2] y [8].. Definiciones y propiedades básicas. O. T. E. 2.1.. LI. Definición 2.1.1. Dados X, Y dos conjuntos, una aplicación multivaluada F de X a Y. IB. es una asignación que hace corresponder a cada punto x ∈ X un subconjunto F (x) ⊂ Y. B. que denotamos por F : X Y para distinguirla de una aplicación univaluada.. Figura 2.1: Representación de la aplicación multivaluada F. 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. De acuerdo a la definición anterior, la aplicación multivaluada F : X Y puede entenderse como una aplicación de X a 2Y . Nota 2.1.1. Las aplicaciones multivaluadas son llamadas también correspondencias, aplicaciones conjunto-valuadas, multifunciones y aplicaciones punto a conjunto.. S. Ejemplo. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. F : B A. S. función mediante su imagen inversa. Sea f : A → B, entonces,. IC. A. Una aplicación multivaluada con la que ya estamos relacionados es la que induce una. y. 7→ F (y) = f −1 (y) = {x ∈ A : f (x) = y}. es una aplicación multivaluada que puede tener como imagen un conjunto unitario si f es inyectiva, convirtiéndose en un caso particular de aplicación multivaluada. Ejemplo. Sea f : R2 → R continua en un dominio Df ⊂ R2 , entonces, F : R R2. c 7→ F (c) = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = c}. es una aplicación multivaluada que a cada valor c ∈ R le asigna la curva de nivel c de. B. IB. LI. O. T. E. la función continua f .. Figura 2.2: Aplicación multivaluada de curvas de nivel de f. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Propiedad 2.1.1. Sea F : X Y una aplicación multivaluada y M ⊂ X. Entonces, c T F (x) = x∈M F c (x) x∈M. 1.. S. 2.. T. x∈M. c S F (x) = x∈M F c (x). A. S. Prueba. F (x). ⇔ y∈ /. [. F (x). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. [. S. #c. " y∈. IC. 1. Probaremos por equivalencia. x∈M. x∈M. ⇔ ∀x ∈ M, y ∈ / F (x). ⇔ ∀x ∈ M, y ∈ F c (x) \ F c (x) ⇔ y∈ x∈M. 2. Probaremos por equivalencia #c. ". y∈. \. F (x). ⇔ y∈ /. x∈M. \. F (x). x∈M. ⇔ ∃x0 ∈ M : y ∈ / F (x0 ). ⇔ ∃x0 ∈ M : y ∈ F c (x0 ) ⊂. [. F c (x). T. E. x∈M. ⇔ y∈. c. F (x). x∈M. . LI. O. .. [. B. IB. Definición 2.1.2. Dada una aplicación multivaluada F : X Y , se define: 1. Dominio de F : DomF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} 2. Imagen de F : ImF =. [. F (x). x∈DomF. 3. Gráfico de F : GrF = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ DomF, y ∈ F (x)} 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ejemplo F : L2 [a, b] L2 [a, b] x. Z b 2 x(t)y(t)dt = 0 7→ F (x) = y ∈ L [a, b] : a. satisfacer la condición: Z. A. S. En este caso, para cualquier x ∈ L2 [a, b] siempre es posible elegir y ≡ 0 ∈ L2 [a, b] para b. IC. x(t)y(t)dt = 0,. S. a. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. ası́, F (x) 6= ∅, ∀x ∈ L2 [a, b]. Es decir, DomF = L2 [a, b]. Por otra parte, se observa que:. Z b 2 F (0) = y ∈ L [a, b] : 0y(t)dt = 0 = L2 [a, b], a. de donde se infiere que ImF = L2 [a, b]. Finalmente:. [. GrF =. . 2. 2. Z. (x, y) ∈ L [a, b] × L [a, b] :. b. x(t)y(t)dt = 0 .. a. x∈L2 [a,b]. Definición 2.1.3. Si una aplicación multivaluada F : X Y satisface DomF = X,. E. es llamada estricta.. f: X → Y. LI. O. T. Propiedad 2.1.2. Si se tiene una función univaluada. 7→ f (x). IB. x. B. entonces, definiendo la aplicación multivaluada de valores unitarios: F : X Y x. 7→ F (x) = {f (x)}. se tiene que, GrF = Grf. Es por eso que las aplicaciones multivaluadas de valores unitarios pueden ser identificadas como aplicaciones univaluadas. 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 2.1.4. Dada una aplicación multivaluada F : X Y y M ⊂ X, se define F (M ) imagen directa de M mediante F como: F (M ) =. [. F (x). A. S. x∈M. IC. Observación 2.1.1. La definición de imagen directa permite definir F (∅) = ∅.. S. Propiedad 2.1.3. Sea F : X Y una aplicación multivaluada. Si A ⊂ X es no. Prueba. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. vacı́o, entonces, ∀a ∈ A, F (a) ⊂ F (A).. Sea a ∈ A, entonces,. y0 ∈ F (a) ⇒ y0 ∈ F (a) ∪. [. F (ā) ⇒ y0 ∈. F (ā) ⇒ y0 ∈ F (A).. ā∈A. ā∈A\{a}. .. [. . Propiedad 2.1.4. Sean M, N ⊂ X y F : X Y una aplicación multivaluada,. Entonces,. E. 1. F (M ∪ N ) = F (M ) ∪ F (N ). O. T. 2. F (M ∩ N ) ⊂ F (M ) ∩ F (N ). LI. 3. F (X \ M ) ⊃ ImF \ F (M ). B. IB. 4. M ⊂ N ⇒ F (M ) ⊂ F (N ). Prueba 1. .. [. F (M ∪ N ) =. F (x). x∈M ∪N. " =. # [. F (x) ∪. x∈M. ". # [. F (x). x∈N. = F (M ) ∪ F (N ) 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2. y. ∈ F (M ∩ N ) ⇒ y ∈. [. F (x). x∈M ∩N. ⇒ ∃x0 ∈ M ∩ N : y ∈ F (x0 ) ⇒ y ∈ F (x0 ) ⊂ F (M ) ∧ y ∈ F (x0 ) ⊂ F (N ), pues M ∩ N ⊂ M, N. S. ⇒ y ∈ F (M ) ∩ F (N ). IC. A. y ∈ ImF \ F (M ) ⇒ y ∈ ImF ∩ [F (M )]c. 3. .. ". #c. F (x). S. ⇒ ∃x0 ∈ X : y ∈ F (x0 ) ∧ y ∈. [. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. x∈M. ⇒ y ∈ F (x0 ) ∩. \. F c (x). x∈M. Ahora, si asumimos que x0 ∈ M , tendrı́amos que y ∈ F (x0 ) ∩ F c (x0 ) = ∅, lo cual es absurdo. Ası́, x0 ∈ X \ M , lo que implica que y ∈ F (x0 ) ⊂ F (X \ M ), es decir, y ∈ F (X \ M ). 4. Como M ⊂ N , tenemos que:. F (M ) =. [. F (x) ⊂. x∈M. F (x) = F (N ). x∈N. . E. .. [. O. T. Definición 2.1.5. Dada una aplicación multivaluada F : X Y , se dice que F es:. IB. LI. 1. Inyectiva: Si dados M, N ⊂ X, entonces F (M ∩ N ) = F (M ) ∩ F (N ). B. 2. Sobreyectiva: Si Y = F (X). 3. Biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva. A continuación, se caracteriza la inyectividad de una aplicación multivaluada, y a la vez, se aprecia otra perspectiva para la prueba del ı́tem 2 de la propiedad 2.1.4. Proposición 2.1.1. Sea F : X Y una aplicación multivaluada y M, N ⊂ X particionados de la forma M = M̄ ∪ P , N = N̄ ∪ P con P = M ∩ N . Entonces, F es inyectiva si y solo si F (M̄ ) ∩ F (N̄ ) = ∅ 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Prueba ⇒ ] Suponiendo que F es inyectiva y por la hipótesis de partición, tenemos: F (M̄ ) ∩ F (N̄ ) = F (M̄ ∩ N̄ ). IC. = F (M ∩ N ∩ P c ). A. = F ((M ∩ P c ∩ N ∩ P c )). S. = F ((M \ P ) ∩ (N \ P )). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. = F (P ) ∩ F (P c ). S. = F (M ∩ N ) ∩ F (P c ). = F (P ∩ P c ). = F (∅). = ∅. ⇐ ] Suponiendo que F (M̄ ) ∩ F (N̄ ) = ∅ y por la siguiente igualdad:. E. F (M ) ∩ F (N ) = F (M̄ ∪ P ) ∩ F (N̄ ∪ P ) = F (M̄ ) ∪ F (P ) ∩ F (N̄ ) ∪ F (P ) = F (M̄ ) ∩ F (N̄ ) ∪ F (P ) = F (M̄ ) ∩ F (N̄ ) ∪ [F (M ∩ N )]. se tiene que F (M ∩ N ) = F (M ) ∩ F (N ), es decir, F es inyectiva. . IB. LI. O. T. .. Inversas multivaluadas. B. 2.2.. Cuando tenemos una aplicación multivaluada F y un conjunto A en su imagen, para algunos puntos x de su dominio puede pasar que F (x) quede contenido en A, parcialmente intersectado o vacı́o, las primeras dos opciones permiten definir dos tipos de imagen inversa de F . Además, se tiene una definición para la inversa multivaluada de F , la cual puede no ser estricta.. 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 2.2.1. Dada la aplicación multivaluada F : X Y y A ⊂ Y . Se define: 1. Inversa superior de F : F u (A) = {x ∈ X : F (x) ⊂ A}. A. S. 2. Inversa inferior de F :. S. IC. F ` (A) = {x ∈ X : F (x) ∩ A 6= ∅}. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 3. Inversa de F : F −1 : Y. y. X. 7→ F −1 (y) = F ` ({y}). Equivalentemente, podemos decir que x ∈ F −1 (y) ⇔ (x, y) ∈ GrF Observación 2.2.1. Toda aplicación multivaluada tiene definida su inversa a pesar de que para algunos puntos posea imagen vacı́a. Sin embargo,si la aplicación multivaluada es sobreyectiva, su inversa es estricta. Ejemplo. Una aplicación multivaluada que asigna a cada valor no negativo un intervalo cerrado: F : [0, +∞) R. 7→ F (x) = [x2 − 2, 2x + 1]. E. x. O. T. Lo primero a definir es el DomF , para ello se requiere que x2 − 2 ≤ 2x + 1, lo que nos. LI. lleva a que (x + 1)(x − 3) ≤ 0, es decir, x ∈ [−1, 3]. Intersectando este intervalo con. IB. el conjunto de partida, tenemos que DomF = [0, 3]. Ahora, ya que ambas funciones. B. x2 − 2 y 2x + 1 son crecientes en DomF , al determinar ImF , tendremos como extremo. inferior a x2 −2 evaluada en 0 y como extremo superior a 2x+1 evaluada en 3, entonces, tenemos que ImF = [−2, 7]. Para hallar el gráfico, notemos que dado x ∈ DomF , los valores de y ∈ F (x) son puntos sobre un segmento vertical de extremos [x, x2 − 2] y [x, 2x + 1], los cuales pueden determinarse por λ(2x + 1) + (1 − λ)(x2 − 2) con λ ∈ [0, 1]. Es decir: GrF =. [ . [x, (1 − λ)x2 + (2λ)x + (3λ − 2)] : λ ∈ [0, 1]. x∈[0,3]. 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Figura 2.4: Representación de GrF. LI. Analicemos ahora F −1 , de la representación del gráfico se observa que para y ∈ [−2, 1). B. IB. sus segmentos correspondientes parten del eje Y desde 0 hasta la curva x2 − 2, que √ vista desde la perspectiva de este eje, es la curva x = y + 2. Similarmente para 1 1 y ∈ [1, 7], sus segmentos correspondientes van desde la curva x = y − hasta la curva 2 2 √ x = y + 2, por lo tanto: √ y ∈ [−2, 1) [0, y + 2] F −1 (y) = 1 1 √  y − , y + 2 y ∈ [1, 7] 2 2  . 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Para el análisis de la inversa inferior, consideremos el conjunto [0, 1] ⊂ DomF . Entonces: F ` ([0, 1]) = {x ∈ [0, +∞) : [x2 − 2, 2x + 1] ∩ [0, 1] 6= ∅},. es decir:. A. S. esta condición requiere que ∃α ∈ R tal que x2 − 2 ≤ α ≤ 2x + 1 y 0 ≤ α ≤ 1, lo que √ implica que x2 − 2 ≤ 1 y 0 ≤ 2x + 1, esto nos lleva a que x ∈ −1/2, 3 y x ∈ DomF ,. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Por último, la inversa superior del mismo conjunto [0, 1] es:. S. IC. h √ i F ` ([0, 1]) = 0, 3 .. F u ([0, 1]) = {x ∈ [0, +∞) : [x2 − 2, 2x + 1] ⊂ [0, 1]},. esta condición requiere particularmente que 0 ≤ x2 − 2 ≤ 1, 0 ≤ 2x + 1 ≤ 1 y √ √ x ∈ DomF , esto nos lleva a que x ∈ [ 2, 3] y x ∈ [−1/2, 0], por lo que concluimos que:. F u ([0, 1]) = ∅.. Propiedad 2.2.1. Sean M, N ⊂ X y F : X Y . Si A ⊂ Y , entonces: 1. DomF = X ⇒ F u (A) ⊂ F ` (A). E. 2. F u (A) = [F ` (Ac )]c. O. T. 3. F ` (A) = [F u (Ac )]c. B. IB. LI. 4. Si {Ai }i∈I es una familia de conjuntos en Y , entonces: ! Fu. \ i∈I. Ai. ! =. \ i∈I. F u (Ai ) y. F`. [. Ai. i∈I. =. [. F ` (Ai ). i∈I. Prueba 1. Sea x0 ∈ F u (A), entonces F (x0 ) ⊂ A. Además, ya que DomF = X, se tiene que: F (x0 ) ∩ A = F (x0 ) 6= ∅. 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. por lo tanto, x0 ∈ F ` (A). 2.. = {x ∈ X : F (x) 6⊂ A}c. IC. = {x ∈ X : F (x) ∩ Ac 6= ∅}c. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. = [F ` (Ac )]c 3.. A. S. F u (A) = {x ∈ X : F (x) ⊂ A}. F ` (A) = {x ∈ X : F (x) ∩ A 6= ∅}. = {x ∈ X : F (x) ∩ A = ∅}c = {x ∈ X : F (x) ⊂ Ac }c = [F u (Ac )]c. B. IB. LI. O. T. E. 4. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos en Y , entonces, !. F. u. \. Ai. \ = x ∈ X : F (x) ⊂ Ai. i∈I. i∈I. = {x ∈ X : F (x) ⊂ Ai , ∀i ∈ I} \ = {x ∈ X : F (x) ⊂ Ai } i∈I. =. \. F u (Ai ). i∈I. 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Similarmente, ! F. `. [. Ai. [ = x ∈ X : F (x) ∩ Ai 6= ∅. i∈I. i∈I. [ = x ∈ X : (F (x) ∩ Ai ) 6= ∅ i∈I. = .. A. F ` (Ai ). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. i∈I. IC. i∈I. [. S. [ = {x ∈ X : F (x) ∩ Ai 6= ∅}. . Para realizar las pruebas de las propiedades en adelante, vamos a requerir de unas propiedades básicas presentadas a continuación.. Propiedad 2.2.2. Sea F : X Y una aplicación multivaluada. Entonces 1. F u (Y ) = X. 2. F ` (Y ) = DomF Prueba. 1. Por definición, se tiene que F u (Y ) = {x ∈ X : F (x) ⊂ Y }, además podemos. B. IB. LI. O. T. E. particionar X = DomF ∪ (DomF )c y tener los siguientes casos: ∅ = F (x) ⊂ Y, si x ∈ / DomF. ∅ 6= F (x) ⊂ Y, si x ∈ DomF. satisfaciendo las condiciones de subconjunto de Y de forma trivial y no trivial, respectivamente. Por lo tanto, F u (Y ) = X. 2. Ya que todas las imágenes por F llegan al conjunto Y , tenemos: F ` (Y ) = {x ∈ X : F (x) ∩ Y 6= ∅} = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} = DomF. . 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Propiedad 2.2.3. Sea F : X Y una aplicación multivaluada, A ⊂ Y no vacı́o tal que F u (A) ⊂ DomF , entonces F u (A) ⊂ F ` (A). Prueba. S. Sea x ∈ F u (A), por definición F (x) ⊂ A, de ello tenemos que:. . C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. pues x ∈ DomF y A 6= ∅. Ası́, x ∈ F ` (A).. IC. A. F (x) ∩ A = F (x) 6= ∅,. Propiedad 2.2.4. Sea F : X Y una aplicación multivaluada estricta, entonces: F u (Y ) = F ` (Y ) = F −1 (Y ) = X. Prueba. De acuerdo a la propiedad 2.2.2, solo resta probar la última igualdad. En efecto: F −1 (Y ) =. [. F −1 (y). y∈Y. =. [. F ` {y}. y∈Y. !. {y} , por el ı́tem 4 de la propiedad 2.2.1. y∈Y. `. = F (Y ). = X. IB. LI. O. T. E. = F`. [. . B. .. Propiedad 2.2.5. Sea F : X Y una aplicación multivaluada y M ⊂ Y . Entonces, 1. F u (Y \ M ) = X \ F ` (M ) 2. F ` (Y \ M ) = X \ F u (M ). 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Prueba 1. Para la prueba, usaremos los ı́tems 2 y 4 de la propiedad 2.2.1 y el ı́tem 1 de la propiedad 2.2.2.. A IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. = X \ F ` (M ). S. = F u (Y ) ∩ F u (M c ) c = X ∩ F ` (M c )c c = X ∩ F ` (M ). S. F u (Y \ M ) = F u (Y ∩ M c ). 2. Para la prueba, usaremos el ı́tem 2 de la propiedad 2.2.1. F ` (Y \ M ) = F ` (M c ). = X ∩ F ` (M c ) c = X \ F ` (M c ). = X \ F u (M ). .. . Propiedad 2.2.6. Sea F : X Y una aplicación multivaluada y una familia de. S A ⊃ i∈I F u (Ai ) i i∈I. T. S. O. 1. F u. E. conjuntos {Ai }i∈I en Y con im = mı́n{i : i ∈ I}, entonces:. S. B. IB. LI. 2. F u. i∈I. S Ai = i∈I F u (Ai ), cuando Ai ⊃ Ai+1. T A ⊂ i∈I F ` (Ai ) i i∈I. 3. F `. T. 4. F `. T. i∈I. T Ai = i∈I F ` (Ai ), cuando Aim 6= ∅ , Ai ⊂ Ai+1. 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Prueba Sin pérdida de generalidad, considere el conjunto de ı́ndices I = {1, 2, . . . , n, . . .}. [ 1. . x∈ F u (Ai ) ⇒ ∃i0 ∈ I : x ∈ F u (Ai0 ) i∈I. ⇒ ∃i0 ∈ I : F (x) ⊂ Ai0 . S. Ai . A. ⇒ ∃i0 ∈ I : F (x) ⊂ Ai0 ∪ .  [. Ai. i∈I. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. !. S. ⇒ F (x) ⊂. IC. i∈I\{i0 }. [. ⇒ x ∈ Fu. [. Ai. i∈I. 2. Es suficiente probar el otro sentido de la inclusión del item anterior. !. [. x ∈ Fu. Ai. ⇒ F (x) ⊂. i∈I. [. Ai. i∈I. ⇒ ∃i0 ∈ I : F (x) ⊂ Ai0 , con seguridad para i0 = 1. ⇒ x ∈ F u (Ai0 ). . ⇒ x ∈ F u (Ai0 ) ∪ . . [. F u (Ai ). ⇒ x∈. F u (Ai ). i∈I. B. IB. LI. O. T. E. i∈I\{i0 }. [. Figura 2.5: Familia de conjuntos encajados decrecientemente. 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ! x ∈ F`. 3. .. \. Ai. ! ⇒ F (x) ∩. i∈I. \. Ai. 6= ∅. i∈I. ⇒. \. (F (x) ∩ Ai ) 6= ∅. i∈I. S. IC. i∈I. A. ⇒ x ∈ F ` (Ai ) , ∀i ∈ I \ ⇒ x∈ F ` (Ai ). S. ⇒ F (x) ∩ Ai 6= ∅ , ∀i ∈ I. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 4. Es suficiente probar el otro sentido de la inclusión del ı́tem anterior. x∈. \. F ` (Ai ). ⇒. x ∈ F ` (Ai ) , ∀i ∈ I. ⇒. F (x) ∩ Ai 6= ∅ , ∀i ∈ I ! \ \ F (x) ∩ Ai 6= ∅ , pues Ai = A1. i∈I. A1 6=∅. ⇒. i∈I. i∈I. !. ⇒. x ∈ F`. \. Ai. B. IB. LI. O. T. E. i∈I. .. Figura 2.6: Familia de conjuntos encajados crecientemente. A continuación, presentamos un ejemplo que ilustra la propiedad 2.2.6.. 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ejemplo Dada la aplicación multivaluada F : R R. S. x 7→ F (x) = [x − 1, x]. A. Para ilustrar el ı́tem 1, considere n ≥ 2 y la familia de n conjuntos Ai = [i, i + 1],. Ai =. [i, i + 1] = [1, n + 1].. i=1. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. i=1. n [. S. n [. IC. entonces,. Luego, para determinar la inversa superior de esta unión, tenemos: F. n [. u. !. Ai. = F u ([1, n + 1]) = {x ∈ R : [x − 1, x] ⊂ [1, n + 1]}. i=1. de donde surgen dos condiciones,. 1 ≤ x − 1 ∧ x ≤ n + 1, es decir x ∈ [2, n + 1]. por lo que,. Fu. n [. !. Ai. = [2, n + 1].. (2.1). i=1. E. Por otra parte, para determinar la inversa superior para cada conjunto, tenemos:. O. T. F u (Ai ) = F u ([i, i + 1]) = {x ∈ R : [x − 1, x] ⊂ [i, i + 1]}. i ≤ x − 1 ∧ x ≤ i + 1, es decir x = i + 1. B. IB. LI. de donde surgen dos condiciones,. por lo que,. F u (Ai ) = {i + 1}. donde, realizando la unión sobre los ı́ndices, tenemos n [. F u (Ai ) = {2, 3, 4, · · · , n, n + 1}.. (2.2). i=1. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. De las ecuaciones (2.1) y (2.2) se puede apreciar que: F. n [. u. !. n [. ⊃. Ai. i=1. |. {z. [2, n + 1]. F u (Ai ). |i=1 {z. }. }. {2, 3, 4, · · · , n, n + 1}. 1 1 − , i+1 i+1. . S. Ai =. [. = (−1, 1). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. [. IC. A. S. 1 1 , , la cual es una familia encajada Para ilustrar el ı́tem 2, considere Ai = − i+1 i+1 decrecientemente, entonces,. i∈N. i∈N. luego, para determinar la inversa superior de esta unión, tenemos: !. Fu. [. = {x ∈ R : [x − 1, x] ⊂ (−1, 1)}. Ai. i∈N. de donde surgen dos condiciones,. −1 < x − 1 ∧ x < 1, es decir x ∈ (0, 1). por lo que,. Fu. n [. !. Ai. = (0, 1).. (2.3). E. i∈N. O. T. Por otra parte, para determinar la inversa superior para cada conjunto, tenemos: 1 1 1 1 , , F (Ai ) = F − = x ∈ R : [x − 1, x] ⊂ − i+1 i+1 i+1 i+1 u. IB. LI. u. B. de donde surgen dos condiciones, 1 1 − <x−1 ∧ x< , es decir x ∈ i+1 i+1. . i 1 , i+1 i+1. . por lo tanto, u. F (Ai ) =. . i 1 , i+1 i+1. . aquı́, debemos notar que tales intervalos empiezan a degenerarse a partir de n = 1, por. 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. lo que, [. F u (Ai ) =. [. F u (Ai ) = (0, 1).. (2.4). i=0. i∈N. De las ecuaciones (2.3) y (2.4) se puede apreciar que: !. (0, 1). }. |. {z. (0, 1). A. {z. F u (Ai ). i∈N. i∈N. |. [. S. =. Ai. }. IC. Fu. [. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Para ilustrar el ı́tem 3, considere la familia de 3 elementos dada por A1 = [−3, 0] , A2 = [−1, 2] , A3 = [1, 4].. Como. 3 \. Ai = ∅, entonces,. i=1. F`. 3 \. !. Ai. =∅. (2.5). i=1. Por otra parte, para determinar la inversa inferior para cada conjunto, tenemos: F ` (A1 ) = F ` ([−3, 0]) = {x ∈ R : [x − 1, x] ∩ [−3, 0] 6= ∅} esta condición requiere que ∃α ∈ R tal que x − 1 ≤ α ≤ x y −3 ≤ α ≤ 0, lo que implica. F ` (A1 ) = F ` ([−3, 0]) = [−3, 1].. LI. O. T. E. que x − 1 ≤ 0 y −3 ≤ x, esto nos lleva a que x ∈ [−3, 1], es decir,. B. IB. De manera similar, tenemos que: F ` (A2 ) = F ` ([−1, 2]) = [−1, 3] F ` (A3 ) = F ` ([1, 4]) = [1, 5] por lo que, 3 \. F ` (Ai ) = {1}.. (2.6). i=1. 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. De las ecuaciones (2.5) y (2.6) se puede apreciar que:. F. `. 3 \. ! ⊂. Ai. i=1. |. 3 \. F ` (Ai ). i=1. {z. }. ∅. |. {z. {1}. }. A. S. Finalmente, para ilustrar el ı́tem 4, considere la familia encajada crecientemente dada. Ai = (−1, 1). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. i∈N. S. \. IC. por Ai = (−i − 1, i + 1) con i ∈ N, entonces,. luego, para determinar la inversa inferior de esta intersección, tenemos: !. F`. \. Ai. = F ` (−1, 1) = {x ∈ R : [x − 1, x] ∩ (−1, 1) 6= ∅}. i∈N. esta condición requiere que ∃α ∈ R tal que x − 1 ≤ α ≤ x y −1 ≤ α ≤ 1, lo que implica que x − 1 < 1 y −1 < x, esto nos lleva a que x ∈ (−1, 2), es decir, !. F`. \. Ai. = (−1, 2). (2.7). i∈N. E. Por otra parte, para determinar la inversa inferior para cada conjunto, tenemos:. LI. O. T. F ` (Ai ) = F ` (−i − 1, i + 1) = {x ∈ R : [x − 1, x] ∩ (−i − 1, i + 1) 6= ∅}. IB. esta condición requiere que ∃α ∈ R tal que x − 1 ≤ α ≤ x y −i − 1 < α < i + 1, lo que. B. implica que x − 1 < i + 1 y −i − 1 < x, esto nos lleva a que x ∈ (−i − 1, i + 2), es decir, F ` (Ai ) = (−i − 1, i + 2). aquı́, debemos notar que tales intervalos son encajados, por lo que: \ i∈N. F ` (Ai ) =. \. F ` (Ai ) = (−1, 2).. (2.8). i=0. 36. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. De las ecuaciones (2.7) y (2.8) se puede apreciar que: ! \. F`. =. Ai. i∈N. |. {z. (−1, 2). \. F ` (Ai ). i∈N. }. |. {z. (−1, 2). }. A. S. Observación 2.2.2. Los ı́tems 2 y 4 en la propiedad 2.2.6 son solo suficientes, pues,. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. supongamos que tenemos la aplicación multivaluada F (x) = [x − 1, x] del ejemplo T anterior y la familia Ai = {0, 1, . . . , i} con i ∈ N, entonces i∈N Ai = {0}, por lo que T u Fu i∈N Ai = F ({0}) = ∅. Por otra parte, para cada i ∈ N, F u (Ai ) = {x ∈ R : [x − 1, x] ⊂ {0, 1, . . . , i}} = ∅, T T T u ası́, i∈N F u (Ai ) = ∅. Esto permite concluir que F u i∈N Ai = i∈N F (Ai ) sin tener una familia encajada decrecientemente.. Similarmente, considere la familia Ai = [i, i + 1] con i ∈ N, entonces T ` lo que F ` i∈N Ai = F (∅) = ∅.. T. i∈N. Ai = ∅, por. Por otra parte, F ` (Ai ) = {x ∈ R : [x − 1, x] ∩ [i, i + 1] 6= ∅} = [i, i + 2], por lo que T T T T ` ` ` i∈N Ai = i∈N F (Ai ) = i∈N [i, i+2] = ∅. Esto permite concluir que F i∈N F (Ai ) sin tener una familia encajada crecientemente.. Propiedad 2.2.7. Sea F : X Y una aplicación multivaluada.. E. 1. Si A ⊂ DomF , entonces, A ⊂ F u (F (A)) ⊂ F ` (F (A)).. T. 2. Si F es estricta y A ⊂ X tal que F (A) es maximal en {F (x)}x∈X , entonces,. LI. O. F ` (F (A)) = F u (F (A)).. IB. Prueba. B. 1. Sea x ∈ A, entonces F (x) ⊂ F (A), esto implica, por definición, que x ∈ F u (F (A)). Por otra parte, como F (x) 6= ∅, se tiene que F (x) ∩ F (A) 6= ∅, esto implica, por definición, que x ∈ F ` (F (A)). Estos resultados, junto a la propiedad 2.2.3, permiten concluir la prueba. 2. Sea x ∈ F ` (F (A)), entonces F (x)∩F (A) 6= ∅, además, por ser F (A) maximal en {F (x)}x∈X , se tiene que F (x) ⊂ F (A), es decir, x ∈ F u (F (A)). Este resultado, junto a la propiedad 2.2.3, permite concluir la igualdad por doble inclusión.. 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ejemplo Sean los espacios vectoriales X = {p = p(x) : p es un polinomio de cualquier grado}, Pn = {p = p(x) : p tiene grado menor o igual que n} y la aplicación multivaluada:. p=. X n X. X ai xi 7→ F (p) = Pm. S. F :. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Considere A = {x + 1, x2 + x3 , 8x3 + x6 }, entonces,. S. donde m = mı́n{i : ai 6= 0}.. IC. A. i=0. F (A) = F (x + 1) ∪ F (x2 + x3 ) ∪ F (8x3 + x6 ) = P0 ∪ P2 ∪ P3 = P3 . i. Por otra parte, denotando por coef (x ) al coeficiente ai de un polinomio p = tenemos:. n X. ai x i ,. i=0. F u (F (A)) = {p ∈ X : F (p) ⊂ P3 } = P3 ∪ {p ∈ X : coef (x3 ) 6= 0} F l (F (A)) = {p ∈ X : F (p) ∩ P3 6= ∅} = X.. Por lo que:. A ⊂ F u (F (A)) ⊂ F ` (F (A)). T. E. Propiedad 2.2.8. Sea F : X Y una aplicación multivaluada.. O. 1. Si B ⊂ Y , entonces, F (F u (B)) ⊂ B.. IB. LI. 2. Si B ⊂ ImF , entonces, B ⊂ F (F ` (B)).. B. 3. Si F es estricta y B ⊂ Y es maximal en {F (x)}x∈X , entonces, F ` (B) = F u (B).. Prueba 1. .. [. y0 ∈ F (F u (B)) ⇒ y0 ∈. F (x). x∈F u (B). ⇒ ∃x0 ∈ F u (B) : y0 ∈ F (x0 ) ⇒ ∃x0 ∈ X : F (x0 ) ⊂ B ∧ y0 ∈ F (x0 ) ⇒ y0 ∈ F (x0 ) ⊂ B ⇒ y0 ∈ B 38. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(49) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2. Para la prueba, usaremos el ı́tem 4 de la propiedad 2.1.4 y la propiedad 2.1.3. b ∈ B ⊂ ImF ⇒ ∃x0 ∈ X : b ∈ F (x0 ) ⇒ ∃x0 ∈ X : {b} ∩ F (x0 ) 6= ∅. S. ⇒ x0 ∈ F ` ({b}) ⊂ F ` (B). A. ⇒ b ∈ F (x0 ) ⊂ F (F ` (B)). S. IC. ⇒ b ∈ F (F ` (B)). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 3. Dado x ∈ F ` (B), por definición, se tiene que F (x) ∩ B 6= ∅, y por la hipótesis de maximalidad de B se infiere que F (x) ⊂ B, es decir x ∈ F u (B). Este resultado, junto a la propiedad 2.2.3, permiten concluir la prueba por doble inclusión.. .. Ejemplo. . F : {0, 1, · · · , n} N x. 7→ F (x) = {x, x + 1, · · · , n}. Tomando B = {0, 1, · · · , n} ⊂ N, se obtiene F ` (B) = F u (B).. 2.3.. Operaciones entre aplicaciones multivaluadas. E. Definición 2.3.1. Si P es una propiedad de un conjunto (por ejemplo, convexo, cónico,. T. cerrado, etc.), entonces se dice que una aplicación multivaluada satisface la propiedad. LI. O. P si y solo si su gráfico también la satisface. En este caso, nombramos a la aplicación. IB. multivaluada con la propiedad P.. B. Observación 2.3.1. Si la propiedad P requiere condiciones de espacio vectorial, espacio normado, espacio topológico, etc. debe existir una estructura similar en el gráfico. Por ejemplo, si F : X Y está definida entre espacios vectoriales y se quiere analizar la propiedad de ser subespacio, la estructura de X ×Y no presenta problemas ya que posee condiciones que permiten definirla como espacio vectorial. Estos argumentos pueden aplicarse si se requiere un producto interno en X × Y definiendo un producto como en la proposición 1.3.1, de la misma forma existen definiciones si se requiere una norma o una topologı́a. 39. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.